Справжня робота присвячена проблематиці стабілізації економічного зростання із застосуванням традиційних макроекономічних стратегій. Поставлена ​​мета передбачає широкоформатне використання апарату якісної теорії дискретної економічної динаміки. Запропоновано комплекс економіко-математичних моделей, що враховують специфіку макроекономічних балансів, витриманих у дусі неокейнсианства. Істотним є аналіз ефекту післядії, обумовленого «динамічною пам'яттю» про всі минулі значеннях по відношенню до справжнього моменту часу інвестиційної політики і структурі споживання. При складанні динамічних моделей економічного зростання валового внутрішнього продукту отримані функціональні рівняння специфічного типу, такі як різницеві рівняння Вольтерра. Відповідно, для кожного з досліджуваних вищевказаних функціональних рівнянь отримано ряд нерівностей, що визначають області параметричної стійкості стану рівноваги. Сформульовано в явному вигляді структурні обмеження на базові параметри моделі мультиплікатора-акселератора, які можуть надати значущий вплив на розподіл обсягів споживання та інвестицій для забезпечення сталого зростання національного доходу. Вказані умови на обмеження таких параметрів, як потужність акселератора і гранична схильність до заощадження, які слід враховувати при складанні економіко-математичних моделей для цілей прогнозування і управління макроекономічною політикою держави. Представлені графічні ілюстрації отриманих рішень відповідних різницевих рівнянь для динаміки національного доходу.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Воронін Анатолій Віталійович, Гунько Ольга Володимирівна, Афанасьєва Ідія Михайлівна


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2019
    Журнал: проблеми економіки

    Наукова стаття на тему 'ПРОБЛЕМИ СТІЙКОСТІ МАКРОЕКОНОМІЧНИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМІКИ'

    Текст наукової роботи на тему «ПРОБЛЕМИ СТІЙКОСТІ МАКРОЕКОНОМІЧНИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМІКИ»

    ?МАТЕМАТІЧН1 метод ТА МОДЕЛ1

    У ЕКОНОМ1Ц1

    УДК 313.42 JEL Classification: С62

    проблеми стійкості макроекономічних моделей динаміки

    ® 2019 ВОРОНІН А. в., ГУНЬКО О. в., Афанасьєва Л. М.

    УДК 313.42

    JEL Classification: С62

    Воронін А. В., Гунько О. В., Афанасьєва Л. М. Проблеми стійкості макроекономічних моделей динаміки

    Справжня робота присвячена проблематиці стабілізації економічного зростання із застосуванням традиційних макроекономічних стратегій. Поставлена ​​мета передбачає широкоформатне використання апарату якісної теорії дискретної економічної динаміки. Запропоновано комплекс економіко-математичних моделей, що враховують специфіку макроекономічних балансів, витриманих у дусі неокейнсианства. Істотним є аналіз ефекту післядії, обумовленого «динамічною пам'яттю» про всі минулі значеннях по відношенню до справжнього моменту часу інвестиційної політики і структурі споживання. При складанні динамічних моделей економічного зростання валового внутрішнього продукту отримані функціональні рівняння специфічного типу, такі як різницеві рівняння Вольтерра. Відповідно, для кожного з досліджуваних вищевказаних функціональних рівнянь отримано ряд нерівностей, що визначають області параметричної стійкості стану рівноваги. Сформульовано в явному вигляді структурні обмеження на базові параметри моделі мультиплікатора-акселератора, які можуть надати значущий вплив на розподіл обсягів споживання та інвестицій для забезпечення сталого зростання національного доходу. Вказані умови на обмеження таких параметрів, як потужність акселератора і гранична схильність до заощадження, які слід враховувати при складанні економіко-математичних моделей для цілей прогнозування і управління макроекономічною політикою держави. Представлені графічні ілюстрації отриманих рішень відповідних різницевих рівнянь для динаміки національного доходу.

    Ключові слова: валовий внутрішній продукт, макроекономічний баланс, ефект післядії, інвестиційна політика, параметричну стійкість стану рівноваги, модель мультиплікатора-акселератора. DOI: https://doi.org/10.32983/2222-0712-2019-2-185-193 Рис .: 2. Формул: 39. Бібл .: 10.

    Воронін Анатолій Віталійович - кандидат технічних наук, доцент, доцент кафедри вищої математики та економіко-математичних методів, Харківський національний економічний університет ім. С. Кузнеця (просп. Науки, 9а, Харків, 61166, Україна) E-mail: voronin61 @ ukr.net

    Гунько Ольга Володимирівна - кандидат фізико-математичних наук, доцент, доцент кафедри вищої математики та економіко-математичних методів, Харківський національний економічний університет ім. С. Кузнеця (просп. Науки, 9а, Харків, 61166, Україна) E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Афанасьєва Лідія Михайлівна - кандидат технічних наук, доцент, доцент кафедри вищої математики та економіко-математичних методів, Харківський національний економічний університет ім. С. Кузнеця (просп. Науки, 9а, Харків, 61166, Україна) E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    УДК 313.42 JEL Classification: С62 Воронш А. В., Гунько О. В., Афанас'ева Л. М. Проблеми стйкот макроекономiчніх моделей динамки

    Наведення статтю присвячено проблематіц стабтзаці економiчний-го зростання iз ЗАСТОСУВАННЯ традіцйніх макроекономiчніх стра-тегй. Поставлено мета передбачало широкоформатний использование апарату яккно! теорн діскретноi економчноi дінам'ші. Запропо-Нова комплекс економко-математичних моделей, что враховують спеціфку макроеконом'мніх баланав, вітріманіх у дус неокейнсианства. 1стотнім е анал'в ЕФЕКТ тсляді, обумовлених «дінамiч-ною пам'яттю» про вс мінулi значення относительно справжнього моменту часу швестіцшноi полтіка i Структури споживання. При складант дінамiчніх моделей економiчний зростання валового внутршніх продукту отрімаш функцюнальн р'вняння спеціфiчного типу, так якрiзніцевiр'вняння Вольтерра. В'дпов'дно, для кожногоз дошджува-них Вищевказаний функцональніх рiвнянь ОТРИМАНО ряд нер'вностей, что визначаються област'1 параметрічноi стшкостi стану р'вновагі. Сформульовано в явному вигляд '> структури обмеження на базов '>

    UDC 313.42 JEL Classification: C62 Voronin A. V., Gunko O. V., Afanasieva L. M. Problems of Stability of Dynamic Macroeconomic Models

    This paper deals with the problems of stabilizing economic growth using traditional macroeconomic strategies. The goal taken implies a large-scale use of the machinery of the qualitative theory of discrete economic dynamics. A set of economic and mathematical models that take into consideration the specifics of macroeconomic equilibrium in view of neo-Keynesian economics is proposed. It is essential to analyze the residual effect caused by the "dynamic memory" of all previous values ​​in relation to the present moment in time in the investment policy and the consumption structure. When building dynamic models of economic growth of Gross Domestic Product, functional equations of a specific type, such as Volterra difference equations, were obtained. Accordingly, for each of the above functional equations studied, there received a number of inequalities that determine the domains of parametric stability of the equilibrium. Structural constraints of the basic parameters of the multiplier-accelerator model, which can have a significant impact on the distribution of consumption and investment to ensure sustainable growth of

    Параметри Modeni мультіплкатора-акселератора, ям могут на-дати значущих Вплив на розпод'ш oбсягiв споживання та нвестиц для забезпечення сталого зростання національного доходу. Вказано умови на обмеження таких параметр '^, як потужнсть акселератора i гранична схільшсть до заощадження, як шд враховуваті при складант економ'шо-математічніхмоделей для фей прогнозування iуправл'шня макрoeкoнoмiчнoю полтіка держави. Навeдeнiграф'мш шюстраці отриманий ршень в'дпов'дніх рiзніцeвіхрiвнянь для динамки національного доходу.

    Кпючов'1 слова: валовий внутр'шнш продукт, макроеконом'мній баланс, ефект тсляді, iнвeстіцiйна полтіка, параметричного стшмсть станурвновагі, модель мультіпл'жатора-акселератора. Рис .: 2. Формул: 39. Б'бл .: 10.

    Ворона АнатолШ Вiталiйовіч - кандидат техшчніх наук, доцент, доцент кафедри віщоi математики та економ'жо-математичних метод'в, Хармвській Нацонального eкoнoмiчній ушверсітет iм. С. Кузнеця (просп. Науки, 9а, Хармв, 61166, Украна) E-mail: voronin61 @ ukr.net

    Гунько Ольга Володимирiвна - кандидат ф'віко-математичних наук, доцент, доцент кафедри віщоi математики та економ'жо-математичних метод'ю, Хармвській Нацонального eкoнoмiчній ушверсітет iм. С. Кузнеця (просп. Науки, 9а, Хармв, 61166, прикрашені) E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Афанас'ева Лiдiя Міхайл'юна - кандидат техн'нніх наук, доцент, доцент кафедри віщоi математики та економко-математичних ме-тод'в, Хармвській Нацонального eкoнoмiчній ушверсітет iм. С. Кузнеця (просп. Науки, 9а, Хармв, 61166, прикрашені) E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    national income, are formulated in an explicit form. There indicated conditions for constraining such parameters as the accelerator capacity and marginal propensity to save, which should be taken into account when developing economic and mathematical models for the purposes of forecasting and managing national macroeconomic policies. Graphic illustrations of the obtained solutions to the corresponding difference equations of the national income behavior are presented.

    Keywords: gross domestic product, macroeconomic equilibrium, residual effect, investment policy, parametric stability of an equilibrium state, multiplier-accelerator model. Fig .: 2. Formulae: 39. Bibl .: 10.

    Voronin Anatolii V. - Candidate of Sciences (Engineering), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Mathematics and Mathematcal Methods in Economics, Simon Kuznets Kharkiv National University of Economics (9a Nauky Ave., Kharkiv, 61166, Ukraine) E-mail : voronin61 @ ukr.net

    Gunko Olga V. - Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Mathematics and Math-ematcal Methods in Economics, Simon Kuznets Kharkiv National University of Economics (9a Nauky Ave., Kharkiv, 61166, Ukraine ) E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Afanasieva Lidiia M. - Candidate of Sciences (Engineering), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Mathematics and Mathematcal Methods in Economics, Simon Kuznets Kharkiv National University of Economics (9a Nauky Ave., Kharkiv, 61166, Ukraine) E-mail : Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Вступ. Державна економічна стратегія, спрямована на стабільне зростання таких базових показників, як валовий внутрішній продукт (ВВП), вимагає підняти на більш якісний рівень всю систему моніторингу та управління макроекономічними процесами. Для досягнення поставленої мети необхідно повне використання всього арсеналу якісних засобів і методів при вирішенні різних аналітичних і прогнозних завдань. Подолання такого роду проблем не представляється можливим без застосування економіко-математичних моделей, що описують з певних позицій і на відповідному рівні агрегування як стану, так і послідовності станів державної економіки.

    Літературний огляд. Динамічні макроекономічні моделі дозволяють вивчити еволюцію суспільного виробництва на базі природного балансу між споживанням, інвестиційною політикою і державними витратами. Облік фактора часу в дискретної формі (місяці, квартали, роки) зумовлює з математичних позицій застосування різницевих рівнянь і їх різного роду модифікацій для конструювання моделей динаміки. При аналізі поведінкових властивостей макроекономічних моделей особливу роль відіграють якісні властивості досліджуваних траєкторій (без знання самих кривих). Найважливішим із цих властивостей є стійкість рівноважних станів моделей. Даного питання в економічній літературі присвячено цілий ряд робіт [2; 4-7; 10].

    Аналіз перерахованих джерел свідчить про наявність ряду додаткових проблем сталого поведінки динамічних траєкторій, пов'язаних з ускладненням гіпотез про структуру споживання та інвестування. Таким припущенням, зокрема, є фактор ефекту післядії для вищевказаних складових макроекономічного балансу.

    Метою роботи є висновок умов структурної стійкості досліджуваних дискретних динамічних моделей макроекономіки з урахуванням впливу розподілених тимчасових запізнень.

    Методи дослідження головним чином базуються на математичній теорії стійкості положень рівноваги динамічних систем з дискретним часом.

    Результати. Спочатку розглянемо одну з найпростіших моделей, яка представлена ​​у Аллена [1] і вважається однією з основоположних в теорії економічного циклу Самуельсона-Хікса. Математична модель описує взаємодію в цілочисельні моменти часу п = 0,1,2, ... доходу Уп, функції споживання Сп,

    обсягу інвестицій 1п і незалежних витрат 0п. Цей традиційний в економічній теорії баланс між заощадженнями та інвестиціями представлений у формі:

    У = С +1 +0 (1)

    п п п ип '

    Припускаємо, що функція споживання Сп залежить від значення доходу в попередній момент часу, тобто

    має місце запізнення на один часовий крок Сп = суп-1 »

    де с - гранична схильність до споживання, 0 <з <1. Щодо інвестицій покладемо:

    ^ П = у (Уп -1 - Уп - 2) »тобто обсяг інвестицій пропорційний зміни доходу між п - 2 і п - 1 проміжками часу. тут

    V > 0 коефіцієнт, що характеризує потужність акселератора. Незалежні витрати Сп є задана функція в дискретному часі.

    З (1) і подальших тверджень маємо динамічну модель у вигляді рекурентного рівняння другого порядку:

    Уп (V + с) гп_1 + VI; -2 = ап. (2)

    Неоднорідне рекурентне співвідношення (2) з відповідним Мультиплікаторні рівнянням:

    | 2 - (V + с) | + V = 0 (3)

    має загальне рішення в формі

    У (п) = Л ^ (п) + А2 ^ 2 (п) + і (п), (4)

    де q1 (п), q2 (п) - лінійно-незалежні рішення однорідного рекуррентного рівняння (2) при Сп = 0;

    і (п) - приватне рішення неоднорідного рівняння; А1, Л 2 - довільні постійні, які визначаються

    з початкових умов У (0), У (1). Залежно від параметрів мультіплікаторного рівняння (3) будуть мати місце три комбінації лінійно незалежних рішень

    <?1 (п)> q2 (п) .

    Приватне рішення і (п) має вигляд: п-1

    і (п) = ^ Я (п - 1 - к) 0 (до + 2), (5)

    к = 0

    де вагова функція Я (п - 1 - к) явно залежить від відповідних q ± (п), q2 (п). Покладемо, з = 1 - 5,

    де 0 < 5 <1 є гранична схильність до заощаджень. В такому випадку мультіплікаторного рівняння (3) отримаємо вираз:

    | 2 - (V + 1 - 5) | + V = 0. (6)

    Квадратне рівняння (6) не має негативних

    дійсних коренів. За умови 0 < У<(1 - л / 5) 2 лінійно незалежні рішення представлені як

    q1 (п) =, q2 (п) = 12 »М-1» 12 > 0. Якщо справедливе співвідношення V = (1-л / 5) 2, то | = | 2 = 1 - і, відповідно, q1 (n) = (1 -) п, q2 {п) = п (1 -) п. При виконанні нерівності (1 - л / 5) 2 < V < 1 коріння (6)

    будуть комплексно-сполученими, а q1 (п), ^ (п) знайдуть тригонометричну форму.

    У конкретному випадку V = 1, що відповідає межі стійкості рішень (2), коріння (6) запишуться так:

    ^ = 1-2 41-I.I -1

    Нехай ф = arceos --J. тоді маємо

    2 = cos ^) ± i • sin (ф) і, отже, qi (n) =

    = Cos (nф), (n) = sin (nф). Для цього прикладу вагова

    функція, або так звана резольвента, представляється у вигляді:

    , sin ((n -1 - до) ф)

    R (n -1 - k) = --- ^. (7)

    sin ф

    В такому випадку приватне неоднорідне рішення (5) отримаємо у вигляді:

    1 n-1

    u (n) = -У Sin ((n -k-1) ф) G (k + 2). (8)

    sin ф k = 0

    Вважаємо, що незалежні державні витрати роблять коливання з певною амплітудою Л

    і частотою ф навколо постійного рівня О0, тобто:

    в (п) = + Л ВШ (ПФ). (9)

    Міркування щодо вибору форми в (п) представлені

    о 7].

    Цілком очевидно, що вираз (8) є сверткой двох числових послідовностей. Тому для отримання явного рішення і (п) представляється ефективним застосування 7-перетворення, тобто дискретного перетворення Лапласа [3].

    Використовуючи властивості 7-перетворення [3], матимемо:

    і (г) = 2 •? (2) 0 (г), (10)

    де

    R (z) = -

    z - 2СО $ ф-z +1

    Gqz + A sinф- z

    G (z) = -7 + ^ - 7 •

    z - 1 z2 - 2cos ф- z +1

    З (10) слід вираження алгебри для u (z):

    Gq z 3

    - + -

    A -sin ф- z

    u (z) =-

    (Z - 1) (z 2 - 2 cos ф - z +1) (z 2 - 2cos ф - z +1)

    (11)

    Зворотне Z-перетворення для кожного з доданків дає [8]:

    3

    1

    (Z - 1) (z 2 - 2 cos ф-z +1) 2 (1 - cos ф)

    +

    1 + 2cos ^ х 1 -2cos6, + --- sinn) + --- ^ cos (n ^),

    2 sin ф

    _3

    2 (1 - cosф) 2 ^ (K1 + Koi • n) sin (n (^)-

    (Z2 - 2 cos (• z +1)

    + (1 + K02 • n) cos (n (),

    cos ((3 - 2cos2 ф) cos (де K = -3-, K01 = - = ct

    2 sin3 ф

    sin ф

    Ko2 =

    (1-2cos2 ф) x s

    --cos ф = 1--,

    2 sin 2 ф 2

    sinф = ^ 1 - ^, K1 = 3-jdg3q>, K02 = ^ - ctg20-

    Зворотне Z-перетворення з урахуванням необхідних тотожних перетворень запишеться у вигляді:

    i (n) =

    -+

    2 (1 - cosф) 1 - 2cosф

    +

    1 + 2cosф

    2 sin ф

    ((

    Go +

    3 - 2cos2 ф

    -+ n

    2 sin2 ф

    2 (1 - cosф)

    Go +

    1+

    V V

    1 - 2cos2 ф 2 sin2 ф

    \\

    nA sinф

    A cosф cos (nO-

    sin (nO +

    JJ

    (12)

    Y * =

    Позначимо постійний доданок в (12) як

    Go

    2 (1 - cosф)

    і, висловлюючи cosф через s, отримаємо

    Y * = -.

    Даний факт свідчить про наявність ефекту мультиплікатора для рівноважного значення доходу, що повністю відповідає макроекономічної теорії [1].

    В цілому частка рішення (12) описує поведінку макроекономічного процесу (2) в умовах резонансу, зумовленого коливаннями незалежних державних витрат навколо деякого постійного значення 0о. Якщо амплітуда А цих коливань досить мала, то спостерігається повільне зростання амплітуди коливань національного доходу У. На рис. 1а, 1б представлені перехідні процеси для і (п) в дискретному часі для різних значень граничної схильності до заощадження 5 .

    Розглянута нами раніше динамічна модель національного доходу, описувана різницевим рівнянням (2), містить тільки два тимчасових запізнювання. Відповідно, властивості рішень (2) повністю визначені за допомогою коренів квадратного мультіплікаторного рівняння (3). Інакше кажучи, модель (2) генерує процес з двома зосередженими запізнюваннями.

    Подальше вдосконалення моделі динаміки доходу передбачає більш реалістичні припущення про наявність фактора запізнювання в досліджуваному економічному об'єкті. Однією з такого роду гіпотез є твердження про наявні розподілених запізнювання як на стороні споживання, так і в інвестиційній стратегії. Наприклад, споживання має запізнювання на один період часу, а наслідки інвестиційної політики проявляються через ряд тимчасових проміжків, що, в свою чергу, докорінно видозмінює динаміку доходу.

    Припустимо, що інвестиційна стратегія враховує дію попередніх т тимчасових кроків, тобто: п-1

    1п = V X (Про •

    г = п-т

    Тут ^ - вагові коефіцієнти, що враховують «внесок» кожного доданка в сумарний інвестиційних пр-

    & 1 -

    ний «портфель». Нехай все ^ = -, I = т, п - 1, тобто

    т

    має місце рівномірний розподіл інвестицій протягом т тимчасових інтервалів. Не порушуючи спільності, припустимо, що 0п = 0, і тоді різницеве ​​рівняння (2) запишеться так:

    1 / \ Уп = С-Уп-1 + - »луп-1 -УП-т-1) (13) т

    або Уп + 1 - 1С + - • Уп + - 'Уп-т = 0. (14)

    V т у т

    Різницеве ​​рівняння (14), так зване тричленне рівняння, має порядок т + 1. Відомо, що

    V V

    за умови з + - = 1 або - = 5 всі його рішення будуть

    т т

    коливальними, якщо:

    / \ Т + 1

    I т 1

    V >1--. (15)

    V т + 1У

    Для кількох перших значень т неважко отримати:

    1 ^ 2 _ ... Г2 ^ 3

    m = 1, v >| -J = o, 25, m = 2, v >| -J - o, 296, m = 3, v>| 3j = o, 316; m = 4, v = o, 327.

    s

    Мал. 1а. Дискретний резонанс при Ф1 = -, 52 = 2 Л = 0.1, О0 = 1

    4

    10

    \

    \

    Ч

    \

    7

    х

    12

    13

    14

    20

    Мал. 1б. Дискретний резонанс при Ф2 = -, 52 = 2 - >/ 3, Л = 0.1, О0 = 1

    6

    Цікаво зауважити, що при великих т число V лірующіх динамічних режимів. При цьому V,] отримаємо Мультиплікаторні рівняння:

    т

    т

    * 1

    має межа V = - ~ 0,368.

    е

    * (Т

    Очевидно, що значення параметра V > |

    т +1

    т + 1

    | Т + 1 - | т +

    (Т +1)

    т + 1

    = 0.

    (16)

    Рівняння алгебри т +1 ступеня допускає

    є розділовим для осцилюючих і неосціл- наступну факторизацию:

    т

    т +1

    т-1 т - 1 т-2 "т

    1т 1 + -1т 2 + ... + 2

    т +1

    т-3

    V

    (Т +1) т-2 (т +1)

    +

    т

    т-2

    т-1

    = 0.

    (17)

    У

    З (17) слід існування двократного кор- ню У = 0. Якщо ми відмовимося від припущення т / ш + 1

    ня М-1,2 =-- <1. Згідно з теоремою Левіна-Мея [8] Vo, то рівняння (15) перетворюється до

    т +1 V т +1)

    інші | (2 < х < т +1) по абсолютній величині формі:

    т

    менше ніж

    т + 1

    Тому всі рішення різницевого

    Уп + 1 - уп + 5 • уп-т = 0.

    (18)

    В такому випадку справедливо умова леми 3 з тео-рівняння (14) монотонно прагнуть до рівноважного зна- реми Левіна-Мея [8] про те, що всі рішення (18) асімпто-

    6

    5

    4

    3

    2

    0

    8

    6

    4

    2

    0

    6

    I.

    тично стійкі по відношенню до рівноваги Y = 0, якщо

    mn

    0<s<2cos

    (19)

    ,2 m + 1 y

    При m = 1 умова (19) має вигляд 0 <s <1. Це означає, що воно справедливо при будь-якому значенні граничної схильності до заощадження. Якщо m = 2, тоді (19)

    "(2п ^ 45-1

    дає 0 < s < cos I - I або 0 < s <-. неважко за-

    V 5) 2

    мітити, що зі збільшенням m значення s стає малим, тобто s << 1.

    В якості ілюстрації наведемо явний вид рішень різницевого рівняння (15) для m = 1,2,3:

    1) m = 1. Різницеве ​​рівняння має другий по-1

    рядок yn + 2 - yn + 1 + - • yn = 0. Очевидно що

    4

    мультиплікатори = _ і рішення є

    У (п) = (С1 + С2п) ^^^. Постійні С1, С2 визначаються за допомогою початкових умов

    У (0), У (1).

    2) т = 2. Рівняння (15) перетвориться до виду різницевого рівняння третього поряд-4

    ка Уп + 3 - Уп + 2 + 27- Уп = 0 з відпо-2 /

    ціалу Мультиплікаторні рівнянням 3 2 4

    Ц - Ц + - = 0. Структура рішення різниці-

    27

    ного рівняння представлена ​​як:

    y (n) = (q + з 2 n) (|) + з 3 (- ±

    Тут, як і раніше, С1, С2, С3 залежать від початкових умов у (0), у (1), у (2) .

    3) т = 3. В даному випадку маємо рекурентне співвідношення четвертого порядку

    27

    Уп + 4 - уп + 3 + - • уп = 256

    4 3 27

    Мультиплікаторні рівняння Ц - Ц + - = 0

    256

    допускає факторизацию

    Ц-4 У2 (ц 2 + 1Ц + 16) = 0

    3 -1 ±? 73

    і має коріння Ц12 = -, Ц3,4 =---.

    Рішення рекуррентного рівняння запишеться в формі

    y (n) = (Q + C2n) | 4 I +

    f rz \ n

    +

    V3

    V 4 У

    (C3 cos (пФ) + C2 ^^^^^^)),

    де ф = -агс<? л / 2 ".

    Постійні С1, С2, С3, С4 залежать від початкових

    умов у (0), у (1), у (2), у (3).

    На рис. 2а, 2б, 2в представлені графічні ілюстрації вищенаведених рішень.

    Повертаючись до рівняння (14), представляється доцільним скористатися теоремою 5.3 з [8] про стійкість відповідного різницевого тричленого

    V V

    рівняння, вважаючи при цьому а = С + - і Ь = -. У такому

    тт

    випадку можна стверджувати, що нульове рішення (14) Асім-

    , , т +1

    птотіческі стійко, якщо і тільки якщо а <- і

    m

    1

    1) | а | - 1 <Ь<(А +1 - 2 | а | созф) 2 для т непарних,

    1

    2) | Ь - а \ < 1 і \ Ь \ < (А2 +1 - 2 | а | сої ф) 2 для т парних,

    де ф є рішення трансцендентного рівняння

    П

    sin (m +1) 6 = \ a \ • sin (mG), 0<ф<

    m +1

    Перша умова | а \ - 1 <Ь перетвориться до виду V V

    З + --- 1 <- або з < 1, що завжди справедливо. Вів-

    т т

    рої умова | Ь - a \ < 1 дає вираз

    v v т m

    < 1

    або з < 1. Тому як для парних, так і для непарних т має виконуватися нерівність:

    1

    2 _

    \ A \ -1 < Ь < (A +1 - 21 a \ cos ф) 2.

    (20)

    Припустимо, що інвестиційна стратегія «зберігає в собі» інформацію про всі попередні рішення про капіталовкладення, тобто: п-2

    1п = V ^ ф (п,?) ДУ ( »). (21)

    ?= 0

    В цьому випадку рекурентне співвідношення (2) прийме форму:

    Мал. 2а. т = 1, У0 = 0.5, У1 = 0.75

    Мал. 2б. т = 2, У0 = 0.25, У1 = 0.5, У2 = 0.75

    Мал. 2в. т = 3, У0 = 0.125, У1 = 0.25, У2 = 0.5, У3 = 0.675

    п-1

    Уп + 1 = суп + V? Ф (п, к) АУ (к). (22)

    к = 0

    Далі будемо вважати, що

    ф (п, к) = ф (п - к). (23)

    Допущення (23) дозволяє застосувати до рівняння (22) дискретне перетворення Лапласа. З урахуванням всіх необхідних властивостей 7-перетворення маємо:

    (Х-1

    V 2 1

    2-1

    z-c-vYo - Ф (г) У (г) = г (С (г) + У0).

    . 2 / У

    (24)

    Нехай g (г) = г - з - V • В (г),

    або

    де В (г) = --Ф (г). г

    Про поведінку рішень рівняння (24) будемо судити по виду нулів g (г), тобто якщо всі < 1, то У (п) асимптотично стійко.

    З теореми [9] слід явний критерій стійкості рішень рівняння (22):

    c + v

    Z B (n)

    n = 0

    < 1.

    Нерівність (25) запишемо інакше:

    Z B (n)

    n = 0

    < s,

    (25)

    (26)

    де В (п) - зворотне 7-перетворення для В (г) .

    Як приклад візьмемо В (п) = (1 - в) X

    X (вп -вп 1). Це означає, що облік вкладу більш ранніх інвестиційних рішень убуває в геометричній прогресії зі знаменником в. очевидно,

    (1 "Р) г

    що Z-перетворення дає 0 (z) = ~

    Z-P

    следо-

    ) (1-Р) (z- l)

    вательно, B (z) = -, і, відповідно,

    z-Р

    B (n) = (1 - в) (Вn ~ Рn 1). Неважко показати, що

    Z B (n)

    n = 0

    = 1 - в. Тоді з (26) отримуємо:

    v <-

    1 - в

    (27)

    Умови стійкості (27) явно демонструє зв'язок між потужністю акселератора V і граничною схильністю до заощадження 5 за допомогою динамічного мультиплікатора в .

    У наступній версії моделі (1) домовимося, що обидві стратегії споживання та інвестування матимуть розподілені в часі залежності. Не порушуючи спільності, між іншим, що питома вага минулих значень доходу буде зменшуватися в геометричній прогресії з різними знаменниками, тобто:

    Сп = з? (1-а) ап-1У (Ц

    i = 0

    n-2

    In = v (l-в) Z en-i-2AY (i), де 0<а, в< 1.

    (28)

    i = 0

    Тоді базове рівняння (1) з урахуванням тимчасового зсуву на одиницю набуде вигляду:

    n-1

    Y (n + 1) = c (l-a) Z an iY (i) +

    i = 0

    n-1

    (29)

    + V (l - в) Z Вn-i-1AY (i) + G (n +1).

    i = 0

    Після виділення доданка з Уп отримаємо:

    n-1

    Y (n + 1) = c (1-a) Y (n) + c (1-a) aZan i 1Y (i) +

    i = 0

    + V (1-в) Z Вn-i-1AY (i) + G) (n +1).

    i = 0

    Вважаючи У0 = С0, Z-перетворення (30) дає:

    А з (1-а) а v (l-р) (г-1) л

    г-з (1-а) -

    (30)

    z-a

    Y (z) = zG (z). (31)

    Скористаємося все тієї ж теоремою з [8] для з'ясування стійкості рішень (30), вважаючи

    з (1-а) а + v (l-Р) (г-1) В (г) = - +-

    z-a

    z - в

    Зворотне 7-перетворення запишеться так:

    B (n) = c (l-a) a n + v

    V в У

    (1 - в) ". Нескладно визна-

    n-1

    ділити, що

    lim Z B (k) = c + 1

    "K = 0

    / Р-1л

    V в У

    Тоді умови стійкості запишеться так:

    /

    з + V

    'В-1Л

    в

    < 1 - c (l-а). (32)

    V і У

    Умови (32) рівносильні подвійному нерівності:

    c (l -a) -l < c- ^ в ^ v < I- c (l- a) 1 - в

    або c (2 -a) - 1 <- v < 1 + ОС c.

    () В

    (33)

    Очевидно, що нерівність (33) задає обмеження на потужність інвестиційного акселератора V. Слід пам'ятати, що умова (33) є достатнім, але аж ніяк не за необхідне для асимптотичної стійкості рішень рівняння (29).

    Розглянемо дещо інший підхід до питання про стійкість рівноважного рішення (29). З рівняння (31) отримаємо:

    s

    , . z (z -a) (z-В),, y (?) - ^ - про (z), (34)

    z + plz + p2z + Pз

    де

    p1 = - (а + Р + з (1-а) + V (1-Р)), p 2 = (ар + с (1-а) Р + V (1-Р) (1 + а)), Pз = -vа (1-р).

    Необхідні і достатні умови стійкості рішень (29) визначаються співвідношеннями між коефіцієнтами знаменника (34) р1 > р 2>p 3 [8].

    + Pз | <1 + p2, ^ 2 - Pl Pз | <1 - Pз, (35) Перше нерівності з (35) виконується при будь-яких значеннях параметрів а, Р, С, V, а друге дає квадратич-

    ве нерівність по параметру v0 = v (l-Р): Р (a + c (1-а)) + (1 -АР + (1 - c) (а-а 2)) v0-av ^

    < 1-а 2 vg.

    (36)

    Ситуація істотно спрощується, якщо припустити, що а = р. Це означає, що інвестиції і споживання враховують минулі значення доходу з однаковою швидкістю. Тоді замість співвідношення (34) отримаємо:

    z (z-а)

    Y (z) =-

    -G (z),

    (37)

    z + + q2

    де q1 = - (а + с (1-а)) ^ 2 = V (1-а). З критерію Шура-Кона [8] слід:

    до! < 1 + q2 < 2.

    Згідно (38) отримуємо у (1-а) <1 або 1

    V <-

    1-а

    (38)

    (39)

    Важливо зауважити, що нерівність (39) справедливо при будь-якому значенні граничної схильності до споживання, тобто не залежить від з.

    Висновки. Таким чином, в даному дослідженні запропонований комплекс економіко-математичних моделей, що враховують специфіку макроекономічних балансів, витриманих у дусі неокейнсианства. Істотним є аналіз ефекту післядії, обумовленого «динамічною пам'яттю» про всі минулі значеннях по відношенню до справжнього моменту часу інвестиційної політики і структурі споживання. При складанні динамічних моделей економічного зростання валового внутрішнього продукту отримані функціональні рівняння специфічного типу, такі як різницеві рівняння Вольтерра. Для кожного з досліджуваних функціональних рівнянь отримані відповідні нерівності, що визначають області параметричної стійкості.

    Дані теоретичні постулати мають ясну економічну інтерпретацію, так як визначають структурні обмеження на числові значення коефіцієнта мультиплікатора і потужності акселератора, що дозволяє прогнозувати на якісному рівні поведінкові властивості макроекономічних систем, які можуть мати вплив на економічну політику держави.

    ЛІТЕРАТУРА

    1. Аллен Р. Математична економія. М.: Изд-во іноз. лит., 1963. 688 с.

    2. Барро Р., Сала-і-Мартін Х. Економічне зростання М.: БИНОМ. Лабораторія знань, 2010. 824 с.

    3. Макаров І., Менський Б. Таблиця зворотних перетворень Лапласа і зворотних Z-перетворень: Дрібно-раціональні зображення. М.: Вища шк., 1978. 247 с.

    4. Прасолов А. В. Математичні методи економічної динаміки. СПб. : Лань, 2008. 349 с.

    5. Пу Т. Нелінійна економічна динаміка. Москва-Іжевськ: НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка», 2000. 198 с.

    6. Barro R. Economic Growth in a Cross Section of Countries. Quarterly Journal of Economics. 1991.Vol. 106 (5). Р. 407-443.

    7. Duczynsti P. Capital Mobility in Neoclassical Models of Growth. American Economic Review. 2001. Vol. 90 (6). Р. 687-694.

    8. Elaydi S. An Introduction To Difference Equations. New York: Springer, 2005. 540 р.

    9. Elaydi S. Stability of Volterra difference equations of convolution type. Proceeding of The Special Program at Nankai Institute of Mathematics. Singapore: Word Scientific, 1993. Р. 66-73.

    10. Hancen R., Gory D., Prescott E. Malthus to Solow. American Economic Review. 2002. Vol. 92 (9). Р. 1205-1217.

    REFERENCES

    Allen, R. Matematicheskaya ekonomiya [Mathematical economy]. Moscow: Izd-vo inostr. lit., 1963.

    Barro, R. "Economic Growth in a Cross Section of Countries". Quarterly Journal of Economics, vol. 106 (5) (1991): 407-443.

    Barro, R., and Sala-i-Martin, Kh. Ekonomicheskiy rost [The economic growth]. Moscow: BINOM. Laboratoriya znaniy 2010.

    Duczynsti, P. "Capital Mobility in Neoclassical Models of Growth". American Economic Review, vol. 90 (6) (2001): 687-694.

    Elaydi, S. "Stability of Volterra difference equations of convolution type". Proceeding of The Special Program at Nankai Institute of Mathematics. Singapore: Word Scientific, 1993. 66-73.

    Elaydi, S. An Introduction To Difference Equations. New York: Springer, 2005.

    Hancen, R., Gory, D., and Prescott, E. "Malthus to Solow". American Economic Review, vol. 92 (9) (2002): 1205-1217.

    Makarov, I., and Menskiy, B. Tablitsa obratnykh preobrazovaniy Laplasa i obratnykh Z-preobrazovaniy: Drobno-ratsion-alnyye izobrazheniya [Table of inverse Laplace transforms and inverse Z-transformations: Fractional rational images]. Moscow: Vysshaya shk., 1978.

    Prasolov, A. V. Matematicheskiye metody ekonomi-cheskoy dinamiki [Mathematical methods of economic dynamics]. St. Petersburg: Lan, 2008.

    Pu, T. Nelineynaya ekonomicheskaya dinamika [Nonlinear economic dynamics]. Moscow; Izhevsk: NITs «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika», 2000..

    Стаття надйшла до редакції 17.04.2019 р.


    Ключові слова: ВАЛОВИЙ ВНУТРІШНІЙ ПРОДУКТ / МАКРОЕКОНОМІЧНИЙ БАЛАНС / ЕФЕКТ післядія / Інвестиційна політика / Параметричних СТІЙКІСТЬ СТАНУ РІВНОВАГИ / МОДЕЛЬ мультиплікатора-АКСЕЛЕРАТОРА

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити