Область наук:
  • Філософія, етика, релігієзнавство
  • Рік видавництва діє до: 2017
    Журнал
    Шкільні технології
    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИКА ЯК 'ЖИВЕ ЗНАННЯ' КОМПЕТЕНТНОГО ШКОЛЬНИКА'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИКА ЯК" ЖИВЕ ЗНАННЯ "КОМПЕТЕНТНОГО ШКОЛЬНИКА»

    ?МАТЕМАТИКА ЯК «ЖИВЕ ЗНАННЯ» КОМПЕТЕНТНОГО ШКОЛЬНИКА

    Дахін Олександр Миколайович,

    доктор педагогічних наук, професор Новосибірського державного педагогічного університету

    • «живе знання» • компетентність • общемислітельная діяльність • квест

    Основний сенс міждисциплінарного перенесення математичного досвіду, що робить будь-яке знання «живим», а учня компетентним, підкреслимо словами Д. Пойа: «Найкращі правила мислення не можна отримати якось ззовні, їх потрібно виробити так, щоб вони увійшли і в плоть, і в кров , і діяли з силою інстинкту. Тому для розвитку мислення дійсно корисним є тільки його вправу »[1, с. 74].

    вання психіки в найзагальнішому сенсі означає включеність всіх психічних актів (процесів, функцій, функціональних органів - новоутворень, персональних конструктів та ін.) в культурний контекст життя і діяльності індивіда. Як засоби виступають артефакти: знаряддя праці, начиння, знаки (в тому числі іконічес-кі), слова (мова), символи, упредметнені смисли і цінності, міфи, культура в цілому »[5, с. 6].

    Однак самі вправи бувають різними, тому є сенс визначити різницю між прийнятої в біхевіоризмі формулою навчання «стимул - реакція» і вільним навчальним процесом, тобто «Акцією». Перша опосередкована і визначається в основному зовнішнім педагогічним впливом. Математика як навчальна дисципліна знайома з такими явищами, припустимо, через застосування стандартних алгоритмів або типових прийомів для вирішення завдань. Друга - активна позиція - зумовлена ​​внутрішньою культурою школяра як суб'єкта навчання. Ось тут математичний ін-сайт, якщо так можна висловитися, надасть неоціненну послугу при формуванні високої компетентності школяра, що творить власний світ культури. Назвемо таку компетентність общемислітельной, але охарактеризуємо її пізніше.

    У педагогічної психології питання внутрішнього опосередкування викликає інтерес уже з часів Едварда Толмена, що застосував в 1948 році «проміжні змінні» для ефективних дидактичних побудов своїх знаменитих когнітивних карт.

    Однак В.П. Зінченко, характеризуючи процес успішного присвоєння учням соціального досвіду, вважає, що «опосередковує-

    Дана стаття - спроба уявлення автором таких коштів на матеріалі геометрії (якщо точніше, то планіметрії), яка і є «мова» для новоутворень, нехай в вузькоспеціальної сфері, але претендує на включеність в общемислітельную компетентність (культуру?) Того, хто навчається. Справа в тому, що педагогічні засоби математики як навчальної дисципліни далеко не вичерпані для вирішення, не побоюся цього слова, виховної завдання. Далі, за законами жанру, має слідувати багатозначне «але». Так і зробимо. Але шкільна математика орієнтована на вирішення специфічних, не завжди практичних, малопридатних для життя завдань. Постараємося частково зняти цю прогалину хоча б засобами однієї статті, наскільки це, звичайно, можливо.

    В освітньому стандарті предметної області «Математика та інформатика» прямо сказано про цільових орієнтирах цих дисциплін, що включають сформованість уявлень про математику як частини загальнолюдської культури, а також як про універсальну мову науки, що дозволяє описувати і вивчати реальні процеси і явища [6]. Але обсяг математичних знань досить великий, тому на першому етапі бажано познайомити школяра зі способами такого опису, які гео-

    Ношщ ....... шиш, ....... \\ ЗТ

    метрія надає в надлишку, приводячи в захват не тільки сучасного школяра, але і колись А.С. Пушкіна, що спіткало істинний сенс освіти без будь-якого державного освітнього стандарту.

    Про скільки нам відкриттів дивних Готують просвіти дух І Досвід, син помилок важких, І Геній, парадоксів друг.

    Перейдемо до опису заявленого «живого знання», що знаходиться, на думку великого російського поета, в певній родинних стосунків з досвідом важких помилок. У контексті даної статті «живе знання» на кшталт общемислітельной компетентності учня. Зауважимо, що при введенні понятійно-інформаційного апарату, використовуваного при описі общемислітельной діяльності школярів, у будь-якого учасника часто виникає спокуса провести аналітичний огляд найбільш часто зустрічаються понять дидактики, близьких до компетентності, і, зіставивши їх, «ощасливити» російське учительство ще одним - власним - визначенням общемислітельного досвіду (нехай буде компетентності). Судячи з усього, обійтися без посилань на визнані авторитети і на цей раз не вийде - до цього зобов'язує мета даної статті. Але для зіставлення виникає дві перешкоди (можливо, і більше). Перша пов'язана з тим, що подібна робота вже проводилася іншими авторами; друге стосується смислового навантаження: науково-педагогічні, вузько дидактичні і навіть гносеологічні терміни вживаються в різних контекстах. При цьому вони мають безліч аспектів, смислових відтінків, змістовних нюансів. Так що їх пряме порівняння не завжди коректно. Зробимо по-іншому. Відштовхуючись від нормативних вимог, закладених у федеральному державному освітньому стандарті [6], запропонуємо приклади міждисциплінарного «впливу» математики на пізнавальний досвід учня, здатного перенести його в іншу предметну сферу, орієнтовану на общемислітельную активність суб'єкта пізнання.

    Зробимо це на конкретному прикладі геометричних задач, рішення яких для нача-

    ла бажано розібрати. Це вже зроблено В.Н. Дятловим, нам достатньо скористатися міркуваннями автора і прокоментувати їх в контексті формування общемислітельной компетентності, яку ми ризикнули назвати «живим знанням», продукувати математикою [4, с. 24-26].

    завдання 1.

    У прямокутному трикутнику АВС точка М ділить гіпотенузу АС у відношенні 1: 3, рахуючи від вершини А. Відомо, що відрізок ВМ перетинає бісектрису АN в точці К так, що АК = 3, ^ = 1. Знайти сторони трикутника АВС.

    Мал. 1. Підготовчий креслення, зручний для пошуку рішення задачі

    В умови є два приводи почати побудову креслення з півкола - наявність прямокутного трикутника і бісектриси. На рис. 1 зобразимо півколо з діаметром АС, візьмемо на ній точку В і з'єднаємо її з точками А і С, отримавши прямокутний трикутник. Розділимо навпіл дугу ВС і отриману точку з'єднати з А. Таким чином ми з високою точністю зобразили бісектрису кута А. розділимо АС на чотири рівні частини і відзначимо точку М на АС. Отримавши точку К перетину AN і ВМ, подивимося, схоже, щоб відрізки АК і ^ відповідали умовам завдання. Доведеться прийняти, що для побудови правдоподібного креслення нам довелося б розташувати точку В настільки близько до точки А, що необхідні для роздумів над вирішенням завдання деталі креслення проглядалися б з працею. Тому пожертвуємо правдоподібністю заради наочності і зобразимо трикутник так, як це зроблено на рис. 2.

    Видалимо з креслення допоміжні лінії і отримаємо придатну для аналізу рішення заготовку. Зауважимо, що є трикутник з двома пересічними відрізками в ньому. Крім того, нам задано відношення довжин відрізків, на які ділиться сторона кінцем одного з відрізків. І ще, один з відрізків - бісектриса і трикутник прямо; вугільний. Поки не зовсім зрозуміло, що тут можна використовувати, хоча теорема Піфагора завжди до наших послуг. Через кінець одного з відрізків треба провести пряму, паралельну прямій, що включає інший відрізок, далі використовувати подобу з'явилися трикутників. Краще провести пряму через кінець того відрізка, про який відомо якесь відношення. У нашому випадку відомо ставлення АМ: РМ. Висловимо довжини відрізків АМ і СМ в умовних одиницях довжини, нехай АМ = х, СМ = 3х, проведемо пряму через точку М паралельно прямий АN. Отримуємо дві пари подібних трикутників:

    ^ АNC ~ ^ MDC, ^ BMD ~ ^ BKN.

    Для першого з подоб відомий його коефіцієнт, тому отримуємо:

    AN / MD = CN / CD = AC / CM = 4/3.

    Звідси, а також з умови отримуємо, що DM = 3 \ співвідношення CN: CD теж відомо. Нехай DN = y, CD = 3y.

    BD / BN = BM / BK = MD / KN = 3/1. BN = y / 2.

    16 !

    Отримали розбиття відрізка ВС на відрізки з відомими відносинами довжин.

    Як використовувати бісектрису? Згадаймо про розподіл цієї чудової лінією відповідної сторони на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам. Тоді отримуємо співвідношення:

    BN: CN = 1: 8, AB = x / 2.

    По теоремі Піфагора для трикутників АВС і ABN отримуємо:

    16х2 = х2 / 4 + 81у2 / 4; х2 / 4 + у2 / 4 = 16. х = 6; y = 2 ^ 7

    Відповідь: АВ = 3; ВС = 9/7; АС = 24.

    Тут доречно кинути узагальнюючий погляд на рішення і пошук продуктивних форм мислення, що призводять послідовно і правильно до правильної відповіді. Сам «пошук» або, як зараз модно говорити, квест (англ. Quest), відомий в педагогічній практиці ще з античних часів. Навіть в міфології поняття «квест» спочатку означало один із способів побудови сюжету -Подорож персонажів до певної мети через подолання труднощів. У нас були свої труднощі в рішенні цієї задачі і свої математичні персонажі. Перерахуємо їх.

    1. Уміння побудувати зручний креслення.

    2. Розбиття досліджуваного об'єкта (в нашому випадку трикутника) на прості форми, що містять інформацію про себе.

    3. Наявність шаблонів-заготовок, придатних для розрахунку відносин довжин відрізків. Для нашої задачі важливим виявилося властивість бісектриси трикутника.

    В принципі, цього цілком достатньо, щоб успішно здійснився освітній квест як педагогічна технологія,

    Ношщ ....... МШУ, ....... \\ ЗТ

    що включає в себе набір проблемних завдань з елементами пізнавальної діяльності і навіть рольові форми. Для виконання останніх потрібні геометричні ресурси, шаблони, вдалі додаткові побудови, які можна обговорювати, і ін. Тут вже видно наступний крок до міждисциплінарного квесту, як головоломці, зашифрованої інформації та іншому змістовному пошуку.

    Друге завдання допоможе нам зрозуміти інший вид пошукових стратегій, люб'язно наданих геометрією для збагачення «живого знання» сучасного російського школяра.

    завдання 2.

    На сторонах АВ, ВС і АС трикутника АВС взято відповідно точки K, L і М. Причому АК: КВ = 2: 3, ВL: LС = 1: 2, СМ: МА = 3: 1. У якому відношенні відрізок ^ ділить відрізок ВМ? [4, с. 35-37].

    Рішення. Зобразимо трикутник АВС, розділимо боку на відповідні частини і відзначимо на сторонах точки K, L і М. Отримаємо корисні відносини, задавши на кожній зі сторін якусь умовну одиницю виміру і висловивши довжини відповідних відрізків в цих одиницях. Нехай АМ = х, СМ = 3х, АК = 2у, ВК = 3у, ВL = z, CL = 2z (рис. 3).

    В

    Мал. 3. Трикутник з вихідними даними завдання

    Які особливості, пов'язані з даними? Треба або через кінець якогось трикутника проводити паралельні прямі, або проводити пряму, паралельну якийсь стороні, і виносити на неї подобу. Так як частки відрізків не дуже добре співмірні, мабуть, доречніше провести прямі, паралельні основі. Через вершину В проведемо пряму, паралельну АС, і нехай Е - точка Перес-

    чення прямий ^ з цієї прямої, а F - точка перетину прямої ^ з прямою АС. Отримуємо набір подібних трикутників з подібності трикутників «через точки L, К і О», тобто подоб AВЕL ~ ACFL, АА ^ ~ авке, AFMO ~ ABOE. Нехай АF = a, ВЕ = Ь. (Рис. 4). Тоді отримуємо ряд співвідношень:

    (A + 4x) / b = CL / BL = 2, а / Ь = АК / КВ = 2/3, МО / ВО = (а + х) / Ь = а / Ь + х / Ь.

    Мал. 4. Трикутник з додатковими квест-побудовами

    З першої рівності з урахуванням другого отримуємо:

    а / Ь + 4х / Ь = 2, 2/3 + 4х / Ь = 2, х / Ь = 1/3. МО / ВО = а / Ь + х / Ь = 2/3 + 1/3 = 1.

    Відповідь: МО: ВО = 1: 1.

    Обговоримо основні властивості, розуміння яких призвело до швидкого пошуку правильного рішення учнем. Такий досвід, можливо, і створить «проміжні змінні» Е. Толмена, придатні для нового геометричного квесту.

    По-перше, учням стало зрозуміло, що трикутник краще порівнювати з подібним трикутником, який можна штучно привнести на креслення, навіть якщо спочатку його там немає.

    По-друге, прямі розрахунки не завжди раціональні, вони складні для аналізу і, як правило, містять багато невідомих, що призводить до системи рівнянь з великим числом невідомих. Тому наші геометричні інсайти краще і швидко привели до відповіді. Хоча в кожному випадку необхідні свої пошуки. Тому в якості резюме наведемо рекомендації щодо вирішення дослідницьких завдань, запропоновані свого часу Рене Декарт, але не втратили своєї актуальності в епоху глобальних педагогічних інновацій. Для вирішення завдання важливо:

    - не поспішати в судженнях;

    - позбавлятися від упереджених думок;

    - робити по можливості більш повні огляди того, що зроблено попередниками;

    - кожне питання необхідно розкласти на простіші;

    - починати рішення з найпростішого, переходячи потім до складнішого.

    Дані рекомендації, звичайно, використовуються в сучасній методиці навчання математики [3, с. 34-36]. Але в кінці статті постараємося запропонувати власне бачення «живого знання», виведене з геометричною тематики.

    Як же охарактеризувати компетентність школяра, який володіє живим знанням? Для нашого розгляду підходить позиція А.Ж. Жафярова, трактує в найзагальнішому вигляді компетенцію в даній області діяльності людини як назва виду цієї діяльності, необхідного для успішного виконання завдань.

    Досягнення норми «успішності» підтверджує правильність рішення поставленої перед суб'єктом проблеми.

    Невідповідність нормі свідчить про помилковість обраного шляху, тобто некомпетентності в даній сфері, тому що компетентність - це рівень володіння суб'єктом відповідною компетенцією, що характеризує особистісні якості того, хто навчається [2, с. 17-19]. У нашому випадку це якість відноситься до здатності розчленовувати глобальну проблему на прості складові, вирішення яких відпрацьовано на технологічному рівні.

    Постараємося, модифікуючи рекомендації В.Н. Дятлова, уявити «штучний» досвід учня, виведений ним за допомогою описаних вище геометричних квестів і, на наш погляд, збагачують общемислітельную культуру школяра [4, с. 7-9]. Відразу обмовимося, що ці міркування не універсальні, а демонструють тільки «готовність» геометричного пізнавального матеріалу до такого роду дидактичним побудов. Інший автор в іншій ситуації побачить інші форми знання-розпорядження, що структурують пізнавальні здібності школяра.

    Отже, відомості, що містяться в умові завдання, бажано детально зобразити в різних знакових формах: алгебраїчної через формули і геометричній, тобто на кресленні.

    Особливості, пов'язані з даними умовами завдання, аналізуються через участь фігур в конкретних геометричних «сюжетах», визначаються характерні етюди, які впадають в очі фрагменти фігур (відрізки, дуги окружності, частини трикутників і т.п.).

    Далі слід здійснити уявний квест на один крок вперед (або кілька кроків, якщо це не складно) і отримати випливають з цього слідства. Іноді вони допомагають у вирішенні.

    Можна почати пошук з кінця. Тобто аналізувати умова, а необхідну у відповіді інформацію, яку можна отримати з якихось інших відомостей. Назвемо цей спосіб «крок назад». Чи дізнаємося ми відповідь, якщо отримаємо відомості про якісь характеристики досліджуваного об'єкта? Зрозуміло, при бажанні «крок назад» може перетворитися в невелику прогулянку, тобто заборонені і кілька зворотних ходів, якщо в цьому простежується продуктивне початок.

    І, нарешті, в будь-якому завданні, якщо вона сформульована коректно, немає зайвих даних. Розуміння цього - ще один «досвід, син помилок важких». Такого роду общемислітельная компетентність має дещо латентний характер і допомагає нам, коли, здавалося б, все пошуки вже вичерпані, а результативною ланцюжка міркувань від умови задачі до її відповіді, як і раніше немає. Тут важливо не просто механічно перечитувати умова, а вчитуючись, аналізувати, як це вже використовувалося або може бути використано ще раз. По-моєму, на цій життєствердною ноті доцільно перейти до резюме.

    Яким же властивістю володіє живе знання? Це знання, яке не підлягає нормативної фіксації, самопостроенія знання, що володіє якимось внутрішнім міфом, таємницею, дивом відкриття, якщо завгодно. Воно є предмет свого захоплення

    Ношщ ....... МШУ, ....... \\ ЗТ

    процесом пізнання, а не тільки направлено на предмет вивчення. Воно єдине і навіть єдино, безпосередньо, має властивість брати участь в самовдосконаленні. У чому можна переконатися, розбираючи зі школярами подібні завдання. ?

    література

    1. Пойа Дж. Математичне відкриття. Рішення задач: основні поняття, вивчення і викладання / Дж. Пойа. - М .: Наука, 1976. - 448 с.

    2. Жафяров А.Ж. Формування мета-предметної компетентності учнів 7-х класів в процесі інтеграції вивчення фізики і математики: уч. сел. / А.Ж. Жафяров, А.Н. Дахін, К.А. Юр'єв; під ред. чл.-кор. РАО, д-ра фіз.-мат. наук, проф. А.Ж. Жафярова; Мін-во освіти і науки РФ, Новосиб. гос.

    пед. ун-т. - Новосибірськ: Изд-во МДПУ, 2014. - 174 с.

    3. Смирнов В.А., Смирнова І.М. Як зробити вивчення теорем геометрії більш ефективним? // Математика в школі. -2017. - № 3. - С. 34-40.

    4. Дятлов В.Н. Математичні етюди для абітурієнтів, учнів, вчителів. Етюд № 9. Як навчити (ся) вирішувати завдання по планіметрії / В.Н. Дятлов. -Новосибірськ: Изд-во Інституту математики, 2015. - 112 с.

    5. Зінченко В.П. Чи потрібно подолання постулату безпосередності? / В.П. Зінченко // Питання психології. -2009. - № 2. - С. 3-20.

    6. Федеральний державний освітній стандарт середньої загальної освіти / В ред. наказу Міністерства освіти та науки Росії від 29.12.2014. -№ тисяча шістсот сорок п'ять.


    Ключові слова: "ЖИВЕ ЗНАННЯ" / КОМПЕТЕНТНІСТЬ / ОБЩЕМИСЛІТЕЛЬНАЯ ДІЯЛЬНІСТЬ / КВЕСТ

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити