Розглядаються три алгоритму управління для нелінійних об'єктів, конструювання яких обумовлено різними типами невизначеностей в описі. Всі алгоритми побудовані на єдиних принципах синергетичної теорії управління та методів управління на многовидах. Передбачається, що вихідний об'єкт заданий у вигляді системи звичайних нелінійних диференціальних / різницевих рівнянь з наявністю невідомих складових в правій частині рівнянь, що відповідають за динаміку погано формалізуються об'єкта. Наводяться приклади прикладних задач, що вирішуються на основі представлених алгоритмів.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Колесникова Світлана Іванівна


Three control algorithms are considered for nonlinear objects, the construction of which is due to different types of uncertainties in the description. All algorithms are based on unified principles of synergetic control theory and control methods on manifolds. It is assumed that the initial object is given in the form of a system of ordinary nonlinear differential / difference equations with the presence of unknown components (including unknown deterministic / stochastic perturbations) on the right side of the equations responsible for the dynamics of a poorly formalized object. Examples of applied problems, solved on the basis of the presented algorithms, are given.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2018


    Журнал

    Інформаційні та математичні технології в науці та управлінні


    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ УПРАВЛІННЯ висновки НЕЛІНІЙНОГО об'єкти з невизначеним В описі У ЦІЛЬОВЕ БЕЗЛІЧ'

    Текст наукової роботи на тему «Математичні ОСНОВИ УПРАВЛІННЯ висновки НЕЛІНІЙНОГО об'єкти з невизначеним В описі У ЦІЛЬОВЕ БЕЗЛІЧ»

    ?УДК 519.71

    МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ УПРАВЛІННЯ висновки НЕЛІНІЙНОГО об'єкти з невизначеним В описі У ЦІЛЬОВЕ БЕЗЛІЧ

    Колесникова Світлана Іванівна

    Д.т.н., професор, кафедра вищої математики та математичного моделювання, Санкт-Петербурзький державний університет аерокосмічного

    приладобудування, 190000, Санкт-Петербург, вул. Велика Морська, д. 67, літ. А,

    e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Анотація. Розглядаються три алгоритму управління для нелінійних об'єктів, конструювання яких обумовлено різними типами невизначеностей в описі. Всі алгоритми побудовані на єдиних принципах синергетичної теорії управління та методів управління на многовидах. Передбачається, що вихідний об'єкт заданий у вигляді системи звичайних нелінійних диференціальних / різницевих рівнянь з наявністю невідомих складових в правій частині рівнянь, що відповідають за динаміку погано формалізуються об'єкта. Наводяться приклади прикладних задач, що вирішуються на основі представлених алгоритмів.

    Ключові слова: управління на різноманітті, обурення, стохастична задача управління, аналітичний синтез стохастичного регулятора

    Цитування: Колесникова С.І. Математичні основи управління виводу нелінійного об'єкта з невизначеністю в описі в цільове безліч // Інформаційні та математичні технології в науці та управлінні. 2018. № 3 (11). С. 81-89. DOLIO.25729 / 2413-0133-2018-3-09

    Вступ. У статті викладаються результати триваючих досліджень в напрямку застосування можливостей методів управління на многовидах [2, 3, 5, 8, 10, 11, 14, 16] і, зокрема, деякого узагальнення методу аналітичного конструювання агрегованих регуляторів [3] і нелінійної адаптації [ 2]. Теоретична і практична цінність цих методів полягає в успішності вирішення ряду технічних (наприклад, [2, 3]) і економічних завдань [6, 12].

    Метою цієї роботи є деяке узагальнення обговорюваних методів для побудови системи управління з двома відмінними від розглянутих раніше (наприклад, [2]) видами невизначеності. Структура роботи наступна:

    1) виклад принципів побудови алгоритму на многовидах для об'єкта, схильного детермінованим перешкод невідомого характеру з обмеженим зміною;

    2) побудова алгоритму управління для об'єкта, частина функціонального опису якого невідома;

    3) виклад алгоритму управління для дискретного об'єкта зі стохастичною складовою в описі, що мінімізує дисперсію вихідної змінної.

    Рішення всіх поставлених завдань засноване на принципах управління на многовидах (див. Огляд [8]). Коротко основна суть методів управління на многовидах [3] реалізується наступними положеннями.

    1. Припущення щодо опису об'єкта управління. Перерахуємо коротко вхідні умови і вимоги до властивостей синтезованого алгоритму конструювання управління на многовидах.

    А. Використовується поняття інваріантів, під якими розуміють деякі стійкі закони поведінки в сталому режимі об'єкта управління (наприклад, стійкий баланс між двома або більше змінними, стабілізація змінної в околиці заданого значення та ін.).

    Б. Опис безперервного об'єкта управління має вигляд:

    де Хен "- вектор станів, і е т<п, - вектор управління, - безперервна

    нелінійна вектор-функція, гет ^, до<т - вектор збурень. Назвемо такі опису

    об'єктами управління з невизначеністю 1-го типу. Сюди ж відносяться дискретні об'єкти з відповідною заміною похідних різницевими рівняннями (див. Нижче (3)). Опис дискретного об'єкта управління має вигляд:

    _ (2)

    =, -, хп, 7 = так + 1, і,

    де Л 'е М "- вектор станів, і е т<п, - вектор управління, /е./?і - безперервна нелінійна вектор-функція, причому частина опису /, 7 = 1, т є невідомою. таке

    опис породжує об'єкти управління з невизначеністю 2-го типу. Опис дискретного об'єкта управління має вигляд:

    = Х, (0>->* "(0 *, (0, -, *" (0

    де Хея "- вектор станів, і ет<п, - вектор управління, / ея "-нелінейная вектор-функція; до<т - вектор збурень (можливо випадкових). Якщо - вектор

    детермінованих збурень, а / еТ? "- відома вектор-функція, то (3) відноситься до 1-го типу об'єктів; якщо гет ^, до<т - вектор випадкових збурень, то назвемо такі об'єкт (3) об'єктом управління з невизначеністю 3-го типу.

    В. Математично описується конструкція так званого інваріантного

    різноманіття в вигляді 1 | / I = 0, де Хея "- вектор станів, х ^ еТ? ™, т<п - цільова

    макропеременная, поведінка якої при / ^ до і визначає інваріант для об'єкта. Важливо зауважити, що в теорії управління на многовидах, зокрема в методі аналітичного конструювання агрегованих регуляторів (АКАР) розмірності векторів макропеременной і управління повинні збігатися (СНТ (\ | /) = СНТ (і)). цінність завдання

    конструкції \\} х - 0 (до початку синтезу системи управління) полягає в

    цілеспрямованому обліку бажаних фізичних властивостей об'єкта управління [7].

    Г. Використовувані моделі збурень 2 {1)<г 'в рівняннях об'єкта такі, що характер поведінки функцій не тягне порушення припущення В; тут обурення в описі об'єкта входять в рівняння, що містять управління.

    Д. Передбачається, що управління в просторі станів, здатне забезпечити глобальну стійкість системі диференціальних (різницевих) рівнянь, що задовольняє цілі у х = 0 існує, вирішення цієї системи обмежені і має місце принципова стабилизируемого траєкторій вихідної моделі стану об'єкта.

    Е. Потрібно знайти закон управління і (х (^)), що забезпечує переклад об'єкта управління з довільного початкового стану хо е X з області фазового простору в заданий безліч станів х: х - 0 і його подальшу стабілізацію в ньому.

    Слід зауважити, що початковий стан х0 може належати і області нестійкості об'єкта. Тоді задача управління буде полягати в стабілізації

    об'єкта в околиці безлічі у х - 0. У загальному випадку ставиться завдання виведення об'єкта

    в потрібне безліч станів, можливо,

    Ж. Постулюється функціонал якості, глобальний мінімум якого повинен бути забезпечений потрібним законом зміни (векторної) керуючоїзмінної

    А А А "

    і х t = щ ..., ит (верхній індекс вказує, що алгоритм визначення управління відповідає базовому методу АКАР):

    зі ffi оо т

    ФС = 1 Е V / 2 t + rftf t dt min> Ф /) = ЗЗ t + Av | i] t min, (4)

    0 / = l / = 0 7 = 1

    для безперервної і дискретної завдань управління, відповідно [3].

    Вид функціоналів (4) такий, що, по-перше, узагальнюючи класичний квадратичний, він відображає вимоги фізичної теорії управління [7], оскільки містить інформацію про мету управління, сформульованої «користувачем» конструируемого регулятора; по-друге, шукані закони управління можна шукати на рішеннях (див. результати теоретичної механіки, наприклад роботи А.С. Галиуллина, Н.П. Еругіна [1]) рівнянь

    Ейлера-Лагранжа югл | / г-+ = 0, i = l, m, + = t> 1, для безперервного і

    дискретного функціоналів якості, відповідно. Як відомо [1, 3], рішення цих рівнянь є екстремалами для (4). Тому справедливий наступний результат.

    Теорема 1. Для детермінованих нелінійних багатовимірних об'єктів (1) - (3) в

    умовах відсутності невизначеностей в описі (^, / = 1, п - відомі, г ^ /) = 0, / = 1, від) управління, що забезпечують глобальний мінімум функціоналом Фс, Ф ^, задовольняють рівнянням Ейлера-Лагранжа + = 0, + 1) + Ал | /? (^) = 0, < 1, ^ > 1, / '= \, т ,

    відповідно для безперервної і дискретної завдань управління.

    Розглянемо тепер в вищенаведених припущеннях (умови А-Ж) типові формулювання постановок погано формалізуються (неповно певних) завдань управління і покажемо, що конструювання управління для частково невизначених об'єктів можливо на тих же принципах (з позицій синергетичної теорії управління).

    2. Постановка і рішення нелінійної задачі управління з детермінованими збуреннями. Для визначеності викладемо принципи нелінійної адаптації для об'єкта

    (1), і відповідний алгоритм конструювання управління умовно назвемо алгоритмом 1 (дискретний варіант детально розглянуто в [5]).

    Основні положення алгоритму нелінійної адаптації на многовидах (див.,

    наприклад, [2]) наступні:

    • перетворення вихідної системи (1) в замкнуту за рахунок додавання фазових змінних г \ = у, у} =., = П +1, п + т, де функції /. пропорційні

    відповідним макропеременним: = Л / іД ^ СО); ця процедура призводить до

    розширенню фазового простору;

    • до замкнутій системі застосовується класичний АКАР.

    2.1. Приклад синтезу системи управління за алгоритмом 1. Нехай п = 2 в (1). тоді

    схематичне уявлення логіки синтезу регулятора полягає в наступних діях:

    x2 = f2 + u + z.

    = A, * 2 = f2 + u + z, 'z = т (\ | /, T | = const > 0, Vi ->0 =>v | / + Az->0 => • v | / j = \\ i + kz, z = r | \ j / = -r \ kz => z -> 0 (5)

    ^ "F 2 2. 2 ^ V 0.

    Oj = I Ц1г t + cOj v | / j dt,

    і: tOjVj / j t + v | / j t = 0.

    Перша система в (5) представляє вихідну постановку задачі; друга система реалізує принцип розширення фазового простору з введенням проміжної макропеременной виду ц / j = vj / + kz, к = const > 0 і рішенням варіаційної задачі Ф; - "min

    при обмеженні M / ^ Vi -0. В результаті буде отримано управління і,

    забезпечує і досягнення мети у = 1 | / хх, х2 = 0, так як vj / j -> 0 ц / + kz -> 0 і з

    рівняння розширеної системи z = г | \ | / слід z - »0, але тоді і \\ i -> 0.

    3. Постановка і рішення нелінійної задачі управління з частково невідомим описом. Розглядається об'єкт (2). У цьому випадку передбачається, що

    про

    існують оцінки /, / = \, т невідомих описів /, / = \, т, причому навіть досить

    грубі, отримані, наприклад, за алгоритмами Machine Learning, або як верхня межа

    зміни правих частин / = \, т (при найгірших значеннях параметрів).

    3.1. Основні кроки алгоритму 2. Конструювання управління має в цьому випадку наступні етапи [4, 5, 13]:

    • заміна невідомого опису fj, j = 1, m її оцінкою fj, j = \, m \

    • введення додаткових і. керуючих змінних uj = w. + / = 1, від, пов'язаних з виникаючим обуренням у зв'язку із заміною невідомого опису її оцінкою; uA - АКАР-управління для системи з описом типу (2), де замість

    невідомих частин = \, т використовуються оцінки = \, т;

    • визначення управлінь U за алгоритмом АКАР;

    • визначення управлінь і. для системи з вже знайденими управліннями иА на базі функцій Ляпунова, перебування яких для отриманої системи не становить труднощів в силу специфіки зворотного зв'язку иА .

    3.2. Приклад синтезу системи управління за алгоритмом 2. Нехай п = 2 в (2). Тоді схема синтезу регулятора буде наступною:

    ^ -. (Б)

    х2 = / 2 + і. х2 = / 2 + / 2- / 2 + і. х2 = / 2 + і + Іл.

    Перша вихідна система в (6) представляє містить невідому функцію / 2; у другій і третій системі здійснюються перетворення: заміна / 2 на оцінку / 2, уявлення і = ІА + і, де ІА - управління за методом АКАР і змінна і, призначена для компенсації збурень, що з'являються при заміні оцінку / 2 на / 2.

    Далі здійснюється АКАР-синтез для повно певної системи з вектором

    станів У \, В2 У \ = У р = / г +1 {А 5 отримане управління ІА-1В в1, в2, у використовується для декомпозиції останньої системи (6), до якої далі застосовується апарат функцій Ляпунова для знаходження і. Так, для завдання стабілізації \ | / = х1 - х10, де

    х10 заданий цільове значення, управління і визначиться з умови й = -у .

    4. Постановка і рішення нелінійної задачі управління з випадковим збуренням. Відзначимо, що всі існуючі методи на многовидах мають справу тільки з детермінованими завданнями управління. Розглянемо об'єкт з дискретним описом:

    X t + \ -F X t + U X t +% t +1 + d ~ t, (7)

    де 0<з<1, />1, ieN; F X t, U X t - нелінійна функція і управління, відповідно; t t>a ~ послідовність незалежних однаково розподілених

    випадкових величин із середнім 0 і дисперсією а2. Ставиться нове завдання стабілізації об'єкта (7) в околиці аналітично заданої множини станів Е \ | / Х {1) = 0, / е N, де \ | / -, як і раніше цільова макропеременная. Потрібно побудувати управління U X t, t е N, що переводить значення X (t), t е N в околицю ц / X (t) = 0, t - »зі і

    що забезпечує, по-перше, подальшу стабілізацію об'єкта управління в його околиці з мінімальною дисперсією величин

    X t, \\ j X t, \\ f X t +1 + X \\ j X t, t> 1 (X - параметр синтезується системи

    управління об'єктом (2); по-друге, одночасно мінімум середнього значення Е

    функціоналу Фд = V co2i | / 2 (Y) + Ai | / (V) 2 -> min .

    t = 1

    4.1. Рішення стохастичною завдання управління. Для об'єкта (7) управління, яке визначається як умовне математичне очікування U t = Е і t t - 1 t - 2

    (8)

    значенні а

    4.2. Приклад синтезу системи управління по стохастическому алгоритму. нехай

    F х t: = rX t 1 - А "/ (модель Фейгенбаума). Тоді управління, отримані згідно

    класичного АКАР (иа) і стохастическому (uAs) матимуть вигляд, відповідно:

    иа = -rX t 1-Х t + X * -X \ yt,

    uAs = -rX t 1-Х t -cX \\ j t-1 + X * ~ X + c V | / t .

    З малюнка 1 випливає, що облік характеристик шумів в стохастичною АКАР може призводити до систем управління «кращого» якості за показниками рівня шуму вихідної змінної і змінної управління (тут, в 1.5 рази по вихідних змінних і в 1.1 рази з управління). Однак, для кожного типу об'єкта управління необхідні дослідження на навчальній вибірці з метою вибору параметра системи управління X, пов'язаного з параметром зі співвідношенням: X2 - 2 + СО2 Х + 1 = 0.

    а) б)

    Мал. 1. Результати порівняльного моделювання

    Висновок. У статті розглянуто задачу досягнення об'єктом управління не окремої заданого стану, а деякого цільового безлічі станів, потрапляючи в яке, об'єкт буде мати необхідними і змістовно певними фізичними властивостями. Викладено основні положення підходів обходу трьох видів невизначеностей в описі нелінійного об'єкта: адитивно входить детермінована функція часу, невідомість частини функціонального опису, адитивно входить випадковий шум авторегресійного типу. Представлені результати чисельного моделювання підтверджують несуперечливість сконструйованих систем управління. Результати роботи передбачається використовувати в системах підтримки прийняття рішень при управлінні нелінійними об'єктами з хаотичними режимами різної прикладної спрямованості.

    Робота виконана за фінансової підтримки РФФД (проект № 17-08-00920).

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Галіулліна А.С. Зворотні задачі динаміки і завдання управління рухами матеріальних систем // Дифференц. рівняння. 1972. T. 8. С. 1535-1541.

    2. Колесников А.А. Нові нелінійні методи управління польотом. М .: Физматлит. 2013. 193 с.

    3. Колесніков А.А. Синергетика і проблеми теорії управління: збірник наукових праць / А.А. Колесніков (ред.). М .: Физматлит. 2004. 504 c.

    4. Колесникова С.І. Алгоритм синтезу системи управління багатовимірним погано формалізованих об'єктом // Известия ПФУ. Технічні науки. 2015. № 5. С. 211-220.

    5. Колесникова С.І. Система множинного управління для нелінійного об'єкта з неповним описом // Праці СПІІРАН. № 6 (55). С. 114-133.

    6. Колесникова С.І., Дубина Н.Д. Управління нелінійним економічним об'єктом третього порядку // Міжнародний техніко-економічний журнал. 2016. №4. С. 4854.

    7. Красовський О.О. Проблеми фізичної теорії управління // Автоматика і телемеханіка. 1990. №. 1. С. 3-28.

    8. Тюкін І.Ю., Терехов В.А. Адаптація в нелінійних динамічних системах. СПб .: ЛКИ, 2008. 384 с.

    9. Arcak M., Teel A., Kokotovic P. Robust nested saturation redesign for systems with input unmodeled dynamics // Proceedings of the 2000 American Control Conference. 2000. vol. 1. no. 6. Pp. 150-154.

    10. Astolfi D. Karagiannis R.Ortega. Nonlinear and Adaptive Control with Applications. Springer. 2008. 290 p.

    11. Khalil H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall. 2002. 750 p.

    12. Kolesnikova S., Mylnikova E. Application of nonlinear adaptation method for discrete economic objects // Proceedings of the 2017 International Conference on Applied Mechanics and Mechanical Automation. DEStech Publications, Inc. 2017. Pp. 349-355.

    13. Kolesnikova S.I. A multiple-control system for nonlinear discrete object under uncertainty // Optimization Methods and Software. 2018. DOI 10.1080 / 10556788.2018.1472258.

    14. Narendra K.S., Balakrishnan J. Adaptive control using multiple models // IEEE Trans. on Automatic Control. 1997. vol. 42. no. 2. Pp. 171-187.

    15. Sepulchre R., Jankovic M., Kokotovic P.V. Constructive nonlinear control. Springer Science & Business Media. 2012. 313 p.

    16. Utkin V.I. Sliding modes in control and optimization. Springer. 2012. 237 p.

    UDK 519.71

    MATHEMATICAL PRINCIPLES OF NON-LINEAR CONTROL OF OBJECT WITH UNCERTAINTY FOR DERIVATION INTO A GIVEN SET OF TARGET STATES

    Svetlana I. Kolesnikova

    Dr., Professor, Saint-Petersburg State University of Aerospace Instrumentation (SUAI) 67, Bolshaya Morskaia str., Saint-Petersburg, 190000, RUSSIA, e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Abstract. Three control algorithms are considered for nonlinear objects, the construction of which is due to different types of uncertainties in the description. All algorithms are based on unified principles of synergetic control theory and control methods on manifolds. It is assumed that the initial object is given in the form of a system of ordinary nonlinear differential / difference equations with the presence of unknown components (including unknown deterministic / stochastic perturbations) on the right side of the equations responsible for the dynamics of a poorly formalized object. Examples of applied problems, solved on the basis of the presented algorithms, are given.

    Keywords: control on manifolds, perturbations, stochastic control problem, analytical synthesis of stochastic regulator.

    References

    1. Galiullin A.S. Obratnyye zadachi dinamiki i zadachi upravleniya dvizheniyami material'nykh sistem [Inverse problems of dynamics and control problems of motions of material systems] // Differencial'nye uravnenija = Differential equations. 1972. vol. 8. Pp. 1535-1541. (In Russian.)

    2. Kolesnikov A.A. Novye nelinejnye metody upravlenija poletom [New nonlinear methods of flight control]. Moscow. Fizmatlit. 2013. 193 p. (In Russian.).

    3. Kolesnikov A.A. Sinergetika i problemy teorii upravlenija: sbornik statej [Synergetics and problems of control theory: Collected articles / edited by A.A. Kolesnikov]. Moscow. Fizmatlit. 2004. 504 p. (In Russian.)

    4. Kolesnikova S.I. Algoritm sinteza sistemy upravleniya mnogomernym plokho formalizuyemym ob "yektom [Algorithm for the synthesis of a control system for a multidimensional poorly-formalized object] // Izvestija JuFU. Tehnicheskie nauki = Izvestiya SFedU. Engineering Sciences. 2015. № 5. Pp. 211 220. (in Russian.)

    5. Kolesnikova S.I., Dubina N.D. Upravleniye nelineynym ekonomicheskim ob "yektom tret'yego poryadka [Control of nonlinear economic object of the third order] // Mezhdunarodnyy tekhniko-ekonomicheskiy zhurnal = The International Technical-Economic Journal. 2016. №4. Pp. 48-54. (In Russian .)

    6. Kolesnikova S.I. Sistema mnozhestvennogo upravleniya dlya nelineynogo ob "yekta s nepolnym opisaniyem [Multiple control system for a non-linear object with incomplete description] // Trudy SPIIRAN = Spiiras Proceedings. № 6 (55). Pp. 114-133. (In Russian.)

    7. Krasovskiy A.A. Problemy fizicheskoy teorii upravleniya [Problems of Control Physical Theory] // Avtomatika i telemehanika = Automation and Remote Control. 1990. no. 1. Pp. 328. (in Russian.)

    8. Tyukin I.Yu., Terekhov V.A. Adaptaciya v nelinejnyh dinamicheskih sistemah [Adaptation in nonlinear dynamical systems]. St. Petersburg. Izdatel'stvo LKI = Publishing house LCI. 2008. 384 p. (In Russian.)

    9. Arcak M., Teel A., Kokotovic P. Robust nested saturation redesign for systems with input unmodeled dynamics // Proceedings of the 2000 American Control Conference. 2000. vol. 1. no. 6. Pp. 150-154.

    10. Astolfi D. Karagiannis R.Ortega. Nonlinear and Adaptive Control with Applications. Springer. 2008. 290 p.

    11. Khalil H.K. Nonlinear systems. Prentice Hall. 2002. 750 p.

    12. Kolesnikova S., Mylnikova E. Application of nonlinear adaptation method for discrete economic objects // Proceedings of the 2017 International Conference on Applied Mechanics and Mechanical Automation. DEStech Publications, Inc. 2017. Pp. 349-355.

    13. Kolesnikova S.I. A multiple-control system for nonlinear discrete object under uncertainty // Optimization Methods and Software. 2018. DOI 10.1080 / 10556788.2018.1472258.

    14. Narendra K.S., Balakrishnan J. Adaptive control using multiple models // IEEE Trans. on Automatic Control. 1997. vol. 42. no. 2. Pp. 171-187.

    15. Sepulchre R., Jankovic M., Kokotovic P.V. Constructive nonlinear control. Springer Science & Business Media. 2012. 313 p.

    16. Utkin V.I. Sliding modes in control and optimization. Springer. 2012. 237 p.


    Ключові слова: УПРАВЛІННЯ НА РІЗНОМАНІТТІ /Обурені /Стохастичних задач УПРАВЛІННЯ /АНАЛІТИЧНИЙ СИНТЕЗ стохастичні РЕГУЛЯТОРА

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити