В даний час активно розвиваються багато напрямків математичного моделювання процесів переносу в середовищах, що мають фрактальну структуру. До таких відносяться різні види істотно пористих штучних і природних середовищ. Найбільша увага приділяється процесам, пов'язаним з такими середовищами, як грунт або деякі види атмосферних суспензій і газів. Тим часом, в даний час явно недостатньо розроблені питання моделювання процесів поширення в такий широко відомої (і порівняно мало вивченою) середовищі, як сніжний покрив (СП), складеної з різних типів природних фрактальних утворень (сніжинок). Вимірювання та експерименти з СП в силу ряду фізичних причин (мінливості в залежності від великої кількості фізичних факторів) призводять до значних технічних труднощів. При дослідженні і прогнозуванні властивостей СП провідну роль має відігравати математичне моделювання як елементів СП, так і процесів в ньому. У роботі пропонується чисельний підхід до моделювання середовищ, що мають фрактальну структуру, заснований на використанні результатів в двох областях: за допомогою геометричного моделювання на основі теорії грануляції прогнозується і оцінюється фрактальная розмірність СП, а за допомогою теорії переносу у фрактальних середовищах пропонується моделювання зміни характеристик СП.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Бутенков Сергій Андрійович, Жуков Анзор Людіновіч, Кривша Наталія Сергіївна, Джінаві Яссин Ахмед


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2011
    Журнал: Известия Південного федерального університету. Технічні науки
    Наукова стаття на тему 'Математичні моделі середовищ з фрактальної структурою на основі методів просторової грануляції'

    Текст наукової роботи на тему «Математичні моделі середовищ з фрактальної структурою на основі методів просторової грануляції»

    ?Бутенков Сергій Андрійович

    Технологічний інститут федерального державного автономного освітнього закладу вищої професійної освіти «Південний федеральний університет» в м Таганрозі.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    347928, м Таганрог, пров. Некрасовський, 44.

    Тел .: 88634371668.

    Завідувач науковою лабораторією; к.т.н .; доцент.

    Butenkov Sergej Andreevich

    Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University".

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

    Phone: +78634371668.

    Head of Research Laboratory; Cand. of Eng. Sc .; Associate Professor.

    УДК 681.518

    C.A. Бутенков, АЛ. Жуков, H.C. Кривша, Я .А. Джінаві

    МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ СРЕД З фрактальної структури НА ОСНОВІ МЕТОДІВ ПРОСТОРОВОЇ грануляції *

    В даний час активно розвиваються багато напрямків математичного моделювання процесів переносу в середовищах, що мають фрактальну структуру. До таких відносяться різні види істотно пористих штучних і природних середовищ. Найбільша увага приділяється процесам, пов'язаним з такими середовищами, як грунт або деякі види атмосферних суспензій і газів. Тим часом, в даний час явно недостатньо розроблені питання моделювання процесів поширення в такий широко відомої (і порівняно мало вивченою) середовищі, як сніжний покрив (СП), складеної з різних типів природних фрактальних утворень (сніжинок). Вимірювання та експерименти з СП в силу ряду фізичних причин (мінливості в залежності від великої кількості фізичних факторів) призводять до значних технічних труднощів. При дослідженні і прогнозуванні властивостей СП провідну роль має відігравати математичне моделювання як елементів СП, так і процесів в ньому. У роботі пропонується чисельний підхід до моделювання середовищ, що мають фрактальну структуру, заснований на використанні результатів в двох областях: за допомогою геометричного моделювання на основі теорії грануляції прогнозується і оцінюється фрактальная раз, -рованіе зміни характеристик СП.

    Теорія грануляції, просторові гранули; фрактали; фрактальні середовища; процеси переносу; дробові оператори; крайові задачі.

    S.A. Butenkov, A.L. Zhukov, N.S. Krivsha, Y.A. Ginawi

    MATHEMATICAL MODDELLING FOR FRACTAL MEDIUM ON BASIS OF INFORMATION GRANULATION THEORY

    There are a many different approaches to the fundamental problem of transfer processes inside the fractal structure medium, the same as porous soil and another (artificial) porous mediums like the aero silica gel etc. Meanwhile, the very usual and well known fractal medium, is not sufficiently explored and theoretically described, there are under our feet. It's the snow cower (SC),

    *

    Робота виконана за фінансової підтримки РФФД (проект № 11-01-90700-моб_ст).

    that is the mixed from very unique and similar objects - snowflakes. All measurements and explorations from SC and snowflakes are very difficult problems because of very unsteady and changeable properties of snowflakes. The leading role in the SC explorations are for the techniques of mathematical modeling of non-equilibrium processes inside the fractal medium. The very common numerical approach to geometrical modeling of fractal medium are proposed in the presented paper. Proposed approach is based on fundamental theory of information granulation and space granulation.

    Ttheory of information granulation; space granules; fractals; fractal medium; fractional operators; boundary-value problems.

    .

    свій початок від ряду фундаментальних робіт Мандельброта і ін. [1-3]. Теорія фрактальних середовищ успішно застосовується для аналізу структури і властивостей об'єктів, утворених в результаті протікання нерівноважних процесів [2], зокрема таких, як освіта сніжинок всередині хмари [4]. Виникаючі в результаті структури, такі як механічно пов'язане безліч сніжинок (сніговий покрив СП), називають кластерами. Це мимоволі виникає сукупність пов'язаних між собою частинок, коли сили взаємодії між частинками є переважаючими. Усередині кластера зберігається індивідуальність .

    якісно новими властивостями, які відсутні у окремих складових частинок. У зв'язку з дослідженнями геометрії кластерів виник новий термін -, -,. рихлість і розгалуженість.

    Говорячи про кластерні середовищах з геометричної точки зору [1], перш за все, слід відзначити наявність властивості самоподібності, тобто інваріантності щодо обраних груп геометричних перетворень [2]. Традиційний статистичний підхід при описі нерівноважних процесів заснований на існуванні параметрів «скороченого опису», що виділяються для їх опису при великих часових масштабах [6]. В результаті параметри скороченого опису системи починають повністю визначати стан системи, причому немає необхідності проводити усереднення мікроскопічної динаміки системи. Це в кінцевому підсумку призводить до розбіжним величинам в кінетичних коефіцієнтах і до яскравого прояву нелінійних властивостей, ефектів пам'яті, самоорганізації. Для таких систем також характерна відсутність локальних наближень, як по просторовим так і за часовими характеристиками [7]. При цьому фундаментально те, що відсутнє загальне інтегродиференціальних рівняння: на кожній стадії розвитку система описується різними рівняннями [8]. Складний характер просторових і часових кореляцій призводить до появи ефектів пам'яті і самоорганізації [9].

    Особливий інтерес в концепції фрактальної фізики викликає розвивається порівняно недавно підхід, заснований на використанні формалізму дрібного інтегро диференціювання [7]. Відзначимо, що незважаючи на те, що формальний математичний апарат дрібних похідних детально розвинений, їх застосування в природознавстві затримувалося відсутністю фізичної інтерпретації [10]. Як, -фекти пам'яті всередині середовища. В [11] показано, що існує проміжний етап «», -ложеніе між граничними етапами еволюції - від повної втрати до повної присутності пам'яті. При «частковому» типі еволюції проміжки часу з ефектом пам'яті утворюють безліч заходи Хаусдорфа-Безиковича [1]. Оскільки складові СП можуть мати різну розмірність (випадок мультифрактала,

    тобто фрактального безлічі, що складається з монофракталов з різними размерностями Хаусдорфа), то найбільш універсально застосування методу розмірностей Рен `ї [12]:

    Д

    = 1-2 [1п (І)) / 1п (е)],

    (1)

    1

    де 1д (е) = ----- ^ р1 - інформація Рен `ї порядку д.

    1 - д I = 1

    Зокрема, для різних значень д, ми можемо отримати:

    Д0 = Иш

    0? -0

    Д = Иш

    1

    1 - 0

    1п

    м К?) /

    Е р ° / 1п (1 / е) = 11Щ2 [1п (М (е)) / 1п (1 / е)] = Д.

    - Е р.'1п (р.-) / 1п (Vе)

    = Д ,, так як з урахуванням (1)

    I, (е) = Иш

    14 'д-0

    1п

    Е р.1

    = - Е р.'1п (р.).

    Нарешті, для д = 2 отримуємо

    Д2 = Иш

    2? -0

    1 1п 1 - 2 (м (е) ^ / (М (е) ^ / 1

    Е р.2 / 1п (V е) = Иш? ->0 1п Е р.2 / 1п (е)

    ^ | =! / /

    = Дп

    (1) , . .

    будь-яких д1 < д виконується нерівність Д% > Дд. Рівність досягається тільки в

    - . (1)

    операторів вводять функцію Г (д, г), звану статистичної сумою і яка є узагальненням заходи Хаусдорфа для мультіфракталов [13]. Кожна підмножина входить Г (д, г) зі своєю вагою р !:

    N (з

    Г (д, т) =? - Е р? $ Г.

    (2)

    , д значення т (д), що функція Г (д, г (д)) матиме кінцеве позитивне значення 0<Г (д, г (д))<го. Тоді кожному дійсному значенню д можна поставити у відповідність значення Дд, де т (д) = Дд (д -1). У цьому випадку значення розмірність Рен `ї Д0 одно розмірності Хаусдорфа Дн фрактального безлічі [14].

    У задачах моделювання важливо встановити відповідність між геометрією реального фізичного об'єкта (сніжинки) і її розмірності (2). Це завдання значно ускладнюється тим, що формально форма сніжинок унікальна і дуже складна з точки зору аналітичної геометрії [12]. У даній роботі пропонується використовувати чисельну оцінку розмірності окремих сніжинок в складі СП на основі методів теорії просторової грануляції [15,16], що дозволить в подальшому перейти до моделювання процесів переносу в подібному середовищі з фрактальної структурою [17,18].

    1. Гранульовані моделі одновимірних фрактальних структур. Згідно [15], можлива побудова дискретних моделей фрактальних структур на базових елементах Грассмана [16]. Зокрема, в [15] введена загальна модель декартовой гранули під вміщає евклідовому просторі розмірності п, за-

    м і

    даними за допомогою п +1 впорядкованої точки евклідового простору. На її основі для одновимірних гранул Ц1 і Ц2 можна записати вирази спектра заходів на гранулах за допомогою визначників миноров базового елементу в вигляді

    =

    X 1 | 2 1

    |4 1 1? 1 і | 2 1

    (3)

    Для отримання чисельного методу оцінки ФР заданого об'єкта (2) за допомогою (3) необхідно побудувати дискретну модель об'єкта, після чого розробити алгоритм обчислення необхідної оцінки [19]. Наступний малюнок зображує предфрактали, що входять в параметризрвані фрактальну структуру на прямий (типу Канторової пилу), яка може бути сконструйована для заданої розмірності (2). Для опису самоподобной структури фрактала на основі

    (1), що залежать від номера покоління І, починаючи від I = 0 (запал фрактала).

    1/3

    2/3

    L

    1/9

    2/9

    3/9

    1/3

    4/9

    5/9

    6/9

    2/3

    7/9 8/9

    9/9

    L

    1/9

    ~ Г

    2/9

    3/9

    1/3

    4/9

    5/9

    6/9

    2/3

    L

    3/9

    ~ Г

    9/9

    0 1/9 2/9 3/9 4/9 5/9 6/9 7/9 8/9

    Мал. 1. Конструювання параметризрвані моделі предфрактала на пряної

    У загальному випадку отримуємо вираз для міри (3) на одновимірному пред-фрактале типу Канторової пилу покоління? у вигляді

    Я

    до <'+1)

    м, = Е

    і = и

    до

    1

    до

    | І = 1,3,7.......

    до '

    ,..., до

    (4)

    . . -

    та в залежності від покоління I визначається параметром Р <(-1), що визначає щільність заповнення відрізка довжини Ь. Для отримання значення розмірності подібності запишемо [1]

    1п N

    Б = - ііш -

    1п Мк

    (5)

    Якщо параметри дискретної моделі Ь, К, Р обрані таким чином, що модельований фрактал є самоподібним, то для нього розмірність Хаус-Дорф-Безиковича Б = Б3 [2]. В результаті ми отримали параметризрвані дискретну модель фрактального об'єкта у вміщає просторі розмірності п = 1, що дозволяє шляхом вибору допустимих значень параметрів дискретної моделі ь К, Р побудувати всі можливі варіанти фрактальної пилу на .

    2. Гранульовані моделі на площині. Використовуючи введені в [15,16]

    про

    про

    загальні вирази для гранул під вміщає просторі довільної розмірності, ми можемо для випадку розмірності п = 2 отримати різні типи чисельних параметрезованих моделей фрактальних об'єктів. На рис. 2 зображений відомий приклад фрактальної структури, званої килимом Серпінського [1].

    Мал. 2. Конструювання параметризрвані моделі предфрактала на площині

    (Килим Серпінського)

    Для покоління f предфрактала другого порядку на площині (килим Серпінського [1]) на підставі (3) можна записати:

    0 - 1Ь

    І 2

    = I

    '= 1

    0

    ь

    до0 + 1)

    0 - 1Ь

    до0 + 1) 'ь

    1

    I

    '= 1

    до<'+1>-1

    +1

    '= 1

    до0 + 1) 0 + 1Ь

    0

    1

    до0 + 1)] Ь

    до

    Про + 1)

    до

    Про + 1)

    до

    до

    Про + 1)

    до

    до

    1

    до

    ,до

    (6)

    Використовуючи (6), ми можемо за допомогою (5) знайти чисельну оцінку (2).

    Наведемо приклад нової конструктивної моделі фрактала на площині, запропоновану в наших роботах. У зв'язку з досить складною симетрією природних сніжинок [5,20] для «підгонки» заданого геометричного фрактального

    (2) -Особисті обертальної симетрією. Цього легко домогтися, переходячи до полярної системі на площині. Мал. 3 демонструє приклад побудови елемента фрактала з 4-осьової симетрією.

    +

    Мал. 3. Конструювання моделі предфрактала в полярній системі

    Використовуючи моделі просторових гранул, запропоновані в [15], отримуємо вираз площі для предфрактала в полярній системі координат, що має параметри Ь = рп] ах і Ф = ^ п] ах у вигляді

    м

    = I

    і = 0

    - 1

    0 - 0 К 'і + 1) ф. і 0 1 V 'V' і + 2Кь 0 1 К'-1 +1 і = 0 ь К '(і + 2) ф (К - 1)' ь (К -1) 'ь

    К '(і + 2) ф ь

    К '(і + 1) ф К' К '(К - 1)' ь (і + 1) ф К '(К - 1)' ь

    К 'К' К 'К' К 'К'

    (К-1) 'ь К'Ь 0

    К 'К'

    и ф К'Ь і'ф (К-1) 'ь 1, і = 0,3,7, ..., К', ..., К ',

    К 'К' К 'К р

    (І + 1) ф К'ь (і + 1) ф (К - 1) 'ь 1

    К 'К' К 'К'

    0

    (7)

    тобто значення індексу вибору значущого відрізка одновимірного фрактального об'єкта в залежності від покоління t визначається параметромР < (К-1).

    Для чисельного методу оцінки розмірності заданого об'єкта необхідно побудувати дискретну модель об'єкта типу (4), (6), (7), після чого розробити алгоритм обчислення необхідної оцінки [12].

    3. Побудова алгоритмів обчислення розмірностей геометричних. -них моделей фрактальних структур [16,21] було запропоновано ряд алгоритмів, заснований на граничному переході (5). Так, на основі дискретної моделі (4) ми можемо записати алгоритм обчислення розмірності у вигляді

    До

    +

    К ( '+ Ч

    = ЗЗ

    (= І і = и

    я

    І = 1,3,7,...,

    К ( '+ 1)

    а-1Ь !

    К ( '+1)

    Для моделі (6) відповідно запишемо:

    До

    ...,До

    ( '+1)

    (8)

    = Е

    Е

    І = 1

    До

    Ь (І -!) ^ !

    до ( '+ 1) до (' + 1)

    я

    До

    К (, + 1> -1

    + Е

    І = 1

    К ( '+ 1) (І + 1Ь

    0

    0

    К ( '+1)

    (І - 1Ь ,

    до ( '+ 1) до (' +1)

    До І)

    + Е

    І = 1

    Я (І-1) Ь ,

    К (+1) К (г + 1)

    ( '+ 0Ь (' -0Ь !

    до ( '+1) до (' +1)

    Я Я х

    до (+1) до ( '+1)

    , (7)

    , І = 1,3,7,

    До

    ..,До

    (9)

    К2 = Е

    / 0 Ь 0 Ь (К-1) 'Ь 0

    К 'К' К '

    До Е І = 0 (і + 1) Ф К 'Ь К 0 1 К'-1 ++ Е І = 0 (І + 2) Ф (К-1) Ь К' К '(І + 2) Ф Ь К 'К' 1

    (І + 2) ф Ь 0 1 (І + 1) Ф (К - 1) 'Ь (І + 1) Ф (К-1)' Ь

    V К 'К' К 'К' К 'К'

    К '

    + Е

    І = 0

    (К-1) 'Ь К'

    ТФ кь

    К 'К'

    К'Ь

    К '

    ІФ (К-1) 'Ь К' К '

    , І = 1,3,7,...,

    До

    ,..., до (+1). (10)

    (І + 1) Ф К'Ь (І + 1) Ф (К-1) '^ 1 К' К 'К' 'К'

    ,

    [19]. Складність наведених алгоритмів є кубічної [21]. Отримані з їх допомогою чисельні оцінки заходів фракталів використовуються для отримання значення розмірності подібності об'єкта за допомогою (5).

    . -нию складових снігового покриву (СП) відкривають можливості застосування методів моделювання процесів переносу на фрактальних структурах до моделювання СП і визначенню його основних властивостей в залежності від умови його формування та метаморфізму [12,21].

    На рис.4 зображені регулярні моделі СП, використовувані для побудови його математичних моделей в роботах [4] і [20]. Очевидно, що подібні моделі неадекватно відображають структуру СП і не враховують його фрактальних властивостей [10,13,14].

    Мал. 4. Регулярні геометричні моделі снігового покриву по [4] і [20]

    Наступний рис. 5 наочно представляє концепцію представлення моделі снігового покриву у вигляді фрактального кластера [21].

    Мал. 5. Модель снігового покриву як упаковки фрактальних структур

    Таке уявлення дозволяє, зокрема, легко пояснити деякі процеси ущільнення СП під дією механічних факторів (вітер, сила тяжіння) як зміна типу упаковки сферичних гранул, що включають окремі сніжинки [12]. Отримані математичні моделі, зокрема, можуть використовуватися для побудови чисельних методів знаходження значень параметрів снігового покриву, представленого фрактальної моделлю [21], а також для моделювання фрактальних структур із заданою геометрією. При цьому, на відміну від підходу, запропонованого в [22], новий підхід дозволяє параметризрвані моделі для отримання заданих значень оцінок розмірності на етапі проектування, в той час як відомий з [22] підхід заснований на модифікації відомих фрактальних структур за допомогою перетворень, що зберігають міру.

    Як об'єкт застосування отриманих фрактальних структур можливо розширення сфери застосування нових методів моделювання процесів переносу в середовищах з фрактальної структурою [6,9,10,13,14] на процеси перенесення в складі снігового покриву, які визначають зміну характеристик СП під дією водяної пари, теплового потоку та інших фізичних факторів [4,20].

    БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

    1. Мандельброт Б.Б. Фрактальна геометрія природи. - М .: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002.

    2. Смирнов Б.М. Фізика фрактальних кластерів. - М .: Наука, 1991.

    3. Vicsek T. Fractal Growth Phenomena. - Singapore: World Scientific, 1987.

    4. долів M.A., Халкечев BA. Фізика снігу і динаміка снігових лавин. - J1 .: Гідрометео-

    , 1972.

    5. Klein F. Vergleichende Betrachtungen uber neuere geometrische Forschungen. Erlangen, Germany, 1872.

    6.. . . -, 2000. - 299 .

    7. Самко CT., Кілбас A.A., Марічев (ХМ. Інтеграли і похідні дробового порядку та

    . - :, 1987. - 688 .

    8. . .

    процесів. - М., 200б.- 174 с.

    9. Бейбалаев В.Д. Математичні моделі нерівноважних процесів в середовищах з фрактальної структурою: Дисс. ... канд. фіз.-мат. наук.- Таганрог, 2009. - 136 с.

    10. Нахушева В.А. Про одну модель процесів переносу // Матеріали Міжнародного Російсько-Узбецького симпозіуму «Рівняння змішаного типу та родинні проблеми аналізу та інформатики». - Нальчик-Ельбрус, 2003. - С.142-144.

    11.. . //. - 1992.

    - Т. 90, № 3. - С. 354-368.

    12. C. ., . ., . . -

    пих обчислювальних системах з використанням методів гранулювання багатовимірних даних // Известия ПФУ. Технічні науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 213-223.

    13.. . //

    другій Міжнародній науковій конференції «Функціонально-диференціальні рівняння та їх застосування». - Махачкала, 2007. - С. 56-60.

    14.. . //

    міжнародної конференції «Нелокальні крайові задачі і споріднені проблеми

    , ». -, 2006. -. 208-209.

    15. . . -

    // 2009 (-2009) // .

    міжнародної науково-технічної конференції. - М., 2009. - С. 93-101.

    16. Бутенков CA., Жуков АЛ. Гранулювання геометричних даних в задачах автоматизованого проектування // Известия ПФУ. Технічні науки. - 2008. - № 12 (89).

    - С. 138-146.

    17. . ., . . -

    //. - 2008. -. 6.

    - . 46-54.

    18. . .

    // . . - . . .- . .

    - 2009. - Т. 1 (118).

    19.. .,. . :. -.: .

    . . - , 1989. - 432 .

    20. . ., . .

    . - .: .-, 1953.

    21.. . // -

    I « -

    , ».

    - , 2010. -. 83-86.

    22.. . . - .-:

    , 2002.- 160 .

    Статтю рекомендував до опублікування д.ф.-м.н., професор С.Ш. Рехвіашвілі. Бутенков Сергій Андрійович

    Технологічний інститут федерального державного автономного освітнього закладу вищої професійної освіти «Південний федеральний університет» в м Таганрозі.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    347928, м Таганрог, пров. Некрасовський, 44.

    Тел .: 88634371668.

    Завідувач науковою лабораторією; к.т.н .; доцент.

    Кривша Наталія Сергіївна E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    Тел .: 88634371606.

    Кафедра вищої математики; к.т.н .; доцент.

    Джінаві Яссин Ахмед E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    Кафедра вищої математики; аспірант.

    Жуков Анзор Людіновіч

    НДІ прикладної механіки і автоматики КБЦ РАН.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    - , . , . , 89 .

    .: 88662426661.

    .

    Butenkov Sergej Andreevich

    Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University".

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

    Phone: +78634371668.

    Head of Research Laboratory; Cand. of Eng. Sc .; Associate Professor.

    Krivsha Natal'ya Sergeevna

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    Phone: +78634371606.

    The Department of Higher Mathematics; Cand. of Eng. Sc .; Associate Professor.

    Ginawi Yassin Ahmed

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    The Department of Higher Mathematics; Postgraduate Student.

    Zhukov Anzor Lyudinovich

    Scientific Research Institute of Applied Mathematics and Automation Kabardino-Balkar Scientific Centre of the Russian Academy of Sciences.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    89 a, Vartanova, Nalchik, Kabardino-Balkar Scientific, Russia.

    Phone: +78662426661.

    Researcher.


    Ключові слова: ТЕОРІЯ грануляції / ПРОСТОРОВІ ГРАНУЛИ / фракталів / фрактальна СЕРЕДОВИЩА / ПРОЦЕСИ ПЕРЕНЕСЕННЯ / дробове ОПЕРАТОРИ / КРАЙОВІ ЗАВДАННЯ / TTHEORY OF INFORMATION GRANULATION / SPACE GRANULES / FRACTALS / FRACTAL MEDIUM / TRANSPORT PROCESSES / FRACTIONAL OPERATORS / BOUNDARY-VALUE PROBLEMS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити