Область наук:

  • Медичні технології

  • Рік видавництва: 2005


    Журнал: Праці Міжнародного симпозіуму «Надійність і якість»


    Наукова стаття на тему 'Математичні моделі регресійного аналізу та теорії катастроф синдрому дихальних шляхів'

    Текст наукової роботи на тему «Математичні моделі регресійного аналізу та теорії катастроф синдрому дихальних шляхів»

    ?Жакот А.Д., Острейковскій В.А., Челнокова Є.В. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ регресійний аналіз ТЕОРІЇ КАТАСТРОФ СИНДРОМУ ДИХАЛЬНИХ ШЛЯХІВ

    Протягом останніх двох десятиліть в рамках досліджень по штучному інтелекту формувалося самостійний напрям-інженер знань і його розділ «Інтелектуальні інформаційні системи» (ІВС). У завдання цього напрямку входять дослідження і розробка програм (пристроїв), що використовують знання і процедури логічного висновку для вирішення завдань, які є важкими для людей - експертів. ІВС можуть бути віднесені до систем штучного інтелекту загального призначення, т. Е. Системам, які не тільки виконують задані процедури, але на основі метапроцедур пошуку генерують і використовують процедурні знання для вирішення нових конкретних завдань.

    На практиці ІВС використовуються, перш за все, як «системи - порадники» в тих ситуаціях, де фахівець сумнівається у виборі правильного рішення. Експертні знання, що зберігаються в пам'яті системи, більш глибокі і повні, ніж відповідні знання користувача.

    Придбання знань є одним з вузьких місць процесу розробки ІВС. Так як інженер по знаннях має набагато менше знань про предметну область, ніж експерт, то виникають проблеми взаємодії, які перешкоджають процесу перенесення досвіду експерта в обчислювальну програму.

    Одним із способів отримання нових знань є обробка досвіду експертів і даних моніторингу об'єкта за допомогою відповідного математичного апарату.

    На даний момент у відділенні реанімації новонароджених прийняття рішень, пов'язаних з постановкою діагнозу і подальшого лікування, приймається на рівні використання особистого досвіду лікарів відділення. Ухвалення рішення лікарями відділення - одна з найбільш критичних областей діяльності відділення, так як невірне рішення може привести до погіршення стану пацієнта або навіть до його загибелі. Зменшення показників смертності новонароджених можна домогтися шляхом впровадження ІВС, що дозволяють в критичних ситуаціях оцінити становище об'єкта управління і допомогти в ухваленні рішення на основі як особистого досвіду лікаря, так і на основі бази знань, що має в своєму складі структуровані знання з предметної області.

    Використання таких систем, як: порадники, системи прийняття рішень, експертні системи,

    полегшать завдання оперативного встановлення діагнозу та прийняття рішення для ефективного лікування з метою зменшення ризику летального результату і наступних за випискою ускладнень.

    У статті [1] наведені лінійні багатофакторні моделі оксигенотерапии респіраторним дистрес-синдромом новонароджених.

    Метою даної статті є пошук математичних моделей другого порядку з урахуванням квадратичних ефектів за допомогою методів теорії катастроф і багатовимірного регресійного аналізу стосовно до хворих з синдромом дихальних шляхів.

    Характеристика предметної області.

    У структурі перинатальної захворюваності і смертності респіраторний дистрес-синдром новонароджених (РДСН) займає провідне місце. У повсякденній практиці РДСН встановлюється як самостійний діагноз.

    Терміни синдром дихальних шляхів (СДР) і хвороба гіалінових мембран (БГМ) в зарубіжній літературі синоніми. СДР є більш загальним терміном на відміну від РДСН, так як є синдромом, що спостерігається як у доношених, так і недоношених дітей, РДСН ж можна віднести до недоношеним. Частота розвитку СДР залежить від ступеня недонашивания вагітності.

    В даний час не існує остаточно встановленого методу лікування РДСН. Всі терапевтичні заходи носять симптоматичний характер і зводяться лише до підтримання життєдіяльності організму. Їх безпосередніми цілями є: забезпечення ефективної

    вентиляції легенів, корекції порушень кислотно-лужної рівноваги, забезпечення оптимальної температури навколишнього середовища і підтримки нормального рівня кров'яного тиску. Для часткового або повного заміщення функції зовнішнього дихання у хворих, що знаходяться в критичних станах застосовується штучна вентиляція легенів (ШВЛ). Вона може бути контрольованою - коли всі параметри вентиляції задаються респіратором, або допоміжної - коли хоча б один з параметрів (наприклад, частота дихання) визначаються пацієнтом. З допоміжних режимів ШВЛ найбільш поширеним в педіатричній практиці є режим, при якому апарат забезпечує встановлену кількість контрольованих вдихів, між якими хворий може дихати самостійно.

    При побудові рівнянь множинної регресії основним етапом є відбір найбільш істотних факторів, що впливають на результуючий ознака. На основі дослідженої предметної області були виділені основні керуючі і контрольовані параметри, між якими необхідно встановити залежності.

    Основним вражаючим чинником СДР є гіпоксія (кисневе голодування). Рух газів в організмі відбувається в результаті різниці парціальних тисків. Парціальний тиск - це та частина тиску, яку становить даний газ із загальної суміші газів. Зниження тиску О2 в тканини сприяє руху кисню до неї. Для СО2 градієнт тиску спрямований у протилежний бік, і СО2 з повітрям, що видихається йде в навколишнє середовище. Вивчення фізіології дихання фактично зводиться до вивчення цих градієнтів і того, як вони підтримуються.

    Парціальний тиск кисню (РаО2) є основною рушійною силою кисню до тканин і основним контрольованим параметром.

    Середній тиск в дихальних шляхах (МАР) є інтегральним показником, що відображає вплив таких параметрів вентиляції, як піковий тиск вдиху, позитивний тиск в кінці видиху, час вдиху, час видиху, а також швидкості газотока. Величина МАР моніторіруется більшістю сучасних апаратів ШВЛ.

    Величина МАР - один з найбільш інформативних показників ШВЛ. МАР прямо корелює з рівнем оксигенації крові, тобто чим вище МАР, тим вище РаО2. З іншого боку, підвищення МАР

    збільшує небезпеку негативного впливу на гемодинаміку. Змінюючи параметри вентиляції, лікар повинен подумати, перш за все, про те, як це відіб'ється на МАР.

    Дуже важливим параметром є фракція кисню FiO2. Він показує процентний вміст кисню в повітряній масі, яка подається дитині для дихання. FiO2 може змінюватися в межах від 21% (норма) до 100%.

    Основним показником гемодинаміки хворого є: частота серцевих скорочень (ЧСС), і

    середній тиск в крові (АДср). За даними параметрами ведеться постійний моніторний контроль.

    Величина ^ O2 визначає значення тиску кисню в артеріальній крові, виміряний неінвазивним черезшкірним методом. Тому для статистичних досліджень оцінки стану пацієнта експертним шляхом були обрані наступні параметри: ТсРО2 (парціальний тиск

    кисню), FiO2 (фракція кисню), МАР (середній тиск в дихальних шляхах), ЧСС (частота серцевих скорочень), АДср (середній тиск в крові).

    Шляхом аналізу предметної області та експертного опитування фахівців-лікарів був зроблений висновок, що найбільш важлива змінна, яка може бути залежною змінною (відгуком) в регресійному аналізі - це парціальний тиск кисню (ТсРО2), виміряний за допомогою транскутарного моніторингу. Крім ТсРО2 в якості залежних змінних можуть бути використані також параметри штучної вентиляції легенів: МАР або FiO2, значення яких встановлюються

    лікарями в процесі лікування хворих.

    Для збору статистичних даних використовувалися історії хвороб пацієнтів з РДС-синдромом. Дослідження проводилися за двома групами пацієнтів по результату хвороби: померлі і вижили.

    Так як РДС вражає 8 0% випадків недоношених дітей, і випадки виникнення РДС у доношених дітей рідкісні, і, як правило, не приводять до смертельного результату, дослідженню піддалися недоношені діти з терміном гестації від 26 до 39 тижнів. Вік пацієнтів до 7 днів життя, так як гострий період захворювання припадає на 2 - 3 день. Середній час перебування дітей на ШВЛ 5 днів.

    Всі діти перебували на ШВЛ. Так як облік параметрів у відділенні проводиться щогодини, в дослідженні була збережена така дискретність.

    Обсяг зібраного статистичного матеріалу наведено в табл 1.

    Таблиця 1

    ГPУППA вижили ГPУППA УMЕPШІX

    Число пацієнтів 19 9

    Число вимірювань 952 394

    Побудова рівнянь регресії

    Для цілей дослідження були використані наступні рівняння регресії: рівняння лінійної регресії

    до

    ) = Д + X ^ + в1, (1)

    i = 1

    де до, д - коефіцієнти регресії; i = 1, к - число незалежних змінних (факторів); -

    стандартна помилка.

    рівняння регресії другого порядку з урахуванням лінійних і квадратичних ефектів

    до до

    Г2 (Х) = До + X ДХ + Xдх + S2, (2)

    / = 1 / = 1

    де Ді - коефіцієнти регресії, що враховують вплив квадратичних ефектів факторів на функцію відгуку Y2 (X) .

    рівняння регресії другого порядку з урахуванням лінійних, квадратичних ефектів і ефектів взаємодії чинників

    до до до

    ) = До + X ДХ + xд, Х + X Дцх * xj + ез (3) i = 1 i = 1 i, j = 1

    де Д-j - коефіцієнти регресії, що враховують вплив взаємодії факторів на функцію відгуку

    ?3 (Х) .

    За допомогою ППП STATISTICA 6.0 були отримані значення коефіцієнтів регресії рівнянь (1) - (3) за статистичними даними ОРІТН МГБ №1 м Сургута. Для побудови лінійної моделі був використаний тип - Multiply regression, який дозволяє побудувати лінійну модель регресії. Для побудови другої моделі використовувався тип - Polynomial regression, для третьої - Response Surface Regression.

    Приймемо позначення: Y = ТсРО2, X1 = FiO2, X2 = MAP, X3 = 4 ^, X4 = АДСР. Тоді в остаточному вигляді

    рівняння (1) - (3) мають такий вигляд:

    А. Для групи вижили пацієнтів лінійна модель:

    Y (X) = 82, 87 (± 3, 457) -0, 002 (± 0, 043) X1-0, 421 (± 0, 0 91) X2 + 0, 073 (± 0, 0196) X3 - 0 , 182 (± 0, 038) X4 + 15, 61.

    (4)

    модель, що враховує лінійні і квадратичні ефекти:

    Y (X) = 96,35 (± 8,297) - 5, 44 (± 1, 028) X1 - 1, 399 (± 0, 226) X2 + 0, 141 (± 0, 082) X3 - 0, 622 ( ± 0, 24 98) X4 +

    0,051 (± 0, 0096) X12 + 0, 008 (± 0, 002) X22- 0, 0003 (± 0, 0004) X32 + 0, 004 (± 0, 002) X42. (5)

    модель, що враховує лінійні ефекти, ефекти взаємодії факторів і квадратичні ефекти. Y (X) = 98, 92 (± 17, 26) - 7, 122 (± 1, 292) X1 + 1, 232 (± 1, 858) X2 + 0, 056 (± 0, 145) X3 - 0, 756 (± 0, 347) X4 + 0, 043 (± 0, 023) X1X2 - 0, 0004 6 (± 0, 0034) X1X3 - 0, 0092 (± 0, 0104) X2X3 + 0, 0036 (± 0, 0030) X1X4 -

    0, 026 (± 0,017) X2X4 + 0,0019 (± 0, 0018) X3X4 + 0, 063 (± 0, 011) X12 + 0, 0082 (± 0, 0016) X22 -

    0, 00016 (± 0, 00040) X32 + 0, 004 6 (± 0, 0023) X42. (6)

    Б. Для групи померлих пацієнтів: лінійна модель:

    Y (X) = 47,31 (± 8, 145) - 0, 17 6 ​​(± 0, 106) Xx - 0, 172 (± 0, 0705) X2 + 0, 098 (± 0, 04 9) X3 + 0, 132 (± 0,051) X4

    +18,26. (7)

    модель, що враховує лінійні і квадратичні ефекти:

    Y (X) = 22,44 (± 22,11) - 4 6, 4 9 (± 3, 201) X1 + 1, 143 (± 0, 205) X2 + 0,315 (± 0, 334) X3 + 1,129 (± 0,219 ) X4 +

    0, 456 (± 0, 032) X12 - 0, 008 (± 0,001) X22 - 0,001 (± 0,001) X32 - 0, 009 (± 0, 002) X42. (8)

    модель, що враховує лінійні ефекти, ефекти взаємодії факторів і квадратичні ефекти.

    Y (X) = 13,84 (± 31, 24) - 83, 22 (± 13, 84) X1 + 3, 260 (± 0, 980) X2- 0, 159 (± 0, 375) X3 + 0, 337 (± 0, 554) X4 +

    0, 900 (± 0, 333) X1X2 + 0, 064 (± 0, 023) X1X3 - 0, 0092 (± 0, 0050) X2X3 + 0, 3939 (± 0, 1506) X1X4 -

    0, 0268 (± 0, 012) X2X4 + 0, 0 037 (± 0, 0 027) X3X4 + 0, 351 (± 0, 054) X12 - 0, 0097 (± 0, 0017) X22 +

    0, 00050 (± 0, 0013) X32 - 0, 0060 (± 0, 0024) X42. (9)

    Для оцінки ступеня залежності між випадковими величинами X і Y використані коефіцієнти

    2

    множинної кореляції r% Y і детермінації r% Y [2,3] cov (X, Y) _ M [(X - mx) (Y - mY)]

    rXY = ,

    aXaY aXaY

    де M-оператор математичного очікування;

    mx, m - відповідно математичні очікування і середньоквадратичне відхилення

    випадкових величин X і Y.

    У табл. 2 наведені значення коефіцієнтів кореляції і детермінації для рівнянь (4) - (9).

    Аналіз отриманих значень коефіцієнтів регресії, кореляції і детермінації дозволяє отримати наступні висновки:

    порівняння лінійної регресійної моделі, квадратичної моделі, моделі взаємодії факторів і моделі взаємодії факторів з квадратичними ефектами показує, що моделі другого порядку ближче описують залежність функції відгуку Тср02 = F {Fi02, MAP, ЧСС, АДср} від незалежних змінних, ніж моделі першого порядку; причому це характерно для обох досліджуваних груп

    пацієнтів;

    значення коефіцієнтів r і rX2Y як в лінійному випадку, так і в разі врахування квадратичних

    ефектів істотно розрізняються для груп вижили і померлих пацієнтів в 1,5 ^ 2,0 рази;

    вплив квадратичних ефектів і ефектів взаємодії на функцію відгуку в усіх моделях і обох груп пацієнтів значно нижче, ніж вплив лінійних членів;

    з розглянутих незалежних змінних найбільший внесок в функцію відгуку вносить фракція кисню FiO2;

    порівняння коефіцієнтів детермінації і кореляції у двох досліджуваних груп пацієнтів

    свідчить, що залежність між відгуком і незалежними змінними в групі померлих більш помітна, ніж у тих, що вижили пацієнтів. Це, мабуть, можна пояснити тим, що в групі померлих пацієнтів все життєві процеси протікають більш однорідно.

    Таблиця 2____________________________________________________________________________________________

    Коефіцієнт множинної кореляції r коефіцієнт детермінації 2 rX

    Група вижили лінійна модель 0,22б 0,051

    квадратична модель 0,330 0,109

    модель враховує квадратичні ефекти і взаємодія факторів 0,341 0,116

    Група померлих лінійна модель 0,193 0,371

    квадратична модель 0, Б77 0,458

    модель враховує квадратичні ефекти і взаємодія факторів 0, б8б 0,471

    Побудова моделей катастроф типу «складка» і «збірка» для пацієнтів з РДС на підставі регресійної квадратичної моделі

    В літературі [4 - 6] відсутні відомості про можливості використання функцій відгуку

    багатофакторної моделі, яка описує стан об'єкта в багатовимірної області. У даній статті зроблена спроба знаходження локальних максимумів і мінімумів, що характеризують моменти настання катастроф складки і зборки. Під катастрофою розуміється настання летального результату пацієнта.

    Як відомо, потенційна енергія Е (що характеризує стан пацієнта з РДС) аналітично має вигляд:

    для катастрофи складки

    Е (х) = 1 х3 + ах; (10)

    ак 'з'

    для катастрофи збірки

    Е і (х) = - -4 + - <е-2 + Ьх (11)

    аЬк '4 2

    де коефіцієнти а і Ь - параметри управління.

    Різноманіття катастрофи М для рівняння (10) визначається рівнянням

    0 = Е а (х) = х2 + а. (12)

    йх

    Там, де функція повної потенційної енергії має строгий локальний мінімум, об'єкт

    знаходиться в стійкому рівновазі (критична точка невирождени). При деякому погіршенні

    стану пацієнта (наприклад, при зменшенні АДср і FiO2, збільшенні ЧСС) мінімум критичної точки вироджується. Потім при подальшій малої «деформації» вироджена критична точка як структурно-нестійка розпадається на невироджені або зникає. Стан пацієнта при цьому,

    дотримуючись принципу мінімуму потенційної енергії, стрибкоподібно переходить в новий стан (втрата

    (13)

    стійкості організму з усіма витікаючими наслідками).

    Розглянемо рівняння (12), при припущеннях, що х = 1, розрахуємо коефіцієнт а

    а = Е (х)---

    3

    9 1

    Підставивши отримане значення параметра а в рівняння (13) отримаємо: ----- + Е (х) = 0 (14)

    3

    За значення Xi Ц = 1,2,3,4) візьмемо їх середнє, мінімальне, максимальне значення з огляду на розкид (зліва, справа, в центрі інтервалу).

    Таблиця 3. Група вижили

    FiO2 MAP ЧСС АДср

    Середнє 0,37 5,65 128,62 54,57

    Мінімальна 0,20 0,60 14,00 8,00

    Максимальна 1,00 13,00 189,00 93,00

    Таблиця 4. Група померлих

    FiO2 MAP ЧСС АДср

    Середнє 0,58 9,72 137,58 52,51

    Мінімальна 0,2 0,3 47 13

    Максимальна 1 20,5 182 97

    Розрахуємо значення Y, так як необхідно врахувати середнє, максимальне і мінімальне значення параметрів, а також помилки в розрахунках коефіцієнтів в рівняннях регресії (5), (8), (6), (9), отримаємо дев'ять значень Y.

    Модель, що враховує квадратичні ефекти і взаємодія факторів модель і катастрофу складки.

    Таблиця 5. Група вижили ____________________________________________________________________________

    Значення У Без урахування помилки Максимальне з урахуванням помилки Мінімальна з урахуванням помилки

    значення параметрів

    Середнє 79,49 106,23 52,74

    Мінімальна 93,26 110,73 75,796

    Максимальна 64,29 89,97 38,62

    Таблиця 6. Група померлих

    Значення У Без урахування помилки Максимальне з урахуванням помилки Мінімальна з урахуванням помилки

    значення параметрів

    Середнє -13,82 20,87 -48,52

    Мінімальна -3,18 19,08 -25,43

    Максимальна 172,63 154,72 190,54

    Побудуємо криві залежностей Тср02 (Fi02, MAP, ЧСС, АДср) для групи тих, що вижили і групи померлих. Для цього приймемо значення стандартної деформації Е (х) =? , Де Y виберемо з табл. 5 для групи тих, що вижили пацієнтів і з табл. 6 для групи померлих пацієнтів, і підставимо Y в рівняння (14). Модель, що враховує квадратичні ефекти і катастрофу збірки.

    Таблиця 7. Група вижили

    Значення У значення параметрів Без урахування помилки Максимальне з урахуванням помилки Мінімальна з урахуванням помилки

    Середнє 79,40 126,52 72,00

    Мінімальна 96,62 103,66 81,85

    Максимальна 70,89 155,06 75,10

    Таблиця 8. Група померлих

    Значення У Без урахування помилки Максимальне з урахуванням помилки Мінімальна з урахуванням помилки

    значення параметрів

    Середнє 15, 90 153,15 -68,35

    Мінімальна 17,32 84,18 -3,37

    Максимальна -13,78 247,38 -223,66

    d |? = - х4 + - ах2 + Ьх

    Складемо систему рівнянь з рівняння (11) і 0 = -Е ^ (х) = х + ах + Ь. Отримаємо ^ 4 2

    ^ - [о = х3 + ах + Ь

    Нехай Х = 1, тоді ми можемо отримати параметри а і Ь, для кожного отриманого значення Y.

    позначимо:

    Y1 - значення Y отримане при середніх Xi з негативними помилками

    Y2 - значення Y отримане при середніх Xi з позитивними помилками

    Y3 - значення Y отримане при середніх Xi з нульовими помилками

    Y4 - значення Y,. при мінімальних Xi з негативними помилками

    Y5 - значення Y,. при мінімальних Xi з позитивними помилками

    Y6 - значення, при мінімальних Xi з нульовими помилками

    Y7 - значення Y,. при максимальних Xi з негативними помилками

    Y8 - значення Y,. при максимальних Xi з позитивними помилками

    Y9 - значення, при максимальних Xi з нульовими помилками

    Тоді для катастрофи типу збірка маємо:

    для групи тих, що вижили:

    В

    Y1 = 72. 00, a = - 143. 50, b = 14 2. 50

    Y2 = 126 .50, a = -252 .50,. b = 251 .50

    Y3 = 7 9. 9 3 a = - 158. 28, b = 15 9. 28

    Y4 = 81, 5 8 a = - 163. 0 2 b = 162. 20

    Y5 = 103 6 6 a = -206 2 8. b = 205 2 8

    Y6 = 96, 2 6 a = - 192, 4 7 b = 191, 74

    Y7 = 75, I-1 Про a = - 149. 0 7 b = 14 8. 70

    Y8 = 155 6 0 a = -309 2 6. b = 3 0 8 2 6

    Y9 = 70, 9 8 a = - 141, 8 2 b = 14 0, 28

    якост стве прикладу на ри с. 1 - 4

    чення Y1, Y2, і Y3

    для групи померлих

    Y1 = -68,35, a = 137,2 0, b = -138,20 Y2 = 153,15, a = -305,80, b = 304,80 Y3 = 15,90, a = -31,30 , b = 30,30 Y4 = -3,37, a = 7,24, b = -8,24 Y5 = 84,18, a = -167,86, b = 166,86 Y6 = 17,32, a = -34,14, b = 33,14 Y7 = -223,66, a = -446,82, b = 445,82 Y8 = 247,38, a = -494,26, b = 493,26 Y9 = -13,78, a = 28,06, b = -29,06

    4 наведені графічні залежності для різноманіть катастроф

    висновок

    Таким чином, в статті отримані нові результати з моделювання стану пацієнтів з респіраторним дистрес-синдромом дихальних шляхів. Використаний багатовимірний регресійний аналіз і метод теорії біфуркації з катастрофами «складка» і «збірка». Лікуючий лікар, маючи моделі типу

    виразів (4) - (9) і знаючи конкретні значення

    прогнозувати хід лікування, приймаючи необхідні заходи наведених на рис. типу 1-4.

    УЗ в1 у2

    параметрів стану хворого, може в залежності від значень характеристик,

    ! ! V й й [... 1 'ґ

    й й і / 1

    -J - J -.-- ее.

    / Ч. И І / і /

    / І j и

    > /

    / Й й

    / 1 й й г и j L

    й й

    5000 4000 3000 2000 УЗ в1 У2 /

    / /)

    / і

    L г j, 1

    і / J. /

    0 -3- j і \ V. и

    , N , ....

    /

    / /

    І /

    |5000 ^

    Мал. 1. Різноманіття катастрофи «збирання» вижили пацієнтів.

    \\ ІП

    V4- \ V- //!

    \ / / // //

    \\ '| \ ч // / / Ґ у

    * 2

    * 1

    Мал. 3. Різноманіття катастрофи вижили пацієнтів.

    Мал. 2. Різноманіття катастрофи «збирання» для померлих пацієнтів

    «Складки» для

    Мал. 4. Різноманіття катастрофи «збирання» для померлих пацієнтів.

    ЛІТЕРАТУРА

    1. Здрадовскій, Ю.І. Лінійні багатофакторні моделі оксигенотерапии хворого респіраторним

    дистрес-синдромом новонароджених / Ю.І. Здрадовскій, В.С. Мікшіна, В.А. Острейковскій. Системний аналіз і обробка інформації в інтелектуальних системах: Зб. наук. тр. каф. інформатики та

    обчислювальної техніки №2. Сургут. держ. ун-т. - Сургут: 2003. - С. 27-35.

    2. Острейковскій, В.А. Аналіз стійкості і керованості динамічних систем методами теорії катастроф / В.А. Острейковскій. - М .: Вища. шк., 2004. - 312с.

    3. Острейковскій, В.А. Економетрія. 4.II. Регресивні моделі і тимчасові ряди в економіці /

    В.А. Острейковскій, В.С. Мікшіна. -Сургут: Сургут. держ. ун-т, 2002. - 56с.

    4. Постон, Т Теорія катастроф та її застосування / Т. Постон, І. Стюарт. - М .: Світ, 1980. - 607с.

    5. Томпсон, Дж.М.Т. Нестійкості і катастрофи в науці і техніці / Дж.М.Т. Томпсон. - М .: Світ, 1985. - 254с.

    6. Арнольд, В.І. Теорія катастроф. - 3-е изд., Доп. / В.І. Арнольд. - М .: Наука, 1990. - 128с.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити