Демидов А.В. Математичні моделі для прогнозування деформації полімерних матеріалів на основі інтегральних співвідношень Больцмана -Вольтерра // Изв. вузів. Сев.-Кавк. регіон. Техн. науки. 2006. № 4. С. 35-37. Запропоновано комплекс методів аналізу деформаційних властивостей полімерних матеріалів в зоні неразрушающих механічних впливів на основі математичної моделі з нелінійно-спадковими інтегральними ядрами релаксації і запізнювання, істотно збільшує інтервали часу, навантаження і деформації, в яких здійснюється розрахункове прогнозування в'язкопружних процесів. Бібліогр. 6 назв.

Анотація наукової статті з хімічних технологій, автор наукової роботи - Демидов А. В.


Область наук:
  • хімічні технології
  • Рік видавництва: 2006
    Журнал: Известия вищих навчальних закладів. Північно-Кавказький регіон. Технічні науки

    Наукова стаття на тему 'Математичні моделі для прогнозування деформації полімерних матеріалів на основі інтегральних співвідношень Больцмана-Вольтерра'

    Текст наукової роботи на тему «Математичні моделі для прогнозування деформації полімерних матеріалів на основі інтегральних співвідношень Больцмана-Вольтерра»

    ?МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І КОМП'ЮТЕРНІ ТЕХНОЛОГІЇ

    УДК 539.434: 677.494

    МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ДЛЯ ПРОГНОЗУВАННЯ ДЕФОРМАЦІЇ ПОЛІМЕРНИХ МАТЕРІАЛІВ НА ОСНОВІ ІНТЕГРАЛЬНИХ СПІВВІДНОШЕНЬ Больцмана - Вольтерра

    © 2006 р А.В. Демидов

    Одним з важливих напрямків механіки полімерів є вивчення деформаційних властивостей полімерних матеріалів в області дії нерозривно-шує навантажень, близьких до умов їх експлуатації, за допомогою математичного моделювання процесів деформування на основі обробки експериментальної інформації. Доцільність подальшого вдосконалення методів розрахункового прогнозування напружено-деформованих станів полімерних матеріалів в зазначеній галузі виникає в зв'язку з дедалі ширшим їх застосуванням в технічних виробах. Даний фактор сприяє підвищенню значимості математичного моделювання деформаційних властивостей полімерів, оскільки нерозривно пов'язаний із завданнями з порівняльного аналізу властивостей матеріалів, з дослідженнями взаємозв'язку властивостей зі структурою, з цілеспрямованим технологічним регулюванням властивостей, а також з прогнозуванням короткочасних і тривалих механічних впливів. Вищевикладене сприяє підвищенню ефективності вирішення технологічних задач, а також створює основу для оптимізації і управління технологічними процесами.

    В даний час проведені численні дослідження в'язкопружних властивостей полімерів, в той час як велика різноманітність матеріалів доводить необхідність розробки нових методів дослідження їх деформаційних властивостей. Ускладнення структури полімерних матеріалів істотно позначається на їх вязкоупругих властивості, що обґрунтовує пошук нових математичних моделей зазначених властивостей і застосування комп'ютерних методів обробки експериментальної інформації. Створення нових методів аналізу механічних властивостей полімерів, що враховують їх складну будову, сприяє найбільш вірогідного прогнозування деформаційних процесів.

    Розвиток матеріалознавства двох останніх десятиліть націлене на прискорення автоматизації засобів контролю якості та випробування продукції з метою вирішення завдань з управління технологічними процесами. Рішення поставлених завдань нерозривно пов'язане як з вдосконаленням методів і приладів, що дозволяють моделювати в лабораторні-

    них умовах впливу, які відчувають матеріалами при їх переробці і в процесі експлуатації, так і з вдосконаленням методів аналізу і обробки експериментальної інформації на основі математичного моделювання з застосуванням комплексів програм.

    Відомі підходи до аналізу деформаційних властивостей полімерних матеріалів засновані на описі узагальнених експериментальних кривих релаксації і повзучості за допомогою нормованих релаксаційних функцій і функцій запізнювання, в якості яких найбільш часто вибирається інтегральна крива нормального розподілу за логарифмічною шкалою наведеного часу. Дані методики аналізу і прогнозування деформаційних процесів дають хороші результати при дослідженні полімерних матеріалів відносно простий макроструктури типу синтетичних ниток. Дослідження ж механічних властивостей полімерів більш складного макростроенія і виробів з них утруднено наявністю у них ускладненого спектра часів релаксації і запізнювання з огляду на накладення друг на друга елементарних спектрів, що відповідають складовим матеріал елементів.

    Ця обставина стимулювало пошук математичних моделей деформаційних властивостей на основі нових, по можливості більш простих, релаксаційних функцій і функцій запізнювання, відповідних ускладненим спектрами. При побудові теорії аналізу і обробки експериментальної інформації враховувалося як вимога до мінімального числа параметрів математичної моделі, так і їх фізична обґрунтованість, що має сприяти спрощенню вирішення подальших технологічних задач управління. Спрощення математичної моделі в'язкопружності досягається також за рахунок обліку нелінійності в інтегральних ядрах релаксації і запізнювання у вигляді завдання функцій середньостатистичних часів релаксації і запізнювання.

    Розглянемо варіант математичного моделювання вязкоупругих властивостей полімерів, побудований на основі імовірнісного розподілу Коші релак-сірующіх і запізнілих частинок [1, 2]:

    Eet - Eо - (E0 - E<*> ) Pet; DDо + (DDо)<p0t;

    1 + 1

    Pet -т + -arctg

    f

    ln-

    1 + 1

    Pot --Z + ~ arctg

    f 11 t ^ ln

    т

    (1) (2)

    (3)

    (4)

    - E про - lim E et, t ^ 0

    D0 - limDot = t ^ 0

    Б ^ = Иш Б / (- асимптотичні значення модуля

    i

    релаксації і податливості;

    - структурні параметри Іоп / і Іоп / характеризують швидкість процесів релаксації та повзучості -вказати параметри відповідають логарифму наведеного часу «полурелаксаціі» (половина процесу релаксації при деформації е відбувається в інтервалі часу (е [ ', ('], де 1п ( '/ ті) = -Ьпе,

    1п ( '/ ті) = Ьпе) і «полузапаздиванія» (половина процесу повзучості при напрузі а відбувається в інтервалі часу (/'], де 1п (( '? Т /) = -Ьп / ,

    1п ( '/ та) = Ьпа);

    - функції часів релаксації / е = 1п (ті) і часів запізнювання / аа = 1п (та), що характеризують зрушення кривих «сімейств» релаксації і повзучості вздовж логарифмічна-часової шкали містяться, відповідно, в структурно-деформаційно-часовому аргументі-функціонал [2 ]:

    де Її (- модуль релаксації; Б податливість; (-час; 1 / Ьт - параметр інтенсивності процесу релаксації; 1 / Іоп / - параметр інтенсивності процесу повзучості; ті - час релаксації (час, за яке проходить половина процесу релаксації при величині деформації ); та - час запізнювання (час, за яке проходить половина процесу повзучості при величині напруги); е = а / е - модуль релаксації; Е0 - модуль пружності; е ^ - модуль в'язкопружності; Б = е / а - податливість; Б 0 - початкова податливість; Б ^ - гранична рівноважна податливість; е - деформація; / - напруга; фе (- функція релаксації і ф / (- функція повзучості, задані у вигляді нормованого арктангенса логарифма приведеного часу (нал) [2].

    Запропонований варіант найбільш підходить для прогнозування деформаційних процесів полімерних матеріалів складного макростроенія, так як відомо, що сума випадкових величин, розподілених за нормованим законом Коші, також розподілена за цим же законом. Тобто, якщо припустити, що релаксирующие і запізнілі частки, що становлять полімер мікроструктур, розподілені по внутрішнім часів релаксації і запізнювання за законом Коші, то можна вважати, що і макро-релаксирующие і макро-запізнілі частки розподілені за цим законом.

    Безсумнівним достоїнством математичної моделі (1) - (4) є те, що вона містить мінімальну кількість параметрів, що мають ясний фізичний зміст:

    Е "= Иш Ее

    Wtt - -In-L -

    Ь ис Т з Ь ис

    f, f t ^ ln

    t,

    + ln

    f t ^

    (5)

    і в структурно-сило-часовому аргументі-функціонал

    W-

    n ot

    1

    ln

    t

    1

    f, f t ^ ln

    + ln

    f t ^

    (6)

    Відносно повільна збіжність функції НАЛ (наприклад, в порівнянні з інтегралом ймовірності) до своїх асимптотическим значенням дозволяє інтерполювати модуль релаксації Єї податливість Б в досить широкому часовому діапазоні, що дає можливість прогнозування як швидкоплинних, так і тривалих деформаційних процесів.

    Слід зауважити, що вибір нормованої функції для математичної моделі в'язкопружних властивостей полімерних матеріалів ускладнюється тим, що не можна апріорно віддати перевагу якійсь із них. Основним критерієм для відбору служить експеримент. Наявність декількох нормованих функцій для моделювання дозволяє зробити більш правильний вибір і, тим самим, підвищити надійність прогнозування.

    Дослідження в'язкопружних характеристик полімерних матеріалів на основі запропонованої математичної моделі (1) - (4) показало, що розрахункове значення модуля пружності Е 0 вище, ніж розраховане із застосуванням математичних моделей, заснованих на інших нормованих функціях, і близько до акустичного значенням ЄАК, що також фізично

    обгрунтовано, так як швидкість поширення пружних взаємодій в полімерних матеріалах близька до звукової. Змінилося в сторону зменшення і значення модуля в'язкопружності Е ^, що характеризує нижню асимптоту модуля релаксації в тривалих процесах, що, по суті, розширює діапазон релаксації. Аналогічний висновок можна зробити і про процес повзучості. Дана обставина вигідно відрізняє функцію НАЛ від раніше застосовувалися нормованих функцій релаксації і запізнювання (наприклад, інтеграла ймовірності, функції Кольрауша, гіперболічного тангенса і ін.) [1].

    Таким чином, використання нормованої функції НАЛ в якості основи математичної моделі в'язкопружності, дозволяє з достатнім ступенем точності моделювати деформаційні властивості полімерних матеріалів. Зазначене моделювання розширює деформаційно-часові і сило-

    часові межі прогнозування деформаційних процесів. Аналітичне завдання функції НАЛ і приналежність її до класу елементарних функцій спрощує диференційно-інтегральні перетворення в рамках даної математичної моделі і полегшує процес знаходження вязкоупругих характеристик.

    Прогнозування деформаційних процесів полімерних матеріалів проводиться на основі відомих інтегральних співвідношень Больцмана-Вольтер-ра для процесу нелінійно-спадкової релаксації і для процесу нелінійно-спадкової повзучості [3]:

    t

    а t = Еое t - (Ео - Е ~)! ееФм-Е40; (7)

    про

    е t = В оа t + (В Б о) Кф;, МЗ40, (8)

    з інтегральними ядрами релаксації і запізнювання, відповідними математичної моделі (1) - (6):

    ФЕ

    фс

    _ ЕФЕ

    1 + 1

    dt п bn

    1 + 1

    _ ДФС

    1 + 1

    dt

    1 + W? T '

    п bnc 1 + WCt

    (9)

    (10)

    Перевага застосування для моделювання деформаційних процесів інтегральних ядер (9), (1о), як наслідок математичної моделі (1) - (6), складається в можливості розширення області довірчого прогнозування в сторону «великих» (тривалі процеси) і в бік «малих» часів (короткочасні процеси) зі зменшенням похибки прогнозу за рахунок зниження впливу квазімгновенного фактора деформування на початку процесу [4].

    Крім того, підвищення точності прогнозування засноване на розроблених методах обчислення невласних нелінійно-спадкових інтегралів (7), (8), заснованих на нерівномірному розбитті тимчасової шкали з урахуванням специфіки розглянутого процесу [2]. Наприклад, при прогнозуванні активних (бистропротекающих) процесів, що характеризуються зростанням швидкості деформування доцільно розбиття тимчасової шкали по зростаючій геометричній прогресії - з метою найкращого врахування впливу квазімгновенного фактора деформування на початку процесу. При прогнозуванні ж тривалих процесів, що характеризуються зниженням швидкості деформування, доцільно

    розбиття на шкалі часу по спадної геометричної прогресії - з метою найкращого обліку тривалих деформаційних впливів [5].

    Розроблені методи обчислення інтеграла нелінійно-спадкової в'язкопружності (7), (8) на основі математичної моделі з функцією НАЛ випробувані на різних видах деформаційно-відновних процесів і процесів зворотного релаксації великої групи полімерних матеріалів. У всіх досліджених випадках відхилення даних, отриманих розрахунковим прогнозуванням, від даних, отриманих експериментальним шляхом не перевищує величини в 1о%, що є технічно допустимою похибкою [6].

    Таким чином, запропонований комплекс методів аналізу деформаційних властивостей полімерних матеріалів в зоні неразрушающих механічних впливів на основі математичної моделі з нелінійно-спадковими інтегральними ядрами релаксації і запізнювання, істотно збільшує інтервали часу, навантаження і деформації, в яких здійснюється розрахункове прогнозування вязкоуп-ІНШІ процесів. Запропоновано методи визначення в'язкопружних характеристик, як параметрів даної математичної моделі за результатами короткочасних випробувань в простих режимах релаксації і повзучості, методи прогнозування деформаційно-відновних процесів і процесів зворотного релаксації, а також і інших більш складних режимів деформування.

    література

    1. Сталевіч А.М. Деформування орієнтованих полімерів. СПб., 2ОО2.

    2. Макаров А.Г. Математичні методи аналізу фізико-механічних властивостей матеріалів легкої промисловості. СПб., 2ОО2.

    3. Демидов А.В., Макаров А.Г., Овсянников Д.А., Сталевіч АМ.

    Математичне моделювання вязкоупругих процесів полімерів // Укр. Санкт-Петербурзького державного університету. Серія 1о. 2оо6, № 3.

    4. Демидов А.В., Макаров А.Г., Сталевіч А.М. Варіант прогнозування деформаційних процесів полімерних матеріалів // Матеріалознавство, 2оо6, № 8.

    5. Демидов А.В., Макаров А.Г., Сталевіч А.М. Системний аналіз в'язкопружності полімерних матеріалів // Питання матеріалознавства, 2оо5, № 4 (44), С. 5о - 58.

    6. Демидов А.В., Макаров А.Г., Сталевіч А.М. Варіант математичного моделювання деформаційних процесів полімерних матеріалів // Питання матеріалознавства, 2оо6, № 3 (47), С.Ю6 - 115.

    Санкт-Петербурзький державний університет технології та дизайну

    13 листопада 2006 р.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити