Нерівномірне нагрівання? один Із факторів, что спричиняють деформації та напруженного у пружньою конструкціях. Если з підвіщенням температури ніщо НЕ перешкоджає розширенню структури, то вона деформуватіметься и жодних напруженного НЕ вінікатіме. Однако, если в конструкції температура растет нерівномірно и воно неоднорідне, то внаслідок Розширення формуються температурні напруженного. Дерло и Незалежності кроком для дослідження температурних напруженного є визначення температурного поля, что ставити основнову завдання аналітичної Теорії теплопровідності. В окремий випадки визначення температурних полів є самостійною технічною задачею, розв'язання якої допомагає візначіті температурні напруженного. Тому розроблено лінійні математичні моделі визначення температурних режімів у 3D (просторова) СЕРЕДОВИЩА Із локально зосередженімі тонкими теплоактівнімі чужоріднімі включення. Класичні методи не дають змогі розв'язувати крайові задачі математичної фізики, что відповідають таким моделям, у замкнутому виде. З Огляду на це описано способ, Який Полягає в тому, что Теплофізичні параметрів для неоднорідніх середовище опісують с помощью асиметричний одінічніх функцій як єдине ціле для всієї системи. Внаслідок цього отримуються Одне діференціальне Рівняння теплопровідності з узагальненімі похіднімі и Крайова умів только на Межов поверхнях ціх середовища. У класичному випадки такий процес опісують системою диференціальних рівнянь теплопровідності для кожного з елементів неоднорідного середовища з умів ідеального теплового контакту на поверхнях спряження та Крайова умів на Межов поверхнях. ВРАХОВУЮЧИ зазначеним вищє, предложено способ, Який Полягає в тому, что температуру, як функцію однієї з просторово координат, на боковій поверхні включення апроксімовано кусково-лінійною функцією. Це дало змогу застосуваті інтегральне превращение Фур'є до Перетворення діференціального Рівняння теплопровідності Із узагальненімі похіднімі та Крайова умів. Внаслідок ОТРИМАНО аналітичний розв'язок для визначення температурного поля в наведенні просторова середовище з внутрішнім та наскрізнім включення. Із Використання отриманий аналітичних розв'язків Крайова завдань Створено обчислювальні програми, что дають змогу отріматі Розподіл температури та аналізуваті конструкції относительно термостійкості. Як наслідок, становится можливий ее підвіщіті и ЦІМ самим захістіті від перегрівання, Пожалуйста может спричинитися руйнування як окремий елементів, так и конструкцій загаль.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Гавриш Василь Іванович, Лоїк Василь Богданович, Сінельніков Олександр Дмитрович, Бойко Тарас Володимирович, Шкраб Роман Романович


МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ АНАЛІЗУ ТЕМПЕРАТУРНИХ РЕЖИМІВ У 3D структурах з тонкими сторонніх включень

Нерівномірне нагрівання? один з факторів, який викликає деформації і напруги в пружних конструкціях. Якщо з підвищенням температури ніщо не перешкоджає розширенню структури, то вона деформується і ніяких напружень не виникає. Однак, якщо в конструкції температура зростає нерівномірно і вона неоднорідна, то в результаті розширення формуються температурні напруги. Першим і незалежним кроком для дослідження температурних напружень є визначення температурного поля, що становить основну задачу аналітичної теорії теплопровідності. В окремих випадках визначення температурних полів є самостійною технічним завданням, рішення якої допомагає визначити температурні напруги. Тому розроблені лінійні математичні моделі визначення температурних режимів в 3D (просторових) середовищах з локально зосередженими тонкими теплоактівнимі сторонніми включеннями. Класичні методи не дають можливості вирішувати граничні задачі математичної фізики, які відповідають таким моделям, в замкнутому вигляді. У зв'язку з цим описано спосіб, який полягає в тому, що теплофізичні параметри для неоднорідних середовищ описують за допомогою асиметричних одиничних функцій як єдине ціле для всієї системи. В результаті цього отримують одне диференціальне рівняння теплопровідності з узагальненими похідними і граничними умовами тільки на граничних поверхнях цих середовищ. У класичному випадку такий процес описують системою диференціальних рівнянь теплопровідності для кожного з елементів неоднорідного середовища з умовами ідеального теплового контакту на поверхнях сполучення і граничними умовами на граничних поверхнях. Врахувавши викладене вище запропонований спосіб, який полягає в тому, що температура, як функція однієї з просторових координат, на бічній поверхні включення аппроксимирована кусочно-лінійною функцією. Це дало можливість застосувати інтегральне перетворення Фур'є до перетвореному рівняння теплопровідності з узагальненими похідними і граничним умовам. У результаті отримано аналітичне рішення для визначення температурного поля в розглянутих просторових середовищах з внутрішнім і наскрізним включеннями. Із застосуванням отриманих аналітичних рішень крайових задач створені обчислювальні програми, які дають можливість отримати розподіл температури і аналізувати конструкції на термоміцністі. У слідстві постає можливим її підвищити і тим самим захистити від перегріву, яке може викликати руйнування як окремих елементів, так і конструкцій в цілому.


Область наук:

  • фізика

  • Рік видавництва: 2018


    Журнал: Науковий вісник НЛТУ України


    Наукова стаття на тему 'Математичні моделі АНАЛІЗУ температурних режімів у 3D структурах Із тонкими чужоріднімі включених'

    Текст наукової роботи на тему «Математичні моделі АНАЛІЗУ температурних режімів у 3D структурах Із тонкими чужоріднімі включення»

    ?Науковий вкнік НЛТУ УкраТні Scientific Bulletin of UNFU

    http://nv.nltu.edu.ua https://doi.org/10.15421/40280227 Article received 22.03.2018 р. Article accepted 29.03.2018 р.

    УДК 536.24

    ISSN 1994-7836 (print) ISSN 2519-2477 (online)

    Ш

    ©

    Eg] Correspondence author V. I. Havrysh Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    В. I. Гавріш1, В. Б. Ло1'к2, О. Д. Сінельтков2, Т. В. Бойко2, Р. Р. Шкраб1

    1 Нацюнальнійутверсітет "Львiвська полтехтка", м. Львiв, Украта 2 Львiвській державний утверсітет безпеки жіттeдiяльностi, м. Львiв, Украта

    МАТЕМАТІЧН1 МОДЕЛ1 АНАЛ1ЗУ температурний РЕЖІМ1В У 3D СТРУКТУРАХ 13 тонких ЧУЖОР1ДНІМІ включенням

    Нерiвномiрне на ^ вання - один iз факторiв, что спричиняють деформацп та напруженного у пружньою конструкщях. Если з тдвіщенням температури нiщо НЕ перешкоджае Розширення структури, то вона деформуватіметься i жодних напруженного НЕ вінікатіме. Однако, если в конструкцп температура зростан нерiвномiрно i воно неоднорщне, то внаслiдок Розширення формуються температурш напруженного. Дерло i Незалежності кроком для дослщження температурних напруженного е визна-чення температурного поля, что ставити основнову завдання анал ^ ічно 'теорп теплопровiдностi. В окремий випадки визна-чення температурних полiв е самостшною технiчний задачею, розв'язання яко '' допомагать візначіті температурш напруженного. Тому розроблено лшшш математічш моделi визначення температурних режімiв у 3D (просторова) середовища iз локально зосередженімі тонкими теплоактівнімі чужорщнімі включення. Класічнi методи не дають змогі розв'язува-ти крайовi задачi математично '' фiзікі, что вщповщають таким моделям, у замкнутому вигляд З Огляду на це описано спо-сiб, Який полягае в тому, что теплофiзічнi параметрів для неоднорщніх середовище опісують с помощью асиметричний одінічніх функцiй як едине щле для ші '' системи. Внаслщок цього отримуються Одне діференщальне рiвняння ТЕПЛОПРОМ-вiдностi з узагальненімі похщнімі i Крайова умів тшькі на Межов поверхнях ціх середовища. У класичному ви-падку такий процес опісують системою діференщальніх рiвнянь теплопровiдностi для шкірного з елеменів неоднорiдного середовища з умів щеального теплового контакту на поверхнях спряження та Крайова умів на Межов поверхнях. ВРАХОВУЮЧИ зазначеним вищє, предложено споаб, Який полягае в тому, что температуру, як функщю одше '' з просторово координат, на боковш поверхш включення апроксімовано кусково-лшшною функцiю. Це дало змогу застосуваті ш-тегральне превращение Фур'є до Перетворення діференщального рiвняння теплопровщност iз узагальненімі похiднімі та Крайова умів. Внаслщок ОТРИМАНО аналiтічній розв'язок для визначення температурного поля в наведенні просторова середовище з внутршшм та нас ^ зніма включення. 1З Використання отриманий аналтчніх розв'язкiв Крайова завдань Створено обчіслювальш програми, что дають змогу отріматі розподш температури та аналiзуваті конструкцп относительно тер-мостшкость Як наслiдок, зграї можливий п пiдвіщіті i ЦІМ самим захістіті вiд перегрiвання, Пожалуйста может спричинитися Руйно-вання як окремий елеменів, так i конструкцiй загаль.

    Ключовi слова: теплопровiднiсть; температурне поле; внутршш джерела тепла.

    Вступ. У сучаснш м1кроелектрошщ часто застосову-ють матер1алі з чужорвднімі теплоактівнімі включення. ШД годину нагр1вання наявшсть включень покликав-дить до Виникнення неоднорвдного температурного поля, что спричиняв термофотопружній ефект, Який полягае у появ1 двопроменезаломлення у структурах. Явіще термофотопружного ЕФЕКТ Виявлено довол1 давно, но воно 1 доа е малодослщженім. Для Вивчення цього яви-ща Використовують в експеримент як значш температурш град1енті, так 1 абсолютш значення температури.

    У сучаснш оптічнш техшщ важлівімі 1 критично-ми елементами, яш визначаються ефектівшсть 1 на-

    дшшсть прилаштувати, е селектівш оптічш фшьтрі, что грунтуються на неоднорщніх структурах. З часом ви-моги до ціх елеменпв зростають: йдет про забезпе-чення максимально! селектівносп й експлуатацшно! стшкосп, тобто про тдвіщення якосп, мшггюрізащю, Здешевлення прілад1в. Тому Розробляють нов1 Структури штерференцшніх фшьтр1в, а такоже алгоритми троянд-рахунку структурних параметр1в. Важлівім у ціх роз-боязкі е встановлення зв'язку м1ж параметрами структурних елеменпв фшьтр1в та оптичні характеристиками. Одним 1з основних структурних параметр1в е температура, достов1рне визначення яко! Розрахунковим

    1нформащя про aBTopiB:

    Гавриш Василь 1вановіч, д-р техн. наук, професор кафедри програмного забезпечення. Email: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її. лотки Василь Богданович, канд. техн. наук, доцент кафедри пожежноТ тактики та аваршно-рятувальних робгг. Email: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Сінельнiков Олександр Дмитрович, канд. техн. наук, доцент кафедри пожежноТ тактики та аварШно-рятувальних робЬ.

    Email: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її. Бойко Тарас Володимирович, канд. техн. наук, доцент, заступник начальника шстітуту. Email: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її. Шкраб Роман Романович, асистент кафедри програмного забезпечення. Email: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Цитування за ДСТУ: Гавриш В. I., лотки В. Б., Сінельшков О. Д., Бойко Т. В., Шкраб Р. Р. Математічш моделi аналiзу температурних

    режімiв у 3D структурах i3 тонкими чужорщнімі включення. Науковий вкнік НЛТУ УкраТні. 2018, т. 28, № 2. С. 144-149. Citation APA: Havrysh, V. I., Loik, V. B., Synelnikov, O. D., Bojko, T. V., & Shkrab, R. R. (2018). Mathematical Models of the Analysis of Temperature Regimes in 3D Structures with Thin Foreign Inclusions. Scientific Bulletin of UNFU, 28 (2), 144-149. https://doi.org/10.15421/40280227

    Шляхом Вимагаю розв'язування складних Крайова завдань теплопроввдносп, оск1лькі експеріментальнi досл дження е практично Неможливо.

    З Огляду на це вінікла потреба Розробити матема-тічнi моделi визначення температурних полiв у просто-рових структурах iз чужорiднімі тонкими включеннями, яю дають змогу аналiзуваті температурш режими як у всiй обласп системи, так i в обласп неоднорiдіостей.

    Аналiз лiтературніх джерел та формулювання проблеми. Визначення температурних режімiв як в од-норiдніх, так i неоднорвдніх конструкцiях прівертае Рамус багатьох дослщнішв (Carpinteri & Paggi, 2008; Yangian & Daihui 2009; Podil'chuk, & Sokolovskii, 1991а, 1991Ь). У роботi (Ghannad & Yaghoobi, 2015) від-Риму аналiтічно-числовий розв'язок осесіметрічно! задачi термопружіостi для товстостшного цілiндра за дп теплового потоку з довшьно заданими Крайова умів. Отриманий розв'язок дае змогу проаналiзува-ти Вплив теплових i мехашчніх НАВАНТАЖЕННЯ на термо-мехаіiчну поведшку цілiндра.

    Розв'язано одновімiрну стацiонарну температурного та механiчного задачi i наведено сшвввдношення для визначення теплових i мехаіiчніх НАВАНТАЖЕННЯ у порож-ністiй товстостiннiй сферi. Розподiл температури зоб-ражено функцiю вiд ращально! координати для зада-них загально теплових i мехаіiчніх Крайова умів на внутршнш i зовнiшнiй поверхні сфери (Jabbari, rampour & Eslami, 2011).

    У роботi (Bayat, Moosavi & Bayat, 2015) розв'язано нестацiонарну завдання теплопровiдностi та термопруж-ностi для функцiонально-градiентніх товстостiнніх сфер. Теплофiзічнi i термопружнi властивостей матерії алiв, за вінятком коефiцiента Пуассона, е довшьнімі функцiю радiально! координати.

    Розглянуто осесіметрічну стацiонарну завдання теп-лопроввдносп i термопружностi для порожністіх фун-кцiонально-градiентніх сфер вiдносно джерела тепла. Отримав розв'язки у виглядi функцiй вiд просторово координат для температури, компонент вектора Змін щень i тензора напруженного iз Використання Крайова умів за радiальною та Кутового координатами (Mohaz-zab & Jabbari, 2011).

    Розроблено методи розв'язування лiнiйніх Крайова завдань теплопровiдностi для однорщніх та шаруватіх 2D середовище iз теплоактівнімі включення. Наведено низьку побудованіх математичних моделей визна-чення температурних полiв у таких середовище. Зап-ропоновано Способи лшеарізацп нелшшніх Крайова завдань теплопроввдносп у термочутлівіх кусково-одно-рiдніх середовища та наведено математічш моделi аналiзу температурних режімiв для лiнiйно змiнного коефiцiента теплопроввдносп вiд температури у ціх системах (Gavrysh & Fedasjuk, 2012).

    Подано математичний модель визначення температурного поля, зумовленого тепловим потоком, у термо-чутлівому 2D середовіщi з наскрiзнім включенням (Havrysh 2017).

    Огляд основних лггературніх джерел показавши, что малодослвдженімі та не Розроблення залиша моделі ЯК-1 враховувалі б структуру конструкцш з тонкими включеннями. Осшлькі конструкцп пiддаються тим-температурних Вплив, то у питань комерційної торгівлі iнтервалах температур зграї ввдчутнім Вплив неоднорщностей относительно тер-мостiйкостi. Це приводити до розроблення математичного-

    них моделей процесса теплопроввдносп та аналiзу ціх моделей для просторово середовище i3 чужорщнімі теплоактівнімі включеннями. Розрахунки температурних полiв у таких системах Використовують у подалі-шому для проектування складних систем i3 метою тер-мостiйкостi. Точнiсть ціх розрахуншв впліватіме на ефектівнiсть методiв, яш Використовують у процесi проектування.

    Мета i завдання досл1дження. Метою роботи е создания математичних моделей визначення темпера-турних режімiв у просторово середовіщi i3 тонкими включеннями, в обласп якіх зосереджеш внутрiшнi джерела тепла. Це дасть змогу тдвіщіті точшсть визначення температурних полiв у складних системах i ефектівнiсть методiв проектування.

    Для Досягнення поставлено! мети сформульовано такi задачi:

    • отріматі віхщне р1вняння теплопровщност 3i сингулярними коефщентамі з Крайова умови та его аналтч-ний розв'язок для конструкцій "куля-тонкий включення". Цей розв'язок дае змогу Розробити алгоритм i розрахунково програму для визначення температурного поля в довшьшй точщ ще! конструкци ";

    • отріматі віхщне рiвняння теплопровiдностi зi сингулярного-ми коефщентамі з Крайова умови та его аналтч-ний розв'язок для конструкцій "куля-тонкий нас ^ зне включення". Цей розв'язок дае змогу Розробити алгоритм i роз-рахункову програму для визначення температурного поля в довшьшй точщ ще! ' конструкція.

    Результату досл1дження процесса теплопроввднос-Ti для кусково-однорiдніх середовища. Сформулюемо крайовi задачi теплопроввдносп та наведемо методику розв'язування для просторово середовище, что мютять тони включення, в обласп якіх дiють рiвномiрно роз-подiлеіi віутрiшіi джерела тепла.

    Об'єктах досл1дження та математична модель. Роз-глянемо просторова середовище, опис iзотропнім кулею, Який мiстить паралелетпедне включення з об'ємі V0 = 8hbd, в областi Q0 которого дшть рiвіомiріо розподiлеіi віутрiшіi джерела тепла з потужшстю q0 = const. Наведення коіструкцiю вiднесеіо до декартово! прямокутній! системи координат (x, y, z) iз початком в цеітрi включення. На поверхіi включення юнують умови iдеальіого теплового контакту, а на Межов поверхнях шару Kb, Kn задано умови конвективного теп-лообмiіу iз зовшшшм середовище зi став температурою 1С = const (рис. 1).

    Пріпустімо, что чужорiдіе включення е тонким. Для визначення температурного поля t (x, y, z) у наведе-ному неоднорвдному середовіщi скорістаемось рiвнян-ням теплопровiдіостi (Podstrigach, Lomakin & Koljano, 1984; Koljano, 1992)

    div | Л (x, y, z) grad? (x, y, z)] = -Q (x, y, z), (1)

    де: M (x, y, z) = Л1 + A0N (z, d) S (x, y) (2)

    - коефiцieнт теплопровiдностi неоднорiдного кулі; Л0 = 4hbM - Зведений коефщент теплопровiдностi включення; Л0, Л1 - коефщенті теплопровiдностi мате-рiалiв включення i кулі вщповвдіо; N (z, d) = S_ (z + d) - S + (z - d); Q (x, y, z) = Q0N (z, d) S (x, y); Q0 = 4hbg0 - зведена потужнiсть внутрiшнiх джерел тепла; S (x, y) - дельта-функщя Дiрака (Korn & Korn, 1977);

    [1, Z > 0,

    0 (x, y, z) = t (x, y, z) - tc; S ± (Z) = 10,5 + 0,5, Z = 0, асімет-

    [O, z < 0.

    річш одінічнi функцп (Korn & Korn, 1977). Крайовi умови запішемо у виглядi

    , дв Ля -

    dz

    дв

    , Л-Г

    z = d + ib dz

    = А "в

    = _D _l.

    (3)

    де S ± (Z) =

    dS ± (Q dZ

    - асіметрічш дельта-функцп Дiрака.

    (6)

    Пiдставівші вирази (5) у спiввiдіошенія (4), при-ходимо до діференцiального рiвіянія з частинними похщнімі iз розрівнімі та сингулярного коефщента-ми

    AT = Л0 {в (0,0, z) [S / (*, y) + Sy "(x, y)] N (z, d) +

    + [В (0,0, _d) S _ '(z + d) _ в (0,0, d) S +' (z _ d)] S (x, y)} _ Q (x, y, z).

    де A - оператор Лапласа в декартовш прямокутнiй сис-

    д Д2 Д2 Д2 темi координат, A = - + - + --.

    дx2 дy2 д22

    Аналiтічно-числовий розв'язок. Апроксімуемо функцiю в (0,0, z) у виглядi (рис. 2)

    в / аил

    /?, / / ​​{O "

    ?4. f

    -i ..... 1 ____

    -: ------- 1 ...... в, f Z

    -u z. j. 0 м - d

    Мал. 2. Апроксімащя функціонально 0 (0,0, z)

    в (0,0, z) =? + 2 в + 1 _ ej) S_ (z _ zj) ,

    j = 1

    (7)

    де zj e] -d; d [, _ d<z1 < z2 < ... < zn-1 < d; ? J (j = 1, n) - невь

    домi апроксімацшш значення.

    Пiдставівші виразі (7) у рiвняння (6), отрімаемо

    AT = Лг

    ?N (z, d) +2 (ej + i - ej) N (z, z j, d)

    j = 1

    S '(x, y) + Sy' '(x, y)] +

    (8)

    + [В (0,0, -dS '(z + d) - в (0,0, d) S +' (z - d)] S (x, y)} - Q (x, y, z), де N (z, zj, d) = S- (z - zj) - S + (z - d).

    Застосувались iнтегральне превращение Фур'є за координатами x та y до рiвняння (8) та умов (3) iз ураху-ваниям спiввiдіошенія (4), пріходімо до звичайний діференцiального рiвіянія зi став коефщентамі

    = -аьв

    z = d + lb

    в [= в \\ = 0. llxl ^ да llyl ^ да

    де ab, an - коефщенті тепловiддачi з крав Kb, Kn кулі ввдповвдіо.

    Введемо функцiю

    T = M (x, y, z) e (x, y, z) (4)

    i продіференцшемо ll 'за змiннімі x, y, z iз урахувавши-иям Опису коефiцiента теплопроввдіосп Л (x, y, z) (2). Тодi отрімаемо:

    дв дт

    Л (x, y, z) - = - Л0в (0,0, z) N (z, d) Sx (x, y),

    дx bx дв дт

    Mx y, z) - = - Л0в (0,0, z) N (z, d) Sy (x, y), (5)

    by дy

    дв дт

    Mx y, z) - = - Л0 [в (0,0, -d) S- (z + d) - в (0,0, d) S + (z - d)] S (x, y),

    дz дz

    -y2T = - {в (0,0, -d) S- (z + d) - в (0,0, d) S + (z - d) -dz2 2n

    -y2 [? N (z, d) + 2 (? j + 1 - ej) N (z, zj, d)

    j = 1

    i Крайова умів

    dT_ dz

    z = d + lb

    Olf Л

    z = d + lb

    да

    df dz

    - Qn N (z, d) 2n

    _ An T

    = -D -i.

    Л1

    (9)

    (10)

    де T (%, - q, z) = - J ei ^ xdx J T (x, y, z) enydy; y2 = ^ 2 + Ц2.

    2П -так -так

    Загальний розв'язок рiвіянія (9) матіме вигляд:

    Т (4, П, z) = c1eyz + c2e-Yz +

    + 2 {Л0 [? (0,0, -d) chy (z + d) S- (z + d) -? (0,0, d) chy (z - d) S + (z - d) +? F (y, z) + n-1 Q0

    (11)

    + 2 (? J + 1 -? JW (r, z, zj)] f (y, z) \

    j = 1 Y2

    де: c1, c2 - сталi iітегруванія;

    F (y, z) = N (z, d) - chy (z + d) S- (z + d) + chy (z - d) S + (z - d); F (y, z, zj) = N (z, zj, d) - chy (z - zj) S- (z - zj) + chy (z - d) S + (z - d).

    Використана крайовi умови (10) для визначення стало iнтегруванія c1, c2, отрімаемо частковий розв'язок задачi (9), (10)

    в (0,0, d) \ ^^ F4 (y, z) -A *

    т (4, п, z) =

    -chy (z - d) S + (z - d)) +? (0,0, -d) \ chy (z + d) S- (z + d) -

    - ^ F6 (у, г)] +? 1 (F (y, z) + ^ Fy z)] +

    +21 (? J + 1 -? J) [f (Y, z, zj) + ^ FYF6 (y, z)

    (12)

    Q0

    FY) + 2Ш Fy z)

    y A *

    де:

    A * Jy + an \\ y + ai \ eY (2d + lb + ln) - \ y - aL} l в - al | e-y (2d + lb + ln).

    Л л Л

    у-ЛЛ Jly-Л1,1 e

    F1 (y) = yshylb + -chylb; F2 (y) = yshy (2d + lb) + -chy (2d +1 Л1 Л1

    F) (y) = y (shy (2d + lb) - shylb) + ab (chy (2d + lb) - chylb);

    Л1

    n-1

    n-1

    d-l

    z

    да

    +

    y

    Ft (Y) = r (shr (d + lb - z) - shylb) + a (chy (d + lb - z,) - chylb);

    A

    F5 (y) = -; FY, z) = ychy (z + d + 4) + d + y.

    Y A

    Перейшовші у спiввiдношеннi (12) до оріпналу, знаходімо вирази для Шукало! температура

    1 та I

    T (x, y, z) = - J J|! cos?, xcosny

    • d ^ dr).

    + © 5

    ®1 = 0 (00,00, d) I F6 (y, z) - chy (z - d) S + (z - d)

    © 2 = 0 (0,0, -d) | chY (z + d) S- (z + d) - 2F ^ (y) Fs (y, z)

    © 3 = 0 \ F (y, z) + ^^ F6 (Y, z)

    (13)

    © 4 = Z (0 / + 1 - 0j) f F (Y, z, zj) + -FY F6 (Y, z)

    А *

    © 5

    Q0 i F (y, z), 2F5 (y)

    +

    -F6 (y, z)

    1 та 0 / -nA / J

    Л ° (0 (0,0, d) -FY F6 (y, zj-i) + 0 (0,0, -d) • А *

    chY (z / -1 + d) - ^ F6 (Y, z / -1) | + 01 F (y, z / -1) + F6 (Y, z / -1) | +

    +? (0 / + 1 - 0 /) I F (Y, z / -1, z /) + |2FY F6 (y, z / -1) j = 1

    А *

    d ^ dn =

    = "-IJ1I + ~~ YYF6 (Y, z / -1) | d ^ = 1n, z0 = -d;

    n A0 0 Yf Y

    1 CO

    0 (0,0, d) --JJ n2A> 0

    А *

    Л0 (0 (0,0, d) 2А ^ f6 (y, d) + 0 (0,0, -d)

    А *

    ch2J; d -F6 (Y, d) | +0 (f (y, d) + F6 (Y, d) | +

    n-1

    +? (0 / + 1 -0j)

    j = 1

    F (Y, d, zj) + ^^ F6 (Y, d)

    А *

    d ^ dr =

    JJY

    nA0 0 Yf Y

    Q0 r7 11 F (Y, d), 2F5 (Y)

    А *

    F6 (Y, d) | d ^ d);

    1 та

    0 (0,0, -d) -1 "JJ

    x2A>-

    Л0 (0 (0,0, -d) 2 ^ F6 (Y, -d) +

    v А *

    +0 (0,0, -d) | 1 - ^^ F6 (Y, -d) 1 + 011 F (y, -d) + F6 (Y, -d) | +

    А *

    А *

    + Z (0j + 1 - 0j) (F (Y, -d, zj) + ^ АМ F6 (Y, -d)

    А *

    d ^ dr =

    _JQ ^ jJI IFY) + f6 (y, -d) | d {dr. 0 Y f Y

    включення з об'ємі V0 = 8hbd, в обласп Q0 которого дiють рiвномiрно розподiленi внутрiшнi джерела тепла з по-тужнiстю q0 = const. Наведення конструкцiю ввднесено до декартово! прямокутній! системи координат (x, y, z) iз початком в цін ^ включення. На поверхнi включення кнують умови iдеального теплового контакту, а на Межов поверхнях шару Kb, Kn задано крайовi умови іншого роду (рис. 3).

    Y f Y А *

    Невiдомi апроксімацiйнi значення температури 0j (j = 1, n) та величину 0 (0,0, ± d) знаходімо, розв'язу-ючи систему n + 2 лшшніх алгебра! Чних рiвнянь, отри-ману iз виразі (13), у такому віглядг

    Мал. 3. 1зотропній куля iз тонким наскрiзнім включень

    Для визначення температурного поля г (х, у, z) у наві-дешй систем! скорістаемось рiвіяііям теплопровщ-НОСП (Podstrigach, Lomakin & КоЦапо, 1984; КоЦапо, 1992)

    diVLl (x, y) gradв (x, у, z)] = -О (х, у), (14)

    де: Л (х, у) = Яц + Ао ^ (х, у) (15)

    - коефщент Теплопром! дност! неоднор! дного шару; Л0 = ^ Ь ^ о - Зведений коефщент теплопровадносп включення; О (х, у) = О0З (х, у).

    Край! умови запішемо у вигляд! дв

    dz

    = 0, 0 \. = 0 = 0.

    (16)

    Продіференцiюeмо функцiю (4) за змiннімі x, y, z iз урахуванням Опису коефiцieнта теплопровiдностi A (x, y) (15). Тодi отрімаемо:

    d0 dT

    Ax, y) - = - - Л00 (0,0, z) SX (x, y), dx dx

    ,30 dT

    d0 dT

    (17)

    A (x, y) - = - Л00 (0,0, z) Sy (x, y), X (x, y) - = -

    dy dy dz dz

    Пiдставівші вирази (17) у сшввщношення (14), пріходімо до діференщального рiвняння з частинними похщнімі з сингулярного коефiцiентамі

    АT - Л0 0 (0,0, z) [? Kx, y) + fyx, y)] = -Q (x, y). (18) Аналiтічно-числовий розв'язок. Апроксімуемо функцiю 0 (0,0, z) у виглядi (див. Рис. 2)

    0 (0,0, z) = 01 +? (0j + 1 - 0j) S- (z - zj),

    j = 1

    (19)

    А "

    Отже, шукане температурне поле у ​​наведенш систем! опісуе формула (13), з яко 'дктаемо значення температури в довшьнш точц! кулі та чужор! дного тонкого включення.

    Куля iз тонким наскрiзнім включенням

    Об'єктах досл1дження та математична модель. Роз-глянемо просторова середовище, опис! Зотропнім кулею, Який мктіть паралелеп! Педне Тонке наскр! Зне

    де zj e] -d; d [, - d<z1 < z2 < ... < zn-1 < d; 0j (j = 1, n) - невь

    домi апроксімацiйнi значення.

    Поставивши виразі (19) у рiвняння (18), отрімаемо

    АГ = Л

    01 +? (0j + 1 -0j) S- (z - zj)

    j = 1

    \ 8xx y) + sy (x, y)] - Qx y). (20)

    Застосувались iнтегральне превращение Фур'є за координатами x та y до рiвняння (20) та Крайової умів (16) iз урахуванням сшввщношення (4), пріходімо до

    4

    i = 1

    0

    0

    d

    z

    0

    n-1

    n-1

    Звичайно діференщального рiвіяіія зi став до-

    ефiцiеітамі

    d2T - 1, n-1

    -Y2T = - {Лог2 [61 +2 J -0j) S- (z - Zj)] + Qo} (21)

    . "dT

    i краіовіх умів -

    dz

    J = 1

    = 0.

    (22)

    Загальний розв'язок рiвіяіія (21) матіме вигляд:

    T = ceYZ + c2e ~ Yz + -Л0 [61 + 2 (вj + 1 - 6j) | 2n! j = 1

    | (1 - chy (z - ZJ)) S- (Z - zj)] + Y0

    (23)

    Використана Крайову умову (22), отрімаемо годину-тково розв'язок задачi (21), (22)

    T z) = - -] Л0 ж

    1 shyd. - + -7 shyz 1 +

    2 sh2yd

    1

    + - 2

    2 (В j + 1 -6j) l (1 - chy (z - zj)) S- (z - zj) + (24)

    V J = 1 V

    + Shy (d-zj) chyz sh2yd

    Перейшовші у спiввiдіошеііi (24) до оріпналу, знаходімо вирази для Шукало! температура

    2 та _

    T (x, y, z) = -JJ cos ^ x cosnyT (?, Ц, z) d ^ dq. (25)

    ж 0

    Невiдомi апроксімацшш значення температури 6j (j = 1, n) знаходімо, розв'язуючі систему n лшшніх алгебрачніх рiвіяіь, отриманий iз виразі (25) у виглядi

    в- П Ji

    I! 1 + 4Y1sl, rz, -1 | + 2 + 2 (6,1 -6j) |

    2 sh2yd

    |J = 1

    |! 1 +

    shy (d - zj) sh2yd

    chyz

    J-1

    Q0 ff d ^ dn ,

    d ^ dn J J-z0 = -d-

    0 Y

    Отже, шукане температурне поле в неоднорiдіому шарi опісуе формула (25), з яко! дiстаемо значення температури в довшьнш точцi кулі та чужорщного вклю-чення.

    Обговорення результат досл1джень математичного-них моделей визначення температурних режімпв. У

    процесi розроблення та дослiдження лшшно! та нель ншно! математичних моделей визначення температурного поля для конструкцш, яш геометрично описано наведення 3D структурами з теплоактівнімі вклю-ченнямі, Виявлено, что хоча чужорiдне включення е ма-лим, потім на внутрішню врахування его конструкцшного матерiалами е важлівім, про что стверджують чісловi розрахунки. Усереднення значень коефiцiента теплопровiдіостi для матерiалiв кулі та включення приводу до значний! по-хібкі результатiв обчислення температурного поля. Тому у таких дослвдженнях важлівім е врахування ло-кальний неоднорiдіостей, ЯК-1 мютять подiбнi структу-ри. Це значний ускладнюе розв'язування вiдповiдно ль ншно! та ^ лійно! Крайова завдань, потім на внутрішню розв'язки ціх задач адекватнiше до реального процесса опісують шу-каш результати.

    Висновки

    1. Розроблено математичний модель визначення температурного поля у просторово середовіщi з теплоактів-ним включенням. Отриманий аіалiтічііІ розв'язок дае змогу візначіті розподiл температури в конструк-ЦII "куля-включення" i на основi цього аналiзуваті тим-пературнi режими у просторово середовища, якi геометрично можна описати такою конструкщею.

    2. Розроблено нелшшну математичного модель визначення температурного поля в термочутлівому просторова середовіщi з включенням. Застосовано превращение Юрхгофа, Пожалуйста дало змогу лшеарізуваті вихiдних нель нiІну Крайову задачу теплопровiдностi. Для завдань перелогових коефiцiента теплопровiдностi вщ температури матерiалiв конструкцii ОТРИМАНО розрахунковi формули для визначення температурного поля. Смороду дають змогу аналiзуваті температурш режими у тер-мочутлівіх 3D середовища, якi ма ють геометричних форм "куля-включення".

    Перелiк використаних джерел

    Bayat, A., Moosavi, H., & Bayat, Y. (2015). Thermo-mechanical analysis of functionally graded thick spheres with linearly time-dependent temperature. Scientia Iranica, 22 (5), 1801-1812.

    Carpinteri, A., & Paggi, M. (2008). Thermoelastic mismatch in non-homogeneous beams J. Eng. Math., 61 (2-4), 371-384. https://doi.org/10.1007/s10665-008-9212-8

    Gavrysh, V. I., & Fedasjuk, D. V. (2012). Modeljuvannja tempera-turnyh rezhymiv u kuskovo - odnoridnyh strukturah. Lviv: V-vo Nac. un-tu "Lvivs'ka politehnika", 176 p. [In Ukrainian].

    Ghannad, M., & Yaghoobi, M. P. (2015). A thermoelasticity solution for thick cylinders subjected to thermo-mechanical loads under various boundary conditions. Int. Journal of Advanced Design & Manufacturing Technology, 8 (4), 1-12.

    Havrysh, V. I. (2017). Investigation of temperature fields in a heat-sensitive layer with through inclusion. Materials Science, 52 (4), 514-521.

    Jabbari, M., Karampour, S., & Eslami, M. R. (2011). Radially symmetric steady state thermal and mechanical stresses of a poro FGM hollow sphere. International Scholarly Research Network ISRN Mechanical Engineering, 1-7.

    https://doi.org/10.5402/2011/305402

    Koljano, Ju. M. (1992). Metody teploprovodnosti i termouprugosti ne-odnorodnogo tela. Kyiv: Naukova dumka. 280 p. [In Russian].

    Korn, G., & Korn, T. (1977). Spravochnik po matematike dlja na-uchnyh rabotnikov i inzhenerov. Moscow: Nauka. 720 p. [In Russian].

    Mohazzab, A. H., & Jabbari, M. (2011). Two-Dimensional Stresses in a Hollow FG Sphere with Heat Source. Advanced Materials Research, 264-265, 700-705. https://doi.org/10.4028/www.scientific.net/amr.264-265.700

    Podstrigach, Ja. S., Lomakin, V. A., & Koljano, Ju. M. (1984). Termo-uprugost 'tel neodnorodnoj struktury. Moscow: Nauka. 368 p. [In Russian].

    Podil'chuk, Yu. N., & Sokolovskii, Ya. I. (1991a). Stress state of a transversely isotropic medium with an anisotropic spheroidal inclusion. Arbitrary uniform stress field at infinity. Soviet Applied Mechanics and International Applied Mechanics, 27 (6), 551-558.

    Podil'chuk, Yu. N., & Sokolovskii, Ya. I. (1991b). Stress state of a transversely isotropic medium with an anisotropic inclusion. Arbitrary linear force field at infinity. Soviet Applied Mechanics and International Applied Mechanics, 27 (7), 644-653.

    Yangian, Xu, & Daihui, Tu. (2009). Analysis of steady thermal stress in a ZrO2 / FGM / Ti-6Al-4V composite ECBF plate with temperature-dependent material properties by NFEM. WASE Int. Conf. on Informa. Eng., 2-2, 433-436.

    d

    z

    n-1

    (N-1

    0

    В. І. Гавриш1, В. Б. Лоік2, А. Д. Сінельніков2, Т. В. Бойко2, Р. Р. Шкраб1

    1 Національний університет "Львівська політехніка", м.Львів, Україна 2 Львівський державний університет безпеки життєдіяльності, м Львів, Україна

    МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ АНАЛІЗУ ТЕМПЕРАТУРНИХ РЕЖИМІВ У 3D структурах з тонкими сторонніх включень

    Нерівномірне нагрівання - один з чинників, який викликає деформації і напруги в пружних конструкціях. Якщо з підвищенням температури ніщо не перешкоджає розширенню структури, то вона деформується і ніяких напружень не виникає. Однак, якщо в конструкції температура зростає нерівномірно і вона неоднорідна, то в результаті розширення формуються температурні напруги. Першим і незалежним кроком для дослідження температурних напружень є визначення температурного поля, що становить основну задачу аналітичної теорії теплопровідності. В окремих випадках визначення температурних полів є самостійною технічним завданням, рішення якої допомагає визначити температурні напруги. Тому розроблені лінійні математичні моделі визначення температурних режимів в 3D (просторових) середовищах з локально зосередженими тонкими теплоактівнимі сторонніми включеннями. Класичні методи не дають можливості вирішувати граничні задачі математичної фізики, які відповідають таким моделям, в замкнутому вигляді. У зв'язку з цим описано спосіб, який полягає в тому, що теплофізичні параметри для неоднорідних середовищ описують за допомогою асиметричних одиничних функцій як єдине ціле для всієї системи. В результаті цього отримують одне диференціальне рівняння теплопровідності з узагальненими похідними і граничними умовами тільки на граничних поверхнях цих середовищ. У класичному випадку такий процес описують системою диференціальних рівнянь теплопровідності для кожного з елементів неоднорідного середовища з умовами ідеального теплового контакту на поверхнях сполучення і граничними умовами на граничних поверхнях. Врахувавши викладене вище запропонований спосіб, який полягає в тому, що температура, як функція однієї з просторових координат, на бічній поверхні включення аппроксимирована кусочно-лінійною функцією. Це дало можливість застосувати інтегральне перетворення Фур'є до перетвореному рівняння теплопровідності з узагальненими похідними і граничним умовам. У результаті отримано аналітичне рішення для визначення температурного поля в розглянутих просторових середовищах з внутрішнім і наскрізним включеннями. Із застосуванням отриманих аналітичних рішень крайових задач створені обчислювальні програми, які дають можливість отримати розподіл температури і аналізувати конструкції на термоміцністі. У слідстві постає можливим її підвищити і тим самим захистити від перегріву, яке може викликати руйнування як окремих елементів, так і конструкцій в цілому.

    Ключові слова: теплопровідність; температурне поле; внутрішні джерела тепла.

    V. I. Havrysh1, V. B. Loik2, O. D. Synelnikov2, T. V. Bojko2, R. R. Shkrab1

    1 Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine 2 Lviv State University of Life Safety, Lviv, Ukraine

    MATHEMATICAL MODELS OF THE ANALYSIS OF TEMPERATURE REGIMES IN 3D STRUCTURES WITH THIN FOREIGN INCLUSIONS

    Uneven heating is one of the factors that cause deformation and stress in elastic structures. If nothing prevents the expansion of the structure with increasing temperature, it will deform and no tensions will arise. However, if the temperature increases unevenly and it is heterogeneous in a construction, then due to the expansion, the temperature stresses are formed. The first and independent step to study the temperature stress is to determine the temperature field, which is the main task of the analytical theory of thermal conductivity. In some cases, the determination of temperature fields is an independent technical problem; its solution helps to determine the temperature stresses. Therefore, linear mathematical models for determining the temperature regimes in 3D (spatial) environments with locally concentrated thin, thermal active alien inclusions are developed. Classical methods do not allow solving the boundary value problems of mathematical physics corresponding to such models, in the closed form. Concerning the above work, a method is described that the thermophysical parameters for inhomogeneous media are described with the help of asymmetric unit functions as a single whole for the whole system. As a result, one differential equation of heat conduction with generalized derivatives and boundary conditions is obtained only on the boundary surfaces of these media. In the classical case, such a process is described by a system of differential heat equations for each element of an inhomogeneous medium with conditions of ideal thermal contact on the surfaces of conjugation and boundary conditions on boundary surfaces. Considering mentioned above, the authors present a method that the temperature, as a function of one of the spatial coordinates, is approximated by the piecewise linear function on the lateral surface of the inclusion. This enables applying the Fourier integral transformation to a transformed differential heat equation with generalized derivatives and boundary conditions. As a result, an analytical solution was obtained for determining the temperature field in the above spatial media with internal and transient inclusions. Using the obtained analytical solutions of boundary value problems, computational programs have been created that allow obtaining temperature distribution and analyse constructions concerning thermal stability. As a result, it becomes possible to increase it and thereby protect from overheating, which can cause the destruction of both individual elements and structures in general.

    Keywords: thermal conductivity; temperature field; internal heat sources.


    Ключові слова: теплопровідність /температурне поле /внутрішні джерела тепла /теплопровідність /температурне поле /внутрішні джерела тепла

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити