Завдання про поздовжніх і поперечних коливань пружного циліндра, викликаних високошвидкісним ударом переднього торця про воду, розглянута з позицій ідентифікації гідродинамічних сил за даними оптичних вимірювань параметрів руху протилежної торця. Постановки прямий і зворотної задач виведені виходячи з одновимірних теорій Сен-Венана і Тимошенко, що забезпечує гіперболічність визначають рівнянь. Результати розрахунків прямої задачі кінцево-різницевим методом зіставлені з розташовуються експериментальними залежностями і демонструють цілком слушного якісне збіг.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Ерошин Володимир Андрійович, Плюснин Андрій Володимирович


Mathematical methods for identifying hydrodynamic loads when hitting water, based on one-dimensional theories of elastic wave propagation in rods

The purpose of the paper was to study the problem of longitudinal and transversal oscillations of elastic cylinder generated by high velocity impact of the forward end on the water surface. The problem is considered from the point of the identification of hydrodynamic forces according to the optical measurements of the motion parameters of the opposite end. The statements of the direct and reverse problems are derived from the one-dimensional Saint-Venant and Timoshenko's theories, thus providing the hyperbolicity of the governing equations. The results of the direct problem calculations by the finite-difference method are compared with the available experimental dependences and show rather accurate qualitative coincidence.


Область наук:

  • фізика

  • Рік видавництва: 2018


    Журнал: Математичне моделювання та чисельні методи


    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ГІДРОДИНАМІЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ ПРИ УДАРІ Про ВОДУ, ЗАСНОВАНІ НА одновимірних теорії поширення ПРУЖНИХ хвиль у стрижні'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ІДЕНТИФІКАЦІЇ ГІДРОДИНАМІЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ ПРИ УДАРІ Про ВОДУ, ЗАСНОВАНІ НА одновимірних теорії поширення ПРУЖНИХ хвиль в стержні»

    ?УДК 532.5.013.2 + 534.113

    Математичні методи ідентифікації гідродинамічних навантажень при ударі об воду, засновані на одновимірних теоріях поширення пружних хвиль в стрижнях

    © В.А. Ерошін1, А.В. Плюснін2, 3

    1 НДІ механіки МДУ ім. М.В. Ломоносова, Москва, 119192, Росія 2 МГТУ ім. Н.е. Баумана, Москва, 105005, Росія 3 АТ «ВПК« НВО машинобудування », Московська обл., Реутов, 143966 Росія

    Завдання про поздовжніх і поперечних коливань пружного циліндра, породжених високошвидкісним ударом переднього торця про воду, розглянута з позицій ідентифікації гідродинамічних сил за даними вимірів оптичними методами параметрів руху протилежної торця. Постановки прямий і зворотної задач виведені виходячи з одновимірних теорій Сен-Венана і Тимошенко, що забезпечує гіперболічність визначають рівнянь. Результати розрахунків прямої задачі кінцево-різницевим методом зіставлені з розташовуються експериментальними залежностями і демонструють цілком слушного якісне збіг.

    Ключові слова: удар об воду, пружні хвилі, звичайно-різницева схема.

    Вступ. Завдання ударного взаємодії тіл з перешкодою представляють значний практичний інтерес і в різних аспектах досліджуються теоретичними (переважно чисельними методами вирішення спільних рівнянь механіки суцільних середовищ з кінцевими деформаціями [1-5], формулювання яких наведені, наприклад, в роботах [6-11]) і експериментальними методами (наприклад, [12-14]).

    Літальні апарати (ЛА) при приводнюванні на поверхню водної перешкоди або при проникненні в глибину, як правило, відчувають короткочасне, але значне силовий вплив, характерне для ударних процесів, на ділянки корпусу, що контактують з рідиною. Рівень гідродинамічного впливу на корпус ЛА визначається, крім швидкості зіткнення, геометричній картиною взаємодії: формою і просторової орієнтацією взаємодіє з рідиною частини корпусу ЛА.

    У науковому плані основний інтерес полягає в теоретичному та експериментальному дослідженні ударного взаємодії з рідиною тіл канонічної форми (пластина, диск, клин, конус, куля і т.д.) і отриманні універсальних залежностей для гідродинамічних сил в широкому діапазоні інших параметрів, що характеризують взаємодію [ 15-23].

    У ситуаціях, коли ставиться завдання подальшого руху ЛА в воді [24-28], найпростіша форма передньої частини у вигляді диска або плоского торця виявляється практично значимої, незважаючи на те, що вона погано обтічна. Дійсно, при значній швидкості руху ЛА з кромки плоского торця сходять струменя і охоплюють рух тіло каверною. Якщо при цьому не відбувається бічного замиву, то на тіло діє лише гідродинамічна сила, перпендикулярна площині торця, причому при наявності кута атаки момент гідродинамічних сил, викликаний несиметричним розподілом тиску, прагне цей кут атаки зменшити (рис. 1). У плоскому випадку це легко бачити з чисельно-аналітичного рішення, наведеного в роботі [29].

    Рис.1. Несиметричне розподіл тиску на передньому торці циліндра при куті атаки 8а > 0, породжує відновлює момент 8М < 0 (1 - межа каверни, 2 - епюра тиску рідини)

    Результати експериментального визначення сил, діючих на диск при зануренні у воду, опубліковані в роботах [20, 21], були отримані в діапазоні швидкостей удару до 7,5 м / с і до 3,5 м / с, відповідно, тобто для чисел Маха по відношенню до рідини V

    Мж = - не вище 0,005. Тут V - швидкість входу в рідину, аж -

    а ""

    швидкість звуку в рідині (для води вважаємо аж = 1500 м / с). на

    Мал. 2а схематично зображено принципова картина постановки таких випробувань. У подібній же постановці з заміною води на рідину з бульбашками газу, в якій, як відомо [6, 30], швидкість звуку набагато нижче, були проведені випробування [22, 23, 31], в яких моделювався вхід в воду з числами Маха до М ж = 0,2 (рис. 2б).

    Приблизно для цього ж діапазону чисел МЗ були проведені випробування [31-33], в яких моделі вистрілювали в воду, але вимірюється не гідродинамічні сили, а параметри збудження в моделі пружних коливань матеріалу: поздовжні прискорення вільного торця [34] і кут повороту вільного торця [35]. Схематично постановка таких експериментів ілюструється на рис. 3 а, б. Визначення ударних навантажень за такими вимірами можна розглядати математично як зворотну задачу теорії поширення пружних

    Рис.2. Принципова схема експериментів при низкоскоростном прониканні:

    а - в воду, б - в рідину з бульбашками газу

    Проблематики розв'язку обернених задач механіки деформованого твердого тіла присвячені, наприклад, роботи [36-39]. У даній роботі зворотна задача визначення гідродинамічних сил розглядається в рамках найпростішого підходу, що складається у використанні

    одновимірних теорій поширення поздовжніх і поперечних хвиль в циліндрі. При цьому розглядаються також відповідні прямі завдання, тому що цінність рішення обернених задач сильно залежить від ступеня адекватності застосовуваних одновимірних моделей.

    а б

    Рис.3. Принципова схема вимірювань при високошвидкісному вході у воду: а - поздовжнього прискорення вільного торця моделі, б - кута повороту вільного торця моделі

    Одномірні теорії поширення пружних хвиль в стрижнях. До моменту t = 0 контакту ударного торця циліндричного стрижня довжини Ь і радіуса Я з поверхнею рідини будемо вважати, що остання невозмущена і що стрижень рухається в недефор-мировалось стані рівномірно зі швидкістю У0 уздовж своєї поздовжньої осі. З таким рухом стрижня зв'яжемо прямокутну систему координат Ох1 х2х3, позначаючи її орт як е1, е2, е3. Ось Ох1 поєднується з поздовжньою віссю стрижня, а х1 = 0 і х1 = Ь - площині

    ударного і вільного торців відповідно. Нехай, далі, О) -точка перетину осі Ох1 з невозмущенной поверхнею рідини,

    а) Х1 х2х3 - нерухома прямокутна система координат з ортами yo1, Е2, yo3, координатна площина) Х1 Х3 якої розташована на невозмущенной поверхні рідини, а координатна вісь ОХ2 спрямована вертикально вгору. Поєднуючи площину Х3 = х3 = 0 з площиною стрільби Ох1х2 і вважаючи е2 = - $ тОё1 + соб Оё2, де О - кут

    входу, отримуємо однозначне визначення пов'язаної системи координат відносно нерухомої (рис.4).

    (1,2 - незбурених рівень і деформація вільної поверхні рідини, 3,4 - поверхню стрижня до і в процесі ударної дії, 5 - момент торкання стрижнем поверхні рідини)

    при t > 0 передній торець стрижня взаємодіє з рідиною. Нехтуючи внеском в'язкого тертя, будемо вважати, що до ударному торця прикладено тиск рідини рж (x2, x3, t). На вільний торець і бічну поверхню стрижня гідродинамічні сили протягом короткочасної ударної стадії прониканні стержня не діють. В такому випадку лінеаризоване завдання визначення деформаційного руху матеріалу стержня формулюється так [9]:

    PA ,

    ц = ц = °

    = Рж е1, = ^

    де рт - щільність матеріалу стержня, X = xft, і = uft, і = щei, і = Щei - радіус-вектори, переміщення, швидкості і прискорення його матеріальних-

    t>0, XgQ t = 0, XgQ t > 0, X eZ1 t > 0, X gE0

    (1)

    них частинок, п = - вектор одиничному зовнішньої нормалі до поверхонь-

    сті стрижня, < у - компоненти тензора напружень, г = ^ х \ + х32, 0 = {0<х, <Ь, г <Я}, Е1 = {х1 = 0, г <Я}, Е2 = {0<х1 <Ь, г = Я} х = = Ь, г < Я}. У наведених формулах мається на увазі підсумовування по повторюваним індексам, причому кома в індексах означає

    диференціювання по координатах: у = - [9].

    ДХУ

    Усереднити рівняння руху задачі (1), інтегруючи їх за поперечним перерізом? стрижня. маємо:

    | і (х, 1) йх2йх3 = -д2т | і, (х, 1) йх2йх3 =? (2 ^) ,

    г <Я д г < Я д1

    | (X, t) yoх2ах3 = | [<1,1 () + < 2,2 (% t) +< 3,3 ()] ^ х2 ^ хз =

    г<Я г<Я

    ДГ (х ^) г ДТГ (1) = ---- + (<п +<П) йь =---- .

    дх г2 2 дх

    г = я

    При виведенні останнього співвідношення був використаний двовимірний варіант інтегральної формули Гаусса - Остроградського та враховано відсутність навантаження на бічній поверхні стрижня, для якої п1 = 0

    . В результаті | (<2П2 +<3п2) йь = | = 0, де йь є диффе-

    г = Я г = Я

    ренціал довжини дуги уздовж контуру поперечного перерізу стержня. Ве-1 Г

    личини (х1,1) = - I і ^ (х, 1) йх2йх3 означають середні зміщення дан-

    ? г < Я

    ного поперечного перерізу уздовж координатних напрямків, а величини Т (х1,1) = | < I 1 (х, 1) йх2йх3 є компонентами глав-

    г < Я

    ного вектора сил напружень, що діють в цьому перетині.

    Симетрія входу стержня в воду відносно площини стрільби дозволяє прийняти припущення про симетричному розподілі гідродинамічної навантаження. З огляду на це, обмежимося розглядом проекцій рівнянь руху на осі Ох1 і Ох2. Тоді маємо з попередніх співвідношень

    Рт? І = N1, (2)

    Рт № = б, 1, (3)

    де і (х1, г) = и1 (х1, г), -ж (х1, г) = і 2 (х1, г) - середнє поздовжнє і бічне зміщення поперечних перерізів стрижня, N (х15 г) = Т1 (х1, г ), б (х1, г) = Т2 (х1, г) - нормальна і перерізуюча сила в цих перетинах.

    Помноживши рівняння руху, записане в проекції на вісь Ох1, на координату х2 і повторюючи попередні викладки, матимемо:

    | хи, (х,,) О * =? | х2і, (х,,) ^ О *,

    г <Я г<Я

    | х2 ^ 1 (х г) .х2 * х3 = | {Х2 ^ 11,1 + [(х2 ^ 12), 2 + (х2 ^ 13), 3] - ^ 12} ^ 2 ^ 3 =

    г<Я г<Я

    дм / 1 Г / ч, 7 дм

    = ^ - б + I х2 2П2 + ° г3П2) & = ^ - б •

    дх1 г = Я дх1

    Тут М (х1, г) = | х2ап (х, г) .х2.х3 - згинальна момент, дійству-

    г < Я

    ющий в перерізі.

    Відхилення поперечного перерізу з координатою х1 на кут

    у (х1, г) навколо осі О (х) х3, що проходить через центр О (х) цього перетину паралельно осі Ох3, відповідає розподіл осьового переміщення и1 (х1, х2, х3, г) = - х2у (х1, г), так що

    I х2і1 (х, г) .х2.х3 = - у | х2.х2.х3 = - 3у,

    г 2. . пЯ4

    де 3т = I х2 ах2ах3 = - - момент інерції поперечного перерізу

    4

    г < Я ^

    стрижня щодо осі О (х) х3. У загальному випадку, коли можуть відбуватися спотворення поперечних перерізів, приймемо формулу 1 Г

    у (х1, г) = - I х2і1 (х, г) ах20х3 за визначення середнього кута повоет г < Я

    рота перетину щодо даної осі. У підсумку приходимо до рівняння

    Г •• дм ГОЛ

    рт = - + е. (4)

    дх1

    Рівняння (2) - (4) точні по відношенню до вихідних співвідношенням (1), але для їх замикання потрібно зв'язати узагальнені переміщення і, ж, щ з узагальненими силами N, 0, М. Проте точних простих залежностей в цьому випадку знайти не вдається [40]. Найпростіші наближені моделі для опису поздовжніх і поперечних (вигинистих) пружних хвиль в стрижнях, відповідні рівнянь гіперболічного типу, засновані на співвідношеннях

    N (х1, г) = ЕБіл (5)

    М (х, г) = - EJmvл, (6)

    е (х1, г) = к / (-щ). (7)

    У рівняннях (5) - (7) Е, / - модулі поздовжньої пружності і зсуву.

    Формулу (5) можна розглядати як результат інтегрування

    , . ді1 (х)

    за поперечним перерізом формули ап (х) = Еа11 = -, справедливий-

    11 11 дх1

    виття в умовах статичного поздовжнього деформування стрижня (величина А11 є компонента тензора малих деформацій, що характеризує відносне подовження уздовж осі стрижня). При поширенні поздовжніх хвиль в стрижні дане припущення не є точним, але добре працює для довгих хвиль. Рівняння (2), (5) призводять до теорії Сен-Венана поздовжніх хвиль в стрижні:

    і = е2е і 11, (8)

    1 ~ Е ~

    де Се = - стрижнева швидкість поздовжніх хвиль.

    \ Рт

    Співвідношення (6) має ті ж підстави, що і формула (5),

    ! \ Г ді, (х) дщ (х,) саме: М (х1) = Е I х2-dx2dx3 = -и ----. для виведення

    Ак дх1 дх1

    формули (7) потрібно більш глибокий аналіз [40,41]. Коефіцієнт до служить поправкою до припущень про розподіл напружень

    6 (1 + І

    в перерізі стержня. Отримане в роботі [40] вираз к = ---,

    7 + 6У

    Е

    де у = - 1 є коефіцієнт Пуассона, підкріплюється рассмотре-

    2 /

    ням нетривіальних приватних рішень. Цим виразом ми і будемо користуватися в цій роботі. З рівнянь (3), (4), (6), (7) отримуємо в підсумку систему рівнянь балки Тимошенко:

    Рт JmЩ = ^ т Щ, 11 + к / (-щ) РтЖ = К / (Ж11 -Щ, 1)

    Легко бачити, що вихідна постановка задачі (1) розпадається на дві підсистеми, що описують незалежно один від одного поздовжні і ізгібние коливання стрижня. Таким чином, для визначення параметрів поздовжніх коливань стрижня, викликаних дією гідродинамічної сили? Ж (г) = | рж (х2, х3, г) dx2dx3 = -N (0, г) на удар-

    г < до

    ний торець, потрібно вирішити задачу

    і - се ~ і 11

    г>0, х1 е [0; Ц] і = і = 0, г = 0, х1 е [0; Ц]

    ЕБіл (0, г) = -? Ж (г), г > 0

    (Ц, г) = 0,

    г > 0

    (9)

    Аналогічним чином, для визначення параметрів згинних коливань стержня, викликаних дією моменту гідродинамічної

    Мж (г) = | х2рж (х2, х3, г) dx2dx3 = -М (0, г) на ударний торець,

    сили

    г < до

    потрібно вирішити задачу

    Рт • 1тЩ = Ит ^ М + кЯ / (-Щ), г > 0 0 < Х1 < Ц

    РтЖ = К / (Ж11 -Щ, 1) ,

    щ (х1,0) = Щ (х1,0) = 0, F (х1,0) = Ж (х1,0) = 0, ИтЩ = -Мж (г), = Щ

    щ, 1 = 0, = щ,

    г > 0, 0 < х1 < Ц

    0< х1 < Ц 0< х1 < Ц г > 0, х1 = 0 г > 0, х1 = Ц

    (10)

    Пряма і зворотна задачі для рівнянь поздовжніх коливань. З огляду на можливості визначати в експерименті по ударному

    входу в воду швидкості вільного торця моделі, природно скористатися рішенням завдання (9) для проведення розрахунків з передбачуваними залежностями Fx (t) і порівняння отриманих результатів з

    експериментальними кривими. Більш того, природно розглядати також і зворотну задачу: по виміряним в експерименті швидкостям вільного торця моделі визначити викликала такий рух торця гидродинамическую навантаження.

    Загальне рішення рівняння (8) дається формулою Даламбера. Використовуючи її, легко методом відображень [42] побудувати аналітичний розв'язок задачі (9). Але якщо користуватися методом інтегральних перетворень, можна одночасно вирішити і зворотну задачу. Крім того, попутно виходить і мотивування підходу до розгляду оберненої задачі і для більш важкого випадку згинальних коливань. Перейдемо в співвідношеннях (9) до зображень по Лапласа:

    u (х151) = і (х15 а), Fx (t) = ФЖ (а) ,

    ад

    де, наприклад, U (х1, а) = ^ u (х1, т) е ~ ат dz. При цьому виходить рівнян-

    0

    ня:

    _2

    і 11 (Х1, а) - U (Х1, а) = 0

    РЄ

    з граничними умовами

    Ф (CT)

    і, 1 (0, *) = - ^ ОІ І та, 1 (0.

    Загальне рішення цього рівняння має вигляд

    АХЦ АХЦ

    і (Х1, а) = С1 (а) е ^ + С2 (а) е ^^ ,

    а для визначення коефіцієнтів С1 (а), С2 (а) з граничних умов слідують співвідношення

    а _ а _ ФЖ (а) а ^ "г а ^ -" г ^ - З, - С2 = - ^ - L і С, ЕСЕ - С2е Се = 0.

    1 2 ГГО 1 2

    Се РЄ -ES РЄ РЄ

    Таким чином, для переміщень рішення в зображеннях має вигляд

    2аЬ стх1 стх1

    ФЖ (а) е Се ЕСЕ + е Се

    і (х ^ а) =

    PтCE Яа

    1-е

    Зображення для швидкостей поперечних перерізів стрижня виходять як V (х1, г) = і (х1, г) = sU (х1,5) = V (х1,5). Отже, для зміщення і швидкості вільного торця маємо

    і (Ь, а) =

    2Фж (а)

    аЬ з "

    PтCE Яа

    V (Ь, а) =

    1 - е Се

    аЬ

    2Фж (а) е ^

    про 2<

    РтCES л -з

    1-е

    2аЬ 'з "

    (11)

    Використовуючи правила поводження для перетворення Лапласа, знаходимо відповідні цим виразами оригінали:

    і

    (Ь, г) =

    V (Аг) =

    Рт ^ Я. 2

    Рт РЄ Я '

    У! ^ Ж г-(2К-1) -

    Кец _ CE

    У р ж Кец г-(2К-1) - _ CE

    (12)

    Тут підсумовування проводиться по безлічі натуральних чисел

    г

    N, а 1ж (г) = | Рж (г) йт є імпульс гідродинамічної сили. заме-

    0

    тім, що Рж = 1ж = 0 при негативних значеннях аргументу.

    Нехай тепер vізм (г) - виміряна в експерименті швидкість вільного торця, тобто і (Ь, г) = vізм (г). В рамках стрижневий теорії фронт обурення, викликаного початком взаємодії стержня з рідиною, приходить на вільний торець в момент г = -. Це означає що

    РЄ

    при 0 < г <Ь маємо vізм (г) = 0. Це мотивує введення позначення

    з

    е

    Е

    м (г) = V

    вим V / вим

    ?

    г + -

    V РЄ J

    це

    Перепишемо (V (?, А) = Гізмо (а) = ^ зм (г)):

    співвідношення

    (13)

    зображеннях

    ?

    т + -

    V РЄ J

    йт =

    м (г) = Ж (а) = | V

    вим \ / вим \ / I і 0

    ® -а \ т - 1 ® _

    I Vізм (?) Е V СЕJ йт = ЕСЕ? Vізм (?) Еа йт = ЕСЕ Vшм (а).

    (14)

    Виключивши з співвідношень (11) і (14) Vізм (а), знаходимо

    Ф ^ (а) = 2 РСЕ

    (_2а? \

    1-е РЄ

    V J

    Ж (а).

    вим \ /

    (15)

    Повертаючись до оригіналів, отримуємо рішення оберненої задачі:

    Р (г) = 1 РСЕ мизма (г) _

    м

    г +-

    2?

    ЛЛ

    -е JJ

    де мшм (г) визначається згідно з формулою (13).

    Залишається обговорити формулу (15). У задачі (9), що є лінійної, все співвідношення є однорідними, крім одного, який визначається деякою функцією х. У нашому випадку цим співвідношенням є гранична умова на ударному торці. Отже, шукане рішення в певному сенсі є пропорційним функції х (в сенсі представлення його у вигляді інтеграла Дюамеля -сверткі даної функції х з фундаментальним рішенням, відповідним заміні функції х на функцію Хевісайда або її узагальнену похідну - дельта-функцію Дірака). У зображеннях диференціальні залежності переходять в алгебраїчні, і зображення шуканого рішення і функції х виявляються пропорційними в звичайному сенсі. Цією обставиною забезпечується отримання співвідношень типу (15). У стрижневий теорії його вдається звернути явно, в разі теорії Тимошенко для згинальних коливань

    в

    З

    е

    такої можливості немає, але звернення перетворення Лапласа можна виконувати за допомогою численних процедур.

    Пряма і зворотна задачі для рівнянь згинних коливань. При несиметричному вході стержня в рідину (кут входу відмінний від вертикального) розподіл тиску рідини по ударному торця наводиться щодо точки Про до нормальної силі Рж (г) і до моменту МЗ (г) навколо осі Ох3 (кути атаки і ковзання

    вважаються рівними нулю). Під дією моменту гідродинамічних сил в матеріалі стержня порушуються ізгібние коливання в площині стрільби Ох1х2. В рамках одновимірної моделі згинальних коливань по теорії Тимошенко маємо задачу (10). У загальному випадку рішення даного завдання неможливо уявити в замкнутій аналітичній формі і дану систему рівнянь доводиться вирішувати чисельно.

    Завдяки гіперболічного типа [43], задача (10) коректно поставлена ​​і добре інтегрується чисельно методом кінцевих різно з г

    стей. Перепишемо систему (10) в безрозмірних змінних г ,

    Я

    _ Х _ і _ и у Ь - М (х1, г) Я - О (х, г) ^ х = Ц і = -, V = -, Ь = -, М = -у 1 ', О. тоді при

    Я Я Я Я И к /

    г > 0 і 0 < х < Ь потрібно знайти рішення системи рівнянь

    д2щ д2щ / ди ^

    - = ~ тт + А \

    дг2 дх2

    2 ^ Г Д2-

    дх

    "дт

    = в

    д V дщ дх2 дх

    Л

    (16)

    задовольняє початковим умовам

    щ (х, 0) = щ (х), дщ (х, 0) = Щ (х)

    ди

    и (х, 0) = (х), - (х, 0) = V (х)

    (17)

    і граничним умовам

    ^ (0, Т) = - М (Г), Ц (0, Т) -? (0, Т) = е, (г) § (- Г) = _ м2 (Г), | (- 7) -у (Г, Г) = 82 (1)

    Формули (6), (7) в безрозмірних змінних мають вигляд

    М (х.т, 8 (х, Г) = дм -у-

    дх дх

    (18)

    Коефіцієнти А, В в рівняннях (16) визначаються як

    ВА = В - = 4В. Е J

    ПМ 4

    оскільки? = ПЯ2, J =. Введення функцій У01 (х), М01 (х),

    М12 (г), Е12 (г) надає умовам (17), (18) велику спільність і

    дозволяє проводити детальне тестування різницевої схеми.

    Рівняння (16) апроксимувались на рівномірній сітці за х і г центральними різницями. При апроксимації початкових і граничних умов по необхідності використовувалися односторонні різниці, потім, на підставі аналізу розкладів в ряди методом [44], виявлялися поправки до різницевих апроксимацій, що забезпечують точність другого порядку. Результуюча явна тришарова різницева схема має такий вигляд [32,45]. для внутрішніх

    вузлів х. =] До, де до = -, у = 1,2, .. пх -1, і моментів часу гк = кт,

    7 ПХ

    де к = 1,2, .., рішення на наступному часовому шарі гк + 1 обчислюється за формулами

    . = 2УК + Т (1 - У +1) + АТТ (1 -1 2К ^ к)

    '' Ч-ч 2к

    м + 1 = 2М - мк-1 + Т (1 - 2М + 1) - -

    7 11 к2 1. + 1 7 7-17 2к

    (19)

    Початкові умови на шарі г0 = 0 обчислюються як

    у0 = у (х), М0 = м (х) (20)

    у всіх пх +1 вузлах х, (, = 0,1, .. пх). На попередньому шарі = -т використовуються співвідношення

    щ-1 = щ00 -щ ()

    - \ Т

    + -

    yoщ

    (Х -) + 1 [% (х,) -щ (X.)

    yoх2

    ох

    -1 - 0 - / - \ Вт м>- =? (Х;) + -

    Е2 / _ \ yoщ0 / _

    yoх2

    (Х,) (Х,)

    . (21)

    Сіткові значення в граничних вузлах при к = 1,2, .. обчислюються за різницевими співвідношеннями

    до + 1

    1

    Щ0 = "

    1 +

    щп; 1 =-

    2Т2 1

    1+

    І

    2Т2

    І 2

    до + 1 '* ЩК + ?

    І 2

    ,до + 1 + "

    щ-1 | 2Т2

    (2щк-Щк0 -1) + ІМ1 (до + 1) +

    АН2 \

    + - 01 (4 + 1)

    (2щкх -щк: 1) - їм 2 (тк + 1) -АН2 -

    02 (4 + 1)

    ^ + 1 =-

    1

    1+

    І 2

    =-

    2В? 1

    й? 1 (2 ^ к-ЩК-1) -Нщ

    2 Вт

    до + 1

    І 2 ^

    -щ (4 + 1) + у М1 (4 + 1)

    1+

    І 2

    2Вт

    +

    І 2

    2В?

    (2й? -Щк-) + НЩ

    до + 1

    І 2 ^

    + Н02 (4 + 1) + розум 2 (4 + 1)

    (22)

    Приклади розрахунків за разностной схемою (19) - (22) представлені нижче в порівнянні з експериментальними даними (рис. 5-6) і демонструють цілком слушного якісне збіг хвильових картин.

    Для розв'язання оберненої задачі використання розробленої різницевої схеми проблематично. Дійсно, вважаючи залежність М1 (^) шуканої, а кут повороту вільного торця відомим з експерименту як щ (Ь, /) = щексп (Ь, /), будемо мати замість співвідношень

    (18), де в нашому випадку М1 (г) = МЗ (г), М2 (г) = 812 (г) = 0, систему граничних умов

    § (0, Г) = у (0, г) '?, Т) = 0

    дх I. (23)

    дм (?, т) = щ (?, Т)

    ?, г) = УЕКсп (^)

    Легко, проте, бачити, що друге співвідношення системи різницевих рівнянь (22) виявляється достатнім для обчислення значення у / кп + = у (?, гк + 1) = ужсп (гк + 1). Це означає, що три граничних

    умови системи (23), що відносяться до вільного торця, утворюють перевизначену підсистему. При цьому на ударному торці виходить недостача граничних умов. Хоча, в принципі, це може бути якось використано, але, з огляду на зазначеної вище перевизначення умов на правій межі, слід очікувати нестійкості обчислень. Тому, щоб реалізувати обчислення з граничними умовами (23), знадобиться, як мінімум, розробляти деякі ре-гулярізующіе процедури.

    Інший підхід до розв'язання оберненої задачі полягає в застосуванні методу інтегральних перетворень з метою отримання залежності зображення М1 (5) = М1 (г) шуканого моменту гідродинамічних

    сил від зображення? (?, 5) = у (?, г) експериментально вимірюваного

    кута повороту вільного торця циліндра і в подальшому чисельному зверненні цієї залежності.

    У зображеннях по Лапласу замість рівнянь (16) - (18) маємо співвідношення

    д 2? Адж I 2

    + А- = (5 2 +

    сх2 В

    (Д 2Ш

    дх

    (52 + А)?

    Л

    (24)

    дх дх

    = 5 2Ж

    Ц (О, 5) = - М, (5), дх (0,5) = * (0,5)

    I (Ь, 5) = 0, ^^^ 5)

    (25)

    Система рівнянь (24) є однорідною, і її спільне рішення має вигляд

    * (Х, 5) = 1 С е

    1 = 1

    F (X, 5) = 1 Бе

    1 = 1

    до, (5

    до, (5) х

    (26)

    причому

    до В

    Б = ---- З

    Б 52 - до 2 Нд]

    к1,2 (5 + в -1 в -1 -1) 2 -16

    кз, 4 (5 > = ± ^ 1 + в-1 в-1 -1)

    1 Л2 16

    ,2 '

    В результаті підстановки виразів (26) в (25) отримуємо систему лінійних рівнянь щодо коефіцієнтів С ,:

    I к1С1 = М1 (5)

    1 = 1 4

    I к / '(5) ЬС} = 0 = 1

    4 1

    I

    С = 0

    1 = 1 52 - до] в 1

    4 1 -

    1 ~ 1 ~ Г ек] ЬС, = 0

    ? 52 - к) В 1

    вирішуючи яку, знаходимо шукану зв'язок між зображеннями М1 (5)

    І

    ?ь (5) =? (1,5) = у (I, X + ЬX):

    М1 (5) = Т (5)? ​​Ь (5) ,

    (27)

    де

    Т (5) = 2к1к3

    1 - ек (к1 Ь) ек (к3 Ь)

    +

    Бе15 (к2 - К32)

    к2) уп-у '-1-У3-

    3/52 - к12 Б 52 - К32 Б

    к3 5к (к1 Ь) к15к (к3 Ь)

    +

    Для знаходження шуканого оригіналу М1 (X) потрібно чисельно обчислити інтеграл

    де е - позитивна постійна, що обирається, так, щоб особливі точки ядра інтегрування залишалися зліва від прямої Яе 5 = е комплексної площині 5.

    Аналогічним чином можна записати формулу звернення для

    Користуючись цією формулою, можна обчислювати значення кута повороту вільного торця моделі незалежно від раніше описаного методу скінченних різниць, що використовувалося в роботі [45] для тестування різницевої схеми. Ця формула, не будучи конкурентоспроможною зі схемою (19) - (22) в сенсі ефективності, дозволяє, однак, зробити обчислення для будь-якого окремо взятого моменту часу.

    (28)

    з + г ад

    (29)

    Відзначимо, що обчислення за формулою (28), виконувати набагато складніше, ніж по зовні схожою з нею формулі (29). Це не дивно, оскільки типовим при вирішенні зворотних задач є застосування того чи іншого способу регуляризації [46]. У разі формули (29) функція У-1 (^) полюсів в правій півплощині не має,

    4

    але вона має нулі в смузі 0 <Re s <~? - ~, є полюсами

    функції У (s) [45]. З аналізу співвідношення (27) видно, що в тих же точках у функція? L (s) є нулі, компенсуючі особливості У (s). На жаль, функція? L (s) не може бути відома

    точно, оскільки являє собою чисельну зображення по Лапласа одержуваної з експерименту, тобто неточно відомої, залежно y / L (t) .

    Деякі результати. На рис. 5 представлені приклади результатів реєстрації кутів повороту вільного, дзеркального торця моделей, отримані в випробуваннях, що проводилися за схемою рис. 3б [32, 45]. Відповідні розрахункові залежності побудовані на рис. 6 в координатах (4, п) площині екрану [45]:

    2 sin р \ l3 cos р sin2 у (L, t) + f (t) cos2 у (L, t)]

    ? =-

    П =

    sin2 p + cos2 р cos 2у (L, t) [l3 cosp + f (t) cos2p] sin2y (L, t) sin2 p + cos2 p cos 2у (L, t)

    (30)

    У цих формулах р - кут між променем лазера від джерела і віссю каналу ствола, 1е - відстань від точки перетину цих напрямків (точка юстирування) до екрану (рис. Зб), / (г) = У ^ г - і (Ь, г ) -w (Ь, г) Ь, г).

    Розрахунки проводилися за формулами (12), (19) - (22), (30) для залежностей? Ж (г), МЗ (г) гідродинамічної сили і моменту, отриманих в роботах [20, 21].

    Залежність ММ (5) = -ж (^, де 5 = 1ев, апроксимувати дугами парабол:

    Мал. 5. Приклади осциллограмм реєстрації згинальних коливань вільного торця моделі (У0 в м / с, в = 60 °)

    60 -50 -40 -30 -20 -10 -о -

    <про

    -10 -

    /, Мм

    Мал. 6. Розрахункові залежності кутів повороту вільного торця моделі при згинальних коливаннях, викликаних проникненням в воду (1 - У0 = 185,1 = 4; 2 - У0 = 273,1 = 4; 3 - У0 = 192,1 = 8)

    Коефіцієнти залежності (31) підбиралися відповідно до результатів роботи [21]. Дані, відповідні кутку входу 0 = 60 °, наведені в табл. 1.

    Таблиця 1

    Значення параметрів залежно Мг (ж) для 0 = 60 °

    значення

    ММ Ш! До 2 0,366

    З шек 0,310

    С01 0,620

    ММ 2 0,186

    0,745

    С02 0,900

    При порівнянні розрахункових і експериментальних залежностей можна знайти їх очевидне якісне подібність. У кількісному відношенні є розбіжності, які передбачають додаткові дослідження по ряду напрямків. Зокрема, дані для залежностей? Ж (г), МЗ (г) екстраполювалися зі значень МЗ ~ 0,005

    на значення МЗ ~ 0,2. Але тоді важливо оцінити ступінь похибки

    цієї екстраполяції. Одним з можливих шляхів отримання даних оцінок є рішення оберненої задачі, наприклад, в постановці (28).

    ЛІГЕРАХУРА

    [1] Бабкін А.В., Колпаков В.І., Охітін В.Н., Селіванов В.В. Чисельні методи в задачах вибуху і удару. Москва, Изд-во М ^ У ім. Н.е. Баумана, 2000. 516с.

    [2] Баженов В.Г., Котов В .Л. Математичне моделювання нестаціонарних процесів удару і проникнення осесиметричних тіл і ідентифікація властивостей ґрунтових середовищ. Москва, ФІЗМАТОІ ^ 2011. 208с.

    [3] Oden J.T. Finite elements of nonlinear continua. New York, McGraw-Hill Book Company, 1972. -464p.

    [4] Альев Г.А. Просторова задача про занурення диска в стисливу рідина. Изв. АН СРСР, МЖГ, 1988, №1, С.17-20.

    [5] Tерентьев А.Г., Чечнєв А.В. Чисельне дослідження входу пластини і диска в стисливу рідина. Изв. АН СРСР, МЖГ, 1985, №2, с.104-107.

    [6] Нігматулін Р.І. Механіка суцільного середовища. Кінематика. Динаміка. Термодинаміка. Статистична динаміка. Москва, ГЕOTAР-Медіа, 2014 року, 640 з.

    [7] Dimitrienko Yu.I. Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions. Kluwer Academic Publishers, 2002. 662p.

    [8] Дімітріенко Ю.І. Нелінійна механіка суцільного середовища. Москва, Фізмат 2009, 629 с.

    [9] Дімітріенко Ю.І. Механіка суцільного середовища. У 4 т. Т. 4. Основи механіки твердих середовищ. Москва, Изд-во М ^ У ім. Н.е. Баумана, 2013, 624 с.

    [10] Кувиркін Г.Н. Термомеханіки деформівного твердого тіла при високоинтенсивном навантаженні. Москва, Изд-во М ^ У ім. Н.е. Баумана, 1993. 142с.

    [11] Селіванов В.В. Механіка руйнування тіла, що деформується. Москва, Изд-во М ^ У ім. Н.е. Баумана, 2006. 424с.

    [12] Ерошин В.А. Експериментальне дослідження входу пружного циліндра в воду з великою швидкістю. Изв. РАН, МЖГ, 1992, №5, с.20-30.

    [13] Шоригін О.П. Занурення в рідину тіл обертання найпростіших форм під кутом до вільної поверхні. Несталі течії води з великими швидкостями. Москва, Наука, 1973, с.397-403.

    [14] Бівін Ю.К., Глухів Ю.М., Пермяков Ю.В. Вертикальний вхід в твердих тіл в воду. Изв. АН СРСР, МЖГ, 1985, №6, с.3-9.

    [15] Сєдов Л.І. Плоскі задачі гідродинаміки і аеродинаміки. Москва, Наука, 1980. 440С.

    [16] Логвинович Г.В., Якимів Ю.Л. Занурення тел в рідину з великими швидкостями. Несталі течії води з великими швидкостями. Москва, Наука, 1973. с.85-92.

    [17] Сагомонян А.Я. Падіння плоскої пластинки на поверхню стисливої ​​рідини. Вісник МГУ, матем., Хутро., 1959, №2, С.49-53.

    [18] Поручиків В.Б. Удар диска по поверхні ідеальної стисливої ​​рідини. ПММ, 1964, Т.28, вип.4, с.797-800.

    [19] Поручиків В.Б. Проникання конуса в стисливу рідина. ПММ, 1973, т.37, вип.1, с.180-187.

    [20] Журавльов Ю.Ф. Занурення в рідину диска під кутом до вільної поверхні. Зб. робіт з гідродинаміки, 1959, с.227-232.

    [21] Осьмінін Р.І. Вимірювання коефіцієнта моменту сили, що діє на ізольований диск при зануренні його під кутом до вільної поверхні. Праці ЦАГІ, 1976, вип.1741, С.19-23.

    [22] Ерошин В.А., Константинов Г.А., Ромененков Н.І., Якимів Ю.Л. Експериментальне визначення тиску на диску при зануренні в стисливу рідина під кутом до вільної поверхні. Изв. АН СРСР, МЖГ, 1988, №2, С.21-25.

    [23] Ерошин В.А., Константинов Г.А., Ромененков Н.І., Якимів Ю.Л. Експериментальне визначення моменту гідродинамічних сил при несиметричному прониканні диска в стисливу рідина. Изв. АН СРСР, МЖГ, 1990, №5, с.88-94.

    [24] Ерошин В.А., Самсонов В.А. Про вхід в воду симетричних тел. ПММ, 2016, №5, с. 1020-1027.

    [25] Грумондз В.Т., Журавльов Ю.Ф., Паришів Е.В., Соколянський В.П., Шори-гін В.П. Гідродинаміка і динаміка високошвидкісного руху тіл в рідині. Москва, Наука, 2013, 574 с.

    [26] Грумондз В.Т., Половинкин В.В., Яковлев Г.А. Теорія руху двусред-них апаратів. Математичні моделі і методи дослідження. Москва, Вузівська книга, 2012. 644с.

    [27] Grumondz V.T. Unmanned Vehicle Configuration. Multicriteria Approaches in Mechanical Engineering. Multicriteria Design. Optimization and Identification. Dordrecht; Boston; L .; Kluwer Acad. Publ., 2000., p.73-80.

    [28] Тарасов Е.В., Уваров Г.В. Високошвидкісна підводний ракета. Проблеми та алгоритми проектних досліджень системи «каверна - підводний ракета». Москва, Вузівська книга, 2013. 252с.

    [29] Гуревич М.І. Теорія струменів ідеальної рідини. Москва, Наука, 1979. 536с.

    [30] Якимів Ю.Л., Ерошин В.А., Романенков Н.І. Моделювання руху тіла в воді з урахуванням її стисливості. Деякі питання механіки суцільного середовища. Москва, Изд-во Московск. ун-ту, 1978, С.29-33.

    [31] Ерошин В.А., Романенков Н.І., Серебряков І.С., Якимів Ю.Л. Гідродинамічні сили при ударі тупих тел об поверхню стисливої ​​рідини. Изв. АН СРСР, МЖГ, 1980, №6, с.44-51.

    [32] Ерошин В.А., Плюснин А.В., Созоненко Ю.А., Якимів Ю.Л. Про методику дослідження згинальних коливань пружного циліндра при вході у воду під кутом до вільної поверхні. Изв. АН СРСР, МЖГ, 1989, №6, с.164-167.

    [33] Ерошин В.А. Експериментальне вивчення хвиль стиснення, що збуджуються в пружному циліндрі при вході у воду. Прикладні проблеми міцності і пластичності. Нижній Новгород, Ніж.ГУ, 1990, с.82-88.

    [34] Серебряков І.С. Пристрій для визначення прискорення. А.с. 638897 СРСР. Відкриття, винаходи, пром. зразки і тов. знаки, 1978, №47.

    [35] Ерошин В.А., Макаршін В.М., Константинов Г.А., Романенков Н.І., Якимів Ю.Л., Плюснин А.В. Спосіб визначення параметрів руху об'єкта із дзеркальною поверхнею та пристрій для його здійснення. А.с. 1486775 СРСР. Опубл. 15.06.89, Бюл. №22.

    [36] Ватульян А.О. Зворотні задачі в механіці деформованого твердого тіла. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2007. 224с.

    [37] Sellier M. An iterative method for the inverse elasto-static problem. Journal of Fluids and Structures, 2011, v.27, iss.8, pp. 1461-1470.

    [38] Ellabib A., Nachaoui A. An iterative approach to the solution of an inverse problem in linear elasticity. Mathematics and Computers in Simulation, 2008, v.77, iss.2-3, pp. 189-201.

    [39] Дімітріенко Ю.І., Юрін Ю.В., Еголева Е.С. Чисельне рішення зворотних тривимірних задач відновлення навантажень, що діють на композитні елементи конструкцій. Математичне моделювання та чисельні методи 2017, №4, c.48-59.

    [40] Cowper G.R. The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theor. Journal of Applied Mechanics, 1966, v.33, №2, p.335-340.

    [41] Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уівер У. Коливання в інженерній справі. Москва, Машинобудування, 1985. 472с.

    [42] Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теорія пружності. Москва, Наука, 1979, 560 с.

    [43] Слєпян Л.І. Нестаціонарні пружні хвилі. Ленінград, Суднобудування, 1972. 376 с.

    [44] Годунов С.К., Рябенький В.С. Різницеві схеми. Введення в теорію. Москва, Наука, 1977. 439с.

    [45] Плюснин А.В. Динамічні процеси в пружному циліндрі при його ударі об поверхню води. Дисертація на здобуття уч. степ. канд. фіз.-мат.наук по спец. 01.02.04. механіка деформованого твердого тіла. Москва, МГУ, 1991. 167с.

    [46] Тихонов А.Н., Арсенін В.Я. Методи розв'язання некоректних задач. Москва, Наука, 1979, 288 с.

    Стаття надійшла 15.10.2018

    Посилання на цю статтю просимо оформляти наступним чином:

    Ерошин В.А., Плюснин А.В. Математичні методи ідентифікації гідродинамічних навантажень при ударі об воду, засновані на одновимірних теоріях поширення пружних хвиль в стрижнях. Математичне моделювання та чисельні методи, 2018, № 3, с. 67-94.

    Ерошин Володимир Андрійович - доктор фізико-математичних наук, провідний науковий співробітник НДІ механіки МДУ ім. М.В. Ломоносова.

    Плюснин Андрій Володимирович закінчив Дніпропетровський державний університет за спеціальністю «Гідроаеродинаміка» і аспірантуру кафедри «Хвильова і газова динаміка» МДУ ім. М.В. Ломоносова. Канд. фіз.-мат. наук, доцент-сумісник кафедри «Обчислювальна математика і математична фізика» МГТУ ім. Н.е. Баумана, заступник начальника відділу АТ «ВПК« НВО машинобудування ». Автор близько 30 робіт з нестаціонарним завданням гідрогазодинаміки і теорії пружності. e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Mathematical methods of identification of hydrodynamic loads at impact on water based on one-dimensional theories of elastic wave propagation in rods

    © A.V. Eroshin1, A.V. Plyusnin 2, 3

    1 Institute of mechanics, Moscow state University. M. V. Lomonosov, Moscow, 119192, Russia 2 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia 3 JSC "MIC" NPO Mashinostroenia ", Moscow region, Reutov-town, 143966, Russia

    The problem of longitudinal and transversal oscillations of elastic cylinder generated by high velocity impact of the forward end on the water surface is considered from the point of the identification of hydrodynamic forces by treating optical measuring data of the opposite end motions. The statements of the direct and reverse problems are derived, based on the one-dimensional theories of Saint-Venan and Timoshenko, which provides the hy-perbolicity of the governing equations. The results of the direct problem calculations by the finite-difference method are compared with the available experimental traces and show rather accurate qualitative coincidence.

    Keywords: water impact, elastic waves, finite-difference scheme.

    REFERENCES

    [1] Babkin A.V., Kolpakov B.I., Okhitin V.N., Selivanov V.V. Chislennye metody v zadachah vzryva i udara [Numerical methods in explosion and shock problems]. Moscow, BMSTU Publ., 2000. 516 p.

    [2] Bazhenov V.G., Kotov V.L. Matematicheskoe modelirovanie nestacionarnykh processov udara i pronikaniya isesimmetrichnykh tel i identifikacii svoistv gruntovykh sred [Mathematical modeling of unsteady impact and penetration processes of axisymmetric bodies and identification of soil media properties]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2011. 208 p.

    [3] Oden J.T. Finite elements of nonlinear continua. New York, McGraw-Hill Book Company, 1972. -464p.

    [4] Alyev G.A. Izv. AN SSSR, MJG - News of the USSR AS. FGM, 1988, no. 1, pp.17-20.

    [5] Terentev A.G., Chechnev A.V. Izv. AN SSSR, MJG - News of the USSR AS. FGM, 1985, no. 2, pp.104-107.

    [6] Nigmatulin R.I. Mekhanika sploshnoy sredy. Kinematika. Dinamika. Ter-modinamika. Statisticheskaya dinamika [Continuum Mechanics. Kinematics. Dynamics. Thermodynamics. Statistical Dynamics]. Moscow, GEOTARMedia Publ., 2014 року, 640 p.

    [7] Dimitrienko Yu.I. Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions. Kluwer Academic Publishers, 2002. 662p.

    [8] Dimitrienko Y.I. Nelineinaya mehanika sploshnoi sredy [Nonlinear continuum mechanics]. Moscow, PHYSMATH 2009, 629 p.

    [9] Dimitrienko Yu.I. Mekhanika sploshnoy sredy. V 4 tomakh. Tom 4. Osno-vymekaniki tverdykh sred [Continuum mechanics. In 4 vols. Vol. 4. Fundamentals of mechanics of solid mechanics]. Moscow, BMSTU Publ., 2013, 624 p.

    [10] Kuvyrkin G.N. Termomekhanika deformiruemogo tverdogo telapri vysokointen-sivnom nagruzhenii [Thermomechanics of a deformable solid body during high-intensity loading]. Moscow, BMSTU Publ., 1993. 142 p.

    [11] Selivanov V.V. Mekhanika razrusheniya deformirovaniya tela [Fracture mechanics of deformable body]. Moscow, BMSTU Publ., 2006. 424 p.

    [12] Eroshin V.A. Izv. RAN, MJG - News of the RAS. FGM, 1992, no. 5, pp. 20-30.

    [13] Shorygin O.P. Pogruzhenie v zhidkost tel vrasheniya prosteishikh form pod uglom k svobodnoi poverkhnosti. Neustonovivsheecya techeniya vody s bolshimi skorostyami [Immersion in liquid bodies of rotation of the simplest forms at an angle to the free surface. The transient flow of water at high speeds]. Moscow, Nauka Publ., 1973, pp. 397-403.

    [14] Bivin Yu.K., Glukhov Yu.M., Permyakov Yu.V. Izv. AN SSSR, MJG - News of the USSR AS. FGM, 1985, no. 6, pp.3-9.

    [15] Sedov L.I. Ploskie zadachi gidrodinamiki i aerodinamiki [Flat problems of hydrodynamics and aerodynamics]. Moscow, Nauka Publ .. 1980. 440 p.

    [16] Logvinovich G.V., Yakimov Yu.L. Pogruzheniet tel v zhidkost s bolshimi skorostyami. Neustonovivsheecya techeniya vody s bolshimi skorostyami [Immersion of solids in liquid at high speeds. The transient flow of water at high speeds]. Moscow, Nauka Publ., 1973, pp. 85-92.

    [17] Sagomonyan A.Ya. Vestnik MGU, matem., Mekh. - Bulletin MSU, mathem., Mech., 1959, no. 2, pp. 49-53.

    [18] Poruchikov V.B. PMM- AMM, 1964, vol. 28, issue 4, pp. 797-800.

    [19] Poruchikov V.B. PMM - AMM, 1973, vol. 37, issue 1, pp. 180-187.

    [20] Zhuravlev Yu.F. Sb. rabot po gidridinamike - Sat. works on hydrodynamics, 1959, pp. 227-232.

    [21] Osminin R.I. Trudy TSAGI- Processing of the TSAGI, 1976, issue 1741, pp. 1923.

    [22] Eroshin V.A., Konstantinov G.A., Romenenkov N.I. Yakimov Yu.L. Izv. AN SSSR, MJG - News of the USSR AS. FGM, 1988, no. 2, pp. 21-25.

    [23] Eroshin V.A., Konstantinov G.A., Romenenkov N.I. Yakimov Yu.L. Izv. AN SSSR, MJG - News of the USSR AS. FGM, 1990, no. 5, pp. 88-94.

    [24] Eroshin V.A., Samsonov V.A. PMM - AMM, 2016, no. 5, pp. 1020-1027.

    [25] Grumondz V.T., Zhuravlev Yu.F., Paryshev E.V., Sokolyanskiy V.P., Shorygin V.P. Gidrodinamika i dinamika vysokoskorostnogo dvizheniya tel v zhidkosti [Hydrodynamics and dynamics of high-speed motion of bodies in fluid]. Moscow, Nauka Publ., 2013, 574 p.

    [26] Grumondz V.T., Polovinkin V.V., Yakovlev G.A. Teoriya dvizheniya dvusred-nykh apparatov. Matematicheskie modeli i metody issledovaniya [Theory of motion of two-medium devices. Mathematical models and research methods]. Moscow, Vuzovskaya kniga Publ., 2012. 644 p.

    [27] Grumondz V.T. Unmanned Vehicle Configuration. Multicriteria Approaches in Mechanical Engineering. Multicriteria Design. Optimization and Identification. Dordrecht; Boston; L .; Kluwer Acad. Publ., 2000., p.73-80.

    [28] Tarasov E.V., Uvarov G.V. Vysokoskorostnaya podvodnaya raketa. Problemy i algoritmy proekt-nyh issledovanij sistemy «kaverna - podvodnaya raketa» [High-speed underwater missile. Problems and algorithms of design studies of the "kaverna - underwater rocket" system »]. Moscow, Vuzovskaya kniga Publ., 2013. 252 p.

    [29] Gurevich M.I. Teoriya struj ideal'noj zhidkosti [Theory of jets in an ideal fluid]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 536 p.

    [30] Yakimov YU.L., Eroshin V.A., Romanenkov N.I. Modelirovanie dvizheniya tela v vode s uchetom ee szhimaemosti. Nekotorye voprosy mekhaniki sploshnoj

    sredy [Modeling of body motion in water taking into account its compressibility. Some questions of continuum mechanics]. Moscow, MSU Publ., 1978, pp. 2933

    [31] Eroshin V.A., Romanenkov N.I., Serebryakov I.S., Yakimov Yu.L. Izv. AN SSSR, MJG - News of the USSR AS. FGM, 1980, no. 6, pp.44-51.

    [32] Eroshin V.A., Plyusnin A.V., Sozonenko YU.A., Yakimov Yu.L. Izv. AN SSSR, MJG - News of the USSR AS. FGM, 1989, no. 6, pp.164-167.

    [33] Eroshin V.A. Ehksperimental'noe izuchenie voln szhatiya, vozbuzhdayu-shchihsya v uprugom cilindrepri vhode v vodu. Prikladnye problemy prochnosti i plastichnosti [Experimental study of compression waves excited in an elastic cylinder at the entrance to water. Applied problems of strength and plasticity]. Nizhnij Novgorod, Nizh.GU Publ., 1990, pp.82-88.

    [34] Serebryakov I.S. Ustrojstvo dlya opredeleniya uskoreniya [Device for determining acceleration]. A.s. 638897 SSSR. Otkrytiya, izobreteniya, prom. obrazcy i tov. znaki, 1978, №47.

    [35] Eroshin V.A., Makarshin V.M., Konstantinov G.A., Romanenkov N.I., Yakimov Yu.L., Plyusnin A.V. Sposob opredeleniya parametrov dvizheniya ob "ekta s zerkal'noj poverhnost'yu i ustrojstvo dlya ego osushchestvleniya [A method for determining the parameters of motion of an object with a mirror surface and a device for its implementation]. As 1486775 SSSR. 15.06.89 , B. №22.

    [36] Vatul'yan A.O. Obratnye zadachi v mekhanike deformiruemogo tverdogo tela [Inverse problems in solid mechanics]. Moscow, Fizmatlit, 2007. 224 p.

    [37] Sellier M. An iterative method for the inverse elasto-static problem. Journal of Fluids and Structures, 2011, v.27, iss.8, pp. 1461-1470.

    [38] Ellabib A., Nachaoui A. An iterative approach to the solution of an inverse problem in linear elasticity. Mathematics and Computers in Simulation, 2008, v.77, iss.2-3, pp. 189-201.

    [39] Dimitrienko Yu.I., Yurin Yu.V., Egoleva E.S. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody - Mathematical Modeling and Computational Methods 2017, no. 4, pp. 48-59.

    [40] Cowper G.R. The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theor. Journal of Applied Mechanics, 1966, v.33, №2, p.335-340.

    [41] Timoshenko S.P., Yang D.H., Uiver U. Kolebaniya v inzhenernom dele [Fluctuations in engineering]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1985. 472 p.

    [42] Timoshenko S.P., Goodier J.N. Theory of Elasticity. McGraw-Hill Education, 1970, 608 p. [In Russ .: Timoshenko S.P., Goodier J.N. Teoriya uprugosti. Moscow, Nauka Publ., 1979, 560 p.].

    [43] Slepyan L.I. Nestacionarnye uprugie volny [Non-stationary elastic waves]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1979. 376 p.

    [44] Godunov S.K., Ryaben'kij V.S. Raznostnye skhemy. Vvedenie v teoriyu [Difference scheme. Introduction to theory]. Moscow, Nauka Publ., 439 p.

    [45] Plyusnin A.V. Dinamicheskie processy v uprugom cilindre pri ego udare o poverhnost 'vody [Dynamic processes in an elastic cylinder with its impact on the surface of the water]. The dissertation on competition Uch. step. kand. Fiz.-Mat. Sciences on special. 01.02.04. mechanics of deformable solid. Moscow, Moscow state University, 1991. 167s.

    [46] Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach [Methods for solving incorrect problems]. Moscow, Nauka Publ., 1979, 288 p.

    Eroshin A.V. Doctor Of Physics And Mathematics, leading researcher at the Institute of mechanics of Moscow state University. M. V. Lomonosov.

    A.B. Epornun, A.B. nmcnun

    Plyusnin A.V., graduated from Dnepropetrovsk State University, majoring in Aerohydrody-namics and obtained a degree in the Department of Wave and Gas Dynamics, Lomonosov Moscow State University. Cand. Sci. (Phys. & Math.), Assoc. Professor of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department at the Bauman Moscow State Technical University, Deputy Director of the Department in at JSC "MIC" Mashinostroeniya ". Author of approximately 30 publications in the field of nonstationary problems of hydrodynamics, gasdynamics and theory of elasticity . e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.


    Ключові слова: УДАР Про ВОДУ /ПРУЖНІ ХВИЛІ /ЗВИЧАЙНО-різницевої схеми /WATER IMPACT /ELASTIC WAVES /FINITE-DIFFERENCE SCHEME

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити