Досліджується питання про відповідність навчання математики її когнітивної та епістемологічної природі.

Анотація наукової статті по наукам про освіту, автор наукової роботи - Когаловскій Сергій Рувимович


Mathematical education as a component of general education

We explore the issue regarding the conformity of teaching mathematics for its cognitive and epistemological nature.


Область наук:

  • Науки про освіту

  • Рік видавництва: 2017


    Журнал

    Шкільні технології


    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНЕ ОСВІТА ЯК КОМПОНЕНТ ЗАГАЛЬНОГО ОСВІТИ'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНЕ ОСВІТА ЯК КОМПОНЕНТ ЗАГАЛЬНОГО ОСВІТИ»

    ?

    МАТЕМАТИЧНЕ ОСВІТА ЯК КОМПОНЕНТ ЗАГАЛЬНОГО ОСВІТИ

    Сергій Рувимович Когаловскій, професор кафедри математики, фізики та методики навчання, кандидат фізико-математичних наук, професор, Шуйський філія ФГБОУ ВПО «Іванівський державний університет»

    • навчання математики • когнітивна природа математики • епістемологична природа математики • метатеоретическое моделювання • рівні ідеалізації • ідеальна форма пошуково-дослідницької діяльності

    Чи хтось із фахівців в галузі освіти не погодиться з тим, що навчання математиці повинно: 1) узгоджувати власні дії з законами психології пізнання, 2) нести освоєння математичних знань, умінь і навичок, необхідних для успішної соціалізації в сучасному соціумі, і 3) відповідати природі математики (і з тим, що аналогічним вимогам має слідувати навчання будь-хто інший навчального предмета). Чи хто-небудь з них не погодиться з тим, що при всіх досягненнях, що відносяться до перших двох вимогам, дослідження в цих напрямках необхідно розвивати. Але небагато знайдеться тих, хто не визнає третя вимога банальним, що не заслуговує на спеціальних досліджень. Чи не є, однак, ця банальність лише уявною? Чи не ховається за нею недостатня з'ясовано-ність ту особливу роль, яку шкільний курс математики повинен грати в системі загальної освіти, і коштів, необхідних для повнокровного її реалізації?

    Сформулюємо питання трохи інакше: якою мірою сьогоднішні стандарти і відповідні їм програми шкільного курсу математики відповідають тій ролі, яку курс математики повинен грати в системі загальної освіти?

    Многопоколенного досвід використання терміна «математика», включеність в його значення широкої різноманітності предметного змісту і, як наслідок, включеність безлічі супутніх асоціацій, «наростання» на ньому різноспрямованих концептуальних образів - все це робить вельми непростим осягнення природи математики. Яким би не було (розумне) понима-

    ня того, що таке математика, за його межами залишається представляється цим терміном і продовжує розвиватися багатий когнітивний потенціал, який перебуває в формі «колективного несвідомого» науково-педагогічної спільноти і чекає визрівання засобів його усвідомлення, продуктивного раціонального вираження і реалізації. Однак проблема модернізації математичної освіти, проблема його належного сообразованія з гуманітарними цінностями і потребами розвивається соціуму вимагають такого прояснення когнітивної та епістемологічної природи математики, яке могло б служити ефективним мета-орієнтовним засобом при дослідженні цих проблем.

    Представники педагогічної громадськості одностайні в тому, що особлива роль математичної освіти полягає в логічному розвитку учнів, або, краще сказати, в розвитку логічності їх мислення. Вони визнають, що логічність мислення розвиває і навчання фізики, біології, мов, але вважають, що якщо при навчанні цих предметів розвиток логічності мислення є лише епіфеноменом навчання, то навчання математики направлено на це прямим чином, безпосередньо. Але чи правильно останнім?

    Розглянемо наступний Приклад 1, пов'язаний з першими кроками аналізу поняття межі числової послідовності: якою б довгий початковий шматок послідовності ми не взяли і яким би новим

    шматком, довгим _

    або коротким, його ні замінили, отримана последова-

    1 Приклад наведено в нашій статті «Поняття моделі та математика. Частина 2 »в ШТ №5, 2013.

    ність сходиться або розходиться разом з даної, і якщо ці послідовності сходяться, то вони мають один і той же межа. Це абсолютно нова для учнів ситуація, яка виступає як парадоксальна: виходить, що властивість послідовності бути сходящейся не залежить ні від якого її члена, тобто що воно подібно посмішці чеширского кота (як би) не пов'язане з її «плоттю»! Таким чином, вже початкові кроки у вивченні поняття границі послідовності припускають новий склад мислення, нову логіку, прилучення до якої можна здійснити тільки через занурення в саму математичну діяльність. Розглянута ситуація демонструє аж ніяк не унікальний випадок, коли той чи інший логічний план виступає не як спочатку наявне засіб математичної діяльності, а як її продукт, що несе кошти сходження на новий її рівень.

    А тепер розглянемо такі елементарні завдання: а) довести, що при будь-якому значенні параметра а існує таке значення параметра Ь, при якому рівняння х3 + ах2 + Ьх = 0 має єдиний корінь; 2) дізнатися, чи вірно, що при будь-якому значенні параметра Ь існує таке значення параметра а, при якому це рівняння має єдиний корінь; 3) дізнатися, чи є таке значення Ь, що при будь-якому значенні а це рівняння має єдиний корінь.

    Висловлювання, що є предметами цих завдань, виразність такими попереджання формулами вузького числення предикатів, в які входять і квантори спільності, і квантор існування. Зауважимо також, що визначення поняття границі послідовності виразність попереджання формулою з двома змінами кванторів. Звичайно, залучення учнів до власне логічного плану, до тих чи інших логічним формам, до явно висловлюваним логічним законам підвищує їх логічну культуру і допомагає залученню до ситуацій, за якими стоять нові для них більш складні логічні форми. А залучення до таких ситуацій підвищує рівень логічності їх мислення. Освоєння ж власне логічного плану, зокрема, тієї чи іншої логічної форми происхо-

    дит тоді, коли сама ця форма стає предметом вивчення і за допомогою вивчення знаходить «самостояння». Але і такі дослідження потребують зверненнях до ситуацій, що становлять цю логічну форму. Аналогічне справедливо по відношенню до будь-яких метапредмета-них форм.

    Освоєння ситуацій, подібних описаним, здійснюється і незалежно від того, чи усвідомлюють учні стоять за цими ситуаціями логічні форми як такі, подібно до того, як жива мова освоюється без звернення до його граматиці. І подібно до того, як для досягнення мовної культури принципово недостатньо граматики (освоюється мови), для досягнення того рівня логічності мислення, який необхідний для успішного освоєння курсу математики, принципово недостатньо навчання власне логіці, наприклад, в тому дусі, в якому навчають логіці майбутніх вчителів . До того ж нерідко ними вивчається єдино класична логіка, тоді як навіть елементарні рівні математичної діяльності використовують далеко не тільки класичну логіку. Так, в процесі відкриття школярем докази тієї чи іншої теореми використовуються різні логіки: якщо саме шукане доказ використовує класичну логіку, то логіка його пошуку використовує і інтуїционістському логіку, а логіка його перевірки - конструктивну логіку. Та й в самому процесі вивчення класичної логіки несвідомо використовуються різні логіки. Математична діяльність не просто полілогічне, але полілогічне як супроводжувана активними взаємодіями різних логік, їх полілог. Звісно ж, що полі-ло-гічность мислення, притаманна, звичайно, не тільки математичної діяльності, але характерна для неї як для діяльності багатовимірної, повинна стати особливим предметом досліджень і не тільки в області методики навчання математики, а й в області загальної дидактики.

    При навчанні математики формуванню і розвитку логічності мислення учнів сприяє не стільки навчання, спрямоване прямим, безпосереднім чином на власне логічне їх розвиток, скільки багатовимірна математична діяльність, яка використовує

    Когаловскій С.Р. МАТЕМАТИЧНЕ ОСВІТА ЯК КОМПОНЕНТ ЗАГАЛЬНОГО ОСВІТИ

    СОШУШУРЖ ...... У ....... ПЕДАГОГІЧНІ ....... ШШШ ....... ТШ0Л0ГШ1Ш

    широке різноманіття форм і рівнів мишленія2.

    Аналогічне начебто вірно щодо розвитку логічності мислення учнів при їх навчанні інших навчальних предметів. Але тоді які ж ті особливі продуктивні засоби для цього, які несомую навчанням математики? Математична діяльність навіть елементарного рівня як ніяка інша пов'язана зі зверненнями до ситуацій, за якими стоїть широке різноманіття логічних форм, широке різноманіття різних логік і їх взаємодій. Не менш важливо і те, що докази грають в ній особливо важливу роль. Визнання цього призводить до питання про те, як має бути побудовано таке навчання математики, яке несло б можливість повнокровним реалізації закладеного в ній потенціалу розвитку логічності мислення і при якому логіка виступала б і як носій креативного початку.

    Але що це за потенціал і які продуктивні засоби його реалізації? При всій надзвичайної важливості, при всій необхідності логічного розвитку воно не тотожне інтелектуальному розвитку, воно є тільки одним з його компонентів. І тому більш правомірно питання про засоби логічного розвитку учнів ставити і досліджувати в контексті постановки і дослідження питання про засоби інтелектуального розвитку. Адже мова повинна йти про загальному логічному розвитку як про компонент загального інтелектуального розвитку, що забезпечується взаємодіями розвиваються компонентів інтелекту, їх взаімосодействіе.

    Стрижневим початком загального інтелектуального розвитку є розвиток здібностей до пошуково-дослідницької діяльності. Загальна освіта має бути спрямована на залучення учнів до загальних форм і загальним способам дея-тельності3 як способу людського існування, що складається в активному зміні навколишнього світу і перетворенні людиною самого себе. А пошуково-дослідницька діяльність є провідним компонентом будь-якої діяльності. Загальновизнана особлива роль шкільного

    курсу математики в залученні учнів до її загальних форм і способів. Але яким же чином, за допомогою яких механізмів рішення шкільних математичних задач, типологія яких порівняно невелика, можна здійснити загальний інтелектуальний розвиток учнів, по крайней мере, первинне їх прилучення до загальних форм і способів пошуково-дослідницької діяльності? Ні в якій мірі не принижуючи значення увійшли в навчальний обіг завдань та інших навчальних засобів, зауважимо все ж, що звертаючись до них, учень розвивається як муляр, але не як архітектор свого інтеллекта4. Які ж засоби, які напрямки і форми навчальної діяльності необхідні для перетворення муляра в архітектора? Досяжно чи таке перетворення за допомогою освоєння і розвитку того чи іншого комплексу навчальних дій або для цього потрібно прилучення до певних напрямків, форм і методів математичної діяльності як багатоаспектного і багаторівневого цілого? І не природно шукати відповідь на це питання як відповідь на питання про когнітивної та епістемологічної природі математики?

    Протягом останніх десятиліть відзначені значними успіхами в справі вдосконалення змісту і методів навчання математики та в реалізації результатів цих досліджень. Але при всьому тому навряд чи вдасться в неозорому морі робіт, присвячених проблемам математичної освіти, знайти хоч одну таку, де досліджувана в ній проблема не декларативним чином, а по суті пов'язувалася б з необхідністю прояснення природи математики. Може бути, це говорить про те, що

    2 Але подібно до того, як після досягнення школярем певного! рівня мовної культури звернення; до граматики стає важливим засобом сходження на більш високий її рівень, після досягнення нею певного рівня освоєння математичної діяльності (а значить, і досягнення відповідного йому рівня логічності мислення) стає продуктивним звернення до власне логічного плану (як і перехід від вивчення «наївною» геометрії до аксіоматичної геометрії).

    3 Це обгрунтовується в монографії А.В. Боровских і Н.Х.Розова «Діяч-ностние принципи в педагогіці». - М .: МАКС прес 2010.

    4 Звичайно, має враховувати і; то, що, наприклад, нестандартні моменти в рішеннях деяких завдань можуть; народжувати метаобраз і метапредставленія, занурюються в довготривалу пам'ять учнів і стають базою для відкриття ними прийомів і методів вирішення завдань нового характеру. І це сприяє розвитку учнів, але тільки як мулярів свого інтелекту. Для доростання їх до ролі архітекторів свого інтелекту необхідні і інші засоби.

    рішення сьогоднішніх проблем математичної освіти не потребує такої проясненні? Можливо, мають рацію ті наші провідні фахівці в області методики математики, які стверджують, що методика математики - це самодостатня наука, що вона не потребує ні в допомоги психології, ні в допомоги когнітивістики, ні в допомоги епістемології?

    Звісно ж, проте, що прояснення природи математики - це той «камінь, який знехтували будівельники» і який повинен стати «каменем;». Воно не можна досягти, якщо його шукати на предметному рівні, так як природа математики метапредмета-на. Будемо його шукати як прояснення когнітивної та епістемологічної природи математики.

    Згідно Ж. Піаже, знання не є результатом простої реєстрації спостережень. Процес пізнання неможливий без структу-рації, здійснюваної завдяки активності суб'єкта. Знання про речі формуються як їх моделі. А значить, предмет пізнавальної діяльності, предмет будь-якої діяльності, не сам по собі, але разом з ним і її суб'єкт зі своїм інструментарієм повинні розглядатися як утворюють єдину систему, що розвивається разом зі своїми компонентами. І тому суб'єктний план повинен грати не вторинну, а провідну роль в дослідженнях, присвячених обговорюваного кола питань.

    Ефективність моделі досліджуваного об'єкта досягається спрямованістю моделювання на дослідження не стільки цього об'єкта «самого по собі», скільки дій з ним, способів його дослідження, того контексту, в рамках якого здійснюється дослідження. Моделювання несе в собі спрямованість до метапредмета-ному плану і тим веде до розвитку механізмів розуміння. Механізми метапред-Метн діяльності і самі є такими механізмами. Метапредметний план -зрімое прояв суб'єктного плану.

    5 Див. Нашу статтю «Місце і роль мета-предметної діяльності в навчанні математики» в ШТ №3, 2014.

    6 Нейман Дж. Фон. Математик // Природа. 1983. № 2. С. 88-95.

    Вирішуючи свої внутрішні завдання і тим самим як би йдучи від власних витоків, від зі-

    держательная плану, від початкових цілей, математика саме за допомогою цього сходить до своїх глибинних коренів, перетворює їх в свої внутрішні «засоби виробництва», що перетворюються в засоби перетворення самої пошуково-дослідницької діяльності, в засоби розвитку її методології, а в результаті - і в засіб розвитку її прикладних можливостей. Такі процеси здійснюються в формі метапредметний дея-тельності5.

    «Найбільшою природі математики властива подвійність ... Цю подвійність необхідно чітко усвідомлювати ... і враховувати при міркуваннях про природу інтелектуальної діяльності в області математики. Двоякий лик - справжнє обличчя математики »- писав Дж. Фон Нейман6. Яка ж природа того лику математики, який постає як чиста математика, що розвивається в напрямках, «мають все більш віддалене відношення до емпіричним даним»? Чи тільки творами інтелектуального мистецтва є результати чистої математики, тільки чи в цьому їх цінність?

    Історичні процеси становлення, укорінення і розвитку фундаментальних математичних понять є процесами сходження від нерозвиненого ідеального до розвиненого ідеального. Вони утворюють несучий каркас процесу розвитку математики. Аналіз цих процесів несе подальше прояснення природи математики, її істоти. Він показує, що математика це метапредметний моделювання, тобто таке, що моделями досліджуваних об'єктів є об'єкти метапредметний рівня по відношенню до них. Точніше кажучи, аналіз показує, що математика - це країни, що розвиваються концептуальний апарат (а значить, і мову, і логіка) і «технічні» кошти метапредметний моделювання та його реалізації. Цим прояснюється природа математики, її сутність і характер її зв'язків з філософією.

    Зауважимо, однак, що і філософія може бути охарактеризована як концептуальний апарат і «технічні» кошти ме-тапредметного моделювання. Те ж можна сказати, наприклад, про таку її області, як епістемологія. І це свідчить

    * * *

    Когаловскій С.Р. МАТЕМАТИЧНЕ ОСВІТА ЯК КОМПОНЕНТ загальної освіти

    СОШУШУРЖ ...... У ....... ПЕДАГОГІЧНІ ....... ШШШ ....... ТШ0Л0ГШ1Ш

    про необхідність подальших просувань в проясненні істоти математики.

    Такому просуванню допомагає звернення до наступної важливої ​​епістемологічної стороні справи: математичне моделювання об'єктів вивчення як природних, так і гуманітарних наук здійснюється звичайно за допомогою трирівневих ідеалізацій. Перший рівень полягає у формуванні ідеального образу, ідеальної моделі досліджуваного об'єкта «самого по собі». Ідеальний газ, абсолютно тверде тіло, матеріальна точка - приклади таких ідеалізацій. Другий рівень - занурення розгляду ідеального об'єкта в ідеальний світ, в ідеальний контекст. Наприклад, в класичній фізиці - це занурення в просторово-часової континуум. Здійснення другого рівня ідеалізації відкриває можливість побудови математичної моделі і її використання як ідеалізації третього рівня. Така ідеалізація це використання ідеальних способів дослідження ідеального об'єкта в рамках ідеального світу. Така ідеалізація робить виключно важливою роль формально-логічних засобів в математичної діяльності (що дає привід вважати, що математика - це логіка).

    Модельований об'єкт при таких ідеали-заціях розглядається не сам по собі, а в єдності з «миром», в який він занурений, в єдності з контекстом, в який занурено його розгляд, що часто не усвідомлюється. І сама його модель, тобто його ідеальний образ, теж розглядається в рамках відповідного контексту, разом з ним, що теж часто не усвідомлюється.

    Математичні поняття, математичні методи формуються і в прикладних розглядах, але в таких розглядах вони фігурують переважно як засобу вирішення тих чи інших завдань. У теоретичних же розглядах вони стають предметом вивчення, а це є принципово інший тип діяльності. Така діяльність не може не бути спрямованою на сходження на метапредметние рівні.

    На відміну від математичного моделювання (в звичному розумінні) при моді-

    лирование в математиці (здійснюваному при дослідженні її внутрішніх питань) і самі моделюються об'єкти мають ідеальну природу. Це робить більш прозорим діяльний характер споруджуваних моделей. Це робить більш прозорою роботу когнітивних механізмів, що беруть участь в процесах моделювання, і несе б льшие можливості розсуду за специфікою процесів моделювання в математиці, сильніше кажучи, в самій цій специфіці, загальних механізмів, загальних закономірностей, властивих пошуково-дослідницької діяльності, можливості розсуду її продуктивних форм. Це несе можливості кращого розуміння процесів формування і розвитку знарядь і «засобів виробництва» самої математичної діяльності і математичного моделювання. Це несе можливість осягнення природи тієї «подвійності» математики, про яку говорив фон Нейман.

    Реалізації цієї можливості сприяє аналіз історичних процесів сходжень від інтуїтивних уявлень, від протопонятій, або життєвих понять (Л. С. Виготський), до суворих математичних понять. В особливій мірі це відноситься до процесів становлення фундаментальних математичних понять. Такі процеси, які є процесами сходження від нерозвиненого ідеального до розвиненого ідеального, близькі процесам математичного моделювання, хоч і мають істотно іншу спрямованість. Аналіз таких процесів і процесів математичного моделювання (і їх продуктів), їх зіставлення сприяють подальшому проясненню природи математики, її істоти, природи її ефективності.

    Такі процеси, як і процеси математичного моделювання, супроводжуються трирівневої идеализациями. Такі, наприклад, процеси формування (і розвитку) первинних понять математичного аналізу, що відправлялися від їх інтуїтивних прообразів і здійснювалися в рамках процесу формування математичного аналізу на строгих підставах. Якщо формування самих цих понять за допомогою сходження до визначень їх як строгих понять (тобто до определе-

    данням, що виражається мовою числення предикатів тій чи іншій ступені) є першим рівнем ідеалізації, то занурення їх розгляду в той чи інший теоретико-множинний світ, в ту чи іншу аксіоматичну теорію множин, є другим рівнем. Таке занурення несе і необхідні мовні засоби, і ідеальні знаряддя дослідження, і обгрунтування його результатів (задаються аксіомами теоретико-множинного світу, які визначають одночасно межі можливостей цих гарматних засобів). Так що в описуваних процесах всі три рівні ідеалізації здійснюються разом і одночасно. Більш того, другий і третій рівні ідеалізації в них зазвичай збігаються.

    Особливо відзначимо таке універсальне ідеальне знаряддя математики, як принцип потенційної здійсненності.

    Перші два рівня ідеалізації використовуються у будь-яких наукових діяльності (в тому числі і в «суто» експериментальних науках). І саме використання ідеалізації третього рівня є характеристичною особливістю математики і її додатків. Така ідеалізація призводить до особливої ​​ролі формально-логічних засобів в математиці. Ідеалізації такого роду не можуть не бути важливим предметом методи-

    ки навчання математики.

    Уже перші два рівня ідеалізації несуть сходження на мета-предметний рівень пошуково-дослідницької діяльності, так що будь-яка наука характеризується ме-тапредметной діяльністю. Властивий додатків математики третій рівень ідеалізації створює якісно нову ситуацію: він несе спрямованість не так

    7 Ідеальні світи, в які занурюються дослідження, несуть в собі, здебільшого в прихованій формі, такі знаряддя та межі їх можливостей.

    8 Більш правомірно говорити не про двох, а про трьох Ніках математики, про її триєдність, а не двуединстве. її третім ликом є ​​метаматематика, та її область, яка одночасно є метапред-Метн по відношенню до неї. Предметом метаматематики є розвиток ідеальних способів дослідження її другого лику, то; є концептуального апарату і «технічних» коштів метатеоретіче-ського моделювання, здійснюваного і реалізованого за допомогою ідеальних способів дослідження. Результати метаматематики, що є продуктами занурення в потаємні глибини математичної діяльності, самі стають і продуктивними стратегічними, і продуктивними «технічними» її знаряддями, і «засобами виробництва» таких знарядь.

    просто на більш високі рівні метапред-Метн діяльності, а на використання знарядь, які надають ідеальні способи дослідження ідеальних об'єктів в рамках ідеальних світів, які є ефективними мета-моделями знарядь пошуково-дослідницької діяльності. У цьому сенсі він робить можливим сходження на рівень метатео-ретические діяльності.

    Особливість «чистої» математики, зримо виявляється в процесах становлення фундаментальних понять математики, полягає в тому, що ідеалізація першого рівня спрямована на самі знаряддя математичної діяльності. На відміну від типових задач, пов'язаних з додатками математики, завдання формування математичних понять, що мусять грати в математичній діяльності багатофункціональні стратегічні ролі, відрізняються багатомірністю і многоуров-невостью. Вони мають суттєво інший характер і суттєво інші масштаби. Не випадково фундаментальні математичні поняття - це продукт многопоколенной наукової діяльності.

    Третій рівень ідеалізації в таких процесах, сплавлений з першим і другим, полягає у розвитку ідеальних способів дослідження ідеальних об'єктів в рамках ідеальних світів, у формуванні і розвитку їх орудій7 і «засобів виробництва» таких знарядь. У цьому істота «чистої» математики як того лику математики, який розвивається в напрямках, «мають все більш віддалене відношення до емпіричним даним». «Чистий» математика, що формує і розвиває знаряддя метатеоретической діяльності, має мета-метатеоретичний рівень.

    «Двоїстість», притаманна природі математики, її «двоякий лик» - це взаємодії откривательскіх і винахідницької діяльностей, це взаємодії дослідницької діяльності і діяльності, спрямованої на формування її знарядь, це те, що веде до нарощування потенції її подальшого розвитку, при цьому зберігаючи і поглиблюючи її едінство8.

    Формування, використання та розвиток ідеальних знарядь, ідеальних способів ис-

    С01Ш0КУЛШРКЕ1Е ...... У ....... ПЕДАГОГІЧНІ ....... КОНТЕКСТІ! ....... 1ЕХК0Л0ГУЗЛ11УУ

    слідування (в тому числі і обгрунтування його результатів) і ідеальних «засобів виробництва» таких знарядь є не просто родової і навіть не просто видовий, але індивідуальною характеристикою математики. Математика - це країни, що розвиваються концептуальний апарат і «технічні» кошти метатеоретіческого моделювання, здійснюваного і реалізованого за допомогою названих трирівневих ідеали-зацій. Тим самим вона являє собою область знання, предметом якої є мета-форми і мета-способи пошуково-дослідницької діяльності.

    Так як здійсненність і повнокровна реалізація третього рівня ідеалізації можлива тільки при здійсненні першого і другого її рівнів, то останню тезу можна переформулювати так: математика - це країни, що розвиваються концептуальний апарат і «технічні» кошти метатеоретіческого моделювання, здійснюваного і реалізованого за допомогою ідеальних способів дослідження (і їх продуктів /, що розвиваються за допомогою формування і розвитку їх знарядь і «засобів виробництва» таких знарядь. А значить, математика - це, перш за все, розвивається суб'єктна початок, що несе можливість все більш глибинного самопізнання Людини і тим несе його перетворення і відкриває можливість осягнення все більш глибинних законів буття.

    В умовах дослідження ідеальних способів дослідження ідеальних об'єктів, занурених в ідеальні світи, і додатків його результатів, в умовах наростання різноманітності досліджуваних об'єктів і методів їх дослідження, в умовах звернення до можливих світів відбувається розвиток суб'єктів такої діяльності, народжується новий тип мислення, новий тип рефлексії . Його розвиток супроводжується розвитком уяви, наростанням дальнобачення і дальнодействия мислення, наростанням його багатовимірності і багаторівневості. Звернення до можливих світів збагачують математику і як «частина фізики» і ведуть до далеко йде її розвитку.

    Досягнення математики в області дослідження ідеальних способів дослідження, що формуються і розвиваються нею кричу-

    Дія таких досліджень роблять все більш необхідною, все більш значущою її роль в наукових і технічних дослідженнях.

    Якою мірою навчання математики в загальноосвітній школі відповідає когнітивної та епістемологічної природі математики? Якою мірою воно несе розвиток здатності мислити надситуативно? Якою мірою воно спрямоване на осягнення механізмів розвитку ідеальних способів дослідження ідеальних об'єктів в рамках ідеальних світів, на осягнення механізмів формування та розвитку їх знарядь і «засобів виробництва» таких знарядь? Відповідь очевидна: навчання математики в загальноосвітній школі долучає учнів до ідеальних способів дослідження ідеальних об'єктів, але не передбачає їх залучення до пошуково-дослідницької діяльності, спрямованої на формування і розвиток знарядь такого ісследованія9. При всьому тому, що воно несе чимале загальний інтелектуальний розвиток і розвиток здатності мислити Надсен-туатівно, розвиток креативних якостей при цьому є не тільки його епіфеноменом. Але таке навчання не спрямоване на прилучення учнів до мета-формам і мета-способам пошуково-дослідницької діяльності і не несе коштів досягнення цієї мети. Тим самим воно не спрямоване на прилучення учнів до продуктивних загальним формам і способам пошуково-дослідницької діяльності, а значить, не спрямоване на провідну мету загальної освіти, що складається в залученні учнів до загальних форм і способів людської діяльності.

    Провідне засіб залучення учнів до мета-формам і мета-способам пошуково-дослідницької діяльності - це залучення їх до процесів формування, освоєння і розвитку провідних понять шкільного курсу математики, але не таке, яке, по суті, являє лише пояснювальний засіб, спрямоване на засвоєння формованих понять і навчення

    використовувати їх по- _

    засобом відповідних вправ. Для досягнення необхідної мети такі процеси

    9 Говорячи кілька огрубленно, таке навчання несе формування і розвиток механізмів асиміляції (в сенсі Піаже), але не несе формування механізмів акомодації.

    * * *

    повинні будуватися як процеси багатовимірної пошуково-дослідницької діяльності самих учнів (звичайно ж, корректируемой учителем у формі напрямних завдань і питань, що відносяться до стратегій і тактичних засобів пошуку, тобто діяльності, здійснюваної в дусі системи розвивального навчання Ельконіна-Давидова). Вони повинні включати формування проблем стратегічного рівня і випробування на продуктивність своїх продуктів. Здійснення таких процесів як направляються метапредметний рівнем і протікають під постійним його контролем, несе учням системне їх сприйняття як цілісності, і тим самим -постіженіе їх логіки. Більш того, це дає можливість розсуду в логіці такого процесу загальної логіки подібного роду процесів як процесів сходження від рівня наївних уявлень на рівень класичної раціональності та формування стратегічних знарядь пошуково-дослідницької діяльності і «засобів виробництва» таких знарядь. Це несе розсуд в самому процесі мета-моделі процесів такого роду.

    В описуваних процесах використовуються - і до того ж системним чином - все прийоми і методи, за допомогою яких традиційно в навчанні математики. Про продуктивності таких процесів як засобів навчання математики

    говорилося і в колишніх наших статтях в ШТ. Важливість і новизна відноситься до них виведення, до якого ми тут прийшли, полягає у виявленні їх необхідності як засобів досягнення цілей загальної освіти.

    Не менш важливо і те, що такі процеси є і засобом більш якісного освоєння шкільного курсу математики як «частини фізики». Адже метапредмета-ний рівень може і повинен не тільки надстраиваться в якості верхнього поверху над освоєними знаннями як знаннями предметного рівня, але і бути ефективним засобом освоєння самих цих знань. Подібне навчання закладає потенцію далеко йде інтелектуального розвитку учнів і тим самим більшою мірою відповідає і гуманітарних цілям і потребам сучасного соціуму. При такому навчанні учень стає не тільки каменярем, а й архітектором свого інтелекту.

    Рівень розвитку дослідницьких якостей учнів, що досягається таким навчанням, представляється необхідним сьогодні і ще більш необхідним завтра. А значить, кошти такого навчання як школярів, так і майбутніх вчителів повинні стати важливим предметом методики навчання математики і загальної дидактики. ?


    Ключові слова: НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ /LEARNING MATHEMATICS /КОГНІТИВНА ПРИРОДА МАТЕМАТИКИ /THE COGNITIVE NATURE OF MATHEMATICS /Епістемологічними ПРИРОДА МАТЕМАТИКИ /THE EPISTEMOLOGICAL NATURE OF MATHEMATICS /метатеоретической МОДЕЛЮВАННЯ /METATHEORETIC MODELING /РІВНІ ідеалізації /THE LEVELS OF IDEALIZATION /ИДЕАЛЬНАЯ ФОРМА ПОІСКОВОІССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДІЯЛЬНОСТІ /THE IDEAL FORM OF SEARCH AND RESEARCH ACTIVITIES

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити