У роботі дано наближене рішення актуального завдання про деформацію балкових конструкцій вибухом неконтактних зарядів конденсованих вибухових речовин (ВВ). знайдено умови вибухостійкость і гарантованого руйнування таких конструкцій. Використаний енергетичний метод Т.М. Саламахіна, згідно з яким кінетична енергія, отримана балкою від імпульсного навантаження, повністю витрачається на роботу деформування балки. Застосовано прямий варіаційний метод Рітца-Тимошенко. На відміну від класичного методу Бубнова-Гальоркіна форма пружної лінії представлена ​​лінійною комбінацією відносних коефіцієнтів апроксимації з відповідними координатними функціями. Використано узагальнені критерії вибухостійкость і руйнування, що враховують динаміку впливу на матеріал конструкції і розташування перешкоди (елемента конструкції) по відношенню до діючого на неї потоку. Отримані результати обчислень узгоджуються з відомими експериментальними даними.

Анотація наукової статті з будівництва та архітектури, автор наукової роботи - Володін Геннадій Тимофійович


Область наук:

  • Будівництво та архітектура

  • Рік видавництва: 2012


    Журнал: Известия Тульського державного університету. Природні науки


    Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання вибухостійкость і гарантованого руйнування балкових конструкцій вибуховий навантаженням'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання вибухостійкость і гарантованого руйнування балкових конструкцій вибуховий навантаженням»

    ?Известия Тульського державного університету Природничі науки. 2012. Вип. 1. С. 163-172

    фізики

    УДК 539.375.5: 69.058.8

    Математичне моделювання вибухостійкость і гарантованого руйнування балкових конструкцій вибуховий навантаженням

    Г. Т. Володін

    Анотація. У роботі дано наближене рішення актуального завдання про деформацію балкових конструкцій вибухом неконтактних зарядів конденсованих вибухових речовин (ВВ). Знайдено умови вибухостійкость і гарантованого руйнування таких конструкцій. Використаний енергетичний метод Т.М. Саламахіна, згідно з яким кінетична енергія, отримана балкою від імпульсного навантаження, повністю витрачається на роботу деформування балки. Застосовано прямий варіаційний метод Рітца-Тимошенко. На відміну від класичного методу Бубнова-Гальоркіна форма пружної лінії представлена ​​лінійною комбінацією відносних коефіцієнтів апроксимації з відповідними координатними функціями. Використано узагальнені критерії вибухостійкость і руйнування, що враховують динаміку впливу на матеріал конструкції і розташування перешкоди (елемента конструкції) по відношенню до діючого на неї потоку. Отримані результати обчислень узгоджуються з відомими експериментальними даними.

    Ключові слова: вибухостійкість, гарантоване руйнування, балкові конструкції.

    Вступ

    Знаходження умов вибухостійкость і гарантованого руйнування елементів конструкцій є актуальною проблемою при проектуванні несучих елементів конструкцій вибухонебезпечних виробництв, визначенні технічних умов при проектуванні складів боєприпасів, утилізації великогабаритних елементів конструкцій, при проектуванні вибухозахисних інженерних споруд та ін.

    При цьому завдання може бути сформульована двояко:

    1. При фіксованій масі заряду конденсованого ВВ, його заданої форми із заданими фізичними характеристиками потрібно знайти таке розташування заряду по відношенню до елементу конструкції, щоб вибух цього заряду гарантовано або не руйнував елемент конструкції (завдання вибухостійкость), або гарантовано його руйнував (завдання руйнування).

    2. При фіксованому розташуванні заряду по відношенню до елементу конструкції потрібно підібрати такі механічні, геометричні та енергетичні характеристики заряду, вибух якого або не руйнував елемент конструкції, зберігши його несучу здатність (завдання вибухостійкость), або гарантовано руйнував елемент конструкції (завдання руйнування).

    Під руйнуванням елемента конструкції будемо розуміти втрату його несучої здатності в зв'язку з появою тріщин, сколів, розділень на фрагменти.

    Постановка завдання Фізична модель (основні допущення)

    1. Припускаємо, що розглядається вибух зосередженого заряду конденсованого ВВ радіусу го з відомими фізичними характеристиками.

    2. Розглядається ближня область вибуху, внаслідок чого тиском навколишнього середовища можна знехтувати в порівнянні з тиском в ударній хвилі і продуктах вибуху.

    3. Вибух відбувається в повітрі на деякій відстані a від центральної осі балки.

    4. Балка має довжину l, постійну площа поперечного перерізу S, первісну прямолінійну форму, центральна вісь балки збігається з віссю абсцис прямокутної декартової системи координат.

    Б. Розглядається вільне обпирання балки на ідеальні (деформуються) опори.

    6. Передбачається. що в процесі деформування матеріал балки поводиться пружно аж до руйнування, деформації вважаються малими.

    7. Робота діючої вибуховий навантаження повністю витрачається на роботу пружного деформування балки аж до її руйнування. При цьому руйнування балки настає в першому амплитудном коливанні (подальші коливання завершують процес руйнування).

    Математична модель

    Використовуємо прямокутну декартову систему координат, вісь Ox сумісний з центральною віссю балки, вісь Oy - перпендикулярно площині

    діючих зовнішніх сил, вісь Oz направимо вертикально вниз, початок координат помістимо на лівому кінці балки.

    Розглянемо окремий випадок поперечного перерізу балки - прямокутник висотою Н і шириною Ь.

    Згідно з дослідженнями Т.М. Саламахіна [1] в процесі взаємодії продуктів вибуху з перешкодою на останню діє тиск

    P = Рт (1 - - У-\ (1)

    Т

    де

    Pm = Po (r0 у-1 cos2 а, (2)

    t - час, що відраховується від моменту зіткнення першої частки потоку з перешкодою в точці х, т - час дії вибухової навантаження, v - порядок одномірності потоку, а - кут падіння потоку в точку перепони з координатою х.

    Тривалість дії тиску P на перешкоду т визначається формулою [1]

    ,11ч

    Т = (U0 + ^ 0) го (3)

    де U0, ш0 - відповідно швидкість продуктів вибуху, швидкість

    переміщення поверхні розльоту.

    Як зазначено в роботі [1], в реальному процесі обурення в глиб продуктів вибуху переміщаються зі швидкістю звуку в продуктах вибуху ат, а межа цього обурення є фронт хвилі розрідження. Обчислення значень т для різних ВВ показують [1], що величини Т навіть для зарядів в кілька десятків кілограм не перевищують 2х10-4 с. Таке короткочасне дію вибуховий навантаження не може бути повною мірою охарактеризовано максимальним значенням тиску продуктів вибуху. Поряд з цією величиною в загальному випадку в розгляд необхідно вводити тривалість дії навантаження т і закон зміни тиску з плином часу [1]. Крім того, за час дії вибухової навантаження переміщення деформируемой перепони нескінченно малі і її деформування відбувається вже після закінчення дії навантаження, тим самим пояснюється енергетичний метод Т.М. Саламахіна, заснований на переході кінетичної енергії, отриманої елементом конструкції при дії на нього вибуховий навантаження в потенційну енергію деформування цього елемента. Зрозуміло, при цьому існують деякі теплові втрати, якими за вельми короткий час деформування можна знехтувати.

    Введемо в розгляд інтегральну характеристику - питомий імпульс

    і = (Р (і) йі. (4)

    Jo

    З урахуванням співвідношень (1) - (4), отримаємо для V = 3:

    Ртт в.о. + Шо 3 А2

    і = V = 3 якого [(ж * - х) 2 + А2] 2. (5)

    З огляду на співвідношення для маси З сферичного заряду радіусу г0

    С = 3 Крог; 3,

    і вводячи позначення

    Шо + і0

    А0 =

    отримаємо формулу для питомої імпульсу

    А0Са [(ж * - х) 2 + А2]

    і "л 2 I А2] 2 • (6)

    Висловимо тепер швидкість і виділеного елемента балки довжиною йх через імпульс, отриманий від діючої вибуховий навантаження.

    Застосуємо теорему про зміну кількості руху матеріальної точки в диференціальної формі [5]

    й (ТУ) = Рйі. (7)

    Проинтегрировав рівняння (7) в інтервалі (0, т), отримаємо

    ту - тУ0 = [Р (і) йі. (8)

    про

    В даному випадку елемента балки

    Уо = 0, V = ір = РЬ (йх), (9)

    де Ь - діаметр поперечного перерізу балки, 5 = площа перетину. Рівняння (8) набуде вигляду

    ГТ ГТ

    і (врйх) = / РЬ (йх) йі = Ь (йх) Рйі = Ь (йх) и.

    .?а Уо

    отже,

    і = Тр '(10)

    де р - щільність матеріалу балки.

    Знайдемо тепер кінетичну енергію, отриману балкою від дії на неї імпульсної вибуховий навантаження.

    Елементарна кінетична енергія, отримана елементом балки довжиною ох може бути обчислена у вигляді:

    йе ті2 в (йх) рЬ2і2 Ь2і2йх

    = ~ = 252 р 2 = ~ 2Б ^.

    Підставляючи сюди вираз для імпульсу и з (6), отримаємо

    = Ь2АрС2 а4 й 2бр [(х * - х) 2 + А2] 4 '

    а кінетична енергія, отримана всій балкою за час т дії вибухової навантаження, визначиться у вигляді

    Е Ь2А ^ С2а4 Г1 йх _ Ь2АоС2а4 ()

    = 2р5] про ~ \ х-х) 2Та2] 4 = 2р5 '()

    де

    т Ґ йх (12)

    = .Іо? Х-х ^ ТО] 4 • ()

    Для балки прямокутного поперечного перерізу ЬхН, де Н - висота, Ь - ширина перетину має місце формула

    Е = I • (13)

    2РН

    Знайдемо тепер потенційну енергію деформування балки. Елементарна пружна енергія при згині [6]

    йі = 1 М- йх

    = 2 Е] '

    де Е - модуль пружності матеріалу балки.

    З огляду на співвідношення для згинального моменту

    М = Е]

    Д2 г дх2

    [І + (дх) 2] 3 '

    дх

    отримаємо

    1 Е] (Х) йі = -|

    2 [1 + (дх) 2] 3 '

    Для малих прогинів, коли (Ц) 2 ^ 1, маємо

    2

    йі = - (Й) йх.

    2 \ дх2

    Тому для випадку малих прогинів

    і = т-I (?) ^ <14>

    Прирівнюючи кінетичну енергію (12) роботі деформування (13), отримаємо

    I'1 () 2 (1х ='А0С2а4 [1 Г1Х (15)

    ,} 0 Кдх2 'рНЕЗ,} 0 [(х * - х) 2 + А2] 4 • 1}

    Для балки прямокутного поперечного перерізу'хН маємо

    'н3'Н2

    3 = п • = - • (16)

    де 3 - момент інерції, Ш * - момент опору перерізу при згині. З урахуванням формул (15), співвідношення (14) набуде вигляду:

    Ю (Х) ЧХ ^ I (17)

    З відносини (16) видно, що маса заряду фіксованого

    ВВ, необхідна для гарантованого руйнування, визначається

    формою упрогой лінії г = г (х), отриманої балкою в момент

    максимальних зсувів при впливі на неї вибуховий навантаження,

    а також розташуванням заряду щодо балки і фізичними та геометричними характеристиками балки в цілому.

    Згідно з методом апроксимації Бубнова-Гальоркіна систему

    координатних функцій запишемо у вигляді:

    ГС ^

    ! \ V "1 Сп | ППХ підлогу

    г (х) = го? СГ + й + ТГСп 81,1 (18)

    п = 1

    де го - максимальний прогин, С1 - невідомі варіаційні

    коефіцієнти, I - довжина балки.

    Для випадку п = 2 отримаємо

    , . (С1 пх С2 2пх \ . .

    г (х) = Ч СТТС281,1 Т + СТТС2 81,1 т) - (19)

    З огляду на формулу (13) для пружної потенційної енергії для балки прямокутного поперечного перерізу'хН, отримаємо

    Е3г2п4 С2 + 16С2 (С1 + С2) 2 '

    і = -п| (20)

    Відповідно до принципу Остроградського-Гамільтона найбільш близькою до дійсної буде та форма пружної лінії, для якої пружна енергія

    деформування матиме мінімальне значення, що призводить до системи рівнянь

    С = 0 С - <2,

    Знаходячи приватні похідні і вирішуючи систему рівнянь (20), отримаємо

    1) 2 = 0; 2) З = 16C2. (22)

    Для випадку 1) згідно (18) маємо перше наближення

    пх

    z = z0 sin (23)

    Для випадку 2) маємо друге наближення

    / 16 пх 1 2пх \ .

    Z = П l7Sin Т + l7Si ^ -T, j- (24)

    Застосуємо силовий критерій руйнування (по першій теорії міцності), який узагальнимо на випадок динамічних впливів. Згідно з цим критерієм [3]

    \ M \ max ^ W * До * ^ з5 * з, (25)

    де \ M \ max - максимальне значення абсолютної величини згинального моменту, W * - момент опору поперечного перерізу балки, Ко * - коефіцієнт однорідності на гарантоване руйнування, ц $ - коефіцієнт динамічності, 5 * з - динамічний межа міцності матеріалу балки.

    З огляду на формулу згинального моменту для малих прогинів

    V = EJ X,

    ox2 7

    знайдемо точки (перетину) балки, в яких \ M \ = \ M \ max.

    Для цього вирішимо рівняння

    д

    -\ Щ = 0 (26)

    звідки слід рівняння

    ,2

    2m + 2m - 1 = 0, (27)

    де m = cos, при цьому

    позначимо

    л / 3 - 1, Л

    m = тг = -2- • (28)

    ПХО, onA

    а = - = arccos т, (29)

    тоді

    al

    | M | max = | M (Хо) | , Х0 = -. (30)

    п

    Маючи в своєму розпорядженні значенням | M | max, з (24) знайдемо

    > 17Ко * ^ з ^ * З12 (31)

    Z ° ^ 2n2Eh (4sin a + sin 2a) '

    Отримане значення максимального прогину Zo означає, що для гарантованого руйнування балки при динамічному впливі на неї необхідно досягти максимального прогину, рівного цієї величини (при цьому зазначений прогин буде спостерігатися в перерізі x = Хо балки).

    Щоб знайти тепер величину заряду фксірованного ВВ для отримання цього прогину Zo, скористаємося рівнянням (16) і отриманим вираженням (27) для zo. Після елементарних перетворень, отримаємо співвідношення

    з ^ ж ^ оЬ2 / 2рЕ

    з > АРУ 517 '(32)

    де з = а •

    Обчислення проведені за знайденими формулами для зарядів тротилу з характеристиками: Ао = 400 м / с (що відповідає значенням: щільності р0 = 1560 кг / м3, швидкості детонації Б0 = 6980 м / с, К2 = 3,298 - значення показника політропи на фронті ударної хвилі ), сталевих і дерев'яних балок прямокутного поперечного перерізу з характеристиками, наведеними в таблиці.

    Результати розрахунків для дерев'яних і металевих балок

    Матеріал Р a l E (Па)? Л, 3 б * 3 (Па) x * / l h ^ 0 Ro З

    балки (кг / м3) (м) (м) x 1010 x 107 (м) (м) (м) (кг)

    Сосна 600 .123 .62 1.25 1.25 5 .5 .05 .0144 .0187 .0431

    .37 1.23 1.25 1.25 5 .5 .1 .0284 .0459 .6339

    .63 1.85 1.25 1.25 5 .5 .15 .0428 .0735 2.594

    .45 2.48 1.25 1.25 5 .5 .2 .0577 .0717 2.411

    Береза ​​800 .075 .62 1.25 2.25 5.5 .5 .05 .0159 .0158 .02604

    .15 1.23 1.25 2.25 5.5 .5 .1 .0562 .03852 .3735

    .25 1.85 1.25 2.25 5.5 .5 .15 .0848 .06093 1.478

    .3 2.48 1.25 2.25 5.5 .5 .2 .1143 .07715 3.00023

    Ялина 500 .128 .62 1.25 1.25 5 .5 .05 .01443 .01855 .04174

    .23 1.23 1.25 1.25 5 .5 .1 .02840 .03512 .28319

    .48 1.85 1.25 1.25 5 .5 .15 .04284 .06219 1.5716

    .8 2.48 1.25 1.25 5 .5 .2 .05774 .09284 5.228

    Сталь А 7800 .3 3 21 1.33 75 .5 .07 .19946 .098097 6.1686

    .3 2 21 1.33 75 .5 .07 .08865 .09169 5.0367

    .3 1 21 1.33 75 .5 .07 .02216 .08173 3.567

    Сталь Б 7800 .3 1 21 1.24 101 .5 .07 .02783 .08817 4.4785

    .3 2 21 1.24 101 .5 .07 .1113 .09891 6.3283

    .3 3 21 1.24 101 .5 .07 .2504 .10583 7.7449

    Сталь В 7800 .3 1 21 1.14 110.5 .5 .07 .027987 .08834 4.504

    .3 2 21 1.14 110.5 .5 .07 .11195 .099105 6.3607

    Значення До * = 1,92 і Ко * = 1,67 відносяться відповідно до дерев'яних і металевих балок.

    Наведені в таблиці розрахункові значення узгоджуються з експериментальними даними, наведеними в роботі [3] для дерев'яних балок.

    Характеристики стали А, стали Б, стали У взяті для розрахунків з роботи

    [4].

    Для отримання характеристик вибухостійкость елементів соответсвующей-щих (зокрема, балкових конструкцій) досить застосовуваний тут силовий критерій руйнування (24) записати у вигляді [3]

    | M |

    max < W * Ko / J.35 * 3,

    де знак нерівності змінений на протилежний у порівнянні з (24) і коефіцієнт однорідності на гарантоване руйнування замінений коефіцієнтом однорідності матеріалу.

    Список літератури

    1. Саламахін Т.М. Фізичні основи механічної дії вибуху та методи визначення вибухових навантажень. М .: ВІА, 1974. 255 с.

    2. Саламахін Т.М. Руйнування вибухом елементів конструкцій. М .: ВІА, 1961. 275 с.

    3. Володін Г.Т. Дія вибуху зарядів конденсованих ВВ в газовій і рідкій середовищах. Ч. II. Вибухостійкість і гарантоване руйнування елементів конструкцій. Тула: Лівша. 2005. 160 с.

    4. Вплив високошвидкісного деформування і температури на характеристики міцності і пластичності хромонікельмолібденових стали / А.П. Ващенко [и др.] // Проблеми міцності. 1991. №9. C.17-19.

    5. Бухгольц М.М. Основний курс теоретичної механіки. Ч. 2. Динаміка систем матеріальних точок. М .: Наука, 1966. 322 с.

    6. Бєляєв Н.М. Опір матеріалів. М .: Наука, 1976. 608 с.

    Володін Геннадій Тимофійович (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.), д.т.н., професор, кафедра математичного аналізу, Тульський державний університет.

    Mathematical modelling of explosion-proofing and assured destruction of beam constructions by explosive load

    G. T. Volodin

    Abstract. In the labor is given the approached decision of the actual problems on deformation of joist constructions by the explosion of not contact charges of the condensed blasting compounds (BC). The Conditions of the explosion resistance and the guaranteed destruction of such constructions are found. T.M.

    Salamahina's power method according to which the kinetic energy received by a beam from pulse loading, completely is spent for work of deformation of a beam is used. The direct variation method of Ritz-Timoshenko is applied. As distinct from a classical method of Bubnova-Galyorkina the formula of an elastic line is presented by a linear combination of relative factors of approximation with corresponding coordinate functions. The generalized criteria the explosion resistance and the destructions considering dynamics of influence on a material of a design and an arrangement of a barrier (a design element) in relation to a stream operating on it are used. The received results of calculations are coordinating with known experimental data.

    Keywords: blast-enduring, guarantee disruction, beam construction.

    Volodin Gennady (Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.), doctor of technical sciences, professor, department of mathematical analysis, Tula State University.

    надійшла 27.12.2011


    Ключові слова: вибухостійких /ГАРАНТОВАНА РУЙНУВАННЯ /балочної конструкції

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити