Розвивається методичний підхід до дослідницько-орієнтований-ному навчанню студентів основам математичного моделювання реальних процесів. Можливості підходу розкриваються на прикладі теоретичного аналізу явища пружного відбиття електронів від поверхні твердого тіла.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Пронін Володимир Петрович, Хініч Йосип Ісаакович, Чістотін Ігор Андрійович


Mathematical modeling in research-oriented teaching students the condensed substances surface physics

Methodological approach to students research-oriented teaching of basics of mathematical modeling of real processes is developed. The application of the method is described through an example of theoretical analysis of elastic electron scattering from solid surface phenomenon.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва: 2009
    Журнал: Известия Російського державного педагогічного університету ім. А.І. Герцена

    Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання в дослідницько-орієнтованому навчанні студентів фізиці поверхні конденсованих речовин'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання в дослідницько-орієнтованому навчанні студентів фізиці поверхні конденсованих речовин»

    ?В. П. Пронін, І. І. Хініч, І. А. Чістотін

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В ДОСЛІДНО-орієнтованого навчання СТУДЕНТІВ ФІЗИКИ ПОВЕРХНІ КОНДЕНСОВАНИХ РЕЧОВИН

    Розвивається методичний підхід до дослідницько-орієнтований-ному навчанню студентів основам математичного моделювання реальних процесів. Можливості підходу розкриваються на прикладі тео-

    155

    ського аналізу явища пружного відбиття електронів від поверхні твердого тіла.

    Ключові слова: навчання фізики поверхні твердого тіла, математичне моделювання, електронна спектроскопія, пружне розсіяння електронів.

    V. Pronin, I. Khinich, I. Chistotin

    MATHEMATICAL MODELING IN RESEARCH-ORIENTED TEACHING STUDENTS THE CONDENSED SUBSTANCES SURFACE PHYSICS

    Methodological approach to students research-oriented teaching of basics of mathematical modeling of real processes is developed. The application of the method is described through an example of theoretical analysis of elastic electron scattering from solid surface phenomenon.

    Keywords: teaching solid state surface physics, mathematical modeling, electron spectroscopy, elastic electron scattering.

    Невід'ємною складовою повноцінного фізичного освіти яв-ляя-ється участь студентів у науково-дослідній роботі, їх «навчання через науку». При цьому безсумнівний інтерес представляє освоєння студентами як сучасних методів фізичного експерименту, так і сучасного теоретичного опису спостережуваних явищ. В роботі [10, с. 139-148] на прикладі навчання студентів фізиці поверхні конденсованої речовини розглядаються методичні підходи до проведення експериментальних структурних досліджень поверхні твердих тіл методами вторинно електронної спектроскопії і пропонуються конкретні навчально-дослідні завдання. У той же час предметом дослідницького навчання студентів може бути і теоретичний опис деяких вторинно електронних явищ, їх математичне моделювання.

    Сформулюємо основні вимоги до вибору предметного матеріалу для студентського теоретичного дослідження:

    • можливість побудови щодо простої моделі досліджуваного явища, що допускає математичний опис;

    • можливість модифікації моделі з метою врахування різних реальних факторів;

    • розробленість теоретичного питання на різних рівнях складності і в рамках різних підходів, що дозволяє зіставляти результати розрахунків, що здійснюються за різними моделями;

    • можливість організації сучасного обчислювального експерименту;

    • затребуваність при вивченні цього питання великого обсягу знань з різних розділів фізики;

    • наявність достатньої кількості експериментальних результатів, що дозволяє проведення різнобічного зіставлення розрахунків з експериментом;

    • можливість практичного використання результатів розрахунку. Зазначеним вимогам повністю задовольняє теоретичний аналіз

    явища пружного відбиття електронів від розупорядкованих поверхонь

    твердого тіла. Можна відзначити велику кількість підходів до вирішення цього питання (рівняння переносу Больцмана, метод статистичних випробувань, феноменологічні теорії), можливість використання на різних рівнях складності різних моделей пружного і непружного розсіювання електронів (в тому числі і готових результатів), можливість зіставлення розрахунків з експериментальними результатами, отриманими в даний час для широкого класу речовин і енергій. Треба сказати, що при дослідженні характеристик пружно відбитих електронів (УОЕ) основними розрахунковими результатами є їх просторові розподіли, експериментальне дослідження яких є досить складним завданням.

    Обговорюване теоретичне дослідження дидактично і методично значимо, так як його результати істотні для розширення фізичних уявлень про взаємодію електронів з твердим тілом і дозволяють осмислити можливості використання методів електронної спектроскопії для вивчення фізики поверхні твердого тіла.

    В основі моделювання пружного відбиття електронів від поверхні твердого тіла лежать експериментальні дані про те, що в області енергій Е > 100 еВ переважну роль в даному явищі грають індивідуальні акти пружного взаємодії електронів з окремими атомами твердого тіла [1, с. 151-165]. В області менших енергій довжина хвилі де-Бройля стає сумірною з міжатомних відстанню, і взаємодія електрона відбувається з багатьма атомами твердого тіла одночасно.

    Найпростішою феноменологічної моделлю явища пружного відбиття є модель одноразового розсіювання, на основі якої студенти можуть ознайомитися з принципами розглянутого теоретичного опису. За цією моделлю монокінетіческій пучок електронів з енергією Е входить в однорідне і ізотропне тверде тіло під певним кутом ф, експоненціально послаблюється у міру свого руху і виходить з твердого тіла в результаті тільки одного акта розсіювання, що відбувається на різних глибинах г (рис. 1).

    Мал. 1. Траєкторія електрона в моделі одноразового розсіювання

    Закон експоненціального ослаблення електронного пучка має вигляд: I = 10 • ехр ^ -ц • е) = 10 • ехр ^ - е / X), де I - інтенсивність пучка після

    проходження шляху е; - інтенсивність падаючого пучка; / І - коефіцієнт ослаблення електронного пучка, який вважається не залежних від напрямку руху і глибини проникнення в речовину; X = 1 // - довжина вільного пробігу електрона в речовині. Ослаблення прямолінійного монокінетіческого електронного пучка визначається двома процесами: вибуванням електронів за рахунок актів непружного взаємодії (з втратами енергії) і за рахунок пружного розсіювання; при цьому / = / "+ / у або Л = Лн • Ху I (Лн + Лу), де Хн і

    Ху - довжини вільних пробігів до непружного і пружного зіткнень. Тоді інтенсивність потоку електронів, пружно розсіяних на кут в на глибині і перетинають поверхню під кутом а всередині тілесного кута АТ:

    п | Ег yoа (9)

    1 (9, ф, г) = / 0 | е Хс ° 8ф е А ™, а |АП

    еоБф yoО

    де в = п - (ф + а); другий співмножник визначає ослаблення «вхідного» пучка електронів до пружного розсіювання на глибині z; третій - ймовірність розсіювання на відрізку шляху всередині шару Ег; п - об'ємна щільність розсіюючих центрів, четвертий співмножник - це диференціальне перетин пружного розсіювання, що визначає інтенсивність розсіювання на кут в, п'ятий - визначає ослаблення розсіяного пучка електронів.

    Інтегрування останнього виразу по г дає диференційний коефіцієнт пружного відбиття електронів (в одиничному тілесному куті):

    J I (Q, y, z) -dz

    rQ (е, ф) = о- = ^.

    0 I0 АП 1 + соБф du W

    cosa

    Найважливішою характеристикою пружного розсіювання електронів є диференціальні перерізи, визначення яких представляє досить складне завдання. Як уже зазначалося, в області енергій, великих сотень електрон-вольт, з достатньою підставою як розсіюють центрів можна розглядати окремі атоми твердого тіла. В якості наступного наближення перетину пружного розсіювання електронів окремими атомами твердого тіла можна використовувати відповідні перерізи розсіяння на вільних атомах, які в даний час розраховані практично для всіх речовин в широкому інтервалі енергій електронів. Результат такої заміни доцільно обговорити зі студентами - перекриття потенціалів сусідніх атомів в першу чергу проявиться при великих прицільних відстанях і відповідно при малих кутах розсіювання.

    У найпростіших випадках диференціальні перерізи пружного розсіяння електронів можуть бути визначені самими студентами. До цих випадків відносяться обчислення за формулою Резерфорда, відповідної кулонівського потенціалу, і на основі модифікації цієї формули [6] при обліку екранування потенціалу ядра зовнішньої електронної оболонкою:

    yoа (в) 4 z 2eAm2

    dQ (8mE • sin2 (e / 2) + h2 / гекр) 2

    де гекр - радіус екранування.

    Область застосування останньої формули (перше наближення Борна) відповідає E > ЄДР = 13,5-z2 (еВ), і в області енергій сотні електрон-вольт - одиниці кілоелектрон-вольт вона може бути застосована тільки для відносно легких речовин. Для будь-яких речовин в тій же області енергій достовірні результати розрахунку диференціальних перерізів пружного розсіювання виходять при вирішенні хвильового рівняння (в загальному випадку рівняння Дірака) для коректних потенціалів атома. Як вказувалося, в даний час такі результати розраховані практично для всіх речовин [14], зазвичай вони наводяться у вигляді таблиці з кроком Пекло = 1 °. Природно, що в області застосовності першого наближення Борна студенти можуть зіставити власні розрахунки з цією базою даних.

    Ясно, що знання диференціальних перерізів пружного розсіювання електронів дозволяє обчислити Ху:

    х-1 = n • 2л-f • sine-de. (2)

    у 0 dQ

    Для визначення параметра також існує кілька моделей, обчислення за якими становлять не менш складне завдання. У той же час для навчально-дослідницької діяльності студентів кращими є дві інші можливості - скористатися готовими даними для Ан [15] або залишити цей параметр як підгінним.

    Як вже обговорювалося, одним з найважливіших моментів наукової творчості студентів є можливість модифікування феноменологічної моделі, при цьому частина модифікацій може бути запропонована студентам в готовому вигляді, а деякі - на ідейному рівні. Так, в роботі [3, с. 1755-1759] показано, що, крім ослаблення електронного пучка в обсязі твердого тіла, що визначається коефіцієнтом можуть бути враховані і поверхневі втрати енергії (в першу чергу, на збудження поверхневих плазмонів) при проходженні електроном в обидва боки кордону тверде тіло - вакуум, ймовірність яких описується емпіричною формулою

    P (ф) = B (z) l (4E • cos9), де B (z) - параметр, який визначається матеріалом мішені; Е, еВ - енергія. Так, для Au експериментально певний параметр В = 2,9. тоді:

    re (е, ф) = (1-р (а)) - (1-р (ф)) - + З ± --d-Q.

    cosa

    В якості інших модифікацій моделі можна врахувати переломлення електронів на

    sinф sina

    раніцах вакуум-тверде тіло (рис. 1) за формулами:

    sinф sina

    Е + eU

    0 (Uo - внутрішній потенціал зразка), а також перед-

    Е

    ложить студентам самостійно виконати коригування диференціальних перерізів пружного розсіяння на вільних атомах у вигляді їх «обрізання» в області малоуглового розсіювання.

    Нарешті, цікавим для обговорення зі студентами є можливість непрямого обліку в даній моделі декількох актів розсіювання, чому відповідає зміна у формулі (2) нижньої межі інтегрування 0 на в0. Інтегрування не по всьому інтервалу зміни в відповідає тому, що «дозволяється» вихід в якості пружно відбитих електронів, які пережили друге (третє і т. Д.) Пружне розсіяння в діапазоні кутів [0, в0]. При невеликих в0 це додаткове розсіювання є малокутових. Математично обговорюваний непрямий облік кратного розсіювання призводить до зростання X і по формулі (1) - до пропорційного зростання абсолютної інтенсивності пружного розсіювання гв (в, ф) у вузькому тілесному куті при всіх в.

    Зіставлення теоретично розрахованих гв (в, ф) з експериментальними кривими кутового розподілу УОЕ дозволяє обговорити зі студентами коректність даної моделі і вплив на результати розрахунку вибору тих чи інших параметрів. Експериментальні криві в різних роботах представляються в абсолютних або в відносних одиницях. Якщо вони представлені у відносних одиницях 1 (в), то можливо порівняння з ними лише за формою, а зіставляються криві повинні бути унормовані при одному і тому ж вугіллі розсіювання.

    На рис. 2 проводиться зіставлення експериментальних кутових розподілів УОЕ від Аі [3, с. 1755-1759; 4, с. 614-617] в абсолютних (а) і у відносних (б) одиницях з теоретичними розрахунками за моделлю одноразового пружного розсіювання. Видно, що всі теоретичні значення є заниженими і характеризуються незрівнянно більшим контрастом (ставленням интен-ність в максимумі і в мінімумі), відповідним контрастом диференціального перерізу пружного розсіяння. При цьому частка одноразово розсіяних електронів суттєво різниться в мінімумах і максимумах кутового розподілу, складаючи в мінімумах близько 5%, а в максимумах - до 60-70%. Частка одноразово розсіяних електронів в інтегральному г становить близько 60%.

    стерад

    отн. од

    0,01

    0,005

    Про

    про

    50

    100

    1 50 в, град

    30 60 90 120 в, град. а)

    б)

    Мал. 2. Кутові розподілу гв (в) для Аі, ф = 75 °: а - Е = 1000 еВ, б - Е = 500 еВ (криві нормовані при в = 130 °). Суцільні криві - експеримент, штрихові - розрахунок

    У загальному випадку внесок одноразово розсіяних електронів зменшується з ростом відносини Хн / Ху. Аналіз цього відносини [8, с. 79-85] показує, що для речовин з великими г воно зростає з ростом енергії, і для цих речовин модель одноразового розсіювання краще працює в області так званих середніх енергій 100-1000 еВ. Для легких речовин це відношення менше, ніж для важких, і практично не залежить від енергії, що визначає для цих речовин досить великий вклад одноразового розсіювання.

    Таким чином, з'ясовується, що модель одноразового розсіювання не може кількісно описати просторові розподілу УОЕ, для коректного опису яких необхідний облік кратного розсіювання. У той же час виявляється, що розглянута модифікація цієї моделі за рахунок підбору в0 (і відповідно Ху) при нормальному куті падіння первинного пучка дозволяє досягти досить хорошого згоди теоретичних результатів з експериментом як для значень інтегрального г (рис. 3), так і для значень гв (в, ф) для великих кутів розсіювання. Для різних речовин в широкому діапазоні енергій це «згода» становить близько 10% і практично не погіршується навіть без урахування поверхневих втрат.

    Мал. 3. Залежності г (Е) для Аі (ф = 0 °), розраховані за моделлю одноразового розсіювання при різних Ху: 1 - Ху мінімально (в0 = 0);

    2 - в0 = п / 2; 3 - Ху = так (X = Хн). Пунктир - експеримент [17]

    Можливість застосування модифікованої моделі одноразового розсіювання для розрахунку характеристик пружного відбиття дозволяє студентам провести практично значуще дослідження по визначенню концентрації компонентів зразка, що складається з двох і більше відомих елементів [7, с. 21-26].

    Розглянемо випадок двокомпонентного зразка. Нехай для такого зразка при певному значенні енергії Е і при ф = 0 ° відомі значення интен-ність потоків УОЕ у вузькому тілесному куті 1 (в) у відносних одиницях для двох кутів розсіювання в1 і в2 (в діапазоні великих в, де краще «працює »модифікована модель одноразового розсіяння). Ставлення цих интен-ність 1 (В2) / 1 (в1) не залежить від X і може бути представлено у вигляді

    (1 + -1-) (п йд1 (91) + йд2 (9,))

    I (61) _ 0С8 (п-92 / (п лп п йП} (3)

    1 (92) (1 | 1) (п й ° 1 (92) + "2 й ^ 2 (92)) '^

    ео8 (п-91) йП йП

    де п1 і п2 - невідомі концентрації відомих розсіюючих центрів; йа1 (в) / Йо, йо2 (в) / Йо - диференціальні перерізи пружного розсіяння для атомів 1-го і 2-го елементів.

    Вираз (3) дозволяє визначити ставлення атомних концентрацій компонентів твердого тіла п1 / п2. Для визначення їх абсолютних значень п1 і п2 потрібно додатково виміряти щільність двокомпонентного зразка р_ п1 |т1 + п2 • т2, де т1 і т2 - відомі маси атомів. практично таким

    методом концентрація елементів (яка може бути легко перерахована і в вагові відсотки) визначається з похибкою близько 20%, проте при уточненні моделі пружного відбиття вдається підвищити і точність методу.

    Важливою особливістю обговорюваної методики є та обставина, що вона дозволяє в одному експерименті визначити і довжину вільного пробігу електронів X двухкомпонентной системи, яка є спільною для багатокомпонентного зразка і не може бути визначена з Х1 і Х2 окремих компонент. Для знаходження X двухкомпонентной системи необхідно виміряти абсолютне значення гв (в) для одного кута розсіювання при обраної енергії:

    г (9) _ ^ (^ + ^ L-6т) -, • (n|d ^ П ^ П1 + n2d ^ Пг> <4>

    ЕОВ (п-9) АП АП

    Відзначимо, що довжина вільного пробігу електронів щодо пружного взаємодії для двокомпонентної системи визначається за формулою

    Г1 _ га ^ ЛГ ^^ • в ^ -й9 + п2 • 2п Гй9. (5)

    7 п 9 йП 2 9 йП

    90 90

    Підставивши в формулу (4) п1 і п2, з урахуванням виразу (5) можна розрахувати не тільки X, а й Х ". Звичайно, для визначення X двухкомпонентной системи замість абсолютної інтенсивності УОЕ у вузькому тілесному куті можна використовувати і значення інтегрального коефіцієнта пружного відбиття електронів. Важливо відзначити, що одночасне визначення таким методом X двухкомпонентной системи дозволяє обговорити зі студентами можливість не тільки кількісного визначення елементного складу, але і визначення його розподілу по глибині. Для більшості речовин зміна енергії електронів Е від 100 до 1000 еВ змінює товщину аналізованого шару від часткою до одиниць нанометрів.

    Студентам для організації подібного теоретичного дослідження потрібно для конкретного двокомпонентного речовини задати три значення: відношення інтенсивностей УОЕ при двох певних кутах розсіювання при конкретної енергії Е і нормальному куті падіння падаючих електронів, щільність р двокомпонентного зразка і інтегральне г при тій же Е.

    Значно кращого згоди з експериментом, ніж за моделлю одноразового розсіювання, можна досягти в більш складних феноменологических теоріях пружного відбиття електронів, таких як модель кратного розсіювання або моделі на основі рішення рівняння переносу Больцмана [12, с. 357-374; 16, с. 1665-1676]. У той же час, з методичної точки зору, після обговорення результатів розрахунку по моделі одноразового розсіювання доцільно перейти зі студентами до методу статистичного моделювання електронних траєкторій (метод Монте-Карло), який дозволяє проводити детальне простежування електронних траєкторій і отримувати в одному сеансі рахунку найрізноманітнішу інформацію [13, с. 13-18].

    Для моделювання електронних траєкторій в твердому тілі використовуються дві основні схеми: схема індивідуальних зіткнень і схема безперервного уповільнення. Розглянемо спочатку схему індивідуальних зіткнень, що є найбільш загальною - в ній траєкторія руху електрона представляється ламаною лінією (рис. 4), в кутах якої відбувається пружне або неупругое взаємодія електрона з речовиною. Облік цих взаємодій - в прин-

    Перед обчисленнями в програму вводяться всі необхідні табличні дані: диференціальні перерізи пружного розсіяння, значення Хн і інші. Обчислення починаються з завдання початкових умов розрахунку: енергії Е, кута входу електронів в0, відповідного куту падіння електронів на зразок, порядкового номера речовини 2, кроку розрахунку Ав і загального числа N вкидаються електронів. На підставі вихідних даних обчислюються такі параметри зразка, як X і Ху.

    У процесі розрахунку в цикл обчислень вкидається черговий к-й електрон, якому до циклу присвоюються початкові координати х0 = у0 = г0 = 0 і початковий номер кроку обчислень г = 0. Послідовність кроків обчислювального циклу відповідає наступним діям.

    1. Визначаємо поточний номер кроку обчислень: i = i + 1.

    2. Викидаємо випадкове число W1, рівномірно розподілене на проміжку [0; 1] і розігруємо довжину s прямолінійного пробігу електрона на даному етапі за формулою: s? = - Xy-lnW ?. Вибір випадкового числа в вигляді його логарифма вирішує два завдання [9]: перетворення інтервалу випадкових чисел [0; 1] в інтервал [0; ю] і трансформування їх рівномірного розподілу в логарифмічна. Останнє краще відповідає реальному розподілу довжин пробігів, ймовірність яких експоненціально зменшується зі зростанням їх величини.

    3. Обчислюємо декартові координати точки i-го вузла взаємодії за формулами: xi = xi-1 + si • cosa,., Yi = yi-1 + si • cosP., Zt = zi-1 + si • cosy,., Де xi-1,

    y? -i, zi-1 - координати точки i - 1-го вузла взаємодії; cos a ?, cos cos y?

    - напрямні косинуси, що розраховуються за формулами [5].

    4. Перевіряємо за значенням z, чи вийшов електрон з обсягу мішені. якщо

    - да, то його траєкторія закінчується, в модулі вихідних даних запам'ятовуються його кут виходу, кратність пружного розсіювання на атомах мішені (за значенням i), після чого на перший крок циклу вкидаємо черговий до + 1-й електрон.

    5. Якщо електрон не вийшов з мішені, визначаємо вид процесу в i-му вузлі взаємодії: пружне розсіяння або неупругое. Для цього викидаємо випадкове число W2 [0; 1] і складаємо співвідношення X / Xy, яке характеризує ймовірність пружного розсіювання. Якщо X / Xy > W2, то електрон випробував пружне розсіяння. У разі X / Xy < W2 електрон випробував неупругое розсіювання, його траєкторія закінчується, він вибуває з розгляду, а на перший крок циклу вкидаємо черговий до + 1-й електрон.

    6. У разі пружного розсіювання електрона розігруємо полярний в i і азимутальний ф, кути його розсіювання. Для цього розіграшу викидаємо два випадкових числа W3 [0; 1] і W4 [0; 1]. Полярний кут розсіювання визначається з диференціальних перетинах пружного розсіювання:

    0 da (0 ')

    W3 -ay = 2 nj ---- -sin 0'-d 0 ', де ay = (n-Xy) -1 - повний переріз пружного

    o d -

    розсіювання електронів, а n - об'ємна щільність розсіюючих центрів.

    Як видно, в. визначається з зіставлення нормованого інтеграла від диференціального перерізу пружного розсіяння з рівномірним розподілом випадкового числа. Такий розіграш широко застосовується в розрахунках за методом Монте-Карло і дозволяє викидати значення в. з щільністю ймовірності, пропорційної диференціального перерізу розсіювання. Азимутальний кут розраховується за формулою ф. = 2nW4 .

    7. Обчислюємо напрямні косинуси наступного прямолінійного ділянки траєкторії і повертаємося на перший крок алгоритму.

    Після вкидання всіх електронів програма розраховує абсолютні інтенсивності електронів, пружно відбитих під кутом ef в інтервалі кутів

    1 n

    Ав за формулою r0 (00o) = - ^ 1 до, де N - кількість генеруються траек-

    N к = 1

    торій, 1к = 1, якщо к-й електрон вийшов з твердого тіла в даному інтервалі кутів розсіяння і 1к = 0 - в іншому випадку.

    В даному розрахунку, як і в моделі одноразового розсіювання, може бути враховано ослаблення електронного потоку за рахунок поверхневих втрат: B в

    P (9 f, Q0) = (1 --г = -) | (1 -1 = -). Тоді уточнена формула для

    л / Е | соб9f л / Е | СОБ90

    абсолютної інтенсивності електронів, пружно відбитих під кутом в /:

    1 N

    г9 (990) = Р (990) --- V 1к. Для зіставлення цих розрахункових результатів

    N к = 1

    з експериментальними даними по кутовому розподілу УОЕ в вираженні гв (в /, у) необхідно перерахувати кут вf в кут розсіювання в по формулі

    в = п - (у + в).

    Природно, що при використанні методу статистичного моделювання електронних траєкторій важливим є питання про необхідну кількість N вкидаються електронів, яке студенти оцінюють на основі статистичної похибки інтенсивності УОЕ у вузькому тілесному куті. Такий аналіз коректно проводити при кутах, яким відповідають відносно малі значення інтенсивності гв (в, в0). Як відомо, в цьому випадку найпростіша формула відносної похибки: 5 (9; 9 + А9) = 1 / л [ЛП, де Ап - кількість електронів, відбитих в кут в в інтервалі кроку розрахунку Ав. Крок розрахунку визначається кутовою шириною немонотонність кутового розподілу УОЕ і повинен бути порядку одиниць градусів. Розрахунок статистичної похибки при Ав = 1 ° показав, що при N = 108 вона становить 0,8%, при N = 107 - 3%, а при N = 106 - 9%. Зазвичай при розрахунках кількість налітають електронів вибирається N = 107 ... 108.

    На рис. 5 представлені розраховані криві кутового розподілу УОЕ для Аі при різних N і проведено зіставлення цих результатів з експериментом [2, с. 2086-2088]. Збільшення числа вкидаються електронів підвищує точність розрахунку, який в даному випадку дуже добре описує експериментальні результати.

    до але 1ео 180 9, град. я по 1зп 150 в, град

    Мал. 5. Кутові розподілу УОЕ для Аі (Е = 1000 еВ, ф = 0 °), розраховані за схемою індивідуальних зіткнень при різних N. Пунктир - експеримент

    До недоліку даної схеми (загальний недолік методу Монте-Карло) можна віднести великі витрати машинного часу на отримання статистично достовірних результатів. Для прискорення розрахунків можна обговорити зі студентами різні модифікації схеми індивідуальних зіткнень, однією з яких є схема безперервного уповільнення. При використанні цієї модифікації передбачається, що в вузлах траєкторії електрони відчувають тільки пружні взаємодії, а не пружні процеси враховуються різним чином на основі ослаблення електронного потоку.

    Як «базової» модифікації схеми безперервного уповільнення можна розглянути схему, застосовану в роботі [11] для розрахунку кутового розподілу УОЕ в області енергій Е > 2 кеВ. У цій моделі розрахунку неупругие процеси пропонується враховувати за допомогою двох факторів. Перший і основний з них - експонентний закон ослаблення електронного потоку I = 10-ВХР (^ / Хн), де ^ - повна довжина ламаної траєкторії електрона, причому це ослаблення враховується при виході УОЕ з твердого тіла. Другим фактором є обмеження максимальної довжини ламаної траєкторії електрона величиною smax, при цьому значення smax може бути оцінений, наприклад, по початку стабілізації розрахованих значень інтегрального коефіцієнта пружного відбиття електронів в залежності від 5тах. Можна відзначити, що застосування даної схеми дозволяє, як мінімум, удвічі скоротити витрати машинного часу на побудову однієї траєкторії.

    Природно, що схема безперервного уповільнення є спрощеною схемою, тому результати розрахунку по цій схемі потрібно порівнювати з результатами, отриманими за загальною схемою індивідуальних зіткнень. Виявилося, що результати, отримані за схемою безперервного уповільнення, для всіх досліджених речовин в області середніх енергій є заниженими в порівнянні з результатами розрахунку за загальною схемою індивідуальних зіткнень (рис. 6).

    Мал. 6. Кутові розподілу УОЕ для Аі (Е = 1000 еВ, ф = 0 °), розраховані за моделями індивідуальних зіткнень (суцільна крива) і безперервного уповільнення (пунктир)

    Отримані відмінності дозволяють говорити про непридатність даної модифікації схеми безперервного уповільнення для розрахунку характеристик пружного відбиття електронів в області середніх енергій

    100 еВ < Е < 3000 еВ. У той же час, з методичної точки зору, отриманий результат не є негативним, він дозволяє обговорити зі студентами причини цих відмінностей - з огляду на те, що максимальна довжина ламаної траєкторії електрона в розрахунках практично не обмежувалася, причиною відмінностей є занадто сильний закон ослаблення електронного потоку. Можливо, певну зміну закону ослаблення може поліпшити згоду розрахунків з експериментом, що продемонструє студентам можливості наукової творчості при проведенні теоретичного дослідження.

    Автори висловлюють подяку С. Д. Ханіна за корисні обговорення результатів роботи.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Бронштейн И. М., Пронін В. П., Хініч І. І., Чістотін І. А. Спектроскопія пружного відбиття електронів як ефективний метод діагностики поверхні твердого тіла // Известия РГПУ ім. А. І. Герцена: Фізика: Науковий журнал. 2006. № 6 (15).

    2. Бронштейн И. М., Пронін В. П. Пружне відображення електронів середніх енергій від твердих тіл // ФТТ. 1975. Т. 17. В. 7.

    3. Бронштейн И. М., Васильєв А. А., Пронін В. П., Хініч І. І. Пружне відображення електронів середніх енергій від неупорядкованих металевих поверхонь // Известия АН СРСР. Сер. физич. 1985. Т. 49. № 9.

    4. Бронштейн И. М., Пронін В. П., Хініч І. І. Енергетичні спектри неупругоот-вираз електронів від золота і барію у вузькому тілесному куті // ФТТ. 1981. Т. 22. В. 2.

    5. Єрмаков С. М. Метод Монте-Карло і суміжні питання. М .: Наука, 1971. 328 с.

    6. Мотт Н., Мессі Г. Теорія атомних зіткнень / Пер. з англ. М .: Мир, 1969.

    756 з.

    7. Пронін В. П., Хініч І. І., Чістотін І. А. Спектроскопія пружного відбиття електронів для кількісного елементного аналізу поверхні твердого тіла // Листи в журнал технічної фізики. 2008. Т. 34. В. 19.

    8. Пронін В. П., Хініч І. І., Чістотін І. А. Одноразове і кратне розсіювання в пружному відображенні електронів поверхнею твердого тіла // Фізичний вісник. Вип. 1: Зб. наук. статей. СПб .: Ін-т профтехосвіти РАО, 2007.

    9. Соболь І. М. Метод Монте-Карло. М .: Наука, 1968. 64 с.

    10. Хініч І. І. Сучасні методи фізичного експерименту в дослідному навчанні студентів фізиці поверхні конденсованих речовин // Фізичне освіту у вузах. 2007. Т. 13. № 3.

    11. Jablonski A. Elastic backscattering of electrons from surfaces // Surf. Sci. 1985. V. 151.

    12. Jablonski A. Analytical applications of elastic electron backscattering from surfaces // Progress in Surface Science. 2003. V. 74.

    13. Kwei C. M., Su P., Chen Y. F., Tung C. J. Monte Carlo calculations of the reflection electron energy loss spectra in gold // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. V. 30.

    14. Powell C. J., Jablonski A. NIST electron elastic-scattering cross-section database. Version 3.1, Standard Reference Data Program Database 64, National Institute of Standards and Technology. Gaithersburg, MD, 2003.

    15. Powell C. J., Jablonski A. NIST electron inelastic-mean-free-path database. Version 1.1, Standard Reference Data Program Database 71, US Department of commerce, National Institute of Standards and Technology. Gaithersburg, MD, 2000..

    16. Schilling J. S., Webb M. B. Low-energy electron diffraction from liquid Hg: multiple scattering, scattering factor and attenuation // Phys. Rev. B. 1970. V. 2. № 6.

    17. Schmid R., Gaukler K. H., Seiler H. Measurement of elastically reflected electrons (E < 2,5 keV) for imaging of surfaces in a sample ultrahigh vacuum scanning electron microscope // Scanning Electron Microscopy. 1983. V. 11. Р. 501-509.

    REFERENCES

    1. Bronshtein I. M., Pronin V. P., Hinich I. I., Chistotin I. A. Spektroskopiya uprugogo otrajeniya elektronov kak effektivnyi metod diagnostiki poverhnosti tverdogo tela // Izvestiya RGPU im. A. I. Gercena. Fizika: Nauchnyi jurnal. 2006. № 6 (15).

    2. Bronshtein I. M., Pronin V. P. Uprugoe otrajenie elektronov srednih energii ot tverdyh tel // FTT. 1975. T. 17. V. 7.

    3. Bronshtein I. M., Vasil'ev A. A., Pronin V. P., Hinich I. I. Uprugoe otrajenie elektronov srednih energii ot neuporyadochennyh metallicheskih poverhnostei // Izvestiya AN SSSR. Ser. fizich. 1985. T. 49. № 9.

    4. Bronshtein I. M., Pronin V. P., Hinich I. I. Energeticheskie spektry neuprugootrajennyh elektronov ot zolota i bariya v uzkom telesnom ugle // FTT. 1981. T. 22. V. 2.

    5. Ermakov S. M. Metod Monte-Karlo i smejnye voprosy. M .: Nauka, 1971. 328 s.

    6. Mott N., Messi G. Teoriya atomnyh stolknovenii / Per. s angl. M .: Mir, 1969. 756 s.

    7. Pronin V. P., Hinich 1.1., Chistotin I. A. Spektroskopiya uprugogo otrajeniya elektronov dlya kolichestvennogo elementnogo analiza poverhnosti tverdogo tela // Pis'ma v jurnal tehnicheskoi fiziki. 2008. T. 34. V. 19.

    8. Pronin V. P., Hinich I. I., Chistotin I. A. Odnokratnoe i kratnoe rasseyanie v uprugom otrajenii elektronov poverhnost'yu tverdogo tela // Fizicheskii vestnik. Vyp. 1. Sb. nauchn. statei. SPb .: In-t proftehobrazovaniya RAO, 2007.

    9. Sobol'I. M. Metod Monte-Karlo. M .: Nauka, 1968. 64 s.

    10. Hinich I. I. Sovremennye metody fizicheskogo eksperimenta v issledovatel'skom obuchenii studentov fizike poverhnosti kondensirovannyh veschestv // Fizicheskoe obrazovanie v vuzah. 2007. T. 13. № 3.

    11. Jablonski A. Elastic backscattering of electrons from surfaces // Surf. Sci. 1985. V. 151.

    12. Jablonski A. Analytical applications of elastic electron backscattering from surfaces // Progress in Surface Science. 2003. V. 74.

    13. Kwei C. M., Su P., Chen Y. F., Tung C. J. Monte Carlo calculations of the reflection electron energy loss spectra in gold // J. Phys. D: Appl. Phys. 1997. V. 30.

    14. Powell C. J., Jablonski A. NIST electron elastic-scattering cross-section database. Version 3.1, Standard Reference Data Program Database 64, National Institute of Standards and Technology. Gaithersburg, MD, 2003.

    15. Powell C. J., Jablonski A. NIST electron inelastic-mean-free-path database. Version 1.1, Standard Reference Data Program Database 71, US Department of commerce, National Institute of Standards and Technology. Gaithersburg, MD, 2000..

    16. Schilling J. S., Webb M. B. Low-energy electron diffraction from liquid Hg: multiple scattering, scattering factor and attenuation // Phys. Rev. B. 1970. V. 2. № 6.

    17. Schmid R., Gaukler K. H., Seiler H. Measurement of elastically reflected electrons (E < 2,5 keV) for imaging of surfaces in a sample ultrahigh vacuum scanning electron microscope // Scanning Electron Microscopy. 1983. V. 11.


    Ключові слова: НАВЧАННЯ ФІЗИКИ ПОВЕРХНІ ТВЕРДОГО ТІЛА / МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ / ЕЛЕКТРОННА СПЕКТРОСКОПІЯ / ПРУЖНЕ РОЗСІЯННЯ електронів / TEACHING SOLID STATE SURFACE PHYSICS / MATHEMATICAL MODELING / ELECTRON SPECTROSCOPY / ELASTIC ELECTRON SCATTERING

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити