У роботі для визначення розподілених і сумарних гідродинамічних характеристик твердого тіла при ударному взаємодії твердого тіла і рідини в умовах виникнення відриву для отриманих розходяться інтегралів пропонується метод розрахунку з використанням формул Адамара Манглера.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Гоман О.Г., Катан В.А.


THE MATHEMATICAL MODEL OF THE IMPACT INTERACTION OF A BODY AND A LIQUID WITH A FREE SURFACE USING THE HADAMARD INTEGRALS

In this paper the method for definition of the distributed and total hydrodynamic characteristics at the impact interaction of a solid and a liquid with the starting point of separation for obtained divergent integrals is obtained using Hadamard Manglera formulas.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва діє до: 2016
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ УДАРНОГО Взаємодія ТІЛА І РІДИНИ СО ВІЛЬНОЇ ПОВЕРХНЕЮ З ВИКОРИСТАННЯМ інтеграли В СЕНС кінцевій частині ПО Адамар'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ УДАРНОГО Взаємодія ТІЛА І РІДИНИ СО ВІЛЬНОЇ ПОВЕРХНЕЮ З ВИКОРИСТАННЯМ інтеграли В СЕНС кінцевій частині ПО Адамар»

    ?УДК 532.5

    О.Г. Гома, В.А. КАТАН

    Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ УДАРНОГО Взаємодія ТІЛА І РІДИНИ СО ВІЛЬНОЇ ПОВЕРХНЕЮ З ВИКОРИСТАННЯМ інтеграли В СЕНС кінцевій частині

    ПО Адамар

    У роботі для визначення розподілених і сумарних гідродинамічних характеристик твердого тіла при ударному взаємодії твердого тіла і рідини в умовах виникнення відриву для отриманих розходяться інтегралів пропонується метод розрахунку з використанням формул Адамара - Манглера.

    Ключові слова: удар, відрив течії, формули Адамара - Манглера, вертикальна пластинка.

    О.Г. Гома, В.О. КАТАН

    Дншропетровській нацюнальній ушверсітет iменi Олеся Гончара

    Математичне моделювання УДАРНО1 ВЗАСМОДП Т1ЛА I Р1ДІНІ З ВШЬНОЮ

    Поверхня З Використання 1НТЕГРАЛ1В В СЕНС1 СК1НЧЕНО1 Частина

    ЗА Адамар

    У роботi для визначення розподшеніх та сумарних гiдродінамiчніх характеристик твердого тта при удартй взаемоді твердого тта та рiдина в условиях Виникнення вiдріву для Отримання розбiжніх iнтегралiв предложено методрозрахунку з використаних формул Адамара-Манглера.

    Ключовi слова: удар, вiдрів течі, формули Адамара-Манглера, вертикальна пластина.

    O.G. GOMAN, V.A. KATAN

    Oles Honchar Dnipropetrovsk National University

    THE MATHEMATICAL MODEL OF THE IMPACT INTERACTION OF A BODY AND A LIQUID WITH A FREE SURFACE USING THE HADAMARD INTEGRALS

    In this paper the method for definition of the distributed and total hydrodynamic characteristics at the impact interaction of a solid and a liquid with the starting point of separation for obtained divergent integrals is obtained using Hadamard - Manglera formulas.

    Keywords: impact, separation of flow, Hadamard-Manglera formulas, vertical plate.

    Постановка проблеми

    У попередній роботі [1] обґрунтований підхід до математичного моделювання робочого елемента рульового пристрою, як тонкої пластини, що знаходиться на вільної поверхні рідини і схильною до ударних впливів. У даній роботі представлені результати математичного моделювання розподілених і сумарних гідродинамічних характеристик робочого елемента рульового пристрою у вигляді вертикальної пластинки.

    Аналіз останніх досліджень і публікацій

    Актуальний аналіз і бібліографію з тематики роботи вказані в роботі авторів [1,2,3].

    Формулювання мети дослідження

    Мета роботи полягає в побудові математичної моделі для визначення розподілених і сумарних характеристик робочого елемента рульового пристрою у вигляді вертикальної пластинки. При її ударному взаємодії з рідиною з вільною поверхнею в умовах виникнення інерційного відриву течії рідини.

    Виклад основного матеріалу дослідження

    Детальна фізична постановка завдання удару пластинки з відривом приведена в роботі авторів [1]. Тому наведемо лише основні положення, які використані в даній роботі.

    На рис.1 представлена ​​схема до постановки задачі, з якої випливає, що після удару платівка отримує тільки компоненту швидкості уздовж осі Ох, а також кутову швидкість навколо осі, перпендикулярної площині Оху, і на задній стороні пластинки BD утворюється зона відриву BC, яка поширюється від точки B на вільної поверхні ззаду пластинки до деякої точки С.

    Мал. 1. Схема до постановки завдання удару пластинки з відривом

    Комплексний потенціал, який описує виникло в результаті удару протягом рідини має вигляд:

    \? = (2) + 1 / (2), де РР2) - потенціал течії; <// (2) - функція струму.

    Швидкість тіла в результаті удару виражається наступним співвідношенням:

    v = (v + югХ1,

    де V) - поступальна швидкість; ю 2 - кутова швидкість тіла.

    Умова безвідривно течії поширюється тільки на ділянку контуру ЕБС і має вигляд:

    ін

    дп

    = V- п, або V Х = У) - ю2у

    ІХС

    А для ділянок ЕБ і БС буде виконуватися рівність - = v Х = Цо-ю2у, звідки

    ду

    2

    У ^

    \ / = Цоу- ю 2+ Со. При цьому константу С) покладемо рівною нулю, а на вільних границях уздовж осі

    Ох (ділянках (- так; О) і (0; + да)), а також на ділянці відриву СВ маємо умову рівності нулю імпульсного тиску, тобто р = 0 .

    Після визначення положення точки відриву - параметра q, наприклад, з принципу Огазо [1]. розподіл імпульсного тиску на поверхні твердого тіла знаходиться за формулою:

    Pt = -РР ^ о)> ^ 0е (- Ч1).

    де р - щільність рідини; потенціал р (^ о) визначається з крайової задачі теорії аналітичних функцій, рішення якої може бути представлено у вигляді квадратур [1]:

    Ж) = П. *?) ^ (^ (1)

    та •> <Е - t

    -год

    і далі всі необхідні інтеграли /? (^ о), до = 1,2 [1] визначаються чисельно, як інтеграли в сенсі Коші з вибраною величиною q за стандартною процедурою [1, 3-6].

    Для перерахунку розподілу імпульсного тиску та інших розподілених гідродинамічних параметрів в координатах у фізичній площині фізичні координати відповідних точок визначаються за допомогою конформного відображення:

    Х ^ о) = 4о), уУ4о) = 1т ^ о) = 4о).

    Для визначення приєднаних мас вводимо поодинокі потенціали

    Р = в.о. (1 + * ор2 + ю) Рб ,

    і відповідні їм функції струму

    \ = В.о. \ 1 + * про \ 2 + Ю2 \\ б .

    Формула для приєднаних мас в разі плоского перебігу має вигляд [3]:

    Х1к = -рjр ^ d // ?, (2)

    З

    при цьому контур С обходиться проти руху годинникової стрілки, а в допоміжній площині це буде інтегрування по верхньому березі розрізу уздовж відрізка Е е (- q, Ь) від точки Е = Ь до точки Е = - q.

    Інтегрування в (2) може бути здійснено за будь-якої зручної квадратурній формулі, при цьому значення одиничних потенціалів функцій фу (Ео), У = 1,3, в вузлах квадратурной формули обчислюються згідно (1).

    Поле швидкостей всередині області, зайнятої рідиною, обчислюється згідно з виразом:

    dw. (©? 0

    Х " 'т' -

    -= Vx - IVУ = у

    dz х у І dz

    (3)

    dz

    где_ = РВ) - похідна від функції конформного перетворення.

    Для визначення компонентів швидкості на ділянці безвідривного обтікання поверхні контуру в загальному випадку, коли обчислення квадратур в інтеграли / - (0), к = 1,2 в замкнутому вигляді не вдається здійснити, в даній роботі було визнано доцільним застосовувати наступну схему розрахунку: нормальну компоненту швидкості vn на ділянці безвідривного обтікання контуру СВ вважати відомою з

    граничної умови, а для визначення дотичній компоненти vs використовувати операцію диференціювання по дузі контуру.

    Оскільки всі інтеграли / - (Ео), - = 1,2 є інтегралами в сенсі головного значення по

    Коші і чисельно обчислюються по стандартних процедурах, похідні д / - (Ео) - = 12 представляють

    Део '

    собою сингулярні інтеграли, які також слід розуміти в сенсі кінцевої частини по Адамара. Отже, описаний алгоритм рішення дозволяє при відомій аналітичної функції z = р (0),

    яка реалізує конформне відображення області течії на верхню полуплоскость допоміжної площини комплексної змінної /, отримати у вигляді (1) рішення задачі про ударному взаємодії циліндричного тіла, яке плаває на поверхні ідеальної нестисливої ​​рідини для довільного набору кінематичних параметрів в умовах освіти однієї зони відриву з заздалегідь невідомим параметром q, що визначає положення зони відриву.

    Після визначення параметра q із загального рішення (1) знаходимо розподіл потенціалу та імпульсного тиску, зі співвідношення (2) - значення приєднаних мас, а також розподіл швидкості як по поверхні тіла так, і на вільної поверхні згідно (3).

    На рис. 2 показано розподілу компонент швидкості при значенні кінематичного параметра

    Л = 0.

    50 40 Л = 0

    30 0,3896

    20

    10

    0 V_

    Л

    -10

    -20

    -30

    -40. -50 1

    1-Я

    а) _ _ б)

    Мал. 2. Розподіл компонентів швидкості: а) Vx (Е); б) Vy (Е) .

    Для розподілу компоненти швидкості

    Vy (Е) характерні істотні відмінності при максимальних значеннях на окремих ділянках осі Е, які розглянуті більш детально. На вільній поверхні ззаду пластинки при Е е (- так, -Ь) і перед пластинкою при Е е (Ь, + та) розподіл vy (I,) має вигляд, показаний на рис. 3.

    Мал. 3. Розподіл вертикальної швидкості Уу (^) по вільної поверхні: а) за платівкою; б) перед пластинкою

    У відривний зоні на задній стороні пластинки при ^ е (- Ь,-д) компонента швидкості Уу (^) зберігає постійне нульове значення.

    У зоні безвідривного обтікання на задній стороні пластинки при е (- д, 0) і на передній стороні при ^ е (0, b) розподіл складової швидкості Уу (^) має вигляд, показаний на рис. 4. У точці = 0,

    яка відповідає в фізичній площині зануреному краю пластинки - точці D - відбувається розворот течії, і компонента швидкості Уу (4) має особливість і змінює знак.

    Мал. 4. Розподіл швидкості рідини Уу (?,) уздовж поверхні пластинки: а) на задній стороні; б) на передній стороні

    Значення коефіцієнтів приєднаних мас залежно від характерних значень кінематичного параметра Л наведені в табл. 1.

    Таблиця 1

    Л Л: Лб Л66

    -10 0,3570 -0,1931 0,1164

    -5 0,3570 -0,1931 0,1164

    -1 0,3570 -0,1931 0,1164

    -0,5 0,3570 -0,1931 0,1164

    0 0,3570 -0,1931 0,1164

    0,5 0,3570 -0,1931 0,1165

    1 0,3595 -0,1958 0,1197

    1,3 0,3806 -0,2138 0,1349

    На рис.5 показано розподіл імпульсного тиску по поверхні пластинки при значенні кінематичного параметра Л = 0 .

    Мал. 5. Розподіл імпульсного тиску по поверхні пластинки

    Таким чином, проведені розрахунки розподілу компонент швидкості рідини, імпульсного тиску по поверхні пластинки, а також значень коефіцієнтів приєднаних мас залежно від характерних значень кінематичного параметра Л повністю узгоджуються з відповідними значеннями цих розподілених і сумарних гідродинамічних характеристик, отриманими після аналітичного рішення вихідної поставленого завдання [ 1].

    висновки

    Побудовано математичну модель для визначення розподілених і сумарних гідродинамічних характеристик робочого елемента рульового пристрою у вигляді вертикальної пластинки. при її ударному взаємодії з рідиною з вільною поверхнею в умовах виникнення інерційного відриву течії рідини. Порівняння з відповідними значеннями цих розподілених і сумарних гідродинамічних характеристик, отриманими після аналітичного рішення вихідної поставленого завдання дозволяє зробити висновок на користь застосовності запропонованого підходу до визначення характеристик відривних зон при ударному взаємодії твердого тіла і рідини.

    Список використаної літератури

    1. Гоман О.Г. Використання інтегралів в сенсі кінцевої частини по Адамара в математичному моделюванні ударного взаємодії тіла і рідини з вільною поверхнею / О.Г. Гоман,

    B.А. Катан // Вісник Херсонського національного технічного університету. - 2015. - №3 (54). -

    C. 27- 31.

    2. Норкин М.В. Змішані задачі гідродинамічного удару / М.В. Норкин. - Ростов-на-Дону, 2007. - 136 с.

    3. Сєдов Л.І. Плоскі задачі гідродинаміки і аеродинаміки. / Л.І. Сєдов - М .: Наука. - 1980. - 448 с.

    4. Мусхелишвили Н. І. Деякі основні завдання математичної теорії пружності / Н. І. Мусхелишвили - М .: Наука. - 1966. -707с.

    5. Загальна теорія аеродинаміки великих швидкостей під редакцією У.Р. Сирса - М .: Воениздат. - 1962. -300 с.

    6. Адамар Ж. Завдання Коші для лінійних рівнянь з приватними похідними гіперболічного типу / Ж.Адамар - М .: Наука. - 1978. - 352 с.


    Ключові слова: УДАР / IMPACT / ВІДРИВ ПЕРЕБІГУ / SEPARATION OF FLOW / ФОРМУЛИ Адамар МАНГЛЕРА / ВЕРТИКАЛЬНА ПЛАСТИНКА / VERTICAL PLATE / HADAMARD-MANGLERA FORMULAS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити