Вивченню пошкоджень хребта присвячено велику кількість наукових праць фундаментальної і прикладної науки. Особливу роль в дослідженні цієї патології відіграють методи математичного моделювання, так як дозволяють прогнозувати розвиток несприятливих деформацій хребта і оптимізувати методи усунення цих пошкоджень. З використанням математичної моделі трехпозвонкового комплексу розроблений алгоритм хірургічного лікування деяких типових ушкоджень хребта.

Анотація наукової статті за медичними технологіями, автор наукової роботи - Орлов Сергій Володимирович


A plenty of proceedings of various disciplines fundamental and applied science is devoted to studying of vertebral damage. The special role in studying this pathology is played with methods of mathematical modelling since allow to predict development of adverse deformations of a backbone and to optimize methods of elimination of these damages. Using mathematical model three-vertebra a complex the algorithm of surgical treatment of typical spinal damages is developed.


Область наук:
  • Медичні технології
  • Рік видавництва: 2011
    Журнал: Вісник Балтійського федерального університету ім. І. Канта. Серія: Фізико-математичні та технічні науки

    Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання травми хребта'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання травми хребта»

    ?УДК 519.6: 616.832-02

    С. В. Орлов

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТРАВМИ ХРЕБТА

    Вивченню пошкоджень хребта присвячено велику кількість наукових праць фундаментальної і прикладної науки. Особливу роль в дослідженні цієї патології відіграють методи математичного моделювання, так як дозволяють прогнозувати розвиток несприятливих деформацій хребта і оптимізувати методи усунення цих пошкоджень. З використанням математичної моделі трехпозвонкового комплексу розроблений алгоритм хірургічного лікування деяких типових ушкоджень хребта.

    Вісник Балтійського федерального університету ім. І. Канта. 2011. Вип. 10. С. 47-55.

    48

    A plenty of proceedings of various disciplines fundamental and applied science is devoted to studying of vertebral damage. The special role in studying this pathology is played with methods of mathematical modelling since allow to predict development of adverse deformations of a backbone and to optimize methods of elimination of these damages. Using mathematical model three-vertebra a complex the algorithm of surgical treatment of typical spinal damages is developed.

    Ключові слова: математичне моделювання, переломи хребта, чисельні методи, біомеханіка.

    Key words: mathematical modelling, fractures of spinal column, numerical methods, biomechanics.

    В основу розробленої математичної моделі стабільності трехпозвонкового комплексу належить математичний опис динамічних процесів диференціальними рівняннями Лагранжа 2-го роду. Це опис складено на основі розрахункової схеми комплексу з трьох хребців, представлених як дискретні зосереджені маси, пов'язані В'язкопружні елементами і володіють певними: геометричними параметрами. При цьому механічна система є стійкою і збалансованою.

    За основу був прийнятий принцип стабільності хребетного стовпа, викладений Л. Рене (L. Rene) [2], де стабільність хребта представлена ​​у вертикальній і горизонтальній площинах, що забезпечується тілами хребців з дугоотростчатих суглобами, які пов'язані між собою В'язкопружні демпфірувальними елементами (міжхребетні диски , м'язово-зв'язковий апарат). При цьому механічна система є дисипативної, розподіл навантажень відповідає трехстолбовой концепції Ф. Денис (F. Denis) [3]; межа міцності тіл хребців і упругодемпфірующіх елементів, а також їх пружна деформація і щільність вважалися умовно встановленими за даними роботи [4], а зміна геометричних характеристик тіл хребців відповідало основним типам переломів хребців [5; 6].

    Розрахункова схема фрагмента хребта людини, що складається з трьох хребців з клиноподібним середнім хребцем і стабілізуючими конструкціями, представлена ​​на малюнку 1.

    На розрахунковій схемі (рис. 1) третій хребець зв'язується за допомогою пружних елементів Сор-i і Сор2 з опорою по осі Х, а перший - по осі Y через Су. Для фіксації варіантів нестабільності хребта передбачено застосування умовних протезіруют конструкцій з коефіцієнтами жорсткості Сст1 і Сст2, що дозволяє моделювати варіанти фіксаторів хребців.

    Математична модель дозволяє на основі обчислення внутрішніх навантажень опорних комплексів кожного хребця трехпозвонкового комплексу розраховувати варіанти розподілу навантажень при типових основних переломах хребців за класифікацією по [6]. Крім цього, можливий розрахунок зміщення хребців по осі Y під впливом сили Q2y, що найчастіше є причиною стенозу хребетного каналу і може призводити до здавлення дуального мішка. Обрана динамічна модель трехпозвонкового комплексу людини

    (Рис. 1) є механічною системою, для якої рівняння Лагранжа 2-го роду має вигляд:

    д, дт. дП дФ . . .

    - (-) + Т + - ='к, к = 1, ..., 7, (1)

    т ДХК ДХК д хк

    де Т, П - кінетична і потенційна енергія системи; Ф - диссипативная функція, яка визначається спинними м'язами і зв'язками; 'К - зовнішні впливи.

    Мал. 1. Механічна схема трехпозвонкового комплексу з патологією середнього хребця і її двосторонньої стабілізацією

    Координати Х. і Уц центру ваги і моменту інерції] плоского хребця визначаються формулами:

    ? X | Уг? X • * X у

    х. = * 4; У. = * 4 -----------; ] = 2| * | [[(X2 + У2) | йх| Йу, (2)

    49

    ? У

    ? х,

    де індекс, визначає число елементарних фігур, складових плоский хребет; у - питома поверхнева маса хребця, кг / мм2.

    Як узагальнених координат приймаються наступні.

    1. Зміщення по осі Ох:

    ХГ - зміщення частини переднього опорного комплексу першого хребця; Х2 - зміщення частини заднього опорного комплексу першого хребця; хз - зміщення частини переднього опорного комплексу другого хребця; х4 - зміщення частини заднього опорного комплексу другого хребця;

    г = 1

    г = 1

    50

    х5 - зміщення частини переднього опорного комплексу третього хребця; х6 - зміщення частини заднього опорного комплексу третього хребця. 2. Зміщення по осі Оу:

    в1 - зміщення частини переднього опорного комплексу першого хребця; у2 - зміщення частини заднього опорного комплексу першого хребця; у3 - зміщення частини переднього опорного комплексу другого хребця; у4 - зміщення частини заднього опорного комплексу другого хребця; У5 - зміщення частини переднього опорного комплексу третього хребця; У6 - зміщення частини заднього опорного комплексу третього хребця. Для спрощення моделі суміжні зміщення по осі Оу взяли: у1 = у2 - зміщення першого хребця; у3 = у4 - зміщення другого хребця; У5 = уб - зміщення третього хребця.

    Крім того, зміщення по осі Оу першого і третього хребців зневажливо малі через додатки пружних опор: у1 = 0, у3 = 0.

    При малих зсувах (нескінченно малих х) в силу еквівалентності 8т (х) і х отримуємо вирази для кутів нахилу тіл системи:

    х2 - х

    -• * 2

    а =-

    Б

    а, =-

    аз =-

    (3)

    У роботі представлена ​​рівнянь 2-го порядку:

    Б Б

    система лінійних диференціальних

    де

    М =

    Б =

    С =

    В1е1 0

    0 В2

    -В1е1 0

    0 -У,

    0 0

    0 0

    БВ1 0

    С1е1 + Сет1

    й2 X йх _

    М •, + Б • - + З • X = О,

    йї йї

    ще1 щ10 0 0 0 0 0

    щ10еі 1 щ2 0 0 0 0 0

    0 0 щзез Щ20 0 0 0

    0 0 щ20е3 Ш4 0 0 0

    0 0 0 0 Ш5 щз0 0

    0 0 0 0 щ30 щ6 0

    0 0 0 0 0 0 М1 зі + +

    - В1сз 0 ВСт1 0

    0 -У, 0 0

    (В1 + В3) с2 + Вещ 0 -? В - Сз 0

    (4)

    0

    -Вещ - В3 0

    0

    -Сіеі 0

    -Сет1

    0

    -5і

    ШМБ

    0

    С2 + Сст2 0

    З 0

    -Мережі 0

    В2 + Вещ + В4 0

    -Вещ - В4 0

    0 0 0

    0 - (Вещ, + В4) 0

    Вор1 + Вещ 0 0

    -С1с3

    0

    (С1 + Сз) сз 0

    -Сз

    0

    о = [0і про, 0 0 0 0 Оу] т

    0

    -З,

    0

    С2 + С4 0 С4 0

    , X = [Х

    Сст1

    0

    -Сз

    0

    Сор1 + сеї1 + сз 0 0

    0

    Вор2 + Вещ 0

    0

    -Сст,

    0

    -с4

    0

    С4 + Сор2 + сеї, 0

    0

    0

    В

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    З,

    1 Х,

    Хз Х4 Х5 Х6

    у Г

    Помноживши обидві частини векторного рівняння (3) на зворотну матрицю М-1, отримаємо наступне наведене рівняння:

    й-ХХ + М-1 • Б • - + М-1 • З • X = М-1 • Про,

    йї йї

    або

    + W • - + А • X = Б, (5)

    йї2 йї

    де А = М-1С, Ш = М-1Б, Б = М-1О.

    Для отримання епюр навантажень Р1, Р, і Р3, Р4, а також пружних деформацій х1, х, і х3, х4 уздовж осі У для 1-го і, -го хребців використовувалася лінійна інтерполяція і екстраполяція у відповідності з наступними формулами (для 1 -го хребця при його довжині 80 мм):

    Р1 (У) = к1 • У + К х1 (y) = К1 • У + У є [0, 80], (6)

    де до Р - Р1; Ь = Р1 • У, - Р •, 1; К = ^ - *; у = * 1 • у, - • У1

    1 У, - у / 1 У, - У1 '1 У, - у / 1 У, - У1'

    Епюри навантажень Рз, Р4 і пружних деформацій хз, х4 для, -го хребця розраховуються за формулами, аналогічним формулами (6).

    1. Наведемо результати чисельних розрахунків грудного і поперекового відділів хребта без його пошкодження (норма) (й, = 0).

    Чи задавалися наступні вихідні дані (рис. 1): С1 = з ,, 6-10з н / мм, С, = 0,9, -10з н / мм, Сз = 0,46-10з н / мм, С4 = з, , 6 ^ 10з н / мм, С5 = 0,9,40з н / мм, Сб = 0,46-10з н / мм, Су = 5-10з н / мм, Сор1 = Сор, = з ,, 640з н / мм, О = 400 кг (зовнішня сила прикладена до центру тяжіння хребця при у =, 1 мм), Р1 = 00, вз = 00 (деформація хребця відсутня), Сст1 = Сст, = 0 (стабілізуючі пластини зліва і праворуч від хребців відсутні - рис. 1), число тимчасових шарів] = 1000, а крок інтегрування за часом х = 10 ^ з.

    Для уточнення розподілу навантажень Р, що діють на центральний і правий стовпи хребців, розглянемо розраховані тимчасові залежності навантажень (без перенесення другого елементу жорсткості С, в центр ваги хребця, при й, =, 6,5 мм), наведені на малюнку ,.

    Обчислюючи відносини Р ,, Р4, Р6 до Р1, РЗ, Р5 відповідно, визначаємо, що навантаження Р, що діють на перший і третій стовпи хребців в нормі, співвідносяться як 0,7 до 0, з, що відповідає реальної картини розподілу навантажень Р уздовж хребців людини в грудному відділі.

    ,. Проведемо моделювання ушкоджень типу А за класифікацією АО (руйнування першого стовпа) хребця і варіанти стабілізації. Для моделювання цього пошкодження перенесемо другий елемент жорсткості С, в центр ваги хребця (й, = 0), а також умовно зруйнуємо перший стовп другого хребця (С1 = Сз = 0). Результати розрахунків навантажень Р для 1-го,, -го і з-го хребців представлені на малюнку з.

    51

    Мал. ,. Розраховані тимчасові залежності навантажень Р1г Рз, Р5, що діють на центральні стовпи 1-го,, -го і з-го хребців, і Р ,, Р4 і Р6 - на праві стовпи, в кг / см ^ час в с

    Як випливає з малюнка з, навантаження перші стовпи 1-го і, -го хребців взагалі не сприймають, а завантажуються правий і середньої стовпи хребта. Оптимальний варіантом лікування даного стану є протезування передній колони металевою пластиною (Ссї1 = 104 н / мм, див. Рис. 1), що з'єднує 1-й і з-й хребці (рис. 4).

    Протезування передньої колони доповнимо фіксацією задньої. Розподіл навантаження на хребці Р зображено на малюнку 5.

    53

    Мал. 3. Розподілу навантажень Р уздовж осі у, доданих до 1-му, 2-му і 3-му хребців при = 400 кг і у = 21 мм, в кг / см2

    Мал. 4. Розподілу навантажень Р уздовж осі у, доданих до 1-му, 2-му і 3-му хребців при Q = 400 кг і у = 21 мм, в кг / см2, і стабілізуючою пластини при Сс ^ = 104 н / мм

    Мал. 5. Розподілу навантажень Р уздовж осі у, доданих до 1-му, 2-му і 3-му хребців при Q = 400 кг і у = 21 мм, в кг / см2, і стабілізуючих пластин при Сс ^ = 104 н / мм і СсЬ2 = 104 н / мм

    54

    При зменшенні жорсткості пластин починає навантажувати перший стовп хребця при деякій розвантаження лівого стовпа хребця. Таким чином, для збереження розподілу навантажень, близьких до фізіологічних, на хребетні стовпи необхідно - при даних типах ушкодження - оптимально підбирати фізичні параметри матеріалу фіксаторів (жорсткість, пружність і т. Д.).

    3. Моделювання пошкоджень типу В (розгинальні переломи) за класифікацією АО хребця і варіанти корекції.

    Моделювання даної ситуації досягалося умовним руйнуванням 3-го стовпа, тоді С3 = 0 і С6 = 0 (рис. 6). Для усунення пошкоджень разгибательного типу застосовують задню стабілізацію типу транспедикулярної фіксації (ТПФ). На малюнку 7 наведено розподіл навантажень Р при пошкодженні типу В після ТПФ.

    Мал. 6. Розподілу навантажень Р, прикладених до 1-му, 2-му і 3-му хребців при Q = 400 кг і у = 21 мм при переломі типу В

    Мал. 7. Розподіл навантажень Р при пошкодженні типу В після стабілізації перелому транспедикулярної системою (ТПФ)

    Відзначимо, що наведені вище варіанти корекції біомеханічних порушень при переломах хребта сгибательного і разгибательного механізмів при застосуванні відомих методів стабілізації (передній, задній, циркулярної) значно покращують характеристики системи, але істотно відрізняються від розподілу навантажень в фізіологічно нормальному хребті.

    Отже, математичне моделювання типових пошкоджень хребта на прикладі трехпозвонкового комплексу людини дозволяє переосмислити методи їх хірургічного лікування і вимагає продовження наукового пошуку оптимальних стабілізуючих систем.

    Список літератури

    1. Громов А. П. Біомеханіка травми. М., 1979. С. 179 -210.

    2. Reno Louis. Surgery of the Spine. Berlin; Heidelberg, 1983. P. 55 - 58.

    3. Denis F. Spinal instability as defined by the three column spine concept in acute spinal trauma // Clin. Orthop. 1984. N 189. P. 65.

    4. Liebschner M. Finite element modeling of the human thoracolumbar spine // J. spine. 2003. Vol. 28, № 6. P. 559-565.

    5. Fergusson R., Tencer A., ​​Woodard P., Allen A. Biomechanical comparison of spinal fracture models and the stabilizing effects of posterior instrumentations // Spine. 1988. № 13. P. 453.

    6. Magerl F. A new classification of spinal fractures // Orthop trans. 1989. V. 15. P. 728.

    7. Haher T. R., Felmly W. T., O'Brien M. Thoracic and lumbar fractures: diagnosis and management // Spinal Surgery. 1991. Vol. 2. P. 857 - 910.

    про автора

    Сергій Володимирович Орлов - Інститут біомеханіки хребта, Калінінград, e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    Author

    55

    Sergey Orlov - Institute of Spinal Biomechanics, Kaliningrad, e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..


    Ключові слова: МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ / Переломи хребта / ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ / Біомеханіка / MATHEMATICAL MODELLING / FRACTURES OF SPINAL COLUMN / NUMERICAL METHODS / BIOMECHANICS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити