У даній роботі представлений порожній циліндр як спрощена модель прокатного валка. Циліндр знаходиться під впливом теплового потоку, який відображає дію розпеченого металевого листа на валок. Розроблено тривимірна математична модель температурних полів в підлогою циліндрі, що обертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі OZ, у вигляді крайової задачі математичної фізики для рівняння теплопровідності. Знайдено температурне поле полого циліндра, що обертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі OZ довжини L, у вигляді сходяться ортогональних рядів за функціями Бесселя і Фур'є.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Бердник М.Г.


MATHEMATICAL MODELING OF TEMPERATURE FIELDS IN A HOLLOW ROTATING CYLINDER

This paper presents a hollow cylinder as a simplified model of the roll. The cylinder is under the influence of heat flow, which reflects the effect of the heated metal sheet on the roll. A three-dimensional mathematical model of the temperature field in a hollow cylinder, which rotates at a constant angular velocity about the OZ axis, in the form of a boundary value problem of mathematical physics for the heat equation. Found a hollow cylinder temperature field which rotates at a constant angular velocity about the OZ axis length L, as convergent orthogonal series of Bessel and Fourier functions.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва діє до: 2016
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ У підлогою циліндра, що обертається'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ У підлогою циліндра, що обертається»

    ?УДК 536.24

    М.Г. БЕРДНИК

    Державний вищий навчальний заклад "Нацюнальній прнічій ушверсітет"

    Математичне моделювання температурного ПОЛ1В В ПОРОЖНІСТОМУ ЦІЛ1НДР1, Який ОБЕРТАСТЬСЯ

    У Данте po6omi представлено порожністій ​​цілтдр як спрощений модель прокатного валка. Цілтдр находится пiд Вплив теплового потоку, Який вiдо6ражаe дт розжареного металевий листа на валок. Розроблено трівімiрна математична модель температурного полiв у порожністому цілiндрі, Який обертаеться з постшною Кутовий швідюстю а вокруг оа OZ, у виглядi крайово'1 задачi математічно'1 фiзікі для рiвняння теплопровiдностi. Полтава температурне поле порожністого цілтдра, Який обертаеться з постшною Кутовий швідюстю вокруг оа OZ сюнченно '(довжина L, у виглядi з6iжніх ортогональних рядiв по функцiя Бесселя i Фур'є.

    Ключовi слова: комплексний ряд Фур'є, iнтегральнi превращение Ханкеля, Лапласа, Фур'є, крітерт Предводтелева, трансцендентне рiвняння.

    М.Г. БЕРДНИК

    Державний вищий навчальний заклад "Національний гірничий університет"

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ У підлогою

    циліндр, що обертається

    У даній роботі представлений порожній циліндр як спрощена модель прокатного валка. Циліндр знаходиться під впливом теплового потоку, який відображає дію розпеченого металевого листа на валок. Розроблено тривимірна математична модель температурних полів в підлогою циліндрі, що обертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі OZ, у вигляді крайової задачі математичної фізики для рівняння теплопровідності. Знайдено температурне поле полого циліндра, що обертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі OZ довжини L, у вигляді сходяться ортогональних рядів за функціями Бесселя і Фур'є.

    Ключові слова: комплексний ряд Фур'є, інтегральні перетворення Ханкеля, Лапласа, Фур'є, критерій Предводітелева, трансцендентне рівняння.

    M. G.BERDNYK

    State Higher Education Institution "National Mining University"

    MATHEMATICAL MODELING OF TEMPERATURE FIELDS IN A HOLLOW ROTATING

    CYLINDER

    This paper presents a hollow cylinder as a simplified model of the roll. The cylinder is under the influence of heat flow, which reflects the effect of the heated metal sheet on the roll. A three-dimensional mathematical model of the temperature field in a hollow cylinder, which rotates at a constant angular velocity about the OZ axis, in the form of a boundary value problem of mathematical physics for the heat equation. Found a hollow cylinder temperature field which rotates at a constant angular velocity about the OZ axis length L, as convergent orthogonal series of Bessel and Fourier functions.

    Keywords: complex Fourier series, integral Hankel transform, Laplace, Fourier criterion Predvoditeleva, transcendental equation.

    постановка проблеми

    1сторічно склалось, что в Укршт розвинута мережа металургшніх пвдпріемств, на якіх віробляють значний часть світлового випуску стал1 [1]. При прокат металевих ліспв металевий розжареній лист до температури 1200 ° С рухаеться с помощью валів. При цьом валки могут сильно нагр1ватіся i, при досягнеш питань комерційної торгівлі критичних температур, деформуватіся. Що в свою черга віклікае шлюб виробництва [1 - 3]. Отримання геометрично правильних розмiрiв прокату, зниженя витрат прокатних валів, на пряму Залежить вщ здатносп управлшня теплових профшем валів, оперативно управлшням! Х теплових Розширення по ВСШ довжіш бочки валка [3].

    При розглядi ряду вопросам, пов'язаних з штенсіфжащею виробництва, Отримання нового сортаменту, что Вимагаю жорсті поля допустив, як по площінносп, так i поперечно! рiзнотовщінностi, змушуе прокатних все бшьше уваги звертати на тепловий стан валів [4 - 6]. Отже вінікае необхвдшсть аналiзу температури валка та аналгтічно вірахуваті необхщне охолодження для него [5].

    У з'вязку з щм, теоретична i практичний штерес представляє Вивчення теплових явіщ, пов'язаних iз охолодження валків. У данш роботi представлено порожністій ​​цілiндр, як спрощений модель прокатного валка, Який знаходится тд Вплив теплового потоку. Тепловий потж, Який дiе на валок, е наслiдки взаемодп з розжаренім металевий листом.

    Аналіз останшх досл1джень i публiкацiя

    Як показуем огляд лiтератури, теплообмiн в цілшдрах, якi обертаються, вивченню в Сейчас годину ще недостатньо [7, 8]. В [9] показано, что чісельш методи дослiдження нестацiонарніх неосесіметрічніх завдань теплообмiну цілiндра, Який обертаеться, Е не всегда ефективного, если мова идет про обчислення при великих швидкости Обертаном [9].

    В [9] доводитися, что умови стшкосл Обчислення в методах шнцевіх елементiв i к1нцевіх рiзніць, что застосовуються до розрахунку нестацiонарніх неосесіметрічніх температурних полiв цілiндра, Який обертаеться, визначаються аналогiчнімі характеристиками. Цi умови ма ють вигляд:

    1 - г 0 | - ± --Р ± >_ 0,

    АР2 Ар 2

    де Fo - крітерiй Фур'є, рй - крітерш Предводiтелева.

    Если рй = 105, что ввдповщае кутовiй швідкостi Обертаном металевий цілiндра а = 1,671 сек-1 радiусом 100 мм, змшш Ар і АFo повиннi буті шдпорядковаш таким умів:

    Ар< 2 • 10-5 i АFo < 2 • 10-10.

    Для рiвномiрно охолоджуваного цілiндра за умови И = 5 (И - крітерш Бю) годину, необхiдно для того, щоб температура досягла 90% стацюнарного стану, дорiвнюе Fo «0.025. Це означае, что Потрiбна

    прінаймш здiйсніті 1.3 10 операцш по годині для того, щоб Було досягнуть стацiонарній розподш температури. Бiльш того, Потрiбна ввдзначіті, что в течение одного циклу обчислення Потрiбна здiйсніті

    3.14 • 105операцiй, так як внутрiшнiй стан у шльщ характеризуєте 3.14 • 105точкамі. У результатi видно, что число обчислення, необхвдніх для Отримання чисельного результату відаеться нереальним.

    Тому, для віршення Крайова завдань, яш вінікають при математичних моделюванш трівімiрніх нестацiонарніх процесiв теплообмiну в цілшдрах, яш обертаються, будемо застосовуваті штегральш превращение.

    Мета статі

    Розробити трівімiрну математичного модель розподшу температурних полiв у порожністому цілшдрі, Який обертаеться з постiйною Кутовий швідк1стю а вокруг осi 02 у виглядi Крайова! задачi математично! фiзікі для рiвняння теплопровiдностi, та найти ршення ОТРИМАНО! Крайова! задач ^ розв'язки яко! Використовують пiд час керування температурними полями.

    Основна частина

    Розглянемо розрахунок нестацiонарного неосесіметрічного температурного поля порожністого цілiндра в цілiндрічнiй системи координат (г, р, 2), Який обертаеться з постшною Кутовий швідк1стю а вокруг оа 02 ск1нченно! Довжина Ь, теплофiзічнi властивостi которого НЕ залежався ВВД температури, а внутрiшнi джерела тепла вiдсутнi. У початковий момент часу температура цілшдра постiйна О0, а на зовнiшнiй i внутрiшнiй поверхнi цілiндра температура вщома i Залежить ВВД годині 0 (р, 2, t) 101 (р, 2, I) вщповщно.

    Математично задача визначення температурного поля цілшдра Т ​​(р, р, 2, t) складаеться в iнтегруваннi діференщального рiвняння теплопровiдностi [10] в обласп В = {(р, р, 2, t) р е (р0,1), р е ( 0,2 ^), ь е (0,1), Fo е (0, так)}, что з урахуванням прийнятя допущених запишеться у відг

    дв дв д 2в 1 дв 1 д 2в д 2в д Fo д р Др2 Р ін р2 д р2 дг2

    з початкових умів

    в (р, р, 2,0) = 0 (2)

    i граничних умів

    в (р0, р, 2, t) = Ж (р, 2, Fo), в (1, р, 2, t) = V (р, 2, Fo), (3)

    в (р, р, 0, Fo) = 0, в (р, р, 1, Fo) = 0, (4)

    Т (2 t) ((

    де в = Р р 2 ^ -0 - вщносна температура цілiндра; Ттах = тах ((р, 2,1), 0 \ ((р, 2,1)}; 1-годину;

    Ттах - (0

    р, 2, г

    1

    р = -; Я - зовнiшнiй радiус цілiндра; х = (Я ^); а = - - коефщент температуропроввдностц Я су

    у - щшьтсть середовища; Л - коефiцieнт теплопровщностц з-Питома теплоeмнiсть; ^ О = а • Я 2 -

    2

    крітерiй Фур'є; Ре = - крітерш Предводiтелева; Ж (р, 2,), К (р, 2, ^ о) е С (б) .

    а

    Тодi рiшенням Крайова! задачi (1) - (4) в (р, р, 2, ^ 0) е двiчi неперервно діференцiйованім по р i р, 2, один раз по t в обласп D i неперервно на Б [10], тобто в (р, р, 2, () е З 2,1 (б) П С (б), а функціонально Ж (р, 2, ^), V (р, 2, ^ 0), в (р, р, 2,) могут буті розкладеш в комплексний ряд Фур'є [11]:

    '^ Рр ^ ^ 0 у вп (р 2, ^ 0 У

    V (р, 2, ^ 0) Кп (2, Р0)

    Ж (р, 2, Р0) п = -у. Жп (2, Р0),

    • ех

    р (7 «р),

    (5)

    де

    вп (Р, 2, р0 У

    Кп (2, Fо) ЖП (2, ^),

    , 2п

    2п

    0

    'В (р, р, ^ ^ 0 у

    V (р, 2, ^ 0) Ж (р, 2, ^ 0)

    • ехр (-тр) ер,

    (6)

    де вп (р, 2, ^ 0) = у, (1) (р, 2, ^ 0) + / ^ (р, 2, ^ 0), Уп (г, ^) = У ^, ^) + / уП2) (г, ^), Wn (г, ^ 0) = ^^ г,) + / W] n2) (z,), / - уявно одиниця. (7)

    З Огляду на ті, что в (р, р, 2, ^ 0) функцiя дiйсна, обмежімося надалi РОЗГЛЯДУ вп (р, 2, ^ 0) для п = 0,1,2, ..., тому что вп (р , 2,) i в-п (р, 2, ^ 0) будут комплексно відмінюванні [11]. Пiдставляючі значення функцiй з (5) - (7) у (1) - (4) одержимо систему діференцiальніх рiвнянь:

    5 ^

    з початкових умів i граничних умів

    в + З) вт) = + 1 в-п2 в { ') + х М.

    ін

    Про '^ Про вп + х про

    2 р ін р2 д22

    ^} (Р, 2,0) = 0,

    вп) (р0,2, ^ 0) = ЖП () (2, ^ 0), вп \ 1,2, ^ 0) = ^ ^ 0) в ^) (р, 0, ^ 0) = 0, в ^ ') (р, 1, ^ 0) = 0,

    (8)

    (9)

    (10) (11)

    (1) 2

    де Зп = -®п; Зп = ®п; Ш1 = 2; Ш2 = 1; 1 = 1,2.

    Застосовуемо до системи діференщальніх рiвнянь (8) iнтегральне превращение Ханкеля [13]:

    1

    / ( "П, к) = Jрf (р) ^ п, к (" п, до р) лр-

    р0

    (12)

    де ^ п, до "п, до р) = Кп" п, до р0 Уп ( "п, до р) - Уп (" п, до р0 К ( "п, до р); Уп (4 Кп (х) - фУнKЦii Бесселя 120 i

    г * го го •

    2 роду п порядку ввдповщно; "П к - Корш трансцендентного рiвняння

    Кп ( "п, КР0 Уп (" п, к) - Уп ( "п, до р0 К (" п, к) = 0, яш можна найти по формулi [4]:

    "П, к = 3 + Р5 ~ 1 + (ч - Р2 + (г - 4 РЧ + 2 Р3 +...,

    де 8 = кп (р -1); р = (т-) -1; Ч = 4 (т - 1) (т - 25) (Р03 - 1 ^ 3 (р0 -) 3;

    г = 32 (т - 1) (т2 - 114Т +1073) (Р05 - 1) [5 (8р0) 3 (р0 -1)] "1; т = 4п2. Формула оберненого превращение травні вигляд:

    ЛР) = е ^ М) "3)

    к = 0 Кк

    де Кк 112 = 2, к ( «п, к)] 2 - р0 К, к (« п, КР0) Р}; ^ 'П, к ( «п, КР0): У результатi одержуемо систему діференщальніх рiвнянь:

    й ^ пк (ЩП, КРР) й ( «п, до р)

    р = р0

    в + №) =. "й- кк, 2, ^) - + Х ^ <14)

    д ^ Д2

    з початкових умів

    в «, 2,0) = 0, (15)

    i граничних умів

    Про ^ «до, 0, Fo) = 0, в)« п, к, 1, Fo) = 0, 1 = 1,2. (16)

    де П ^ до ( «п, к, 2, Fo) =« п, до [р0 ^ п, к ( «п, кр0К ^, до (« п, Кі ' ")]; 1 = 1,2.

    Застосовуемо до системи діференцiальніх рiвнянь (14) iнтегральне превращение Фур'є [13]:

    1

    / (ЛП) = | / (Х) * 1п (ж • т • х) ах ,

    0

    де ЛТ = п • т; т = 1,2, .. ,, а формула оберненого превращение травні вигляд:

    да

    / (Х) = 2 X 81П (п ^ т • х) • / (ЛТ). (17)

    т = 1

    У результап одержуемо систему Звичайно діференцiальніх рiвнянь:

    йв

    )

    +) = ПЩк (ІПК, ЛТ, Fo) - ( «2, к + ХЛ2т} в ( ') (I8)

    й ^

    з початкових умів

    вп) (мп, до, ЛТ, 0) = 0, (19)

    де 1 = 1,2.

    Застосовуемо до системи звичайний діференщальніх рiвнянь (18) штегральне превращение Лапласа [13]:

    да

    ,-ят

    / (Я) = | / (Т) т

    1т.

    0

    В результатi одержуемо систему алгебра! Чних рiвнянь ввдносно вщ ^:

    я В® + 3 $ •] = П% «до, Л, я) - (« 1к + Л2т в (20)

    де 1 = 1,2.

    Застосовуючі до зображення функцiй (20) формули оберненого превращение Лапласа [13], одержуемо оріпналі функцш:

    f (0

    (Мп, j, Рп

    Fo

    , F0) = J 0

    (Mn, k, F0) • cosnPd (Fo - F0) + (ПW, 4m, F0) sin nPd (Fo - F0)

    exp

    + Xen) (F0- F0)} dF0

    (21)

    де ^ = -1,? 2 = 1; i = 1,2.

    Таким чином з урахуванням формул оберненіх Перетворення (13), (17) одержуемо температурне поле порожністого цілiндра Який обертаеться з постшною Кутовий швідк1стю зі вокруг осi OZ довжина L:

    в (р, д>, z, t) = X

    21 (2lfe (l) (t) + i • Oni) (t)] srn (* m z)

    kn, k ( "n, k P)

    k = 1 \ m = 1

    'A Ik

    n, k

    • ex

    p (inp)

    (22)

    де значення), oj ^ (t) визначаються за формулами (21).

    Висновки

    Полтава температурне поле (22) порожністого цілiндра, Який обертаеться з постiйною Кутовий швідшстю зі вокруг осi OZ сшнченно! Довжина L, у віглвд збiжііх ортогональних рядiв по функщям Бесселя i Фур'є. Знайденій аналггачній розв'язок Крайова! ' задачi теплообмiну цілiндра, Який обертаеться, может найти! застосування при моделюваннi температурних полiв, яш вінікають у багатьох технiчних системах (в супутник, прокатних валках, турбшах i Т.I.).

    Список вікорістаноТ л ^ ературі

    Калiнiченко В. Вплив експлуатацiйніх факторiв на напружено-деформованій та граничний стан ролішв машин Безперервна ліття заготовок / Калшченко В., Гопкало Н. // Вюнік ТДТУ. -2010. - Том 15. - № 1. - С. 41-51.

    Домбровський Ф.С. Працездатність наплавлених роликів машин безперервного лиття заготовок / Ф.С. Домбровський, Л.К. Лещинський // - К .: Інститут електрозварювання ім.Є.О.Патона, 1985. - 198с.

    Будаква А.А. Профілювання валків листових станів / А.А. Будаква, Ю.В. Коновалов, К.М. Ткалич, і ін. // - К .: Техшка, 1986. - 190 с.

    Капланом В. І. Деякі питання до проблеми охолодження прокатних валків / Капланом В.І., Петренко А. С., та ін. // Вюнік Приазовського державного техшчного ушверсітету. Серiя: Техшчш науки.- 2010 р. Вип. №20. - С. 94-97.

    Гарбер Е. А. Моделювання теплового режиму стану холодної прокатки з урахуванням відмінностей в умовах охолодження верхніх і нижніх валків / Е. А. Гарбер, В. О. Гусаров, Е. В. Дилигенский, В. В. Кузнецов // Металург. - 2005. - N 6. - С. 66-69.

    Гарбер Е.А. Моделювання теплового режиму валків широкосмугового стану гарячої прокатки для визначення ефективних режимів їх охолодження / Е.А. Гарбер [и др.] // Метали. - 2009. - N3. - С. 34-47.

    Бердник М. Г. Аналггачній розв'язок узагальнено! Крайова! задачi Неймана теплообмшу сущльного цілiндра, Який обертаеться, з урахуванням шнцево! швідкосп Поширення тепла / Бердник М. Г. // Вкнік Дшпропетр. ун-ту. Сер. «Мехашка» - 2005.- №10. - С. 197-202. Голіцина Е. В. Математичне моделювання температурного поля в підлогою обертається циліндрі при нелінійних граничних умовах / О.В. Голіцина // Теплофизика високих температур. Листопад грудень. - 2008. - том 46, № 6. - C. 905 - 910. Kuwashimo Kensuke Temperature distribution within a rotatinq cylindrieal body / Kuwashimo Kensuke, Yamada Tominori // Bull. JSME. - 1978. - Vol. 21, N 152. - P. 266 - 272. Ликов А.В. Теорія теплопровідності / А.В. Ликов // - М., Вища школа, 1967. - 599 С. 11. Михлин С.Г. Лінійні рівняння в приватних похідних / С.Г.Міхлін // - М., Вища школа, 1977. - 427 С.

    Толстов Г.П. Ряди Фур'є / Г.П. Толстов // - М., Наука, 1980. - 384 С.

    Галіциної А.С., Жуковський А.І. Інтегральні перетворення і спеціальні функції в задачах теплопровідності / А.С. Галіциної, А.І. Жуковський // - Київ., Наукова думка. 1979. -561 С.

    Грей Е. Функції Бесселя та їх застосування до фізики і механіки / Е. Грей, Г.Б. Метьюз // - М., 1949. - 386 С.

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    9.

    10.

    12. 13.

    2

    п = -так


    Ключові слова: КОМПЛЕКСНИЙ РЯД ФУР'Е / COMPLEX FOURIER SERIES / ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ Ханкеля / INTEGRAL HANKEL TRANSFORM / Лапласа / LAPLACE / ФУР'Е / КРИТЕРІЙ ПРЕДВОДІТЕЛЕВА / FOURIER CRITERION PREDVODITELEVA / трансцендентних рівнянь / TRANSCENDENTAL EQUATION

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити