В гідродинамічної постановці розглядається плоска встановилася фільтрація нестисливої ​​рідини за законом Дарсі з будівельних котлованів, огороджених шпунтами Жуковського, через однорідний і ізотропний шар грунту, підстильному добре проникним напірним водоносним горизонтом, на покрівлі якого міститься непроникний ділянку. Для вивчення інфільтрації на вільну поверхню грунтових вод формулюється змішана крайова багатопараметрична завдання теорії аналітичних функцій, яка вирішується за допомогою методу Полубарінова-Кочиної і способів конформного відображення областей спеціального виду, характерних для задач підземної гідромеханіки. Розглядаються граничні випадки перебігу.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Береславский Е. Н., Пестерев Е. В.


The fi ltration from the pits, which are fenced rabbets of Zhukovsky through a soil layer consider. At the bottom of the soil is highly permeable pressure aquifer with nonpermeable site. Mixed multiparametric boundary value problem of the theory of analytic functions is formulated to study the in fi ltration of the free surface. The problem is solved using the Polubarinova-Cochina's method. The limiting cases are considered. They associated with the lack of one of the factors which characterize the simulated process.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2014


    Журнал: Вісник державного університету морського і річкового флоту ім. адмірала С.О. Макарова


    Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання течій з котлованів і водосховищ'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання течій з котлованів і водосховищ»

    ?(Випуск 1

    ^ ВІСНИК

    ~ ГасудАравЕНншУнйв ^ США

    х ^ рЛ0РСК0т * 1 очного флоту імені адмірала з о. Макарова

    МОРСЬКІ І ВНУТРІШНІ ВОДНІ ШЛЯХИ, гідротехнічні споруди І ПОРТИ

    УДК 532.546 Е. Н. Береславский.

    д-р фіз.-мат. наук, професор, Санкт-Петербурзький державний університет цивільної авіації;

    Б. В. Пестерев.

    аспірант,

    Санкт-Петербурзький державний університет цивільної авіації

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТЕЧІЙ З котлованів І ВОДОСХОВИЩ

    MATHEMATICAL MODELING OF FLOW THROUGH TRENCHES AND WATER RESERVOIRS

    В гідродинамічної постановці розглядається плоска встановилася фільтрація нестисливої ​​рідини за законом Дарсі з будівельних котлованів, огороджених шпунтами Жуковського, через однорідний і ізотропний шар грунту, підстильному добре проникним напірним водоносним горизонтом, на покрівлі якого міститься непроникний ділянку. Для вивчення інфільтрації на вільну поверхню грунтових вод формулюється змішана крайова багатопараметрична завдання теорії аналітичних функцій, яка вирішується за допомогою методу Полубарінова-Кочиної і способів конформного відображення областей спеціального виду, характерних для задач підземної гідромеханіки. Розглядаються граничні випадки перебігу.

    The filtration from the pits, which are fenced rabbets of Zhukovsky through a soil layer consider. At the bottom of the soil is highly permeable pressure aquifer with nonpermeable site. Mixed multiparametric boundary value problem of the theory of analytic functions is formulated to study the infiltration of the free surface. The problem is solved using the Polubarinova-Cochina's method. The limiting cases are considered. They associated with the lack of one of the factors which characterize the simulated process.

    Ключові слова: фільтрація, грунтові води, шпунт, область комплексної швидкості, конформні відображення.

    Key words: filtration, groundwater, dam, groove, velocity hodograph, conformal mappings.

    І

    Сследованія з вивчення фільтраційних течій з будівельних котлованів і водосховищ, огороджених симетричними шпунтами Жуковського (див., Наприклад, огляди [1; 2; 3, с. 585-648; 4]). При цьому в одних випадках передбачалося, що водопроникний шар грунту має необмежену потужність, в інших нижчележачий сільнопроніцаемий напірний пласт моделювався однією або двома дренамі в формі горизонтальної щілини Жуковського [5, с. 297-332]. У ряді робіт вивчалася вільна фільтрація, тобто протягом без підпору, а в окремих випадках - напірна, тобто наявністю вільної поверхні нехтували. У всіх згаданих дослідженнях облік інфільтрації не проводився. Крім того, для вирішення завдань автори використовували різні прийоми: застосовувалася функція Жуковського і спосіб Ведерникова-Павловського, що зводять справу до конформному відображення прямолінійних багатокутників з подальшим використанням формули Крістофеля-Шварца.

    На відміну від названих досліджень, нижче, як безпосереднє продовження і розвиток попередніх результатів автора [6, с. 529-533], вивчається задача про перебіг рідини з котлова-

    нов через грунтової масив кінцевої потужності, підстильному добре проникним напірним водоносним горизонтом, що містить на своїй покрівлі водонепроникний ділянку, при наявності інфільтрації на вільну поверхню. Досліджується найбільш загальний випадок руху, при якому на обох водопроникних ділянках кордону області фільтрації витрата приймає екстремальні значення і точка нульової швидкості потоку виходить на шпунт (що, мабуть, до цих пір не зустрічалося в літературі). Відзначаються граничні випадки перебігу, пов'язані з відсутністю як підпору, непроникного включення або інфільтрації, так і випадок виродження котлованів в напівнескінченної зліва смугу затоплення, досліджений раніше В. В. Ведерникова [7, с. 619-622]. Наводяться результати для схеми, що виникає при відсутності критичних точок в тому випадку, коли швидкість обтікання на кінці шпунта виявляється кінцевої; отримане рішення є деяким аналогом класичної задачі Жуковського [5].

    Для вирішення змішаної крайової багатопараметричної задачі теорії аналітичних функцій використовується метод Полубарінова-Кочиної [1-4], а також розроблені для областей спеціального виду [8] способи конформного відображення кругових багатокутників [9, с. 296301; 10, с. 590-594], які дуже характерні для задач підземної гідромеханіки. Облік характерних особливостей руху дозволяє представити рішення через спеціальні, а в ряді випадків елементарні функції, що робить їх застосування простим і зручним.

    На основі побудованих точних аналітичних залежностей і за допомогою чисельних розрахунків проводиться гідродинамічний аналіз впливу всіх фізичних параметрів схеми на картину явища і відзначаються деякі особливості розробляються моделей.

    1. Основна модель. Постановка задачі. Розглядається плоске усталене протягом з котловану (водосховища) ЛЛ шириною 21, обгородженого симетричними шпунтами Жуковського однакової довжини S, через водопроникний шар грунту потужності Т з нижнім водоносним горизонтом EE, що містить підземні або артезіанські води, натиск в якому має постійне значення Н0 (рис. 1 ). На покрівлі цього пласта розташований водонепроникний ділянку D'D, модельований горизонтальним відрізком довжини 2L. В силу симетрії картини руху обмежимося вивченням правої половини області фільтрації ABCDEGR.

    Грунтові води, огинаючи шпунт ARG під дією різниці напорів в котловані і нижележащем добре проникному водоносному горизонті, піднімаються за ним на деяку висоту RG і, долаючи точку M нульової швидкості на шпунті, утворюють вільну поверхню GE, на яку надходять інфільтраційні води з інтенсивністю s ( 0 < s < 1), віднесеної до коефіцієнта фільтрації грунту до = const. Завдання полягає у визначенні положення кривої депресії GE і, отже, висоти RG підняття грунтових вод за шпунтом, тобто величини S - d.

    Будемо вважати, що рух грунтових вод підкоряється закону Дарсі з відомим коефіцієнтом фільтрації до і відбувається в однорідному і ізотропному грунті, який вважається нестисливим. Швидкість обтікання на вістрі шпунта vR приймається нескінченної (до п. 5), глибина води Н в котловані залишається незмінною в часі.

    З математичної точки зору завдання полягає в знаходженні комплексного потенціалу течії ш = ф + / ф (ф - потенціал швидкості; ф - функція струму) як аналітичної всередині області фільтрації функції комплексної координати z = x + iy при наступних граничних умовах:

    АВ: у = 0, ф = Н; ВС: х = 0, \ | / = 0; CD: у = -Т, \ | / = 0; AG: х = /, ф = Q \ DE: у = -Т, ф = -Н0; GE: q> = -Y-T, \\ i = Q + s (x-1),

    (1)

    де Q - шуканий фільтраційний витрата з котловану. Дослідження здійснюється в термінах наведених величин ши z, пов'язаних з однойменними фактичними величинами ЛФ і z ^ i за допомогою рівностей ш = шф / кТ, z = zJT.

    випуск 1

    випуск 1

    li

    Мал. 1

    2. Побудова рішення крайової задачі. Звернемося до області комплексної швидкості w, відповідної крайовим умовам (1). Ця область, яка є круговим многоугольником з трьома розрізами, вершини N1 і N2 двох з яких відповідають екстремумів функції струму на непроникних ділянках AB і DE, належить класу багатокутників в полярних сітках [8] і збігається з такою для випадку, розглянутого раніше [6; 11, с. 130-138] (рис. 2). Однак, на відміну від [6; 11], в даному випадку на кордоні області руху з'являється додаткова кутова точка - точка B; загальне число особливих точок стає рівним дев'яти, що сильно ускладнює завдання.

    Для вирішення крайової задачі використовуємо метод Полубарінова-Кочиної, який заснований на застосуванні аналітичної теорії лінійних диференціальних рівнянь класу Фукса [1-4]. Вводиться прямокутник допоміжної параметричної змінної площині

    г (0 < REХ < 1/2, 0 < Imx < 0,5Р, p (k) = K '/ K, K = K (k'), k '= s [\, де K (k) - повний еліптичний інтеграл першого роду при модулі k [27,28] при відповідно точок% е = 0, zQ = 0,5,% з = 0,5 (1 + / р),% D = 0,5 / р) і функції

    d з

    Z

    dz

    dQ

    (2)

    Визначаючи характеристичні показники функцій (2) близько регулярних особливих точок [1-4] і беручи до уваги те, що функція w = d® / dz = Q / Z має колишній вигляд [6; 11], прийдемо до залежностей:

    Q = - ^ N ^, Z = iN \ Q,% ± (х) = (1 + ^ (х) ± (1 - ^) У2 (х),

    А (х) А (х)

    Y12 (х) = $ q3 ( 'c) ^ i (4 ± i'y) 9. 2 (т - * а) Е2 (х + г'Р) ехр (+ ДЛГ), (3)

    Д (х) = sd (2Kt, *) ^ [l - (l -? '2Z2) sn2 (2Kz, *)] [l - (l - k'2B2) sn2 (2 Kz, it)],

    Ve = th7t (0,5p + p-a-y). (4)

    Тут sn (M, k) - еліптична функція Якобі (синус) при модулі k; SQ (x), ^ 1 (х) і S2 (x) - тета-функції з параметром q = ехр (-лр), який однозначно пов'язаний з модулем k; N> 0 - масштабна постійна моделювання; A = sn (2Ka, k '), B = sn (2Kb, k'), a і b - невідомі ординати точок A і B області x. В уявленнях (3) постійні конформного відображення a, Р иу, які пов'язані співвідношенням (4), підпорядковані умовам:

    випуск 1

    випуск 1

    0 < а < r < Р < m < a < b < 0,5 p; 0 < у < 0,5 p,

    (5)

    регламентує положення на кордоні області течії точок нульової швидкості M і вістря шпунта R, а також N1 і N2; m і r - невідомі ординати точок M і R в площині т.

    Можна перевірити, що функції (3) задовольняють умови (1), переформульовані в термінах функцій d<s>/ Dx і dz / dx, таким чином є параметричним рішенням вихідної крайової задачі.

    Запис співвідношень (3) для різних ділянок кордону області т з подальшою інтеграцією по всьому контуру допоміжної області призводить до замикання області руху і тим самим служить контролем обчислень.

    В результаті отримуємо вирази для задаються і шуканих геометричних і фільтраційних характеристик моделі:

    0,5

    0,5Р

    J ^ RAdt - J XAedt - h j XCDdt - L, J

    yBCdt -

    0,5p 0,5

    J j &CDdt = H - H0,

    ь про

    (6)

    0,5

    d = T - H0 - J ФEGdt про

    (7)

    і координат точок кривої депресії EG:

    0,5 0,5

    xeg (м) - l + j XEGdt, уEG (і) = -d + \ YEGdt, 0 < u < 0,5.

    (8)

    Контролем рахунку є інші вирази для величин d, L і фільтраційного витрати Q:

    0,5 0,5 0,5Р

    d = Т - Н0 - J YEGdt, L = l - j XEGdt - J XDEdt,

    ooo (9)

    0,5p 0,5

    Q = j * YDEdt - e j XEGdt.

    про 0

    У формулах (6) - (9) підінтегральна функції - вирази правих частин рівностей (3) на відповідних ділянках контура області т.

    3. Аналіз чисельних результатів для основної фільтраційної моделі. Уявлення (3), (6) - (9) містять сім невідомих постійних: ординати a, b, r прообразів точок A, B, R в площині т, параметри конформного відображення а, Р, у, що задовольняють співвідношенню (4) і нерівностей (5), а також модуль k (0 < k < 1) і постійну моделювання N. Для їх визначення при заданих S, l, L, H і T служить система рівнянь (6), поряд з якими використовуються співвідношення:

    w 1 (0,5 + г>) = 0,

    0,5

    j (®

    0,5Р

    EG +

    ) Dt + joGAdt + J ФдСЛ = 0.

    (10)

    Перше з цих співвідношень означає, що швидкість на кінці шпунта звертається в нескінченність, а друге безпосередньо випливає з розгляду граничних умов (1). Після визначення невідомих постійних знаходяться шукані величини d і Q за формулами (7) і, нарешті, за формулами (8) розраховуються координати точок вільної поверхні EG.

    На рис. 1 зображена картина перебігу, розрахована при s = 0,6, T = 7, S = 3, H0 = 3, L = 15, H = 7, l = 10 (базові значення). У табл. 1 і 2 (варіюється в допустимому діапазоні один із зазначених параметрів, а решта фіксуються базовими значеннями) наведені результати розрахунків впливу визначальних фізичних параметрів s, T, S, H0, L, H і l на глибину d (негативні величини d означають, що вільна поверхню піднімається вище осі абсцис) і витрата Q.

    Таблиця 1

    ? d Q T d Q S d Q Н0 d Q

    0,5 2,651 0,182 6,5 1,349 0,234 2,0 ​​1,726 0,635 2,0 3,155 0,038

    0,6 1,804 0,394 7,0 1,804 0,394 2,5 1,745 0563 4,0 0,441 0,769

    0,7 0,586 0,457 7,5 2,299 0,457 3,5 1,844 0255 5,0 -0,93 1,159

    0,8 -1,195 0,094 8,0 2,745 0,627 4,0 1,873 0,129 6,0 -2,35 1,815

    Таблиця 2

    L d Q Н d Q l d Q

    14 2,555 0,086 4,0 0,650 1,815 10,0 1,804 0,394

    16 1116 0,599 5,0 1,070 1,159 10,3 2,018 0,320

    17 0,413 0,888 6,0 1,441 0,769 10,6 2,229 0,253

    18 -0,256 1,084 8,0 2,155 0,038 11,0 2,478 0,230

    Аналіз даних таблиць і графіків дозволяє зробити наступні висновки.

    Перш за все звертає на себе увагу однаковий якісний характер залежностей величин d і Q від параметрів T і l, S і Н і в той же час протилежну поведінку шуканих характеристик при зміні параметрів S і H з одного боку йот L і Н0 - з іншого.

    Збільшення інтенсивності інфільтрації, ширини непроникного включення і напору в нижележащем пласті і зменшення потужності шару, довжини шпунта, напору води в котловані і його ширини призводять до зменшення глибини d, тобто до збільшення ординати точки G виходу кривої депресії з-під шпунта. Так, згідно з даними табл. 1 і 2 збільшення параметрів s, S, Н0 і l в 1,6, 2,0, 2,0 і 1,1 рази супроводжує зміна величини d в 2,2, 1,1, 1,3 і 1,6 рази відповідно. Однак найбільший вплив на глибину d надає непроникний ділянку: дані табл. 2 показують, що при зростанні ширини L всього на 28% глибина dувелічівается майже в 10 разів.

    При е = 0,8, Н0 = 5 і 6 і L = 18, тобто при досить великих значеннях параметрів е, Н0 і L, вільна поверхня піднімається вище осі абсцис, при цьому величина d набуває від'ємних значень. Якщо ввести безрозмірну величину h (d) = (S - d) / S, h (S) = 0, що характеризує відносну висоту підняття грунтових вод за шпунтом, то для зазначених значень параметрів е, Н0 і L отримуємо h (-1,1945 ) = 1,3981, h (-0,9297) = 1,3099, h (-2,3500) = 1,7833 і h (-0,2560) = 1,0853 відповідно, причому величина h зростає зі збільшенням ординати точки G виходу кривої депресії з-під шпунта.

    Залежності глибини d від параметрів T, Н0, L і Н близькі до лінійних.

    Що стосується витрати, то зі збільшенням ширини непроникного включення величина Q також зростає: з табл. 2 випливає, що збільшення параметра L в 1,28 рази тягне збільшення витрати більш ніж в 12 разів. Таким чином, виявляється значне підпирають вплив непроникного ділянки по відношенню до фільтрації з котловану.

    Подібна поведінка витрати наочно простежується як зі збільшенням потужності шару, ширини котловану і напору в нижчележачому горизонті, так і зі зменшенням довжини шпунта і напору в б'єфі. З табл. 2 випливає, що зменшення параметраН всього в 2 рази супроводжує збільшення витрати Q майже в 48 разів, що свідчить про найбільшому вплив на витрату напору води в котловані

    4. Граничні випадки. 1. Випадок Н0 = 0. Насамперед згадаймо на разі відсутності підпору, тобто русі при Н0 = 0. Рішення для цього граничного випадку виходить з залежностей (3), (6) - (9) при у = у, = 0. при такому значенні параметра у кругової розріз EG області w, трансформуючись, вироджується в праву півколо (штрихова лінія на рис. 2), і таким чином вихідна область перетворюється в кругової шестикутник, у якого випадає права частина півкола | w - 0,5 / ( 1 + е) | < 0,5 (1 - е). У площині течії z при у = у, крива депресії-

    випуск 1

    випуск 1

    ці виполажівается в точці E, з якою зливається її точка перегину F, і виходить на покрівлю нижчого горизонту під прямим кутом.

    2. Випадок l = так. Розглянемо випадок, коли ширина котловану необмежено зростає. Якщо зробити перетворення z '= z + l, перевівши точку A' в початок координат, і зафіксувати всі фізичні параметри моделі, то в міру зростання ширини котловану l постійна конформного відображення b ^ b * = 0,5 р. У межі при l = так параметри b = b *, B = 1. У площині руху z точки B і C зливаються на нескінченності, так що область фільтрації стає полубесконечной зліва смугою затоплення. З (3), (6) - (9) при b = b * випливають результати, отримані раніше [6; 11].

    3. Випадок L = 0. Якщо відсутня непроникний ділянку на покрівлі нижчого водоносного горизонту, то останній на всьому протязі стає добре проникним. При злитті точок C і D в області комплексної швидкості w її ліва полуплоскость відсікається, кругової розріз EG переходить в праву полуплоскость, а вихідна область трансформується в кругової трикутник (рис. 3). У площині руху z точка D, зливаючись з точкою C, виходить на вісь ординат, а прямокутник площині т перетворюється в півсмузі 0 < Rex < 0,5, 0 < Imx < да, оскільки параметр р = K '/ K = так, K = 0,5 л.

    Рішення для цього граничного випадку виходить з формул (3), (6) - (9), якщо в них покласти k = 0 і врахувати, що при цьому еліптичні функції вироджуються в тригонометричні, а тета-функції обриваються на своїх перших членах або константи :

    sin2m'cosxA (x)

    Z = iAfsi ° 2 (1

    cosxA (x)

    Д (т) = sj (a- sin2 x) (b - sin2 x) (c - sin2 x), e = tg2m'ctg2r '.

    (11)

    Тут / w '= arcsin 4m, r' = arcsin 4 ~ r, m ', r', c '(0 < m ' < r ' < a ' < b ' < c ' < 0,5 л) - прообрази точок M, R, C на осі абсцис площині т. Цей випадок докладно описаний раніше [12, с. 1032-1040], де дано аналіз впливу всіх фізичних параметрів моделі.

    4. Випадок е = 0. У рамках завдання L = 0 зупинимося на разі відсутності інфільтрації. З огляду на зв'язок між параметрами т 'і г', зазначену в (11), бачимо, що в разі, коли е = 0, рішення задачі випливає із залежностей (11) при т '= 0, тобто коли в площині т точки кривої G і E зливаються на початку координат з точкою M нульової швидкості.

    Таким чином, виходить рішення задачі, вперше розглянутої В. В. Ведерникова [7], тільки іншим способом.

    5. Випадок кінцевої величини швидкості обтікання на кінці шпунта. Аналіз завдання Жуковського. В рамках крайової задачі (1) розглянемо випадок, коли швидкість обтікання на кінці шпунта vR, 0 < vR < е конечна і функція струму на водопроникних ділянках AB і DE не має екстремумів. Тоді в області комплексної швидкості w зникають обидва вертикальних розрізу, ліва полуплоскость відсікається, як і раніше в разі L = 0, однак, на відміну від останнього, ділянку MR переноситься в перший квадрант (штрихова лінія на рис. 3). В результаті вихідна область перетворюється в кругової п'ятикутник.

    Параметричне рішення задачі має колишній вигляд (3) з заміною інтегралів Т12 (т) і постійних конформного відображення а й р на наступні:

    Рішення аналогічної задачі для випадку відсутності підпору випливає з уявлень (3), (12) при у = у,.

    Аналіз проведених чисельних результатів показує, що в разі vR < да зберігається якісний характер залежностей фільтраційного витрати від фізичних параметрів схеми, властивий нагоди vR = так. Так, наприклад, спостерігається той же, що і раніше, характер поведінки витрат від величин T і l з одного боку і протилежний характер від параметрів S і H - з іншого. Істотний вплив на витрату Q як і раніше надають інфільтрація, незворушне включення і потужність шару.

    На рис. 4 зображена картина руху, розрахована при s = 0,5, T = 6, S = 3, L = 16,2, H = 3,

    Звертає на себе увагу та обставина, що для всіх розрахункових варіантів виявляється d = S і, отже, величина h (d) = h (S) = 0. Це означає, що в площині течії точка G виходу кривої депресії з-під шпунта зливається з точкою R його вістря; з розгляду області комплексної швидкості w (рис. 3) випливає, що в такому випадку швидкість на кінці шпунта дорівнює інтенсивності інфільтрації: vR = 8, 0 < 8 < 1.

    Якщо зробити перетворення т '= 0,5 + / р'т, що переводить прямокутник допоміжної змінної т в йому подібний з параметром р' = 1 / р = KIK ', то відповідне основний фільтраційної схемою нерівність на параметри (5) набуде вигляду

    \ 2 ( "0 = V (T) 9i0 ± * у) ехр (+ гат), а = Р = 0,5 (1 + гр).

    (12)

    l = 15.

    0 < b ' < a ' < r ' < 0,5,

    де b ', a', r '- абсциси прообразів точок B, A, R в площині т.

    (13)

    \\

    i

    Е

    ©

    н

    В

    A

    10

    15

    18 Л-

    S, d

    -a-

    Puc. 4

    випуск 1

    (Випуск 1

    ^ ВІСНИК

    -- "7 ГОСУДАРСТВЕННСІТ) університету

    ^ JMACKOm І РІЧКОВОГО ОЛОГЛ ІМЕНІ АДМІРАЛА З О, МАКАРОВА

    Розрахунки показують, що для будь-якого значення інтенсивності інфільтрації s (0 < s < 1) співвідношення d = S виконується лише для одного значення величини г '- її граничного значення г *, коли на площині т' зливаються точки G і R: r = г * = 0,5. Всі інші допустимі значення r < г * призводять до неузгодженості з реальною картиною перебігу - співвідношенню d > S, тобто до відриву потоку.

    Подібний результат в граничному для даної моделі випадку, коли водопроникний шар грунту має необмежену потужність, відсутня непроникний ділянку і інфільтрація, тобто при T = так (до '= 0, к = 1), L = 0 (b' = b * = 0) ие = 0 (т '= 0), був вперше отриманий в свій час Н. Е. Жуковським [5]. Рішення для цього граничного випадку виходить з залежностей (3), (12), якщо в них покласти K = так, K = л / 2, к '= 0, к = 1, b' = 0, q '= 0 і врахувати , що при цьому еліптичні функції вироджуються в гіперболічні, а тета-функції, які на цей раз характеризуються параметром q '= 0, обриваються на своїх перших членах або константи.

    Таким чином, в граничному випадку досліджуваної схеми виходить рішення задачі Жуковського, тільки іншим шляхом.

    Список літератури

    1. Полубарінова-Кочина П. Я. Теорія руху грунтових вод / П. Я. Полубарінова-Кочина. - М .: Гостехиздат, 1952. - 676 ​​с .; 2-е изд. - М .: Наука, 1977. - 664 с.

    2. Розвиток досліджень по теорії фільтрації в СРСР (1917-1967). - М .: Наука, 1969. -

    545 з.

    3. Михайлов Г. К. Рух рідин і газів в пористих середовищах / Г. К. Михайлов, В. Н. Миколаївський // Механіка в СРСР за 50 років. - М .: Наука, 1970. - Т. 2.

    4. Кочина П. Я. Вибрані тр. Гідродинаміка і теорія фільтрації / П. Я. Кочина. - М .: Наука, 1991. - 351 с.

    5. Жуковський Н. Е. Просочування води через греблі / Н. Е. Жуковський // Жуков ський Н. Е. Собр. соч. - М .: Гостехиздат, 1950. - Т. 7.

    6. Береславский Е. Н. Про деякі гідродинамічних моделях, пов'язаних із завданням Жуковського про обтікання шпунта / Е. Н. Береславский // Докл. РАН. - 2013. - Т. 448, № 5.

    7. Ведерников В. В. Фільтрація за наявності дренуючого або водоносного шару / В. В. Ведерников // Докл. АН СРСР. - 1949. - Т. 69, № 5.

    8. Кочина П. Я. Аналітична теорія лінійних диференціальних рівнянь класу Фукса і деякі завдання підземної гідромеханіки / П. Я. Кочина, Е. Н. Береславский, Н. Н. Кочина. - К .: Ін-т проблем механіки РАН, 1996. - Ч. 1. - 122 с. - (Препринт № 567).

    9. Береславский Е. Н. Про диференціальних рівняннях класу Фукса, пов'язаних з конформних відображенням кругових багатокутників в полярних сітках / Е. Н. Береславский // Диференціальні рівняння. - 1997. - Т. 33, № 3.

    10. Береславский Е. Н. Про деякі диференціальні рівняння класу Фукса, що зустрічаються в задачах механіки рідин і газів / Е. Н. Береславский // Диференціальні рівняння. - 2012. - Т. 48, № 4.

    11. Береславский Е. Н. Про деякі гідродинамічних схемах, пов'язаних з обтіканням шпунта Жуковського / Е. Н. Береславский, Е. В. Пестерев // Вісник СПбГУ. Сер. 1. «Математика, механіка, астрономія». - 2013. - Вип. 1.

    12. Береславский Е. Н. Про фільтрації рідини з котловану, обгородженого шпунтами / Е. Н. Береславский // ІФЖ. - 2013. - Т. 86, № 5.

    13. Аравін В. І. Теорія руху рідин і газів в недеформируемой пористої середовищі /

    В. І. Аравін, С. Н. Нумеров. - М .: Гостехиздат, 1953. - 616 с.


    Ключові слова: ФІЛЬТРАЦІЯ /ГРУНТОВІ ВОДИ /шпунт /ОБЛАСТЬ КОМПЛЕКСНОЇ ШВИДКОСТІ /конформні відображення /GROUNDWATER /CONFORMAL MAPPINGS /FI LTRATION /DAM /GROOVE /VELOCITY HODOGRAPH

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити