Запропоновано математичні моделі деформування і руйнування біокомпозіти аналога плоских кортикальной і губчастої кісток склепіння черепа, при високошвидкісному навантаженні. Методом комп'ютерного моделювання досліджено процеси взаємодії сталевих компактних ударників циліндричної і сферичної форми з кістковою тканиною при швидкості удару 500 м / с.

Анотація наукової статті з нанотехнологій, автор наукової роботи - Бєлов Микола Миколайович, Югов Микола Тихонович, Іщенко Олександр Миколайович, Афанасьєва Світлана Амед-ризовна, Хабібуллін Марат Варісовіч


Mathematical models of deformation and destruction of a biocomposite, an analog of flat cortical and spongy bones of calvaria, at shock-wave loading have been proposed. Interaction of particles of steel compact cylindrical and spherical strikers with a bone tissue at impact velocity of 500 m / s has been researched by use of the method of computer simulation.


Область наук:

  • нанотехнології

  • Рік видавництва: 2010


    Журнал: Вісник Томського державного університету. Математика і механіка


    Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання руйнування кісткової тканини при динамічному навантаженні'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання руйнування кісткової тканини при динамічному навантаженні»

    ?2010

    ВІСНИК Томського державного університету Математика і механіка

    № 2 (10)

    МЕХАНІКА

    УДК 539.3

    М.М. Бєлов, Н.Т. Югов, А.Н. Іщенко, С.А. Афанасьєва,

    М.В. Хабібуллін, А.А. Югов, А.Л. Стуканов

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РУЙНУВАННЯ КІСТКОВІЙ ТКАНИНИ ПРИ ДИНАМІЧНОМУ НАГРУЖЕНІІ1

    Запропоновано математичні моделі деформування і руйнування біокомпозіти - аналога плоских кортикальной і губчастої кісток склепіння черепа, при високошвидкісному навантаженні. Методом комп'ютерного моделювання досліджено процеси взаємодії сталевих компактних ударників циліндричної і сферичної форми з кістковою тканиною при швидкості удару 500 м / с.

    Ключові слова: математичне моделювання, біокомпозіт, кістка, руйнування, високошвидкісний удар.

    У біомеханіки і медицині велика увага приділяється вивченню механізмів руйнування кісткових тканин при дії високошвидкісних осколків. Дані дослідження істотно поглиблюють знання про рановий балістики, визначають шляхи та напрямки для розробки нових видів діагностики і лікування патологічних станів, викликаних дією вражаючих факторів сучасних видів зброї [1].

    Однією з центральних завдань, що дозволяють розкрити тонкі внутрішні процеси, що протікають в кісткових тканинах при ударно-хвильовому навантаженні, є розробка засобів математичного моделювання.

    Метою даної роботи є створення математичної моделі і чисельної методики розрахунку високошвидкісного взаємодії кісткової тканини черепа з металевими осколками.

    За даними [2] різні складові кісткової тканини мають різні характеристики і різні механізми руйнування при динамічних навантаженнях: від крихкого до пластичного. Досвід останніх досліджень авторів даної роботи дозволяє узагальнити наявні дані для отримання математичної моделі руйнування кісткової тканини.

    В [3] запропонована математична модель, що дозволяє розраховувати в рамках механіки суцільного середовища напружено-деформований стан і руйнування в твердих тілах при вибуховому і ударному навантаженнях. Динамічне руйнування в рамках даної моделі розглядається як процес зростання і злиття микродефектов під дією утворюються в процесі навантаження напруг. Локальним критерієм як сдвигового, так і відривного руйнування в

    1 Робота виконана за фінансової за фінансової підтримки гранту РФФД № 10-01-00573а і АВЦП «Розвиток наукового потенціалу вищої школи», проект №2.1.1 / 4147

    тендітних матеріалах є гранична величина характерного розміру тріщин. У пластичних матеріалах локальним критерієм відривного руйнування служить гранична величина відносного обсягу пір, а сдвигового - гранична величина інтенсивності пластичних деформацій.

    Процес руйнування кортикальної кістки носить крихкий характер [2] і супроводжується утворенням мікротріщин і незначною пластичної деформацією. Для моделювання динамічного руйнування в цьому випадку використовується феноменологічний підхід, коли критерії міцності виражаються у вигляді інваріантних зв'язків критичних значень макрохарактеристик процесів деформування - напруг і деформацій [4]. В [5] при аналізі експериментальних даних по навантаженню плити з дрібнозернистого бетону металевими ударниками при швидкостях зіткнення 130-700 м / с цим способом отримано задовільне узгодження експериментальних даних з даними математичного моделювання.

    1. Математична модель

    Умовним аналогом тім'яної, лобної та потиличної кісток черепа можна вважати біокомпозіт, що складається з трьох шарів кісткової тканини рівної товщини і шару речовини мозку. Верхній і нижній шар кісткової тканини становить кортикальная кістка, внутрішній шар - губчаста речовина.

    Вважається, що в процесі ударно-хвильового навантаження поведінку губчастої кістки і мозку описується в рамках моделі пористої упругопластической середовища, а руйнування в них носять в'язкий характер.

    Питома обсяг пористого середовища і представляється як сума питомої обсягу матриці ит і питомої обсягу пір ір. Пористість матеріалу характеризується відносним об'ємом пустот ^ = і / ір або параметром а = і / ит, які пов'язані залежністю а = 1 / (1 -?).

    Система рівнянь, яка описує рух пористої пружного середовища, має вигляд

    е | ре? = 0, е | рнёУ = | п -аёБ, е | рЕёУ = | п -а • іёБ ,

    Ж у Ж у 5 Ж ^ ?

    / 2 + 2

    е = ---- +, «:« = -АГ, (1)

    2ц 3

    де t - час; V - об'єм інтегрування; ? - його поверхню; п - одиничний вектор зовнішньої нормалі; р - щільність; а = - pg + ж - тензор напружень; ж -його девіатор; р - тиск; g - метричний тензор; і - вектор швидкості;

    Е = е + і • і / 2 - питома повна енергія; е - питома внутрішня енергія;

    е = й - (й: g) g / 3 - девіатор тензора швидкостей деформацій; й = (Уі + Уіг) ^ 2 -

    тензор швидкостей деформацій; Ж7 = ж + 8 • ш - ш • ж - похідна девіатора тензора напружень в сенсі Яуманна - Нолла; аг = а? / а, ц = Ц0 (1 -§) х

    х | ^ 1 - (бр0с2 + 12ц0) | Д9р0с2 + 8ц0) ^ - ефективні межа плинності і модуль

    зсуву; ш = (иг -У і) 2 - тензор вихору. Параметр X виключається за допомогою

    умови плинності; р0 С0 Ц0, а? - константи матеріалу матриці.

    Систему рівнянь (1) замикають рівняння стану кісткової тканини і рівняння кінетики росту пір.

    Рівняння стану кісткових тканин наведено в [6] і має вигляд

    С02Р0 (1 -У0П / 2) П

    1

    Р = -

    а

    (1?) 2 - + Р0 У0е

    (1 -? 0П)

    де п = 1 -Р0 і / а, То - коефіцієнт Грюнайзена,? 0 - нахил ударної адіабати.

    Тут кісткова тканина представляється трикомпонентної сумішшю органічних речовин, неорганічних сполук і пустот, заповнених рідиною. В якості опорної кривої використовувалася адіабата трикомпонентної суміші. Вважається, що органічні і неорганічні сполуки в кістки знаходяться в рівних частках.

    Зростання пір в пластично деформованому матеріалі при дії растяжки-

    * (А

    вающих напруг р < - 1п I ---------- I описується рівнянням

    а \ а-1 у

    Т0Р0е + Р0) Ч + 1п (-? - 1 = 0.

    (1 -? 0П) 2 ^ а-1 у

    Локальним критерієм відривного руйнування є гранична величина від-

    * А * -1

    ^ * '- / V * Л. ^

    відносна обсягу порожнеч? = ---------. Якщо пошкоджений тріщинами матеріал

    а *

    піддати впливу стискають напруг, то критерієм фрагментирования є гранична величина інтенсивності пластичних деформацій

    е * = ^ 3Т2 -Т12 ,

    де Т1 і Т2 - перший і другий інваріанти тензора пластичних деформацій.

    Вважається, що кортикальная кістка при динамічному навантаженні до виконання критерію міцності описується моделлю лінійно-пружного тіла. Як умова міцності використовується критерій [7]:

    3.72 = [4/1 + В] 1 - (1 - З)

    1 - 7 (7.л-3/2

    2 I 3

    (2)

    де /, 72, 7з - перший інваріант тензора напружень, другий і третій інваріанти девіатора тензора напружень відповідно;

    3Т2

    4 = І - Ір, В = Яс • Ір, С = ,

    де Іс, Ір, ТСД - межі міцності при одноосьовому стисканні, розтягненні і чистому зсуві.

    Після виконання критеріїв міцності вважається, що матеріал пошкоджений тріщинами. Процес фрагментирования пошкодженого тріщинами матеріалу описується в рамках моделі пористої пружно-пластичної середовища. Для пошкодженого матеріалу межа плинності залежить від тиску і визначається за формулою

    а = а. (Атаху - атт) кр

    _ Т1п / \ 7

    (Атт -атах) + кр

    де Атаху, ат1п, до - константи матеріалу.

    Фрагментація пошкодженого тріщинами матеріалу, підданого дії напруг, що розтягують, відбувається, коли відносний обсяг пустот досягає граничної величини 5 *. Якщо пошкоджений тріщинами матеріал підданий дії стискаючих напруг, то критерієм фрагментирования є гранична величина інтенсивності пластичних деформацій е * .

    При розтягуванні фрагментований матеріал описується як порошок, рух якого відбувається відповідно до рівняннями середовища, позбавленої напружень. Пористість а в матеріалі визначається з рівняння:

    У е + с2 (1 -оУ2) П - Про УО8 + С0 2 - °.

    I1 -

    2. Результати розрахунків

    Розглянуто поведінку двох видів біокомпозіти при ударі компактними сталевими ударниками циліндричної і сферичної форм діаметром 6 мм зі швидкістю 500 м / с. У першому варіанті біокомпозіт представляється у вигляді тришарової пластини, що складається з рівних по товщині шарів: кортикальная кістка -губчатая кістка - кортикальна кістка, загальною товщиною 7 мм. У другому варіанті біокомпозіт представляється у вигляді чотиришаровій пластини: кортикальная кістка - губчаста кістка - кортикальна кістка (біокомпозіт першого типу, 7 мм) -речовини мозку (14 мм). Досліджуються вплив форми ударника на характер руйнування кісткових тканин і формування наскрізного отвору в них.

    Параметри моделі деформування і руйнування кісткової тканини, отримані при статичних випробуваннях, згідно з літературними джерелами, представлені в таблиці. Параметри критерію руйнування (2) повинні бути визначені в умовах динамічного руйнування. В [8] наведено отримане в умовах ударного навантаження руйнівне напруження при стисканні сс = 269,5 МПа. Розрахунок проведено при ср = сс = 200 МПа, ТСД = 115,6 МПа. Параметри руйнування губчастої тканини і мозку розраховані з урахуванням руйнівного напрузі 42,12 МПа [9].

    параметри моделі

    Параметр Кортикальна кістка Губчаста кістка Мозок Сталь

    р0, г / см3 1,853 1,116 1,0 7,85

    С0, см / мкс 0,28 0,115 0,154 0,457

    ^ 0 1,68 1,54 1,866 1,49

    Т0 0,9477 1,0 1,0 2,0

    й0, ГПа 3,79 0,68 0,048 82,0

    ах, ГПа - 0,029 0,0055 0,6

    Стт5 ГПа 0,005 - - -

    СтаХ5 ГПа 0,115 - - -

    до 0,82 - - -

    ах, ГПа 0,003 0,02 0,0037 0,29

    а0 1,0002 1,0002 1,00001 1,0006

    е. 0,1 1,0 1,0 1,0

    0,01 0,3 0,3 0,3

    ар, ГПа 0,088 - 0,17 - - -

    Сс, ГПа 0,1176 - 0,1568 - - -

    ТСД, ГПа 0,0495 - 0,11564 - - -

    Рішення завдання проведено модифікованим для вирішення динамічних задач методом кінцевих елементів, реалізованим в пакеті програм для ЕОМ [10].

    На рис. 1 і 2 наведені результати розрахунку взаємодії сталевих ударників однакового діаметра циліндричної і сферичної форм з першим варіантом біокомпозіти - тришарової пластиною: кортикальная кістка - губчаста кістка - кортикальна кістка.

    б

    Мал. 1. Проникання в тришарову пластину циліндричного (а) і сферичного (б) ударника. Швидкість удару 500 м / с, Г = 14 мкс

    Level Р

    Мал. 2. Ізолінії тиску в тришарової пластини при ударі циліндричних (а) і сферичним (б) ударником. Швидкість удару 500 м / с, Г = 8 мкс

    Розглянемо зіткнення біокомпозіти з циліндричним ударником (рис. 1, а, рис. 2, а). При ударі торцевою поверхнею ударника в кортикальному шарі утворюється плоска ударна хвиля, за фронтом якої тиск досягає величини

    3,5 ГПа. Вона поширюється в напрямку удару зі швидкістю 3,55 км / с. Одночасно від вільних поверхонь ударника і пластини в глиб ударносжатого матеріалу поширюються хвилі розвантаження. За фронтом ударної хвилі відбуваються процеси утворення, росту і злиття мікротріщин. Інтенсивність пластичної деформації в пошкодженому тріщинами матеріалі значно перевищує пороговий рівень, тому матеріал в області під ударником знаходиться під фрагментированном стані. У момент часу 0,65 мкс ударний фронт виходить на кордон розділу пластин з кортикальної кістки та губчастої речовини. Відбувається його розщеплення на що проходить в шар з губчастої речовини хвилю стиску і відображену в кортикальний шар хвилю розвантаження. Взаємодія зустрічних хвиль розвантаження, що поширюються від лицьової і тильної поверхонь кортикального шару, знижує рівень стискаються напружень в фрагментированном матеріалі до нуля.

    Хвилі розвантаження, що поширюються в напрямку удару від вільної лицьовій поверхні кортикального шару, досягнувши поверхні розділу шарів, поширюються по ударно-стисненого матеріалу губчастого шару, знижуючи в ній рівень стискаються напружень. В сторону, протилежну напрямку удару, по фрагментованому матеріалу кортикального шару поширюється хвиля стиснення.

    Ударний фронт в губчатому шарі, досягнувши поверхні розділу з кортикальних шаром, розщеплюється на що проходить і відбиту хвилі стиснення. Тому в момент часу 2 мкс максимальні стискаючі напруги в біокомпозіте досягаються під ударником у поверхні розділу губчастого і кортикального шарів (р ~ 170 МПа). Ударник, що рухається по фрагментованому кортикальному шару, в момент часу 6 мкс, починає безпосередньо взаємодіяти з губчастим шаром. До моменту часу 8 мкс він увійшов в губчастий шар приблизно на половину його товщини. На рис. 2, б наведено ізолінії тиску в біокомпозіте і ударнику на даний момент часу.

    Між ударником і поверхнею розділу губчастого і кортикального шарів пластин внаслідок неодноразового відображення хвиль стиснення від лицьової поверхні ударника і поверхні розділу матеріалів утворилася область стискають напруг, в якій тиск досягає величин від 239 МПа до 570 МПа. У кортикальному шарі біля поверхні розділу величина тиску становить від 74 МПа до 239 МПа.

    Від вільної тильній поверхні біокомпозіти в сторону, протилежну напрямку удару, поширюється хвиля розвантаження. Почалося утворення «випучини» в кортикальному шарі. У тильній поверхні біокомпозіти утворилася область напруг, що розтягують (-250 МПа < р < -90 МПа). З плином часу ця область збільшується в розмірах і до 10 мкс вона охоплює весь матеріал біокомпозіти, розташований між ударником і вільної тильною поверхнею. Однак фрагментованість пошкодженого тріщинами матеріалу кортикального шару відбувається по сдвиговому механізму, так як інтенсивність пластичних деформацій в ньому досягає критичних значень раніше, ніж відносний обсяг пір досягне критичних величин. Викрили-Шивані фрагментированного матеріалу з тильного боку корітікального шару призводить до утворення в біокомпозіте наскрізного отвору. На рис. 1, б приведена картина пробиття біокомпозіти компактним циліндричним ударником в 14 мкс. Діаметр отвору в першому кортикальном шарі досягає 12,85 мм, в губчатому шарі - 9,85 мм. У другому кортикальном шарі діаметр отвору склад-

    ляє 15,4 мм. Швидкість циліндричного ударника в цей момент часу дорівнює 375 м / с, швидкість сферичного - 395 м / с.

    На рис. 1, б і 2, б представлені результати зіткнення біокомпозіти зі сферичним ударником.

    У момент удару куля стосується пластини лише однією точкою. Тому вже на початковій стадії процесу зіткнення формується складне напружено-деформований стан. В області під ударником при впровадженні формується хвиля стиснення. У момент часу 2 мкс під ударником тиск досягає величини 213 МПа. Відбувається фрагментованість пошкодженого тріщинами матеріалу. До моменту часу 4 мкс матеріал кортикального шару під ударником повністю зруйнований. У наступні моменти часу починається безпосереднє взаємодія ударника з губчастим шаром. В області між поверхнею кулі і поверхнею розділу губчастого і кортикального шару утворюється область стискають напруг, тиск в якій змінюється від 32 МПа до 350 МПа. У міру впровадження кулі в біокомпозіт область стискають напруг під ударником розширюється. До моменту часу 8 мкс куля увійшов в пластину з губчастої кістки на 2/3 її товщини. Тиск в області між поверхнею ударника і поверхнею розділу матеріалу досягає величини від 227 до 332 МПа. В хвилі стиснення, що розповсюджується по кортикальному шару в бік тильній поверхні тиск одно 227 МПа. У цій області відбувається процес фрагментації пошкодженого тріщинами матеріалу. З боку вільної поверхні в напрямку, протилежному удару, поширюються хвилі розвантаження. Взаємодії зустрічних хвиль розвантаження призводить до утворення поблизу вільної поверхні області напруг, що розтягують (р ~ -88 МПа), проте їх рівень не достатній для росту мікродефектів. Фрагментованість матеріалу протікає по сдвиговому механізму. При 14 мкс ви-крошіваніе фрагментированного матеріалу з тильної поверхні кортикального шару привело до утворення наскрізного отвору раніше, ніж ударник пробив біокомпозіт. У лицьовій і тильній кортикальних пластинах діаметр отворів однаковий і рівний 10,25 мм, в пластині з губчастої кістки - 7,4 мм. Швидкість сферичного ударника в цей момент часу дорівнює 395 м / с.

    При ударі торцем циліндричного ударника діаметр отвору в біокомпозіте приблизно на 20% більше, ніж при ударі сферичним елементом.

    На рис. 3, 4 наведені результати розрахунків ударного взаємодії циліндричного і сферичного ударників з біокомпозіти другого типу: кортикальная кістка - губчаста кістка - кортикальна кістка - речовина мозку.

    На початковій стадії процес впровадження ударників в біокомпозіт протікає аналогічно розглянутому вище. Різниця в напружено-деформований стан біокомпозіти починається з моменту виходу хвиль стиснення в другій кортикальной пластині на поверхню розділу кортикальная кістка - мозок. При виході на тильну вільну поверхню біокомпозіти першого типу хвилі стиснення відображаються в ударно-стислий матеріал у вигляді хвиль розвантаження. У другому випадку відбувається розщеплення хвилі на відображену в кістку хвилю розвантаження і проходить в мозок хвилю стиску. Ці процеси добре простежуються на рис. 4. При ударному взаємодії біокомпозіти другого типу з циліндричним ударником в момент часу 10 мкс в області між ударником і поверхнею розділу кортикальная пластина - мозок, матеріал, на відміну від розглянутого вище взаємодії з біокомпозіти першого типу, знаходиться під дією стисливих напруг. Сталося фрагментованість по сдвиговому механізму.

    Мал. 4. Ізолінії тиску в чотиришаровій пластині при ударі циліндричних (а) і сферичним (б) осколками. Швидкість удару 500 м / с, Г = 8 мкс

    За фронтом хвилі стиснення, що розповсюджується по мозку, тиск досягає величини 312 МПа. Освіта наскрізного отвору в кісткових тканинах відбувається набагато пізніше, ніж в попередньому варіанті, а саме, коли ударник безпосередньо входить в контакт з мозком. Хвиля стиснення, що розповсюджується по мозку, досягнувши вільної поверхні, відбивається у вигляді хвиль розвантаження. Поблизу вільної поверхні в момент часу 20 мкс утворюється області матеріалу, в якій відбувається зростання пір під дією напруг, що розтягують (с; = 0,078). Однак в наступні моменти часу процесу проникнення ударника, спостерігається процес затікання пір. На рис. 3 представлена ​​картина руйнування кісткової тканини при 40 мкс. У кістки утворився отвір, параметри якого збігаються з результатами розрахунку взаємодії циліндричного і сферичного ударників з біокомпозіти першого типу. Однак швидкості ударників в цей момент часу вирівнюються і складають 301 м / с.

    Таким чином, при фіксованій швидкості удару в 500 м / с на формування отвори в умовному аналогу плоских кісток черепа основний вплив має форма ударника. Наявність шару мозку не робить істотного впливу на процес його формування.

    Розроблено математична модель поведінки біокомпозіти - умовного аналога тонкої кісткової тканини і прилеглої до неї тканини мозку при навантаженні високошвидкісними осколками. Отримані результати можуть бути корисні при вирішенні проблеми ударно-хвильового остеопорозу [11] шляхом отримання даних про поширення ударної хвилі по кісткової тканини при вогнепальних пораненнях.

    ЛІТЕРАТУРА

    1. Нанотехнології в рішенні актуальних проблем військово-польової хірургії / під ред. генерал-лейтенанта мед. служби В.В. Шапп, проф. Р.С. Баширова, проф. А. А. Гайдаш. Томськ: Изд-во ТГУ, 2007. 86 с.

    2. Бергун П.І., Шукейло Ю.А. Біомеханіка. СПб .: Політехніка, 2000. 463 с.

    3. Бєлов М.М., Югов Н. Т., Копаниця Д.Г., Югов А.А. Динаміка високошвидкісного удару і супутні фізичні явища. Northampton; Томськ: STT, 2005, 356 с.

    4. Ісаєв А.Л., Велданов В.А. Руйнування бетонної плити при пробитті її жорстким ін-дентором // Динамічна міцність і твердостойкость конструкційних матеріалів: зб. статей. Київ: Вид-во Київського вищого інженерного училища, 1988. С. 134 - 139.

    5. Бєлов М.М., Югов Н.Т., Копаниця Д.Г. та ін. Руйнування залізобетонних плит при високошвидкісному ударі // Вісник ТГАСУ. 2006. № 1. С. 5 - 10.

    6. Іщенко О.М., Бєлов М.М., Югов Н.Т. та ін. двопараметричного рівняння стану тканин трубчастої кістки // Сучасна балістика і суміжні питання механіки: Матеріали Всеросійської наукової конференції. Томськ: ТГУ, 2009. С. 221 - 223.

    7. геніїв теж Г.А., Кисюк В.Н. До питання узагальнення теорії міцності бетону // Бетон і залізобетон. 1965. № 2. С. 16 - 29.

    8. КарловА.В., Шахов В.П. Системи зовнішньої фіксації і регулярні механізми оптимальної біомеханіки. Томськ: STT, 2001. 480 с.

    9. Баум Ф.А., Орленко М.П., ​​Станюкович К.П. та ін. Фізика вибуху. М: Наука, 1975. 704 с.

    10. Югов Н.Т., Бєлов М.М., Югов А.А. Розрахунок адиабатических нестаціонарних течій в тривимірній постановці (РАНЕТ-3) // Федеральна служба з інтелектуальної власності, патентам і товарним знакам. Свідоцтво про державну реєстрацію програм для ЕОМ № 2010611042. Москва. 2010.

    11. Гайдаш А.А., Баширов Р.С., полковий С.В. та ін. Тонка структура кістки і руйнування кісткової тканини при імпульсному навантаженні (до проблеми ударно-хвильового остеопоро через) // Сучасна балістика і суміжні питання механіки: Матеріали Всеросійської наукової конференції. Томськ: ТГУ, 2009. С. 11 - 14.

    ВІДОМОСТІ ПРО АВТОРІВ:

    БЄЛОВ Микола Миколайович - доктор фізико-математичних наук, професор, провідний науковий співробітник Науково-дослідного інституту прикладної математики і механіки Томського державного університету. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її. ЮГОВ Микола Тихонович - доктор фізико-математичних наук, професор, провідний науковий співробітник Науково-дослідного інституту прикладної математики і механіки Томського державного університету. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її. ІЩЕНКО Олександр Миколайович - доктор фізико-математичних наук, професор, заступник директора з наукової роботи Науково-дослідного інституту прикладної математики і механіки Томського державного університету.

    Афанасьєва Світлана Амед-Ризовна - доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник окремого структурного підрозділу Науково-дослідного інституту прикладної математики і механіки Томського державного університету. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    ХАБІБУЛЛІН Марат Варісовіч - доктор фізико-математичних наук, професор Томського державного архітектурно-будівельного університету. E-mail: n.n.belov @ mail.ru

    ЮГОВ Олексій Олександрович - кандидат технічних наук, докторант кафедри металевих і дерев'яних конструкцій Томського державного архітектурно-будівельного університету. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    СТУКАНОВ Анатолій Леонідович - кандидат технічних наук, завідувач кафедри інженерної графіки Томського державного архітектурно-будівельного університету. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Стаття прийнята до друку 14.04.2010 р.


    Ключові слова: МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ /БІОКОМПОЗІТ /КОСТЬ /РУЙНУВАННЯ /ВИСОКОШВИДКІСНИЙ УДАР /MATHEMATICAL SIMULATION /BIOCOMPOSITE /BONE /DESTRUCTION /HIGH-SPEED IMPACT

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити