В рамках двовимірної стаціонарної фільтрації в однорідному і ізотропному грунті нестисливої ​​рідини за законом Дарсі досліджуються деякі фільтраційні течії під гідротехніческімсоору ням з ділянками постійної швидкості обтікання і під шпунтомЖу ковського через зрошувану ґрунтовий шар з нижнім сільнопроніцаемим напірним горизонтом. Рішення відповідних багатопараметричних змішаних крайових задач теорії аналітичних функцій здійснюється за допомогою методу конформних відображень областей спеціального виду. Наводяться результати чисельних розрахунків і дається докладний гідродинамічний аналіз впливу визначальних фізичних параметрів моделей на картину течій. Бібліогр. 10 назв. Іл. 8. Табл. 2.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Береславский Едуард Наумович, Александрова Людмила Олександрівна, Пестерев Єгор Васильович


Mathematical modeling of some filtration currents in underground hydromechanics

Within the framework of two-dimensional stationary filtering in uniform isotropic soil of incondensable liquid some filtration currents under hydrotechnical construction with areas of constant velocity of flow and under the groove of Zhukovsky through an irrigated soil stratum with underlying strongly penetrating pressure horizon are investigated under Darsi law. The solution of corresponding polyvalent mixed boundary value problems of analytical function theory is realized with the help of the conformal mapping method of special form areas. The results of numerical calculations are presented and the detailed hydrodynamic analysis of the influence of determining physical model parameters on the picture of currents is given.


Область наук:

  • фізика

  • Рік видавництва: 2010


    Журнал: Вісник Санкт-Петербурзького університету. Прикладна математика. Інформатика. процеси управління


    Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання ряду фільтраційних течій в підземній гідромеханіки'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання ряду фільтраційних течій в підземній гідромеханіки»

    ?Сер. 10. 2010. Вип. 4

    ВІСНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРЗЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ

    ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА

    УДК 532.546

    Е. Н. Береславский, Л. А. Александрова, Е. В. Пестерев

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РЯДУ фільтраційні ТЕЧІЙ В ПІДЗЕМНОЇ гідромеханіки

    Вступ. В роботі [1] вивчалися дві математичні моделі течій - під заглибленою греблею і під шпунтом Жуковського. У першому завданні розглядалося моделювання плавного підземного контуру гідротехнічної споруди, при цьому визначалося обрис підстилаючого водопроникний підставу криволинейного водоупора, що характеризується постійністю швидкості обтікання. У цій статті досліджується випадок, коли водоупорами з подібними властивостями має більш складну конфігурацію і складається з горизонтального і двох криволінійних ділянок. Слід зазначити, що введення подібних криволінійних ділянок дозволяє уникнути розгляду нереальних напівнескінченних і нескінченних областей, що особливо важливо при розробці наближених і чисельних методів (кінцевих елементів, граничних інтегральних рівнянь і т. П.). У другій задачі [1] досліджувався протягом при обтіканні шпунта Жуковського через зрошувану ґрунтовий шар в ніжній добре проникний горизонтальний шар, який не містить напірних грунтових вод (фільтрація без напору, або так звана вільна фільтрація), ліва напівнескінченної частина покрівлі якого моделювалася непроникним включенням (тверда порода, водоупорами). У даній роботі розглядається найбільш часто зустрічається в теорії фільтрації та меліорації випадок, коли нижчележачий сільнопроніцаемий пласт містить напірні грунтові води (так звана фільтрація з підприєм).

    Береславский Едуард Наумович - доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри прикладної математики Санкт-Петербурзького державного університету цивільної авіації. Кількість опублікованих робіт: більш 270. Наукові напрямки: конформні відображення, аналітична теорія лінійних диференціальних рівнянь класу Фукса, крайові задачі теорії аналітичних функцій, математичне моделювання задач гідро- і аеромеханіки. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    Александрова, Людмила Олександрівна - аспірант кафедри прикладної математики Санкт-Петербурзького державного університету цивільної авіації. Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, проф. Е. Н. Береславский. Кількість опублікованих робіт: 16. Наукові напрямки: математичне моделювання, розробка прикладних програм. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    Пестерев Єгор Васильович - студент 4-го курсу кафедри прикладної математики Санкт-Петербурзького державного університету цивільної авіації. Кількість опублікованих робіт: 12. Наукові напрямки: математичне моделювання, розробка прикладних програм. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    © Е. М. Береславский, Л. А. Александрова, Е. В. Пестерев 2010

    Для вивчення цих моделей формулюються і за допомогою конформних відображень областей спеціального виду вирішуються змішані крайові задачі теорії аналітичних функцій. Дається конструктивне рішення задач, отримані точні аналітичні уявлення для характерних розмірів схем течії. Наводяться результати чисельних розрахунків і проводиться гідродинамічний аналіз впливу основних фізичних параметрів моделей на розміри областей руху. Відзначаються граничні випадки, пов'язані з відсутністю горизонтальної ділянки водоупора в першій схемі і підпору в нижележащем сільнопроніцаемом шарі в другій, досліджені раніше

    в 1].

    Моделювання підземного контуру гідротехнічної споруди з ділянками постійної швидкості обтікання. Розглядається плоска встановилася фільтрація (за законом Дарсі з відомим коефіцієнтом фільтрації до = const) нестисливої ​​рідини в однорідному і ізотропному грунті під водонепроникним підземним контуром заглибленою греблі ABCC1B1A1 (рис. 1). Область течії обмежена знизу водоупором GiG, що складається з двох криволінійних ділянок GiFi і GF, а також, на відміну від розглянутого раніше випадку [1], горизонтальної ділянки FiEF; на них, як і на ділянках підземного контуру гідроспоруди BC і Bi Ci, величина швидкості обтікання постійна.

    Q = 1.14, At = 0.308 і Ad = 0.295

    Ах_D_A

    ©

    Q

    G i

    O E

    G

    <P

    0.5 Я

    Мал. 2. Область комплексного потенціалу течії ш

    Якщо ввести комплексний потенціал руху ш = + ГФ (рис. 2) і комплексну координату r = х + гу, віднесені відповідно до кН і Н, де Н - діючий на спорудження натиск, то завдання полягає у визначенні положення кривих ВС, В \ С \, Оі ОЕ при наступних крайових умовах:

    таким чином, щоб швидкість фільтрації уздовж криволінійних ділянок підземного контуру греблі BC і B \ C \, а також горизонтального FFi і криволінійних ділянок Q \ F \ і GF водоупора мала постійні значення vo (заданий) і uo (шукане) відповідно (0 ^ uo < vo).

    Так само, як в [1], в якості канонічної області зручно взяти прямокутник (рис. 3, а). Звернемося до області комплексної швидкості w, відповідної крайовим умовам (1), яка зображена на рис. 3, б. Вона відрізняється від області для випадку [1] лише горизонтальним розрізом FiEF уздовж речової піввісь площині w, що дозволяє скористатися принципом симетрії Рімана-Шварца, який призводить до істотного скорочення невідомих констант конформного відображення. Тому, з огляду на повну симетрію на площинах z, ш і w, обмежимося розглядом області руху ABCDEF і відповідних їй однойменних областей на площинах ш і w. Тоді, беручи до уваги збіг області комплексної швидкості з такою для випадку [1], маємо

    AiGi: y = 0, у = -0.5H, C \ DC: y = -d, ф = Q,

    AiBi: x = -l, ф = Q, AB: x = l, ф = Q,

    (1)

    AG: y = 0, у = 0.5H, F1EF: y BiCi, BC: | w | = vo,

    T, ф = 0, GiFi, FG: ф = 0, GiFi, FG: | w | = uo,

    w (t) = vo exp (r - 0.5) n ?, звідки визначається фізичний параметр uo = voexp (-0.5пр).

    (2)

    0.5 р

    А

    В

    G

    ©

    Е D

    0.5 і

    Bi

    At

    \ W \ =

    Gi

    FI

    0 Ft

    G

    ©

    A-

    В

    = щ

    Е D

    | W | = vb

    Мал. 3. Області допоміжної параметричної змінної т (а) і комплексної швидкості ю (б)

    Конформне відображення прямокутника допоміжної змінної т на область комплексного потенціалу ш дається формулою

    0.5

    К (к)

    F

    X 1 - n2sn2 (2Kr, k)

    arcsm - < / ------, m

    рр. у 1 - A2sn2 (2Ar, к)

    (3)

    тут F (p, m) - еліптичні інтеграли першого роду при модулі т = k [(l -

    к'2а2 / 32) (1 - А-, 272) / (1 - к'2? 32) {1 - А-, 2а272)] 1/2, Л = у / 1 -к'2 / 32, п = - к'2- / 2, а = sn (2Ka, k '), в = sn (2Kb, k'), y = sn (2Kc, k '). При цьому повинна виконуватися умова

    K '(ni) _ 2Q К (пг) ~ ~~ Н'

    зв'язує фізичні параметри Q і H, яке служить для визначення модуля k.

    Беручи до уваги співвідношення (2), (3) і w = dw / dz, а також вступаючи аналогічно [1], прийдемо до залежностей

    р (т) =

    (4)

    dw dr

    Mf (r) dz _ М / (т) ехр ((0.5 - т) пг) dr

    Д (т) 'dr v0A (r)

    f (r) = sn (2Kr, k) cn (2Kr, k) dn (2Kr, k), (5)

    A (r) = ^ [1 - A2sn2 (2Ar, At)] [1 - «2sn2 (2AV, k)} [a2 + (1 - a2) sn2 (2Ar, A)],

    w

    де М > 0 - масштабна постійна моделювання. Запис уявлень (5) для різних ділянок кордону області т з подальшою інтеграцією по всьому контуру допоміжної області призводить до наступних виразів:

    для основних геометричних і фільтраційних характеристик

    0.5 0.5 0.5

    M f M f M f

    - / XBCdt = Al, - YBCdt = Ad, - YFGdt = T,

    vo J vo J uo J 0 0 0

    '0.5p 0.5

    M | y ФВРdt + У <bFGdt | = 0.5H;

    00

    (6)

    для координат точок підземного контуру гідроспоруди BC

    t t MM xBc (t) = 1 - / XBCdt, yBC (t) = -dl - / YBCdt, 0 < t < 0.5; (7)

    v0 v0 00

    для координати криволінійної частини водоупора FG

    t t MM xFG (t) = L - / XFGdt, yGF {t) = - / YFGdt, 0 < t < 0.5. (8)

    u0 u0 00

    Тут Al = l - li, Ad = d - di, XBG, YB, ФEF, ^ fg, Xfg, Yfg - вираження правих частин (5) на відповідних ділянках контуру площині т.

    Вважаючи в рівняннях (6) і (7) t = 0.5, знаходимо шукані розміри підземного контуру греблі і криволінійного водоупора

    0.5р

    h = xBC (0.5), d1 = yBC (0.5), l2 = - / Флсехp (Trt) dt, l3 = L-xFG (0.5). (9)

    v0

    про

    У прямої фізичної постановці параметри конформного відображення а, в, Y, модуль до і масштабна постійна моделювання є шуканими і для їх визначення служать величини Al, Ad, H і T, що виражаються рівняннями (6), поряд з відносинами (4). Чисельним шляхом виявляється монотонність функцій, що входять в ліві частини цих рівнянь, і таким чином встановлюється її однозначна розв'язність щодо шуканих констант. При цьому постійна моделювання M попередньо виключається з усіх рівнянь за допомогою четвертого вираження системи (6), що фіксує величину H = 1.

    Граничні випадки. Насамперед згадаймо на разі, коли точки Fi, E і F в площині течії зливаються, т. Е. Коли горизонтальний непроникний ділянку відсутній і на всьому своєму протязі водоупорами виявляється криволінійним [1]. В цьому випадку в площині т параметр y = 0.5р і рішення випливає з формул (4) - (9), якщо в них покласти y = 1.

    Інший граничний випадок виходить, коли водоупорами на всьому своєму протязі горизонтальний [2, 3]. Тоді в площині руху z точки G і F, а також Gi і Fi зливаються на нескінченності, а прямокутник площині т вироджується в півсмузі.

    Рішення для цього випадку випливає з формул (4) - (9), якщо в них покласти модуль к = 0, при цьому вирази для Н і Т вдається проінтегрувати в явному вигляді:

    н = 2 МК (к) Т_ М

    ,__ (Ю)

    / (1 - а 2/32) (1 - т ^) V (1-а272) (1 - /? 2) '

    Формули (10) збігаються з відомими (див. [3, с. 191, формули (7.17) і (7.18)]) з точністю до позначень.

    На рис. 1 зображена картина перебігу, розрахована при уо = 1, Н = 2, Q = 1.14, Т = 1.934, Д / = 0.308 і ДЙ = 0.295. Результати розрахунків впливу визначальних фізичних параметрів уо, Н, Q, Т, Д / і ДЙ на розміри / 1, Й1 (а отже, / і й), / 2 і / 3 наведені в табл. 1. У кожному з блоків таблиць один із зазначених параметрів варіюється в допустимих межах, а значення інших фіксуються: уо = 1, Н = 2, Q = 1.14, Т = 1.934, Д / = 0.308 і ДЙ = 0.295. На рис. 4, I представлені залежності Й1 і / 1 від параметра Т, на рис. 4, II - залежно / 2 і / 3 від параметра Q. Аналіз даних табл. 1 і рис. 4 дозволяє зробити наступні висновки.

    Таблиця 1. Розрахунки впливу визначальних фізичних параметрів пекло, Н, Q, Т,

    А1 і А< на величини 11, <?1,? 2 і 13

    параметр до <?1 до 13 Параметр до <?1 до до

    v0 Я

    0.085 0.838 0.375 2.038 1.835 1.2 0.085 0.076 2.646 0.900

    0.10 0.397 0.161 1.640 1.051 1.6 0.273 0.186 2.228 1.160

    0.12 0.359 0.118 1.026 1.018 1.8 0.395 0.230 2.072 1.288

    Я Т

    1.4 0.571 0.226 2.426 2.014 1.1 0.710 0.055 1.265 1.543

    1.8 0.597 0.200 3.192 2.846 1.7 0.598 0.202 1.795 1.626

    2.0 0.601 0.195 3.579 3.245 1.9 0.553 0.246 0.020 1.668

    А1 АС1

    0.30 0.298 0.290 2.233 1.509 0.25 0.340 0.588 2.135 1.519

    0.44 0.088 0.676 2.174 1.331 0.35 0.721 0.066 1.949 1.600

    0.50 0.000 0.735 2.173 1.254 0.40 0.757 0.000 1.928 1.618

    Зменшення швидкості обтікання і збільшення чинного на спорудження напору призводять до зростання всіх розмірів греблі, а також величини горизонтальної ділянки водоупора. З табл. 1 випливає, що зміна швидкості в 1.4 рази збільшує ширину / 1 і товщину Й1 відповідно на 133 і 218%. При цьому найбільш істотний вплив на ширину гідроспоруди та її глибину надає діючий напір: при зростанні параметра Н на 50% величини / 1 і Й1 змінюються в 4.6 і 3 рази відповідно.

    З табл. 1 випливає, що вплив фільтраційного витрати майже не позначається на розмірах греблі. У той же час помітна тенденція до зростання ширини споруди / 1 при підвищенні фільтраційного витрати Q і зменшенні потужності пласта Т, а також до збільшення глибини Й1, навпаки, при зниженні параметра Q і зростанні Т (рис. 4, I). Звертає на себе увагу, що поряд з параметром потужність пласта також сильно впливає на глибину Й1, змінюючи останню в 4.6 рази.

    Мал. 4 Залежності величин? \, Від Т (I), 12, від Q (II)

    З табл. 1 видно, що збільшення різниці Д? (Д ^) супроводжує спадання (зростання) ширини греблі I і зростання (спадання) її глибини Так, зі зміною Д1 на 47% ширина? 1 зменшується в 3.4 рази, глибина d1 стає більше в 2.3 рази, а при зміні Дd на 40% ширина? 1 збільшується в ті ж 2.3 рази, в той час як глибина d1 убуває вже в 8.8 рази. Останній рядок табл. 1 відповідає випадків обтікання шпунта (зуба), коли? 1 = 0, I = Д1, і флютбета з горизонтальною вставкою, де d1 = 0, d = Дd [3, с. 196-200].

    Особливий інтерес представляють характер виходу води в нижньому б'єфі? 2 і розміри горизонтальної ділянки водоупора? 3. Згідно з даними табл. 1 і рис. 4, II, з ростом параметрів Q і Т ширина? 2 збільшується, а з ростом ^ о, Н, Дd і Д? - зменшується. При цьому значення? 2 і? 3 можуть бути досить значними: при Q = 2 маємо? 2 / I = 3.9,? З / I = 3.6,? 2 / d = 7.3,? З / d = 6.6.

    Моделювання обтікання шпунта ^ Куковського через зрошувану ґрунтовий шар з нижнім сільнопроніцаемим напірним горизонтом. Розглянутий випадок схематично представлений на рис. 5. Досліджується протягом рідини під шпунтом Жуковського через зрошувану (з рівномірною інтенсивністю інфільтрації г, 0 < ? < 1) ґрунтовий шар потужності Т в ніжній добре проникний водоносний горизонт, натиск в якому має постійне значення Але, при цьому ліва напівнескінченної частина покрівлі пласта ВС моделюється непроникним включенням (водоупором, твердою породою і т. П.). Шпунт ЛОЕ обтекается ґрунтовою водою під впливом різниці напорів в верхньому б'єфі і нижньому сільнопроніцаемом шарі грунту, за шпунтом вода піднімається на деяку висоту ОЕ і утворює вільну поверхню БЕ. Однак, на відміну від [1], тут докорінно змінюється характер

    течії: наявність підпору з боку вод нижчого горизонту вносить в фільтраційну схему додаткову граничну точку - точку перегину E вільної поверхні DF. Ця обставина значно ускладнює рішення відповідної крайової задачі, що збільшує загальне число невідомих параметрів конформного відображення. В даному випадку завдання полягає у визначенні положення кривої депресії DF при наступних крайових умовах:

    AB: y = 0, p = -H, BC: y = -T, ф = 0,

    CD: y = -T, p = 0, DEF: p = -y + H0 - T, ф = ex + Q, (11)

    AGF: x = 0, ф = Q;

    Q - фільтраційний витрата. Знаходження висоти підняття води за шпунтом GF, т. Е. Величини d, а також розташування абсциси точки C, т. Е. Параметра L, представляють відомий практичний інтерес. Чинний натиск H, витрата Q, глибина грунтового шару T, довжина шпунта S, а також швидкість обтікання на його кінці Vg (0 < Vg < e) поряд з напором Hq і e вважаються заданими.

    Область комплексної швидкості і>, яка відповідає крайовим умовам (11) і представлена ​​на рис. 6, а, має прямі кути і кругової розріз і, отже, належить класу кругових багатокутників в полярних сітках [4]. Тому, знову беручи в якості допоміжної параметричної змінної прямокутник площині т (рис. 6, б) і застосовуючи розроблену [5-8] методику побудови відображають функцій для подібних багатокутників, знайдемо

    , . / Т-чит -НА) -ч92 (Т -а) аг ^ у /?

    iv т = у / и ---,, -гтт, А = -, (12)

    $ 2 (т + гл) + П2 (т - гл) п

    де $ 2 (т) - друга тета-функція з параметром д = ехр (- пр), однозначно пов'язаних з модулем до [9].

    Мал. 6. Області комплексної швидкості ю (а) і допоміжної параметричної змінної т (б)

    Використовуючи метод П. Я. Полубарінова-Кочиної [3], який заснований на застосуванні аналітичної теорії лінійних диференціальних рівнянь [10], і беручи до уваги співвідношення і> =? Ш / йг і (12), рішення крайової задачі (11) отримаємо в наступному параметричному вигляді:

    Ж; = П В2 (т +? X) - В2 (т -? X) с1т ^ Ь% ' &1 (т)<1п (2КТ, к) А (т) '

    <Ь_ _ митий + гол) + у>2 (Т -? А) (1т ~ '' # 1 (т) с1п (2А'т, к) А (т) '

    (13)

    Д (т) = л / а {Б112 {2КТ, к) + О2.

    Тут о. \ = \ / 1 - А2, а = ш (2 но, г), а - ордината точки А в площині т.

    В даному випадку невідомі константи конформного відображення а, д (ордината точки О в площині т), до і М визначаються в результаті рішення такої системи рівнянь:

    а

    удм I Ч 'л; • // = <||>|

    М

    Уло? Г = Б,

    0.5

    (14)

    т / еМ! Ф нд Л = Н,

    0

    після чого обчислюються координати точок вільної поверхні хвр (г) і навчально-виховної роботи (г), 0 ^ г ^ 0.5. Вважаючи в цих рівняннях г = 0.5, знаходимо вихідні розміри

    0.5

    з1 = Т -Н0- удм J Фвр Л, Ь = М

    Иш

    про

    '0.5-й 0.5р-5

    X вр? Г - / Хав? Г

    (15)

    у

    У формулі (15) YAg, ФAB, ФВС, ^ df, ^ DF і - вираження правих частин (13)

    на відповідних ділянках контура області т.

    Виявлено невеликий діапазон зміни фізичних параметрів моделі.

    Результати розрахунків впливу визначальних фізичних параметрів Vg,?, T, S, H0 і Q з базовим варіантом VG = 0.5,? = 0.8, T = 6, H = 0.1, S = 4, Q = 0.24, H0 = 3 на фільтраційні характеристики представлені в табл. 2 (негативні величини означають, що вільна поверхня піднімається вище осі абсцис або точка C розташована лівіше осі ординат), а також на рис. 7 у вигляді залежностей величини d від зазначених параметрів. Аналіз даних табл. 2 і рис. 7 дозволяє зробити наступні висновки.

    Таблиця 2. Розрахунки впливу визначальних фізичних параметрів Vg, е, T, S, Але і Q на фільтраційні характеристики d, xC

    параметр | d | хс Параметр | d | хс Параметр | d

    VG? Т

    0.3 2.9852 -0.0032 0.65 2.9971 -0.0423 4.0 1.0997

    0.5 2.9850 -0.0205 0.75 2.9989 -0.0199 5.5 2.4997

    0.7 2.9849 -0.0209 0.80 2.9997 -0.0071 7.0 3.9997

    S Q Але

    3.5 2.9795 -0.0101 0.023 2.9850 -0.0205 2 3.9996

    4.5 2.9802 -0.0305 0.024 2.9945 -0.0764 4 1.9997

    5.5 2.9969 -0.0357 0.025 2.9997 -0.0234 6 -0.0003

    Мал. 7. Залежність величини d від Vg (I),? (II), S (III) і Q (IV)

    Зменшення швидкості обтікання і напору в нижележащем сільнопроніцаемом водоносному шарі і збільшення інтенсивності інфільтрації, потужності грунтового шару, довжини шпунта і фільтраційного витрати призводять до зниження ординати точки Г виходу кривої депресії з-під шпунта, т. Е. Зростання величини!. Так, згідно з даними табл. 2, збільшення довжини шпунта Б в 1.5 рази і потужності грунтового шару Т в 1.7 раз відповідає зростання висоти підняття грунтових вод на 58.4 і 263.7% відповідно. Можна помітити також, що варіювання параметрів Уо,? і Q призводять до вельми незначним змінам значення с! (В межах 0.01-0.5%), так що вплив швидкості обтікання, інфільтрації і фільтраційного витрати практично не позначається на розмірі!. Спостерігається лінійна залежність параметра с! від величин Т і Але.

    Однак найбільший вплив на розмір с! надає натиск в сільнопроніцаемом напірному горизонті: дані табл. 2 показують, що при збільшенні параметра Але на 200% значення с! зменшується більш ніж в 13 330 разів, причому точка Г виходу з-під шпунта піднімається вище осі абсцис.

    Особливий інтерес представляють розташування точки С, що лежить на кордоні непроникного включення і лівого краю покрівлі нижчого водоносного пласта, і в зв'язку з цим поведінка розміру Ь. З ростом параметрів Уо, Б і спадання? ширина Ь збільшується. Так, згідно з табл. 2, зі збільшенням довжини шпунта в 1.5 рази і зменшенням інтенсивності інфільтрації в 1.3 рази величина Ь зростає на 253,5 і 495.8% відповідно. Однак найбільший вплив на Ь надає швидкість обтікання: з ростом параметра Уо на 133% ширина Ь збільшується в 6.5 раз.

    Варіювання параметрів Т і Н0 для тих розрахункових варіантів, які містяться в табл. 2, призводять до одного і того ж значення Ь = -0.0071, так що вплив потужності пласта і напору в нижележащем водоносному горизонті не позначається на становищі координати точки С.

    Істотну роль у формуванні перебігу грає натиск в добре проникному водоносному горизонті. Згідно з розрахунками, при фіксуванні всіх інших фізичних параметрів моделі зростання напору Але супроводжується підйомом вільної поверхні БГ. При цьому точка перегину останньою Е, переміщаючись уздовж кордону вліво, наближається до шпунт, в той час як праворуч крива депресії виполажі-ється і стає практично горизонтальною кордоном. Так, для базового варіанту знайдено хе = 0.004662, уе = -2.9959. Фрагмент картини перебігу поблизу точки перегину представлений на рис. 8.

    В даному базовому варіанті виразно намічається режим течії, що передує затоплення території: точка перегину кривої депресії Е настільки близька до точки Г, що виполажіваніе кордону при підході до неї вловлюється лише в третьому десятковому знаку. Таким чином, виявляється зв'язок між підвищенням напору в нижележащем пласті і такий вкрай несприятливою в меліоративному відношенні ситуацією, що дає можливість на зрошуваних масивах контролювати режим грунтових вод.

    Граничний випадок перебігу Н0 = 0 (відсутність підпору). Як показує аналіз, якщо знову зафіксувати всі фізичні параметри схеми, то у напрямку зниження напору в нижележащем водоносному шарі точка перегину вільної поверхні Е, переміщаючись уздовж кордону в напрямку точки Б, зливається з нею в переділі при Л = Л * = 0.5р. При такому значенні Л в області комплексної швидкості V випадає права частина півкола? V -? (1 + е) / 21 < (1 - е) / 2, а в площині течії р крива депресії виполажівается в точці Б і виходить в ній на покрівлю шару під прямим

    -2.994

    -2.996

    -2.998

    -3.000

    0.007

    0.014

    0.021

    X

    Мал. 8. Фрагмент картини перебігу в околиці точки перегину Е кривої депресії при Ус = 0.5, е = 0.8, Т = 6, Н = 0.1, 5 = 4, д = 0.24, Але = 3

    кутом. З огляду на, що при Л = Л * [9]

    $ 2 (т + Ц) = - ^ ехр (-7гтг) $ з (т), * Д2 (т -ц-) = - ^ = ехр (7гтг) 193 (т), 2 V Ч 2 V ч

    і використовуючи відомі співвідношення між еліптичними і тета-функціями

    ЩГ) = Мт) =

    V до

    в результаті отримуємо вирази (12) і (13) у вигляді

    ги (т) = v / etg (7гr),

    (16)

    ?і; г-8ш (7Гт)

    - = \ / еМ -----

    ?т У 8п (2А'г, А-) Д (г) '

    (Ь = м_софгг) __ 3, т 'вп (2КТ, к) А (т)'

    (17)

    (18)

    Так як в цьому граничному випадку Л = 0.5 / 9 = тт - ^ ахШл / е, то

    2агШ, / е АГШ (Уа / у / е)

    Р = А / А = -, д =-.

    п п

    Формули (16) - (18) збігаються з відповідними формулами (10) - (12) роботи [1]. література

    1. Береславский Е. Н., Александрова Л. А., Пестерев Е. В. Математичне моделювання деяких фільтраційних течій в підземній гідромеханіки // Укр. С.-Петерб. ун-ту. Сер. 10: Прикладна математика, інформатика, процеси управління. 2010. Вип. 1. С. 12-22.

    2. Кочина І. Н., Полубарінова-Кочина П. Я. Про застосування плавних контурів підстави гідротехнічних споруд // Прикл. математика і механіка. 1952. Т. 16. С. 57-66.

    3. Полубарінова-Кочина П. Я. Теорія руху грунтових вод. 2-е изд. М .: Наука, 1977. 664 с.

    4. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформних відображень / пер. з нім. К. М. Фіш-мана; під ред. Л. І. Валківська. М .: Изд-во іноз. літ-ри, 1963. 406 с.

    5. Береславский Е. Н. Про диференціальних рівняннях класу Фукса, пов'язаних з конформних відображенням кругових багатокутників в полярних сітках // Дифференц. рівняння. 1997. Т. 33, № 3. С. 296-301.

    6. Береславский Е. Н. Про конформному відображенні деяких кругових багатокутників на прямокутник // Изв. вузів. Математика. 1980. № 5. С. 3-7.

    7. Береславский Е. Н. Про інтегруванні в замкнутій формі деяких диференціальних рівнянь класу Фукса, що зустрічаються в гідро- і аеромеханіці // Докл. РАН. 2009. Т. 428, № 4. С. 439-443.

    8. Береславский Е. Н. Про інтегруванні в замкнутій формі деяких диференціальних рівнянь класу Фукса, пов'язаних з конформних відображенням кругових п'ятикутників з розрізом // Дифференц. рівняння. 2010. Т. 46, № 4. С. 459-466.

    9. Градштейн І. С., Рижик І. М. Таблиці інтегралів, сум, рядів, рядів і творів. М .: Наука, 1971. 1108 з.

    10. Голубєв В. В. Лекції з аналітичної теорії диференціальних рівнянь. М .; Л .: Гостех-іздат, 1950. 436 с.

    Стаття рекомендована до друку проф. Л. А. Петросяном. Стаття прийнята до Твитнуть 10 червня 2010 р.


    Ключові слова: ФІЛЬТРАЦІЯ /ГРУНТОВІ ВОДИ /греблі /шпунт /ОБЛАСТЬ КОМПЛЕКСНОЇ ШВИДКОСТІ /конформні відображення /FILTERING /GROUNDWATER /DAM /GROOVE /VELOCITY HODOGRAPH /CONFORMAL MAPPINGS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити