У статті представлена ​​нелінійна математична модель нагріву двошарового тіла з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла і температурної залежності властивостей матеріалів. Отримано чисельну рішення нелінійної гіперболічної задачі теплопровідності для випадку, коли поглинання енергії випромінювання моделюється об'ємним джерелом тепла. Розглянуто реалізація методу сіток з використанням тришарової неявній різницевої схеми при вирішенні нелінійної задачі теплопровідності в двошаровому тілі з урахуванням релаксації теплового потоку та умов сполучення в разі ідеального контакту на стику шарів. Описаний алгоритм розрахунку температурного поля при високоинтенсивном нагріванні тіла з покриттям, що враховує залежність теплофізичних характеристик матеріалів від температури, заснований на реалізації методу прогонки з ітераційним уточненням коефіцієнтів. Розроблено програми і представлені результати розрахунків температурних полів з використанням нелінійних гіперболічних рівнянь теплопровідності та відповідних лінійних з урахуванням середньоінтегральної значень теплофізичних і оптичних характеристик матеріалів. На основі порівняння отриманих результатів обґрунтовується необхідність врахування температурної залежності властивостей матеріалів при дослідженні процесів високоінтенсивного нагрівання тел. розроблена математична модель на основі системи нелінійних гіперболічних рівнянь може використовуватися при створенні технологічних процесів із застосуванням методів обробки поверхні багатошарових тіл лазерним випромінюванням.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Петрова Лілія Сергіївна, Крюкова Яна Віталіївна


MATHEMATICAL MODELING OF HIGH-INTENSITY HEATINGPROCESSES OF BODIES WITH COATINGS DURING SURFACEPROCESSING BY LASER RADIATION

The article presents a nonlinear mathematical model of heating a two-layer body with allowance of the finite velocity of heat propagation and the temperature dependence of the properties of materials. A numerical solution of the nonlinear hyperbolic heat conduction problem is obtained for the case when the absorption of the radiation energy is modeled by a volumetric heat source. The implementation of the grid method using a three-layer implicit difference scheme in solving a nonlinear heat conduction problem in a two-layer body with allowance for the relaxation of the heat flux and the conjugation conditions in the case of ideal contact at the interface junction is considered. The described algorithm for calculating the temperature field for high-intensity heating of a coated body, taking into account the dependence of the thermophysical characteristics of materials from temperature, is based on the implementation of the sweep method with iterative correction of the coefficients. Programs are developed and the results of calculating the temperature fields are presented using nonlinear hyperbolic heat conduction equations and the corresponding linear ones taking into account the average integrated thermal and optical characteristics of the materials. Based on a comparison of the results obtained the necessity of taking into account the temperature dependence of the properties of materials during the study of processes of high-intensity heating of bodies.The developed mathematical model on the basis of a system of nonlinear hyperbolic equations can be used to create technological processes using methods for processing the surface of multilayer bodies by laser radiation.


Область наук:

  • фізика

  • Рік видавництва: 2018


    Журнал: Известия Транссибу


    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ високоінтенсивних НАГРІВУ ТЕЛ З ПОКРИТІЯМІПРІ ОБРОБКИ ПОВЕРХНІ ЛАЗЕРНИМ ВИПРОМІНЮВАННЯМ'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ високоінтенсивних НАГРІВУ ТЕЛ З ПОКРИТІЯМІПРІ ОБРОБКИ ПОВЕРХНІ ЛАЗЕРНИМ ВИПРОМІНЮВАННЯМ»

    ?УДК 519.633: 536.21

    Л. С. Петрова, Я. В. Крюкова

    Омський державний університет шляхів сполучення (ОмГУПС), Омськ, Російська Федерація

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ високоінтенсивних НАГРІВУ ТЕЛ З покриттям при ОБРОБКИ ПОВЕРХНІ ЛАЗЕРНИМ ВИПРОМІНЮВАННЯМ

    Анотація. У статті представлена ​​нелінійна математична модель нагріву двошарового тіла з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла і температурної залежності властивостей матеріалів. Отримано чисельну рішення нелінійної гіперболічної задачі теплопровідності для випадку, коли поглинання енергії випромінювання моделюється об'ємним джерелом тепла. Розглянуто реалізація методу сіток з використанням тришарової неявній різницевої схеми при вирішенні нелінійної задачі теплопровідності в двошаровому тілі з урахуванням релаксації теплового потоку і умов сполучення в разі ідеального контакту на стику шарів. Описаний алгоритм розрахунку температурного поля при високоинтенсивном нагріванні тіла з покриттям, що враховує залежність теплофізичних характеристик матеріалів від температури, заснований на реалізації методу прогонки з ітераційним уточненням коефіцієнтів. Розроблено програми і представлені результати розрахунків температурних полів з використанням нелінійних гіперболічних рівнянь теплопровідності та відповідних лінійних з урахуванням середньоінтегральної значень теплофізичних і оптичних характеристик матеріалів. На основі порівняння отриманих результатів обґрунтовується необхідність врахування температурної залежності властивостей матеріалів при дослідженні процесів високоінтенсивного нагрівання тел. Розроблена математична модель на основі системи нелінійних гіперболічних рівнянь може використовуватися при створенні технологічних процесів із застосуванням методів обробки поверхні багатошарових тіл лазерним випромінюванням.

    Ключові слова: математична модель, завдання теплопровідності, чисельні методи, система нелінійних гіперболічних рівнянь теплопровідності, метод прогонки, умови сполучення.

    Liliya S. Petrova, Yana V. Kryukova

    Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation

    MATHEMATICAL MODELING OF HIGH-INTENSITY HEATING PROCESSES OF BODIES WITH COATINGS DURING SURFACE PROCESSING BY LASER RADIATION

    Abstract. The article presents a nonlinear mathematical model of heating a two-layer body with allowance of the finite velocity of heat propagation and the temperature dependence of the properties of materials. A numerical solution of the nonlinear hyperbolic heat conduction problem is obtained for the case when the absorption of the radiation energy is modeled by a volumetric heat source. The implementation of the grid method using a three-layer implicit difference scheme in solving a nonlinear heat conduction problem in a two-layer body with allowance for the relaxation of the heat flux and the conjugation conditions in the case of ideal contact at the interface junction is considered. The described algorithm for calculating the temperature field for high-intensity heating of a coated body, taking into account the dependence of the thermophysical characteristics of materials from temperature, is based on the implementation of the sweep method with iterative correction of the coefficients. Programs are developed and the results of calculating the temperature fields are presented using nonlinear hyperbolic heat conduction equations and the corresponding linear ones taking into account the average integrated thermal and optical characteristics of the materials. Based on a comparison of the results obtained the necessity of taking into account the temperature dependence of the properties of materials during the study of processes of high-intensity heating of bodies.The developed mathematical model on the basis of a system of nonlinear hyperbolic equations can be used to create technological processes using methods for processing the surface of multilayer bodies by laser radiation.

    Keywords: mathematical model, heat conduction problems, numerical methods, system of nonlinear hyperbolic heat conduction equations, sweep method, conjugation conditions.

    В даний час дослідження методів обробки різних матеріалів із застосуванням концентрованих потоків енергії є перспективним напрямком в області створення технологічних процесів по модифікації поверхневих шарів матеріалів і виробів для підвищення надійності та довговічності деталей, вузлів систем і хутра-

    низмов. Серед найбільш поширених методів обробки матеріалів концентрованими потоками енергії (плазмового, лазерного, електроконтактного зміцнення, комбінованої обробки) одне з основних місць займають методи обробки лазерним випромінюванням. У сучасних наукових дослідженнях (І. А. Ісакін [3], Н. А. Смирнова, А. І. Місюров [14], В. С. Майоров [4], П. А. Огіно, К. Я. Васькин [ 9] та ін.) відзначається практична значущість технологічного процесу поверхневої лазерної обробки відповідальних вузлів конструкцій різного призначення, деталей машин і обробного інструменту. Дослідниками виділяються наступні переваги лазерного опромінення перед іншими методами обробки: локальність зміцнення, високошвидкісний нагрівання та охолодження, відсутність механічного впливу, автоматизація процесу, обробка виробів складних форм, техніко-економічна ефективність.

    Особливої ​​актуальності проблема відновлення зношених поверхонь і продовження терміну служби виробів набуває в сучасних умовах для залізничної галузі. У більшості досліджень для вирішення завдання підвищення зносостійкості і контактно-втомної міцності локомотивних і вагонних колісних пар рекомендується використання поверхневої лазерної обробки. Дослідженню і порівняно трьох способів обробки металу з використанням концентрованих пучків енергії і оцінці зносу гребенів колісних пар локомотивів присвячена робота С. Ю. Петрова, А. І. Костюкевича, А. А. Рябова [10]. У роботі І. О. Шепелєвої [16] описується застосування технологій лазерного і плазмового зміцнення в якості методу підвищення ресурсу і зниження зносу бандажів колісних пар електровозів. Робота С. І. Губенко [2] присвячена дослідженню структурних змін при лазерному впливі на попередньо термічно зміцнену колісну сталь. Дослідниками А. В. Богдановим, Н. В. Грезевим, С. А. Шмельов, М. А. Мурза-ковим, Ю. В. Маркушовим [1] порівнюються технології лазерного і плазмового зміцнення для вирішення завдання підвищення зносостійкості і контактно-втомної міцності залізничних коліс і рекомендується використання волоконного лазера. Необхідно відзначити думку авторів про ефективність лазерної обробки в залізничній сфері не тільки для вирішення завдання підвищення міцності в рамках трибосистем-ми «колесо - рейка», а й для застосування лазерної термообробки в промислових циклах ВАТ «РЖД» (зміцнення надресорних балок і боковин візків вантажних вагонів в зоні п'ятникових вузлів і в зонах буксових прорізів відповідно; зміцнення фрикційних клинів вагонів, гільз циліндрів тепловозів та ін.) [1, с. 31].

    Подальша розробка методів використання лазерного випромінювання для досягнення нового рівня експлуатаційних характеристик відбувається в напрямку розвитку комбінованих та гібридних технологій, в тому числі нанесення захисних покриттів на поверхню і їх подальшої лазерної обробки. Для вирішення актуального завдання модифікування поверхневих шарів матеріалів з використанням концентрованих потоків енергії необхідна оцінка параметрів процесу на основі визначення температурного поля на поверхні і в об'ємі матеріалу, що дозволяє вибрати необхідний режим обробки поверхні. Широким діапазоном зміни температур при високоинтенсивном нагріванні тіл з покриттями обґрунтовується необхідність врахування залежності теплофізіче-ських характеристик від температури і релаксації теплового потоку. В цьому випадку математичне моделювання теплових процесів ґрунтується на системі нелінійних рівнянь теплопровідності гіперболічного типу.

    Виділяються два основних підходи математичного моделювання теплових процесів при обробці лазерним випромінюванням в залежності від використовуваного методу. Математичне моделювання лазерного нагріву на основі параболічного рівняння теплопровідності представлено в роботах Р. В. Гришаєва, Ф. Х. Мірзаде, М. Д. Хоменко, Н. А. Колесніченко, Н. В. Волгушевой, Н. Л. Бошкова, Г. В. Кузнєцова, Т. А. Нагорнова і ін. Рішення таких завдань ускладнюється нелінійністю граничних умов. Дослідженню завдань теплопровідності з урахуванням релаксації теплового потоку та рішенням гіперболічного рівняння теплопровідності-

    ності присвячені роботи А. Г. Шашкова, В. А. Кудінова, І. В. Кудінова, А. Е. Кузнєцова, В. Б. Веселовського, Ю. І. Широкова, А. І. Губіна, Ю. А. Малої та ін.

    У роботах більшості російських і іноземних дослідників при вирішенні задач для нелінійного гіперболічного рівняння теплопровідності розглядаються точні і наближені аналітичні методи. Поряд з використанням операційного методу або поєднання методу просторово-часових квадрантів і операційного методу (Ю. А. Мала, А. І. Губін, А. Г. Шашаков, В. А. Бубнов, С. Ю. яповская) реалізується методика групового аналізу диференціальних рівнянь на основі побудови симетрій гіперболічного рівняння теплопровідності (Pakdemirli M., §ahin AZ, Wafo Soh С.).

    З огляду на, що, на думку дослідників, вибір оптимальних технологічних режимів неможливий без попередніх чисельних розрахунків, а застосування точних і наближених аналітичних методів пов'язане з різким зростанням трудомісткості виконуваних перетворень, особливо в разі багатошарових конструкцій, і недостатньо представлено щодо вирішення нелінійної гіперболічної задачі теплопровідності, актуалізується проблема використання чисельних методів вирішення поставлених завдань.

    Реалізація чисельних методів розв'язання задач для лінійного гіперболічного рівняння теплопровідності представлена ​​в дослідженнях В. Ф. Очкова, А. П. Солодова [15], Л. А. Мержиєвський, А. Н. Корчагиной [7], Н. І. Нікітенко [8 ] і ін. Рішення нелінійної задачі теплопровідності для рівняння гіперболічного типу в одношаровому тілі описано в роботі [12]. Чисельне рішення нелінійної задачі гіперболічної теплопровідності в двошаровому тілі для випадку поверхневого поглинання наводиться в роботі [11]. Необхідно відзначити, що досліджень, присвячених чисельного моделювання процесу теплопровідності в оброблюваному лазерним випромінюванням двошаровому тілі з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла і температурної залежності властивостей матеріалів, для випадку об'ємного поглинання нами не виявлено.

    Розглянемо задачу про лазерному нагріванні тіла з покриттям при обробці концентрованими потоками енергії з урахуванням модельованих поглинання енергії випромінювання об'ємним джерелом тепла (глибина проникнення теплоти порівнянна з товщиною шару, в якому поглинається енергія випромінювання). Використовуємо постановку задачі, рішення якої з застосуванням наближеного аналітичного методу представлено в роботі [6, с. 146 -148]. Припускаючи, що діаметр області нагріву набагато більше глибини проникнення тепла, завдання розглядається в одновимірному наближенні по просторовій координаті.

    Щільність потоку енергії випромінювання задається як функція часу q0 (г) = qmax sin - з мак-

    max t

    максимальних значенням щільності теплового потоку qmax = 0,5 1013 Вт / м2 і тривалістю імпульсу td = 5 ні. Час релаксації теплових потоків Trl = ТГ2 = 5 -10 "10 с. На зовнішніх

    межах задані граничні умови другого роду. На стику шарів задані умови сполучення з урахуванням ідеального контакту. Температура в початковий момент часу є постійною і рівною 300 К, швидкість зміни температури в початковий момент часу приймається рівною нулю. Товщина шару покриття і основи розглядалася однаковою: L1 = L2 = 0,4 мкм. Розрахунок температурного поля проводився для зразка з матеріалом покриття молібденом, теплофізичні і оптичні характеристики якого мають вигляд [6, с. 146]:

    1 (Т) = 173,8-9,2-10 "2 • Т + 4,29-10" 5 • Т2 -7,59-10 "9 • Т3, Вт / (м • К); (1)

    сх (Т) = 216,7 + 0,103 • Т- 6,8 • Ю-5 • Т2 + 2,01 • 10-8 • Т3, Дж / (кг • К); (2)

    Г (Т) = 1,02-104 -3,8 • Ю-2 • Т, кг / м3; (3)

    А {Т) = 0,99 • Ю-4 • Т, «= 107 1 / м .

    (4)

    Як матеріал основи зразка розглядалася сталь 40Х з температурними залежностями властивостей такого вигляду [6, с. 146]:

    1 (Т) = 40,62 + 0,013 • Т - 4,847 • 10-5 • Т2 + 2,405 • 10-8 • Т3, Вт / (м • К); (5)

    с2 (Т) = 364,726 + 0,507 • Т-1,048 • Ю-4 • Т2, Дж / (кг • К); (6)

    р2 (Т) = 7,918-103 - 0,032 • Т, кг / м3. (7)

    Математична модель процесу теплопровідності в оброблюваному лазерним випромінюванням двошаровому тілі з урахуванням релаксації теплового потоку і температурної залежності властивостей матеріалів для випадку, коли поглинання енергії випромінювання моделюється об'ємним джерелом тепла, включає в себе систему нелінійних гіперболічних рівнянь теплопровідності [5. с. 176, 177]:

    Т1 ЕГ ( "

    ЕТ (х, гл + ^ (Т) р (Т) Е71 (х, г) = Е {) ЕТ (х, т)

    1 (Т) р (Т) Егг) + "(Т) р (Т) Е ^" ЕХ (Т) ех

    +

    + Ае АХА (Т) д0 (г) + тглае Е

    -ах Е (А (Т) 40 (Г))

    Ет

    0 < х < х, 0 <т<гт;

    (Т2) Р2 (Т ^) + (Т2) Р2 (Т2 = | [*, (Т ^

    початкові умови:

    х < х < Ь, 0 <т<тт;

    Ту (х, 0) = Т0, хе [0, Ь], у = 1,2;

    ЦЮ (х, т)

    Ет

    0, хе [0, Ь], у = 1,2;

    Т = 0

    умови на зовнішніх кордонах:

    ЕТ1 (х, т)

    Ех ет2 (х, Т)

    = 0, 0 <Т<Т

    х = 0

    Ех

    = 0, 0 <т<Т

    х = Ь

    граничні умови на стику шарів:

    Т (х *, г) = Т2 (х ', т);

    (8)

    (9)

    (10) (11)

    (12)

    (13)

    (14)

    1 (Т)

    ЕТ (х, т)

    Ех

    + Т

    г, 2

    ет

    1 (Т1)

    ЕТ (х, т) Ех

    = 12 (Т)

    Ет2 (х, т)

    Ех

    + Г

    х * г1 ет

    1 (Т2)

    Е 2Т2 (х, т) 'Ех

    ,0 <Т<Т

    (15)

    де Ту (х, т) - температура тіла в точці х в момент часу т для відповідного шару (для покриття у = 1, для основи у = 2); 1 (Т), 12 (Т2) - коефіцієнти теплопровідності, "(Т), с2 (Т2) - теплоємності, р1 (Т), р2 (Т2) - щільності речовин; ТГУ - час релаксації теплового потоку для відповідного шару; А ( Т1) - поглинальна здатність матеріалу; а - коефіцієнт поглинання; д0 (г) - щільність потоку енергії випромінювання.

    х = х

    х = х

    х = х

    Для реалізації методу сіток при вирішенні задачі (8) - (15) використовуємо прямокутну просторово-часову сітку Отт = {xi = (. -1) до,. = 1, N; т] =] до, j = 0, М}. Число вузлів по просторовій координаті визначається по співвідношенню N = N1 + N2 +1, де Nу -

    кількість проміжків, на яке розбивається шар покриття або основи.

    При розгляді тришарової неявній різницевої схеми та заміні приватних похідних по часу і простору на відповідні різницеві аналоги [13, с. 455] в нелінійних гіперболічних рівняннях теплопровідності (8), (9), отримуємо різницеві рівняння виду:

    Т] +1 _ Т] т (у] +1 + у] р + 1 - Т] у] -1 + у] - р-1 Л

    +1 -t1, i ^ 1 ,. + '' Г, 1/1 ,. ^ / 1 ,. 1 ,. 1 .. _ 11 ,. 1 + 1 ,. 1 ,. 1 ,. =

    до до 2 до 2 до ^

    1 (1 +] 71]. +; _ Л] - + ЛЛ т] - 71]. +; Л

    до

    V

    2

    до

    2

    до

    + /

    ] +1.

    У

    Т] +1 _ Т1 Т (у + 1 + у] Т1 + 1 _ Т1 У1-1 + у] Т1 _ Т1 -1 Л

    ", / + 1 2 ,. 2 ,. . "V, 2/2 ,. ^ / 2 ,. 2 ,. 2 ,. / 2 ,. ^ / 2 ,. ^ 2 ,. ^ 2,.

    у2, .- +

    до

    до

    2

    до

    2

    до

    У

    1 (11 +]] - 72Т1] +11 т>+ - 1 Л

    до

    до

    до

    (16)

    (17)

    де у, .1 = су (Т ^) Л (Т ^) • 10-9,] = 1) • 10-6, у = 1,2; су (?]), г (Т] 1), Л (Т ^)

    обчислюються за формулами (1) - (3), (5) - (7),. = 2, N - 1,] = 1, М - 1. Формула для визначення +1 має вигляд:

    + Т, ті

    -цк (.- 1)

    '______ Т1 + 1 - Т1. як (У +1),, + жа як (У +1)

    0,99 • 10-4 -атах яп -у - + Asj + 1 соб ^-

    до

    та Т

    \

    У

    (18)

    де AsJ / +1 = А (Т] 1) і обчислюється за формулою (4),? і = а = 10 1 / мкм .

    Модифікуючи метод прогонки для пятиточечной різницевої схеми, використовуємо метод простої ітерації для ітераційного уточнення коефіцієнтів. У цьому випадку на кожному часовому шарі розрахунок значень сіткової функції відбувається до тих пір, поки значення на поточному ітерації не перестануть відрізнятися від попереднього наближення. При цьому системи (16), (17) є лінійними щодо Т + 1 і Т2? +1 відповідно і приймають

    вид:

    2кк2 у 7 + 1 - Т.) + тдк2 [у + у) • - Т.) - (у] -1 + у]) • 7 - ТЦ-1)

    = К2 [(л ^ л. + Лл. + 1) • (с - с) - л + л) • (ТГ - Т?)] + 2 /: к2к2;

    2кку. (Т ^ 1 -Т') + тг, 2кк [у +] ^ (Т ^ 1 -Т]) - (] + у] ^ (Т] -Т] -1) = к2 Г (л + Л2,. + 1) • (Т2 ++ 1 - Т2Л + 1) - (Л-1 + Л) • (Т - Т2 ^ г + .11) '

    (19)

    (20)

    де ^ - номер ітерації. Для визначення прогоночних коефіцієнтів системи (19) і (20) приводять до вигляду:

    А • Т - У • Т + С • Т = V

    Л ,. у,. + 1 "у ,. 1уЛ ~ ^ УА у, .- 1" 'у

    (21)

    2

    2

    де у = 12; = К2 (^ + 1 + 1), Бт ,, = к2 (1,1-; + 21 ^., +) + 2 клас% + Т ^ Л2 / + й),

    Су ,, = к2 (1;. + ^), ^ = -2 /: до л + Гг ^ Т ^ -1 (й + у;: - 1) - Л27й [2 / + Гг д (Й + 2 ^ , 1 + Й-1) ~

    ^ = Тг, 2л2Т2 "1 (й + й -) - л 2 ^ [2кй2,1 + Гг, 2 (й + 2й + й-)".

    Підставляючи співвідношення прогонки Т. = а1-1 • Ту. + 1 + Д-1 в рівняння (21), отримуємо формули для розрахунку прогоночних коефіцієнтів на кожній ітерації:

    Ау, 1

    а =

    Д =

    Бу, 1 - Су, -ц- /

    Су, 1 Д- - ^

    Бу, 1 - Су, а-:.

    (22) (23)

    Визначаючи коефіцієнти ^ у 1 на першому часовому шарі, використовуємо співвідношення для фіктивних вузлів Ту-1 = Т0, отримане з апроксимації початкового умови (11):

    ^ = -2 / 'кл - ЛТ [2кй *, 1 + ГГД (й + / 0,1) ^ = -Л2Т201 Г2к / 2,1 + Гг, 2 (й + / 2,1)

    (24)

    (25)

    Для визначення початкових прогоночних коефіцієнтів а, Д використовується неоднорідне рівняння (8), що моделює температурне поле покриття в разі об'ємного поглинання, і гранична умова (12). Отже, для виведення формул початкових прогоночних коефіцієнтів можна використовувати співвідношення, отримані в роботі [12, с. 128] при вирішенні задачі теплопровідності в оброблюваному лазерним випромінюванням одношаровому матеріалі для випадку об'ємного поглинання. При апроксимації лівого граничної умови з похибкою О (Л2) і в залежності від тимчасового шару формули для коефіцієнтів а1, Д1 мають вигляд:

    а

    +1

    2к2 (Лд +12)

    2кЛ2Й + Тг ДЛ2 (/ + /) + 2к2 (11 + 1.2) '

    д; +1 =

    2 / 'к2Л2 - Тг, 1Л2Т1, ^ - 1 (й + й-1) + Щ 2кЛ2й + ТгДЛ2 (й + 2 / + й-)

    2кЛ2 й + ТгДЛ2 (й + й) + 2к2 (1Л +12)

    Д1 = |

    у0

    1

    2кЛ2 / + ТгДЛ2 (й + й) + 2 /, 'к2Л2

    2кЛ2 ^, + Тг ДЛ2 (й + Й) + 2к2 (1 ;, + 1.2) •

    (26)

    (27)

    (28)

    Прогоночние коефіцієнти в точці контакту двох середовищ виводимо з апроксимації граничної умови четвертого роду з похибкою О (Л2 + к). різницеві апроксимації

    для КТ ^ -. Т..і 12Т (х'.т.)) ет2 (х, Т »

    Ех

    отримуємо із застосуванням розлив-

    .ЕТ (х, т),, ет2 (х, г) вання функцій 11 (Т,) - і 12 (Т2)-

    Ех

    Ех

    в ряд Тейлора в околиці точок х < ; і

    Л

    х< ; відповідно до членів першого порядку відносно -, де х< ;

    х * х *

    1 -1 1

    2

    1 - 2

    х = х

    х = х

    2

    2

    2

    X

    х * + 1 + х ' "Е (^, Е71 (х, Т *)

    1 = -. При цьому апроксимація приватних похідних -I Л1 (71) -1--

    + - 2 Ех V Ех

    2

    і

    ЕХ (Л (Т)

    Ет2 (х, Т *) Ех

    проводиться з урахуванням рівнянь теплопровідності (8), (9) і раз-

    ностних рівнянь (19), (20). Використовуючи апроксимації для змішаних приватних похідних [13], отримуємо співвідношення:

    Д *, 2 'Т * + 1 _ТТ + 1

    * + Л * Т * Т *, п

    М 1 ,. -1 1 ,. 1 ,. -1 к

    ----1

    2 до 2

    Г + 1 - Т] * Т ^ до до

    (,

    у * * + у * Г + 1 -Т * У * + у-1 Т * Т] *

    1-Л

    2

    до

    до

    -

    +

    +-

    до

    л *. + Л1. Г + 1 -Т1 • л *. + Л1. г + \ - Т1 1 ,. 1 ,. 1 ,. 1 ,. 1 ,. -1 1 ,. -1 1 ,. -1 1 ,. -1

    до

    2 '? _ 2 "' тт + 1 _тт + 1

    1 + Л2 / + 1 Т2,. * + 1 Т2,. * - до

    2

    2

    до

    У /-

    Т '+ 1 - 7]

    2 ,. * 2 ,. *

    до

    до

    до

    у * + у * Г + * 1 -Т] * у1 '* + у-* 1 Г * -Т] -1 Л

    '2 ,. '2 ,. 2 ,. 2 ,. '2л' 2л 2 ,. 2,.

    до

    2

    до

    +

    +

    до

    л *. + Л1. Г + 1 - Т1. л *. + Л1. Г + 1 - Т1,

    2 ,. +1 2 ,. +1 2 ,. +1 2 ,. +1 2 ,. 2 ,. 2 ,. 2,.

    до

    до

    (29)

    Підставляючи в рівняння (29) співвідношення прогонки = а * -1 • + /<-1 і висловлюючи Т Г1 = Т *: 1 = Т2 * +, 1, отримуємо формули для прогоночних коефіцієнтів в точці х = х *:

    а, =

    2 (л. + Л.,) + 2ктг! (Л., + Л1.,)

    \ 2 ,. 2 ,. +1 / гол \ 2 ,. +1 2 ,. +1 / _

    3.

    р. да.

    (30)

    (31)

    де да .. = 2 кь.-1 [до (л. * + Л -) + Тг, 2 (л. * - + л -)] + до 7 [тг д у +]) + Тг, 2 (у ,, + у>)

    + 2кк 7 (у> + У ,,) +2 кТ * [тг, 2 (л + Л) + Тг, 1 (Л + Л) - ТГ, 1 (л + 1 + л, - + 1)] + 2 до 2 до 2 -

    -^ ТгдТм (Л -1 + Л -1) + до 2 (Т * - Т * -1) [Тг, 1 (у-1 + у,) + Тг, 2 (] + у] ..)

    + 2к

    (Л + Л) + Тг, 1 К, + Л22, -) '

    р. = 2к2 (л *. + Л.,) (1-а.,) +! *. + Л *

    \ 1 ,. 1 ,. -1 А. 1/2 ,. 2,.

    -2 ^, 2 «. .-1 (Л1> -1 + К * -1) + Тг, 2 (У / + у, ') + Тг, 1 (К,' + в1 /) .

    На першому часовому шарі коефіцієнт / 3. • в точці сполучення має вигляд:

    так 1

    33 * = ть (32)

    "1 (розум-+ розум-) + Тг, 2 (У, - + У20i •)]

    + До 2Т. 0

    де да1 = 2к /.- 1 [до (л + Л /, -) + Тг, 2 (ЛlSi.- + Л0, -)

    + 2кк2т; (У-+ у, .-) + 2КТ; [Тг, 2 (л, + Л10 .-) + Тг, 1 л ,, + л ,.) - ТГД (л2s, i. + 1 ++) -2 Т, 2т; .. 0-1 Л-1 + Л10, -1), р \ * = 2 до [Тг, 2 (Л1; .- + Л10,) + Тг, 1 л + Л0 ,,)] - 2кТга (лlSi. - + лл, -)

    + 2 к2 к2 *

    +

    х = х

    х = х

    2

    г, 2

    2

    2

    2

    2

    г, 1

    2

    2

    +2 к2

    1 + 11 / -1) (: - а1 -!) +! ',, + 1' ,, +1] + 2кЛ2 / + й ,,) + Тг, 2 (й / + Й /) + Тг, 1 К> + Й-).

    З огляду на, що при визначенні значень температури на правій межі розглядається однорідне гіперболічне рівняння (9), що моделює температурне поле матеріалу основи, і гранична умова (13), для виведення формул можна використовувати співвідношення, отримані при вирішенні задачі про лазерному нагріванні тіла з покриттям при обробці концентрованими потоками енергії в разі поверхневого поглинання, наведені в роботі [11]. Отже, формули для обчислення значень температури на правій межі, в тому числі для першого тимчасового шару, отримані з апроксимації правого граничної умови з похибкою О (Л2), мають вигляд:

    = 2к 2ДМ-; 1 + Х ^ -;) + Т2 ^ Л2 К (2к + Тг, 2) + Тг, 2 (2 й ,! + й-)] - Т ^ Т ^ (К ,! + К) _

    2 ,! 2кЛ2йм + Тг, 2 Л2 (/ ,! + й ,!) + 2к2 (12.,! +12 ',! -!) (1-а,)

    Т1 =

    2к 2ДИ-; (12.,! +1, N-!) + Т2,! Л I ЙN (2К + Тг, 2) + Тг, 2Й ° ,! ]

    2 ,! 2кЛ2 й.,! + Тг, 2Л2 (+ К ,!) + 2к21 + -,) (1 - а! -,) |

    (33)

    (34)

    В алгоритмі розрахунку температурного поля реалізується модифікація методу прогонки для системи рівнянь з пятідіагональной матрицею, що передбачає використання процедури розрахунку значень сіткової функції на верхньому (проміжному і першому) часовому шарі з ітераційним уточненням коефіцієнтів.

    На етапі прямий прогонки спочатку обчислюються початкові прогоночние коефіцієнти для поверхневого шару з використанням формул (22), (23), (24) (26) - (28), далі прогоночние коефіцієнти в точці контакту двох середовищ за формулами (30) - (32 ), потім визначаються прогоночние коефіцієнти для матеріалу основи з співвідношень (22), (23) (25).

    Розрахунок температурного поля здійснюється на етапі зворотного прогону, починаючи з обчислення значень температури на правій межі за формулою (33) для проміжного шару або за формулою (34) для першого шару. Значення сіткової функції в інших вузлах на поточній ітерації встановлюються за допомогою основного співвідношення прогонки.

    Процес визначення температурного поля на верхньому часовому шарі завершується в разі, якщо максимальне відхилення значень температури на поточній та попередньої ітераціях нічого очікувати перевищувати заданої точності. При цьому значення сіткової функції, отримані на поточній ітерації, визначають значення функції на верхньому часовому шарі.

    Безумовна стійкість запропонованої неявній різницевої схеми з похибкою апроксимації О (г + Л2) забезпечує успішне застосування методу прогонки за рахунок ви-

    нання умови | а | < 1,1 = 1 ,! -1, що виключає швидке зростання похибки округлення,

    і відмінності знаменників прогоночних коефіцієнтів від нуля.

    Реалізація програми чисельного рішення задачі (8) - (15) здійснювалася в системі МаШСАО і в середовищі програмування БОУ-С ++. Для порівняння та аналізу результатів розрахунків температурних полів з використанням нелінійних гіперболічних рівнянь теплопровідності та відповідних лінійних з урахуванням середньоінтегральної значень теп-лофізіческіх і оптичних характеристик матеріалів отримано чисельне рішення лінійної задачі в двошаровому тілі для випадку об'ємного поглинання.

    Чисельне рішення лінійної задачі отримано з використанням методу прогонки при наступних середньоінтегральної значеннях теплофізичних і оптичних характеристик:

    1 = 121 Вт / (м • К), 1 = 33,8Вт / (м • К), / '= 2,744-106 Дж / (м3 • к), й = 4,605-106 Дж / (м3 • К), А = 0,098.

    На малюнках 1, 2 представлені результати розрахунків температурних полів при вирішенні нелінійної (ТМЬ) і лінійної (ТЬ) завдань. Графіки розподілу температури по товщині покриття і основи при т = 2 нс і при т = 5 нс наведені на малюнку 1. На малюнку 2 представлені графіки функції зміни температури в часі при х = 0 мкм і при х = = 0,4 мкм.

    1.8x10

    ,3

    1.6x10

    (Тац,). (ТЦ

    (™ ц1); "гЦ

    1.4x10

    1.2x10

    3

    1х103 800 600 400 200 0

    0.2

    0.4 х;

    0.6

    0.8

    Малюнок 1 - Розподіл температури по товщині покриття і основи: при Т = 2 нс (ТЖ0, ТЬ0) і при Т = 5 нс (ТЖ ^ ТЦ)

    1.8x10

    3

    1.6x10

    (™ Ц

    1.4x10

    1.2x10

    3

    1x103 800 600 400 200 0

    * * * *

    * У ...... ••

    ? * / І • • •. *

    ? /. у ^ • * _ # »

    * * * • •. • . <+ |

    _ ь

    Малюнок 2 - Зміна температури в часі: при X = 0мкм (ТЖ0, ТЬ0) і при х = 0,4 мкм (ТИЬ1, ТЬ1)

    Отримані результати можна порівняти з результатами розрахунків, представленими в роботі [6, с. 149 - 150] з використанням наближеного аналітичного методу, що поєднує метод просторово-часових квадрантів і операційний метод. Порівнянність результатів, розрахованих при вирішенні запропонованим чисельним методом і наближеним аналітичним, обґрунтовує достовірність отриманих результатів.

    На основі істотних відмінностей в отриманих результатах розрахунків температурних полів при вирішенні нелінійної і лінійної завдань можна стверджувати про необхідність врахування температурної залежності властивостей матеріалів при обробці лазерним випромінюванням тіла з покриттям в разі об'ємного поглинання.

    0

    0

    2

    3

    4

    5

    т

    Представлена ​​нелінійна математична модель нагріву двошарового тіла з урахуванням релаксації теплового потоку і температурної залежності теплофізичних і оптичних характеристик матеріалів дозволяє підвищити точність розрахунку температурних полів при дослідженні теплових процесів з впливом лазерного випромінювання на багатошарові матеріали і може бути ефективна при розробці технологій лазерної обробки в промислових циклах ВАТ «РЖД» і лазерного зміцнення гребенів колісних пар.

    Список літератури

    1. Зміцнення колісної стали волоконними лазерами [Текст] / А. В. Богданов, Н. В. мрій і ін. // Високі технології в машинобудуванні / Брянський гос. техн. ун-т. -Брянск. - 2016. - № 9. - С. 30 - 37.

    2. Губенко, С. І. Дослідження можливості локального лазерного зміцнення зони викружки залізничних коліс [Текст] / С. І. Губенко // Бюлетень результатів наукових досліджень / Петербурзький держ. ун-т шляхів сполучення. - Санкт-Петербург. - 2014. - № 1 (10). - С. 31 - 37.

    3. Ісакін, І. А. Методи поверхневої лазерної обробки металів і сплавів [Текст] / І. А. Ісакін // Аспірант / Південний ун-т (ІУБіП). - Ростов-на-Дону. - 2016. - № 2. - С. 49 - 58.

    4. Лазерні технології обробки матеріалів: сучасні проблеми фундаментальних досліджень і прикладних розробок [Текст] / Под ред. В. Я. Панченко. - М .: Фізмен-тлить, 2009. - 664 с.

    5. Мала, Ю. А. Математичне моделювання лазерного нагріву тіл з покриттям на основі нелінійного гіперболічного рівняння теплопровідності [Текст] / Ю. А. Мала, А. І. Губін // Вісник Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут». Збірник наукових праць. Тематичний випуск «Енергетичні та тепло-технологічні процеси і обладнання» / Нац. техн. ун-т "Харківський політехнічний інститут». - Харків. - 2012. - № 7. - С. 174 - 181.

    6. Мала, Ю. А. Математичне моделювання процесів теплопровідності з урахуванням релаксації теплового потоку [Текст]: Дис. ... канд. техн. наук: 05.13.18 / Юлія Анатоліївна Мала. - Дніпропетровськ, 2015. - 183 с.

    7. Мержиєвський, Л. А. Чисельне моделювання розповсюдження теплового імпульсу у фрактальної середовищі [Текст] / Л. А. Мержиєвський, А. Н. Корчагіна // Матеріали міжнар. конф. «Сучасні проблеми прикладної математики та механіки: теорія, експеримент і практика» (Новосибірськ, 30 травня - 4 червня 2011 року). URL: http://conf.nsc.ru/files/conferences/ шкшк-90 / ШШех ^ 38636/46433 / Корчагіна-Розширені% 20 тезіси.pdf (доступ вільний).

    8. Нікітенко, Н. І. Проблеми теорії та моделювання інтенсивних нестаціонарних процесів тепло- і масопереносу [Текст] / Н. І. Нікітенко // Промислова теплотехніка / Нац. акад. наук України, Ін-т техн. теплофізики. - Київ. - 1997. - Т. 19 (№ 4-5). - С. 131 - 137.

    9. Огіно, П. А. Підвищення ресурсу малорозмірних інструменту за рахунок модифікації зношуються поверхонь за допомогою оптоволоконного лазера [Текст] / П. А. Огіно, К. Я. Васькин // Праці IV міжнар. наук.-техн. конф. «Теплофізичні і технологічні аспекти підвищення ефективності машинобудівного виробництва» (Резніковська читання) / Тольяттинский гос. ун-т. - Тольятті, 2015. - Ч. 1. - С. 143 - 145.

    10. Петров, С. Ю. Зміцнення гребенів і зниження зносу колісних пар [Текст] / С. Ю. Петров, А. І. Костюкевич, А. А. Рябов // Світ транспорту / МИИТ. - М. - 2013. - № 2. - С. 62 - 69.

    11. Петрова, Л. С. Математичне моделювання процесів нагрівання багатошарових тіл при обробці потоками енергії високої інтенсивності на основі системи нелінійних гіперболічних рівнянь теплопровідності / Л. С. Петрова // Інтернет-журнал «Науковедение». -2017. - Т. 9 (№ 4). URL: http://naukovedenie.ru/PDF/02TVN417.pdf (доступ вільний).

    12. Петрова, Л. С. Математичне моделювання процесів нагрівання тіл при впливі концентрованих потоків енергії на основі нелінійного гіперболічного рівняння теплопровідності [Текст] / Л. С. Петрова, В. А. Горош, Н. В. заложних // Известия Транссибу / Омський гос. ун-т шляхів сполучення. - Омськ. - 2017. - № 2 (30). - С. 124 - 133.

    13. Самарський, А. А. Теорія різницевих схем: Навчальний посібник [Текст] / А. А. Самарський. - М .: Наука, 1977. - 656 с.

    14. Смирнова, Н. А. Особливості освіти структури при лазерній обробці [Текст] / Н. А. Смирнова, А. І. Місюров // Вісник МГТУ ім. Н. Е. Баумана. Сер. Машинобудування / МГТУ ім. Н. Е. Баумана. - М. - 2012. - № SP2. - С. 115 - 129.

    15. Солодов, А. П. Mathcad: Диференціальні моделі [Текст] / А. П. Солодов, В. Ф. Очок / Національний дослідницький ун-т МЕІ. - М., 2002. - 239 с.

    16. Шепелєва, І. О. Плазмове і лазерне зміцнення бандажа колеса [Текст] / І. О. Шепелєва // Вісник наукових конференцій. - Тамбов: Юком, 2015. - № 2 - 6 (2). - С. 168 - 170.

    References

    1. Bogdanov A.V., Grezev N.V., Shmelev S.A., Murzakov M.A., Markushov Y. V. Hardening of wheel steel with fiber lasers [Uprochnenie kolesnoj stali volokonnymi lazerami], Naukoyomkie tekhnologii v mashinostroenii - High technology in mechanical engineering, - Bryansk, 2016, no. 9, pp. 30 - 37.

    2. Gubenko S. I. Investigation of the possibility of local laser hardening of the railroad wheel fencing zone [Issledovanie vozmozhnosti lokalnogo lazernogo uprochneniya zony vykruzhki zheleznodorozhnyh koles]. Byulleten rezultatov nauchnyh issledovanij - Newsletter of research results, - St. Petersburg, 2014 року, no. 1 (10), pp. 31 - 37.

    3. Isakin I. A. Methods of surface laser treatment of metals and alloys [Metody poverhnostnoj lazernoj obrabotki metallov i splavov]. Aspirant - Graduate student, - Rostov-na-Donu, 2016, no. 2, pp. 49 - 58.

    4. Lazernye tehnologii obrabotki materialov: sovremennye problemy fundamental'-nyh issledovanij i prikladnyh razrabotok (Laser technologies of material processing: modern problems of fundamental research and applied developments) / Ed. V. Y. Panchenko. Moscow: Fizmatlit 2009, 664 p.

    5. Malaya Y. A., Gubin A. I. Mathematical modeling of laser heating of bodies with coatings based on the nonlinear hyperbolic heat equation [Matematicheskoe modelirovanie lazernogo nagreva tel s pokrytiyam na osnove nelinejnogo giperbolicheskogo uravneniya teploprovodnosti]. Vestnik Nacionalnogo tekhnicheskogo universiteta «Harkovskij politekhnicheskij institut», Sbornik nauchnyh rabot, Tematicheskij vypusk «Energeticheskie i teplotekhnologicheskie processy i obo-rudovanie» (Bulletin of the National Technical University «Kharkiv Polytechnic Institute», Collection of scientific works, Thematic issue «Energy and heat engineering processes and equipment »), Kharkiv 2012, no. 7, pp. 174 - 181.

    6. Malaya Y. A. Matematicheskoe modelirovanie processov teploprovodnosti s uchetom relaksacii teplovogo potoka (Mathematical modeling of thermal conductivity processes taking into account the relaxation of heat flow). Thesis for a degree of Candidate of Technical Sciences, Dnepropetrovsk, 2015 року, 183 p.

    7. Merzhievsky L. A., Korchagina A. N. Numerical simulation of the propagation of a thermal pulse in a fractal medium [Chislennoe modelirovanie rasprostraneniya teplovogo impulsa vo frak-talnoj srede]. Mezhd, konferenciya «Sovremennye problemy prikladnoj matematiki i mekhaniki: te-oriya, ehksperiment i praktika» (Int, conference «Modern problems of applied mathematics and mechanics: theory, experiment and practice»), Novosibirsk, 2011. http: // conf. nsc.ru/files / conferences / niknik-90 / fulltext / 38636/46433 / Korchagina-Extended% 20 abstracts.pdf

    8. Nikitenko N. I. Problems of the theory and modeling of intense nonstationary processes of heat and mass transfer [Problemy teorii i modelirovaniya intensivnyh nestacionarnyh processov teplo- i massoperenosa]. Promyshlennaya teplotekhnika - Industrial heat engineering, Kiev, 1997, vol. 19 (no. 4 - 5), pp. 131 - 137.

    9. Ogin P. A., Vaskin K. Y. Increase the resource of a small-sized tool by modifying wear surfaces using fiber-optic laser [Povyshenie resursa melkorazmernogo instrumenta za schet modifikacii iznashivaemyh poverhnostej pri pomoshchi optovolokonnogo lazera]. Trudy IV Mezhd, nauch, -tekhn, konferencii «Teplofizicheskie i tekhnologicheskie aspekty povysheniya ehffektivnosti mashi-nostroitelnogo proizvodstva» (Reznikovskie chteniya) (Proceedings IV Int, scientific-techn, Conference «Thermophysical and Technological Aspects of Increasing the Efficiency of Machine-Building Production »(Reznikovsky Readings)), Tolyatti, 2015 року, p. 1, pp. 143 - 145.

    10. Petrov S. Y., Kostiukevich A. I., Ryabov A. A. Strengthening ridges and reducing wear of wheel sets [Uprochnenie grebnej i snizhenie iznosa kolesnyh par]. Mir transporta - The world of transport. Moscow, 2013, no. 2, pp. 62 - 69.

    11. Petrova LS Mathematical modeling of heating processes of multilayer bodies when processing high energy fluxes on the basis of a system of nonlinear hyperbolic heat equation [Ma-tematicheskoe modelirovanie processov nagreva mnogoslojnyh tel pri obrabotke potokami ehnergii vysokoj intensivnosti na osnove sistemy nelinejnyh giperbolicheskih uravnenij teploprovodnosti ]. Internet-zhurnal «Naukovedenie» - Scientific open access journal «Naukovedenie». 2017, vol. 9 (no. 4). URL: http://naukovedenie.ru/PDF/02TVN417.pdf

    12. Petrova LS, Gorosh VA, Zalozhnyy NV Mathematical modeling of heating processes of bodies under influence of concentrated energy flows based on nonlinear hyperbolic heat conductivity equation [Matematicheskoe modelirovanie processov nagreva tel pri vozdejstvii koncentriro-vannyh potokov ehnergii na osnove nelinejnogo giperbolicheskogo uravneniya teploprovodnosti] . Izvestiya Transsiba - Journal of Transsib Railway Studies. - Omsk 2017, no. 2 (30), pp. 124 - 133.

    13. Samarsky A. A. Teorija raznostnyh shem: uchebnoe posobie dlja vuzov (The theory of difference schemes: a textbook for high schools). M .: Nauka, 1977, 656 p.

    14. Smirnova N. A., Misyurov A. I. Features of structure formation during laser processing [Osobennosti obrazovaniya struktury pri lazernoj obrabotke]. Vestnik MGTU im. N. E. Baumana. Seriya «Mashinostroenie» - Bulletin of MGTU N. E. Bauman. Series «Mechanical Engineering». Moscow 2012, no. SP2, pp. 115 - 129.

    15. Solodov A. P., Ochkov V. F. Mathcad: Differential models [Differencial'nye modeli]. Moscow, 2002 239 p.

    16. Shepeleva I. O. Plasma and laser hardening of the wheel brace [Plazmennoe i lazernoe uprochnenie bandazha kolesa]. Vestnik nauchnyh konferencij - Bulletin of scientific conferences. Tambov, 2015-го, no. 2 - 6 (2), pp. 168 - 170.

    ІНФОРМАЦІЯ ПРО АВТОРІВ

    Петрова Лілія Сергіївна

    Омський державний університет шляхів сполучення (ОмГУПС).

    Маркса пр., Д. 35, м Омськ, 644046, Російська Федерація.

    Кандидат педагогічних наук, доцент кафедри «Вища математика», ОмГУПС.

    Тел .: +7 (3812) 31-18-11.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Крюкова Яна Віталіївна

    Омський державний університет шляхів сполучення (ОмГУПС).

    Маркса пр., Д. 35, м Омськ, 644046, Російська Федерація.

    Магістрант кафедри «Теплоенергетика», ОмГУПС.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    БІБЛІОГРАФІЧНИЙ ОПИС СТАТТІ

    INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

    Petrova Liliya Sergeevna

    Omsk State Transport University (OSTU) 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation. Ph. D. in Pedagogic, Associate Professor of the department «Higher Mathematics», OSTU. Phone: +7 (3812) 31-18-11. E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Kryukova Yana Vitalevna

    Omsk State Transport University (OSTU) 35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation. Undergraduate of the department «Power system», OSTU.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION

    Петрова, Л. С. Математичне моделювання процесів високоінтенсивного нагрівання тіл з покриттями при обробці поверхні лазерним випромінюванням [Текст] / Л. С. Петрова, Я. В. Крюкова // Известия Транссибу / Омський гос. ун-т шляхів сполучення. -Омськ. - 2018. - № 1 (33). - З 118 - 129.

    Petrova L. S., Kryukova Y. V. Mathematical modeling of high-intensity heating processes of bodies with coating under surface processing by laser radiation. Journal of Transsib Railway Studies, 2018, vol. 33, no 1, pp. 118 - 129 (In Russian).


    Ключові слова: МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ /MATHEMATICAL MODEL /ЗАВДАННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ /HEAT CONDUCTION PROBLEMS /ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ /NUMERICAL METHODS /СИСТЕМА нелінійних гіперболічних рівнянь ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ /SYSTEM OF NONLINEAR HYPERBOLIC HEAT CONDUCTION EQUATIONS /Метод прогону /SWEEP METHOD /УМОВИ Сполучення /CONJUGATION CONDITIONS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити