Стаття присвячена розгляду питання формування в учнів уміння моделювати в процесі освоєння шкільного змісту природничо-наукових дисциплін. Центральним змістовним компонентом визначена математична модель. вивчення математичних моделей запропоновано здійснювати на міждисциплінарному матеріалі. Наведено варіант змісту факультативних занять, на яких вивчається математична модель Лотки Вольтерри. Показано, як шляхом приведення її рівнянь до стандартного рівняння гармонічного осцилятора пояснити ряд біологічних і хімічних процесів.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Гелясін Олександр Євгенович, Гелясіна Олена Володимирівна


Mathematical Modeling Of Periodic Processes In School Courses Of Physics, Chemistry, Biology

The article is devoted to the question of formation of students 'ability to model in the process of mastering the school content of natural Sciences. The mathematical model is defined as the Central content component. The study of mathematical models is proposed to carry out on interdisciplinary material. A variant of the content of optional classes, which studied the mathematical model of trays-Volterra. It is shown how to explain a number of biological and chemical processes by bringing its equations to the standard equation of the harmonic oscillator.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2018
    Журнал
    Шкільні технології
    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРІОДИЧНИХ ПРОЦЕСІВ В ШКІЛЬНИХ КУРСАХ ФІЗИКИ, ХІМІЇ, БІОЛОГІЇ'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРІОДИЧНИХ ПРОЦЕСІВ В ШКІЛЬНИХ КУРСАХ ФІЗИКИ, ХІМІЇ, БІОЛОГІЇ»

    ?МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРІОДИЧНИХ ПРОЦЕСІВ В ШКІЛЬНИХ КУРСАХ ФІЗИКИ, ХІМІЇ, БІОЛОГІЇ

    Гелясін Олександр Євгенович,

    проректор з навчальної роботи Вітебського обласного інституту розвитку освіти, кандидат фізико-математичних наук

    Гелясіна Олена Володимирівна,

    завідувач кафедри психології, педагогіки та приватних методик Вітебського обласного інституту розвитку освіти, кандидат педагогічних наук, доцент

    СТАТТЯ ПРИСВЯЧЕНА РОЗГЛЯДУ ПИТАННЯ ФОРМУВАННЯ У НАВЧАЮТЬСЯ ВМІННЯ моделювати В ПРОЦЕСІ ОСВОЄННЯ ШКІЛЬНОГО ЗМІСТУ природничо-наукових дисциплін. ЦЕНТРАЛЬНИХ змістового компонента ВИЗНАЧЕНО МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ. ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ВНЕСЕНО ЗДІЙСНЮВАТИ на міждисциплінарній МАТЕРІАЛІ. Наведені ВАРІАНТ ЗМІСТУ ФАКУЛЬТАТИВНИХ занять, НА ЯКИХ вивчати МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ЛОТКИ - Вольтерра. ПОКАЗАНО, ЯК ШЛЯХОМ ПРИВЕДЕННЯ ЇЇ РІВНЯНЬ до стандартних рівнянь гармонійного осцилятора ПОЯСНИТИ РЯД БІОЛОГІЧНИХ І ХІМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ.

    • природничо-наукову освіту школярів • метапредметний підхід • межпредметная інтеграція • математична модель • коливальні процес

    Теорія коливань сьогодні - це широка всеосяжна наука про еволюційні процеси в природі, техніці та суспільстві, в механіці, фізиці, астрономії, хімії, біології, економіці ... і в усьому, що нас оточує, і в нас самих...

    Ю.І. Неймарк

    Моделювання, як показано в дослідженнях В.В. Давидова [5], Б.Д. Ельконіна, А.Б. Воронцова, Е.В. Чудіновою [11], є основним дією, освоюваним при навчанні на другому ступені загальної середньої освіти. Моделі, створені як математичний аналог досліджуваного об'єкта, отримали назву математичних. Завдяки заміні реального об'єкта відповідної йому математичною моделлю з'являється можливість більш детально, чітко і аналітично дати опис досліджуваного об'єкта. Слід зазначити, що за допомогою математичних моделей, як правило, можна описати не поодинокий об'єкт, а цілий клас об'єктів, в яких предметом опису виступає гранично загальна закономірність, що лежить в основі їх функціонування.

    Метод математичного моделювання - це фактично метод математичного пізнання досліджуваних реальних об'єктів. Цей метод зародився в фізиці, але поступово став використовуватися в хімії, біології, географії та гуманітарних науках. Разом з тим важливо розуміти, що математичне моделювання не підміняє собою фізику, біологію, хімію та інші галузі наук. Воно інтегрується в їх методологічний апарат, виступаючи як потужний інструмент пізнання.

    Як конкретний приклад розглянемо коливальні процеси, що відбуваються в фізичних, біологічних і хімічних системах. На нашу думку, ці процеси доцільно вивчати з єдиних метапредметних позицій, використовуючи математичну модель лінійного гармонічного осцилятора.

    Загальновідомо, що тему «Коливання і хвилі» школярі вивчають в процесі освоєння курсу фізики. Разом з тим «предметний діапазон» вивчення коливальних

    Ho11ii [niiiiі, твділі, прошу

    явищ може бути розширено. Дотримуючись Ю.І. Неймарк, теорія коливань на сучасному етапі розвитку науки набуває статус всеосяжної науки [7]. Це обумовлено тим, що теорія коливань розкриває суть всіх без винятку еволюційних процесів незалежно від того, де вони протікають (в природі, техніці, суспільстві), і предметом розгляду якої науки є (фізики, астрономії, хімії, біології, економіки). З цього твердження випливає, що за допомогою однієї і тієї ж математичної моделі можна описати рух грузика на пружинці, коливання математичного і фізичного маятників, зміна заряду і струму в електричному контурі, а також еволюцію в часі багатьох систем фізичної, біологічної, хімічної та навіть соціальної природи.

    Розглянемо навчальний зміст, що розкриває особливості математичної моделі лінійного гармонічного осцилятора. Будь-яка система, здатна здійснювати коливальний рух, описується деякою величиною. Її відхилення від рівноважного значення залежить від часу і підпорядковується у своїй періодичному (або майже періодичному) закону. Традиційно періодична функція визначається наступним чином: функція f (t) називається періодичної, з періодом Т, якщо f (t + Т) = f (t) при будь-якому значенні t. Тобто у фізиці коливань процес розглядається за деякий час і охоплює певну кількість періодів.

    Математичним апаратом, що описує завдання теорії коливань, є теорія звичайних диференціальних рівнянь [1; 8]. Якщо поставлене заду-

    чу вдається звести до диференціальних рівнянь, методи вирішення якого стандартні, то таке завдання можна вважати вирішеною. У разі, коли в хитається системі енергія не розсіюється, диференціальне рівняння вільних коливань гармонійного осцилятора має вигляд:

    х + и 2 х = 0 (1),

    де х - змінна, що описує стан системи (зміщення грузика, заряд конденсатора і т.д.),

    t

    - власна частота коливань, час.

    Точками зверху прийнято позначати виробниц-

    ,. . . йх .. й2х.

    водні хф за часом (х = -, X = - ~).

    I та (И2

    Рівняння (1) називається рівнянням стандартного виду. Воно є основним при вивченні коливальних процесів в курсі фізики середньої школи. Тому завдання вчителя фізики - навчити учнів складати дане рівняння для різних фізичних систем, оскільки воно має стандартне рішення, що представляє собою функцію:

    Х = А 5Ш (<Д) 0? + Ф),

    де х (0 - відхилення тіла від положення рівноваги в момент часу А - амплітуда коливання, тобто максимальне відхилення тіла, що коливається від положення рівноваги; И0 - кругова (циклічна) частота; ш0? + ф - фаза коливання в момент часу?;

    Ф - початкова фаза коливання.

    ю

    0

    Мал. 1. Графік коливань гармонійного осцилятора

    ,, 2п

    Кругова частота (Оо = ~: р звідки період

    коливань: Т = - .

    ш0

    Оскільки завдання на коливання будь-яких за своєю природою систем зводяться до розрахунку періоду (циклічної частоти) коливань системи, що вивчається, основною метою процесу рішення є отримання рівняння (1).

    Для демонстрації навчаються особливостей застосування теорії коливань до біологічних і хімічних об'єктів нами розроблено зміст двох факультативних занять: «Коливання в системі" хижак - жертва "-" екологічний осцилятор "» і «Коливання в ході хімічних реакцій -" хімічний осцилятор "». Природно, що розробка і проведення даних занять вимагають інтеграційної взаємодії вчителів фізики, хімії та біології.

    На першому занятті в учнів формуються уявлення про те, що методи теорії коливань, розроблені в фізиці, застосовні до опису періодичних процесів і в біології. В якості біологічної «прикладу» ми розглядаємо коливання в популяційної моделі «хижак - жертва» - так званому «екологічному осцилляторе». Об'єктом вивчення на занятті є найпростіша з моделей, широко застосовувана в біології - математична модель Лотки - Вольтерри. Дана модель є моделлю відбору на основі конкурентних відносин, або, іншими словами, математичним описом Дарвінському принципу боротьби за існування.

    Розкриваючи її сутність, ми даємо коротку історичну довідку про її розробці і творців. Відзначаємо, що вперше дана модель була отримана А. лотків в 1925 році [12]. Трохи пізніше аналогічні (але більш складні) моделі були розроблені італійським математиком Віто Воль-терра [4]. Модель досить широко висвітлена в літературі [3; 9], однак залишається недоступною для розуміння учнями школи в силу недостатнього знання ними теорії математичного аналізу. Нашим завданням буде зведення рівнянь даної моделі до стандартного рівняння гармонічного осцилятора, тобто її адаптації

    для учнів, які вивчили тему «коливання» в шкільному курсі фізики.

    Розглянемо основні положення найпростішого варіанту моделі Лотки - Воль-тери. В її основі лежить математичний опис взаємодії між двома системами, одна з яких черпає необхідну їй для розвитку енергію, речовину або інші компоненти з іншого. По суті справи, такий постулат є аналогом закону збереження і зміни енергії в біологічній системі. У даній моделі вважається, що обидві популяції (хижаки і жертви) живуть на обмеженій території і не взаємодіють з будь-якими іншими популяціями, також відсутні і інші чинники, здатні вплинути на чисельність популяцій. Навколишнє середовище стаціонарне і забезпечує в необмеженій кількості всім необхідним для життя один з видів, який будемо називати жертвою. Інший вид - хижак - також знаходиться в стаціонарних умовах, але харчується лише особинами першого виду. Це можуть бути карасі і щуки, зайці і вовки, миші і лисиці, амеби і бактерії і т.д. При цьому можна зробити наступні припущення. Оскільки харчові ресурси жертви не обмежені, за відсутності хижака популяція жертви зростає за експоненціальним законом (закон Мальтуса). Хижаки, відокремлені від своїх жертв, вмирають з голоду також по експонентному закону. Як тільки хижаки і жертви починають жити в безпосередній близькості один від одного, зміни чисельності їх популяцій стають взаємопов'язаними. У цьому випадку, очевидно, відносний приріст чисельності жертв буде залежати від розмірів популяції хижаків і навпаки. Чисельності популяцій жертв і хижаків залежать тільки від часу. Природна смертність жертви і природна народжуваність хижака вважаються несуттєвими. Відразу відзначимо, що ситуація, що описується моделлю Лотки - Вольтер-ри - це ситуація дуже спрощена і вкрай ідеалізована. Тут важливо зрозуміти, що математична модель зовсім не зобов'язана детально описувати досліджуваний об'єкт, а може і повинна відображати лише найважливіше для вивчення даного питання. У розглянутому нами найпростішому випадку, коли є одна популяція хижаків і одна жертв, математична модель

    Нонет тодш, прошу

    такої системи буде складатися з двох диференціальних рівнянь, що описують динаміку популяцій хижаків і жертв. Нехай х - кількість жертв, а у - кількість особин в популяції хижаків. Тоді швидкість зміни (збільшення) кількості хижаків пропорційна кількості жертв, а швидкість зміни (зменшення) кількості жертв пропорційна кількості хижаків. Математично ці міркування можна описати системою диференціальних рівнянь для змін чисельності жертв (х) і хижаків (у): у = ах і х = - Ьу (знак «мінус» означає спадання). Коефіцієнти (а і Ь), що відображають взаємодії між видами, є тільки позитивними. Диференціюючи дані рівняння за часом (оскільки в моделі чисельності популяцій жертв і хижаків залежать тільки від часу), отримаємо:

    у = ах = - аЬу або у + аЬу = 0.

    Якщо ввести позначення и2 = ав, то ми отримаємо стандартне рівняння консервативного осцилятора, яке вже розглядалося вище: у + й) 2у = 0. Отже, система рівнянь матиме таке ж рішення, як і фізичні шкільні завдання про коливання (пружинний і математичний маятники , електромагнітний коливальний контур), і отримане рівняння описує коливальний процес з періодом Т:

    ^'І _'п ~ <про ~ л [аЬ Іншими словами, в рамках даної моделі зміна чисельності популяцій жертв і хижаків носить періодичний характер. Конкретні значення параметрів а і Ь, що відображають взаємодії між видами, можуть бути визначені шляхом багаторічних спостережень за популяціями. Таким чином, в рамках моделі Лотки - Вольтерри

    зміни чисельності жертви і хижака в часі є коливання - «консервативний екологічний осцилятор» з періодом Т:

    т _ 2п _ 2п_

    ш л [аЬ '

    Причому коливання чисельності хижака відстають по фазі від коливань жертв - максимального значення у відповідає середнє значення х і навпаки (рис. 2.). Амплітуда коливань і їх період визначаються початковими значеннями численнос-тей популяцій.

    Згідно з отриманими результатами в рамках даної моделі не буде існувати стабільної чисельності популяцій і чисельності хижака, і жертви будуть здійснювати циклічні коливання. У кожному циклі, як тільки збільшується популяція жертви, починає рости і популяція хижака. Вона перевищує чисельність жертви, споживає кормової ресурс більше норми для підтримки своєї стабільності, чому розмір популяції жертви знижується. Тепер чисельність хижака слід за убуванням чисельності жертви до тих пір, поки рівень чисельності хижака не стане таким низьким, що популяція жертви починає знову зростати. Якщо вважати умови навколишнього середовища постійними, тоді інтенсивність, або амплітуда циклів - різниця між максимумом і мінімумом чисельності - буде визначатися тільки початкової чисельністю і залишиться незмінною.

    В процесі освоєння учнями викладеного вище змісту необхідно звернути їх увагу на те, що модель Лотки - Вольтерри не може відображати всі сторони взаємодії в системі «хижак - жертва» і в природі коливання чис-лінощів мають більш складний характер.

    Однак, незважаючи на спрощення, в моделі фіксуються уявлення про принципово коливальному характері динаміки системи «хижак - жертва», що дозволяє прогнозувати динаміку екологічних систем. Назване обставина обумовлює широке практичне використання розглянутої моделі в екології.

    Друге факультативне заняття присвячене темі «Коливання в ході хімічних реакцій -" хімічний осцилятор "». В процесі введення учнів в тему ми повідомляємо про те, що про осциляція в ході хімічних реакцій відомо досить давно, проте дані реакції не залучали особливої ​​уваги хіміків. Це було пов'язано з тим, що хімічна кінетика як наука почала оформлятися лише в 70-80-х роках XIX століття. у 1925 році А. Лотка запропонував теоретичну модель системи з двома послідовними автокаталитически реакціями, в якій хімічні кол ебанись могли бути незатухающими. Оскільки перші математичні моделі описували неспостережувані (в той час) хімічні реакції, модель Лотки - Воль-тери була не затребувана хіміками. Вона знайшла своє застосування лише для опису і пояснення коливань чисельності співіснують видів тварин в системі «хижак - жертва », про що говорилося на першому з представлених в статті факультативному занятті.

    Вважаємо за доцільне розкриття основної теми заняття «Коливання в ході хімічних реакцій ...» вести в історичному ракурсі. Для цього повідомляємо учням, що в середині минулого століття радянський хімік Борис Павлович Білоусов проводив дослідження циклу Кребса (цикл Кребса - система ключових біохімічних перетворень карбонових кислот в клітині), намагаючись знайти його неорганічний аналог. В результаті одного з експериментів в 1951 році, а саме окислення лимонної кислоти броматом калію в кислому середовищі в присутності каталізатора - іонів церію (Се + 3), він виявив в процесі реакції коливання. Перебіг реакції змінювалося з часом, що проявлялося періодичною зміною кольору розчину. Ефект став ще більш помітний в присутності індикатора рН (феро-ина). Дана реакція виявилася дуже зруч-

    ної для лабораторних досліджень. Коливання можна було легко спостерігати візуально, а їх період знаходився в межах 10-100 с. Білоусов провів досить докладне дослідження цієї реакції і з'ясував, зокрема, що період коливань істотно зменшується з підвищенням кислотності середовища і температури [2].

    Пізніше група дослідників під керівництвом А.М. Жаботинського провела докладні дослідження реакції Білоусова, включаючи її різні варіанти. Слід підкреслити, що робота проходила в режимі постійних консультацій з фізиками та математиками, добре знайомими з теорією коливань і її застосуванням до різних коливальних (в тому числі і хімічним) системам. Така співпраця допомогло створити першу математичну модель реакції [6], і сьогодні вона відома в усьому світі як «реакція Білоусова - Жаботинського». Реакція Бєлоусова - Жа-ботінского - це клас хімічних реакцій, що протікають в коливальному режимі, при якому деякі параметри реакції змінюються періодично, утворюючи складну просторово-часову структуру реакційного середовища. Реакція Бєлоусова - Жаботинського стала однією з найвідоміших в науці хімічних реакцій, її дослідженнями займається багато вчених різних наукових дисциплін і напрямів у всьому світі.

    На факультативному занятті пропонуємо учням розглянути реакцію Білоус-ва - Жаботинського: - окислення малоновой кислоти броматом калію в присутності каталізатора - іонів церію в кислому середовищі. Цю та аналогічні їй реакції можна провести в шкільній лабораторії. Методика їх проведення докладно описана в численній літературі. Крім того, на каналі <^ ОіТіЬе »розміщені відеоролики, що демонструють порядок її проведення в лабораторії.

    Повний механізм реакції Бєлоусова - Жаботинського дуже складний і налічує понад 80 реакцій і 20 хімічних сполук, які беруть в них участь. Однак коливання концентрацій з плином часу, які можна спостерігати візуально, по зміні забарвлення або потенціометр-но, по зміні ЕРС гальванічного

    Ноші, тодш, ппвеіти

    елемента, відбуваються за рахунок перетворення Ce3 + в Ce4 +. Тому ми будемо розглядати тільки взаємоперетворення іонів церію.

    У спрощеною схемою реакція Білоусова складається з двох фаз. У першій фазі тривалентний церій Ce3 +, який визначає рожевий колір розчину, окислюється бромноватой киць-

    лотой - HBrО3 (Ce3 +

    НВрОз .

    - Се4 +), що приво-

    дит до надлишку іонів Се4 + (блакитний колір розчину). У другій фазі чотиривалентний церій Се4 + відновлюється органічною сполукою - малоновою кислотою (Се4 + MK> Се3 +), і блакитний колір змінюється рожевим. Після чого знову відбувається зміна фаз, і розчин набуває блакитного забарвлення. Процес зміни кольору відбувається з періодичністю, яка дорівнює приблизно 1 хвилині. Періодичний процес припиняється після великого числа періодів через незворотного витрачання бромата - BrO3

    Перша модель реакції Бєлоусова - Жаботинського була отримана в 1967 році А.М. Жаботинським і М.Д. Корзухіним на основі підбору емпіричних співвідношень, правильно описують коливання в системі консервативної моделі Лотки - Вольтерри [6]. Виявилося, що одна з найпростіших хімічних схем, що описують коливання в системі двох послідовних автокаталитических реакцій, математично тотожна рівнянням, які лотка і Вольтерра використовували для опису екологічних процесів, і була відома як задача про «хижаків і жертв». Хімічним аналогом системи «хижак - жертва» і є коливальна реакція, в якій відбувається періодична зміна концентрацій проміжних компонентів. Стосовно до хімічних коливань, що протікає в гомогенної (однорідної) середовищі, кінетична схема моделі Лотки - Вольтерри має вигляд: A ^ X ^ Y ^ B. Дана схема визначає наступну гіпотетичну реакцію. Нехай в деякому обсязі знаходиться речовина А, витрата якого в процесі реакції майже непомітний, тобто А знаходиться в надлишку. В процесі реакції відбувається перетворення молекул речовини А в молекули речовини Х. Ця реакція нульового порядку протікає з постійною швидкістю до0 (порядок реакції - це величина, яка дорівнює сумі показників ступенів, з якими концент-

    рації реагентів входять у вираз для швидкості реакції). Далі речовина Х перетворюється в речовину У, при цьому швидкість перетворення к1 прямо пропорційна концентрації молекул речовини У, які зі швидкістю к2 назад перетворюються в речовину Х (ця обставина в кінетичної схемою відзначено стрілкою Дані реакції є реакціями другого порядку. Нарешті, молекули речовини У необоротно розпадаються, утворюючи речовину В (к3, реакція першого порядку). У даній схемі, заснованої на принципах хімічної кінетики, швидкість убутку кількості речовини X і швидкість прибутку кількості речовини У рах ітаются пропорційними їх твору. При таких припущеннях математичну модель Лотки - Вольтерри можна поширити на хімічну систему і представити у вигляді, який відповідає рівнянню гармонійного осцилятора:

    у + О) 2 у = О, де О2 = до ^ ЦИТЬ > Про

    Стандартне рішення даного рівняння показує, що система робить в часі незгасаючі коливання по X і У з частотою, що відповідає постійному періоду коливань Т:

    Т =

    2п

    Vfci к3 [А] [В]

    Положення максимуму і мінімуму на кінетичної кривої (рис. 3) будуть відрізнятися за часом на величину, рівну А ?:

    At =

    4кММВ \

    Отже, механізм реакції, що йде по наведеної вище кінематичній схемі, призводить (як і в разі «екологічного

    1,8 -з

    -X | Y

    Мал. 3. Залежності зміни концентрацій проміжних речовин X і Y хімічної реакції від часу в моделі Лотки - Вольтерри

    осцилятора ») до незгасаючих коливань, амплітуда і частота яких залежать тільки від початкових умов.

    Таким чином, використовуючи математичну модель лінійного гармонічного осцилятора, можна з єдиних позицій здійснити вивчення коливальних процесів в фізичних, хімічних і біологічних системах і сформувати у школярів уявлення про спільність процесів, що протікають в природі. ?

    література

    1. Арнольд В.І. Звичайні диференціальні рівняння / В.І. Арнольд. - М .: Наука, 1975. - 239 с.

    2. Бєлоусов Б.П. Періодично діюча реакція і її механізм / Б.П. Білоусов // Хімія і життя. - 1982. - № 7. - С. 65-68.

    3. Бігон М. Екологія. Особи, популяції і співтовариства: в 2 т. / М. Бігон, Дж. Хар-пер, К. Таунсенд - М .: Світ, 1989. - Т. 1. - 667 с.

    4. Вольтерра В. Математична теорія боротьби за існування / В.Вольтер-ра. - М .: Наука, 1976. - 288 с.

    5. Давидов В.В. Навчальна діяльність і моделювання / В.В. Давидов, А.У. Варданян. - Єреван: Луйс, 1981. - 220 с.

    6. Жаботинський А.М. Концентраційні коливання / А.М. Жаботинський. - М .: Наука, 1974. - 179 с.

    7. Неймарк Ю.І. Математичні моделі в природознавстві і техніці: Підручник. - Н. Новгород: Изд-во Нижегородського державного університету ім. Н.І. Лобачевського, 2004. - 401 с.

    8. Петровський І.Г. Лекції з теорії звичайних диференціальних рівнянь / І.Г. Петровський. - М .: Изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

    9. Різниченко Г.Ю. Математичні моделі в біофізиці та екології / Г.Ю. Різниченко. - Москва - Іжевськ: Ін-т комп'ютерних досліджень, 2003. - 184 с.

    10. Стрільців С.П. Введення в теорію коливань / С.П. Стрільців. - СПб .: Изд-во «Лань», 2005. - 440 с.

    11. Ельконін Б.Д. Підлітковий етап шкільної освіти в системі Елькон-на - Давидова / Б.Д. Ельконін, А.Б. Воронцов, Е.В. Чудінова // Питання освіти. - 2004. - № 3. - С. 118-142.

    12. Lotka А. Analytical note on certain rhythmic relations in organic systems. А. Lotka. [Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www.math.wm.edu/~shij/ math345 / Lotka-1920-PNAS.pdf. (Дата звернення: 17.06.2016).

    References

    1. Arnold V.I. Obyknovennye differencial'nye uravneniya / V.I. Arnol'd. - M .: Nauka, 1975. - 239 s.

    2. Belousov B.P. Periodicheski dejstvuyush-chaya reakciya i eyo mekhanizm / B.P. Belousov // Himiya i zhizn '. - 1982. - № 7. - S. 65-68.

    3. Bigon M. Ehkologiya. Osobi, populyacii i soobshchestva: v 2 t. / M. Bigon, Dzh. Harper, K. Taunsend - M .: Mir, 1989. - T. 1. - 667 s.

    4. Vol'terra V. Matematicheskaya teoriya bor'by za sushchestvovanie / V. Vol'terra. - M .: Nauka, 1976. - 288 s.

    5. Davydov V.V. Uchebnaya deyatel'nost 'i modelirovanie / V.V. Davydov, A.U. Vardan-yan. - Erevan: Lujs, 1981. - 220 s.

    6. Zhabotinskij A.M. Koncentracionnye kole-baniya / A.M. ZHabotinskij. - M .: Nauka, 1974. - 179 s.

    7. Nejmark Yu.I. Matematicheskie modeli v estestvoznanii i tekhnike: Uchebnik. - N Novgorod: Izd-vo Nizhegorodskogo gos-udarstvennogo universiteta im. N.I. Lo-bachevskogo, 2004. - 401 s.

    8. Petrovskij I.G. Lekcii po teorii obyknoven-nyh differencial'nyh uravnenij / I.G. Petrovskij. - M .: Izd-vo MGU, 1984. - 296 s.

    9. Riznichenko G.YU. Matematicheskie modeli v biofizike i ehkologii / G.YU. Riznichenko. - Moskva - Izhevsk: In-t komp'yuternyh issledovanij, 2003. - 184 s.

    10. Strelkov S.P. Vvedenie v teoriyu kolebanij / S.P. Strelkov. - SPb .: Izd-vo «Lan '», 2005. - 440 s.

    11. Elkonin B.D. Podrostkovyj ehtap shkol'nogo obrazovaniya v sisteme El'konina - Davy-dova / B.D. EHl'konin, A.B. Voroncov, E.V. CHudinova // Voprosy obrazovaniya. - 2004. - № 3. - S. 118-142.

    12. Lotka A. Analytical note on certain rhythmic relations in organic systems. A. Lotka. [Elektronnyj resurs]. - Rezhim dostupa: http://www.math.wm.edu/~shij/math345/ Lotka-1920-PNAS.pdf. (Data obrashcheni-ya: 17.06.2016).


    Ключові слова: Природничо-наукової освіти ШКОЛЯРІВ / метапредметний ПІДХІД / міжпредметні інтеграція / МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ / коливальних процесів / SCIENCE EDUCATION STUDENTS / INTERDISCIPLINARY APPROACH / INTERDISCIPLINARY INTEGRATION / A MATHEMATICAL MODEL OF THE OSCILLATORY PROCESS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити