На основі енергетичних принципів орієнтований на мінімізації повної теплової енергії пружних деформації в поєднанні застосуванні квадратичного кінцевого елемента з трьома вузлами розроблений математична модель защемленного двома кінцями стержня, постійного поперечного перерізу в залежності наявності часткової теплоізоляції, теплового потоку і теплообмінних.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Кенжегулов Б.З., Гапуова Т.Б., Мураткаліева А.Н., Рахметов М.Є.


MATHEMATICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE (THERMOELASTICITY) OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES

The mathematical model of a rod with a constant cross section fixed at both ends is developed depending on the presence of partial thermal insulation, heat flux, and heat exchanges based on energy principles, focused on minimization of total thermal energy of elastic deformations combined with the use of a quadratic finite element with three nodes.


Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва: 2020
    Журнал: Міжнародний науково-дослідний журнал

    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ одновимірних термонапруженого (ТЕРМОПРУЖНОСТІ) СТАН защемлення ДВОМА кінці стрижня ЗА НАЯВНОСТІ РІЗНИХ ДЖЕРЕЛ ТЕПЛА'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ одновимірних термонапруженого (ТЕРМОПРУЖНОСТІ) СТАН защемлення ДВОМА кінці стрижня ЗА НАЯВНОСТІ РІЗНИХ ДЖЕРЕЛ ТЕПЛА»

    ?DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2020.92.2.005

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ одновимірних термонапруженого (ТЕРМОПРУЖНОСТІ) СТАН защемлення ДВОМА кінці стрижня ЗА НАЯВНОСТІ

    РІЗНИХ ДЖЕРЕЛ ТЕПЛА

    Наукова стаття

    Кенжегулов Б.З.1, Гапуова Т.Б.2, *, Мураткаліева А.Н.3, Рахметов М.Е.4

    1, 2, 3, Атирауська державний університет, Атирау, Казахстан,

    * Корреспондирующий автор (tikosh.96 [at] mail.org.ua)

    анотація

    На основі енергетичних принципів орієнтований на мінімізації повної теплової енергії пружних деформації в поєднанні застосуванні квадратичного кінцевого елемента з трьома вузлами розроблений математична модель защемленного двома кінцями стержня, постійного поперечного перерізу в залежності наявності часткової теплоізоляції, теплового потоку і теплообмінних.

    Ключові слова: температура, теплова енергія, тепловий потік, градієнт, теплообмін.

    MATHEMATICAL MODELING OF ONE-DIMENSIONAL THERMALLY STRESSED STATE (THERMOELASTICITY) OF A ROD FIXED AT TWO ENDS WITH DIFFERENT HEAT SOURCES

    Research article

    Kenzhegulov B.Z.1, Gapuova T.B.2, *, Muratkaliev A.N.3, Rakhmetov M.E.4

    1 2 3 4 Atyrau State University, Atyrau, Kazakhstan

    * Corresponding author (tikosh.96 [at] mail.org.ua)

    Abstract

    The mathematical model of a rod with a constant cross section fixed at both ends is developed depending on the presence of partial thermal insulation, heat flux, and heat exchanges based on energy principles, focused on minimization of total thermal energy of elastic deformations combined with the use of a quadratic finite element with three nodes.

    Keywords: temperature, heat energy, heat flow, gradient, heat transfer.

    У цій статті розглядається тестові завдання знаходження поля рапределеніе температури, частково теплоізольованого стрижня защемленного двома кінцями. У цьому завданню стрижень обмеженої довжини L (gm.), Площа поперечного перерізу F (gm2) постійна по довжині, бокова поверхня стержня частково-теплоізольована. Стрижень жорстко затисненого обома кінцями і має циліндричну форму (див. Малюнок 1).

    ф

    he Ts

    т.

    ії т

    Ш1

    тип

    AJLJU

    *

    Мал. 1 - Стрижень під впливом різного роду джерел тепла і жорстко затисненого обома кінцями

    Під впливом такого різного роду джерел тепла, відбувається розподіл поля температури по довжині стержня за певними закономірностями. Ці закономірності можна знайти методом мінімізації функціоналу теплової енергії по значенням температури в вузлових точках і методом кінцевих елементів. Даний стрижень діскретізіруем квадратичними кінцевими елементами з трьома вузлами. Для кожного елемента напишемо спеціальний функціонал, що виражає теплову енергію [1].

    Варіант 1. За площею поперечного перерізу лівого кінця підведений тепловий потік ц1 {Вт / см2), а бічна поверхня кінцевого елемента теплоізольована. Нехай на правому кінці точка до буде внутрішньою точкою (див. Рисунок 2).

    Мал. 2 - Кінцевий елемент з підведеною на площу поперечного перерізу лівого кінця тепловим потоком д

    Поле розподілу температури по довжині такого стрижня аппроксимируем як криву другого порядку проходить через три точки в ділянці XI < х < хк буде [5]

    Т (х) = ах2 +'х + з = (pi (x) Tt + q>j (x) Tj + (pk (x) Tk

    (1.1)

    де <Р1 (х), ф] (х), <рк (х) - функції форми квадратичного кінцевого елемента з трьома вузлами, які мають такий вираз

    Vi 00 = |

    I2 - 31х + 2х2

    I2

    Vj (х)

    4 (1х - х2)

    I2

    , Фк 00 = |

    2х2 - 1х

    I2

    (1.2)

    де 0 < х < I, а Т \, 7] і Тк - значення температури відповідні точкам елемента х = XI; х = х] і х = хк. Користуючись (1.1.1) і (1.1.2) визначимо градієнт температури [2, С. 33]

    дт dpi СО d ^ j (х) ДФК (х)

    -до + - до + 1к,

    дх дх

    дх

    дх

    (1.3)

    де

    dpj (x) d ^ j (x) ДФК (х)

    дх

    дх

    дх

    похідні, які виражаються через формули [10], [11]

    дт 4х - 31 4 (1 - 2х) 4х - I

    -Ti + - ^ - Tj + Тк

    дх I2 'I2 4 "I2 до Вид функіонала, що виражає теплову енергію буде наступним [2, C.40]

    (1.4)

    /

    = LKirQdv + L «т (х) ds

    (1.5)

    Тут V - об'єм елемента, Sinnc - площа поперечного перерізу відповідна точці х = хь лівого кінця елемента. Тут підставляючи співвідношення (1.3) і користуючись виразами (1.4) на (1.5) можна записати в такий спосіб [1]

    / = |

    F З до

    f

    j X i

    d ^ i (x), дх

    Ti) +2

    d ^ i (x) d ^ j (x) _

    TiTj + 2 + 2 (ДФК 00 421

    d ^ i (x) ДФК CO

    Т1Тк

    д ^ 1 (х) д ^ до (х) f дф] (х) .до ,, ^

    (1.6)

    dx + qF (Xi) Ti.

    Через те, що на ділянці 0 < х < L буде F = const, то F (x = xt) = F. Тут зважаючи на те, що хк- xt = I-довжина даного кінцевого елемента, інтеграл f * kl (x) dx можна записати у вигляді f0 f (x) dx , тоді співвідношення (1.5) можна записати в такому вигляді [2]:

    / =

    FKy

    7 2 16 2 16 2 2 7 2

    | ^ Т2 --Т; Т: + - Т; Тк + - Т: Тк - ~ Т.2 - -Т?

    Про i Про i J про i до Про J к о j Q до

    + qFTi.

    (1.7)

    Значення температури в вузлових точках визначається наступною формулою [1]:

    2

    = Т ° С до ^ Т} = Т ° с-Н-2 ^ 1

    Тк - Т ° С

    до '

    (1.8)

    де до (Вт / см2 ° С) - коефіцієнт теплообміну матеріалу елемента стержня з навколишнім середовищем площі поперечного перерізу лівого кінця, а ТОС (° С) температура навколишнього середовища, значення коефіцієнта теплопровідності КХХ, (Вт / см ° С).

    Варіант 2. Через площу поперечного перерізу лівого кінця теплоізольованого по боковій поверхні кінцевого елемента відбувається теплообмін з навколишнім середовищем (див. Малюнок 3)

    Ьо т »

    Мал. 3 - кінцевий елемент з площею поперечного перерізу лівого кінця, де відбувається теплообмін з навколишнім

    середовищем

    Тут коефіцієнт теплообміну матеріалу елемента стержня з навколишнім середовищем площі поперечного перерізу лівого кінця буде до0 (Вт / см2 ° С), а температура навколишнього середовища Т0 (° С). Тоді для такого кінцевого елемента вид функціонала, що виражає теплову енергію, буде наступним [1]

    2 'і с'г г7 __ 16__ 2__ 16__ 2_ Рк0

    Г КХХ / дт \ 2 Г І.0 ,, РКхх

    3т? - у щ + 3т1тк + -т] тк - 3'- 3Т2

    + 12 ° (Т1-Т0) 2. (2.1)

    Варіант-3. Через бічну поверхню і через площу поперечного перерізу відповідної будь кінцевій точці кінцевого елемента відбувається теплообмін з навколишнім середовищем. Коефіцієнт теплообміну з навколишнім середовищем через бічну поверхню буде кб, (Вт / см2 ° С), а температура навколишнього середовища бічній поверхні

    Тб (° С) (див. Малюнок 4).

    ЬлТп

    МЛ Л

    тшштшш

    шшшш

    1 к

    Мал. 4 - Кінцевий елемент де відбувається теплообмін з навколишнім середовищем

    Тоді для такого елемента вид функціонала, що виражає теплову енергію, буде наступним [6]

    / - \ Ау + \ ^ Т - + \ ^ (Т-Тб) 2Л5, (3.1)

    де 5пбп - площа бічної поверхні елемента. Але тут треба враховувати, що

    Г Г (х) йБ - П СГШх.

    ?ПБП 0

    Тут П - периметр поперечного перерізу стержня. Тоді співвідношення (1.7) можна заново записати в такий спосіб

    } = + П ^ б

    РКУ

    21

    7 2 16 2 16 2 7 2

    2 _Т Т I Т Т I _Т Т Т Т 2

    + (Т1-Т0) 2

    - -Т: Комерсант + -Т: Тк + -'Тк --Т - тк 3 1 3 3 3} до 3} 3 до

    21 2 21 I 81 2 21 21 I 41 I

    Т2 + 15 Т {Г> - ^^ + 15Т} 2 + тк + - Т] Тк - 3ТбТ1 - 3Щ - 3ТбТк + 1Т2

    15

    15

    15

    15

    15

    (3.2)

    Варіант - 4. Через площа поперечного перерізу лівого кінця відбувається теплообмін з навколишнім середовищем. На бічну поверхню елемента підведений тепловий потік ц. (Вт / см2) (див. Рисунок 5) [1].

    1 | оТ.

    шшішшаш

    шшшшш

    /} До

    Мал. 5 - Кінцевий елемент з підведеною на бічну поверхню тепловим потоком q Тоді для такого елемента вид функціонала, що виражає теплову енергію буде наступним [6]

    }

    = ЖёЬ7 + / т (Т-Те) Ч5 + 1 "™

    Р Ку

    21

    7 2 16 2 16 2 7 2

    -Т? - Т; Т} + - Т; Тк + - Т; Тк - ~ Т: - Т2

    про I про I} про I к о} к о} Про до

    + -2- (Т1-то) 2 + & + АТ} + тк)-

    (4.1)

    Варіант - 5. На площа поперечного перерізу відповідної точці / лівого кінця підведений тепловий потік q1, (Вт / см2), а на бічну поверхню q2, (Вт / см2). Нехай на правому кінці точка до буде внутрішньою точкою (див. Рисунок 6) [1].

    Чг

    шшшшшшж

    жштт'шш

    7

    до

    Мал. 6 - Кінцевий елемент з підведеною на площу поперечного перерізу лівого кінця тепловим потоком q1, а на

    бічну поверхню q2

    Для такого кінцевого елемента вид функціонала, що виражає теплову енергію, буде наступним

    = + I Ч1Тй5 + I Ч2Т (Х) й5

    Р Ку

    7 2 16 2 16 16 2 7 2

    -Т? - Т; Т + - Т; Тк - -Т: Тк + - Т.2 + - Т?

    Про 1} О 1 до Про} до Про} Про до

    (5.1)

    Щ21 / \

    + Рял + -6- ^ + 4Т} + Тк).

    Варіант - 6. На площа поперечного перерізу відповідної точці / підведений тепловий потік ц, (Вт / см2), а по боковій поверхні відбувається теплообмін з навколишнім середовищем. Тут коефіцієнт теплообміну з

    навколишнім середовищем буде К6 (Вт / см2 ° С), а температура навколишнього середовища Тб (° С) (див. малюнок 7).

    ЬвТ *

    ШШШШШШШ1Ш

    I. I

    ч /

    шшшш

    Мал. 7 - Кінцевий елемент з підведеною на площу поперечного перерізу лівого кінця тепловим потоком ц. а по бічною поверхнею відбувається теплообмін з навколишнім середовищем

    Тоді для такого кінцевого елемента вид функціонала, що виражає -теплові енергію, буде наступним [7], [8], [9].

    FKr

    +

    21 Uh5

    = F- ^ i ^) dV + j ЯTdS + j hf [T (x) -T6] 2dS v s,

    innc $ ПБП

    7 2 16 2 16 16 2 7 2

    4T2 --TiTj + -TjTk --TjTk + -T2 + 3Tl

    + qFT

    3

    , 21 I 81 n 21 n 21 I 41 I

    2 A__TT___T T J__T2 J__T2

    Г5 Tf + 15Щ --15И + 15Tf + 15T + 15TjTk- 3И- у TJj - 3TJk

    + it2

    (6.1)

    Отже, на основі використання функціоналу теплової енергії, а також при використанні апроксимації теплового поля в стрижні кінцевими елементами у формі кривих 2-го порядку, що проходять через 3 точки по довжині стрижня, і по температури які задані на вузлових точках Т \, Т], тк записується математична модель одновимірного термонапруженого стану защемленного двома кінцями стержня при наявності різних джерел тепла. Розглядається 6 різних варіантів підведення тепла і теплообміну з зовнішнім середовищем і відповідний функціонал теплової енергії.

    Не вказано.

    Конфлікт інтересів

    Conflict of Interest

    None declared.

    Список літератури / References

    1. Кенжегулов Б.З. «Чисельне моделювання багатовимірних температурних і одновимірних нелінійних термомеханічних процесів в жароміцних сплавах» Монографія. ISBN 9965-640-98-Х / Кенжегулов Б.З. Видавництво «АтГУ ім. Х.Досмухамедова », 2013г.- 326 с.

    2. Кудайкулов А. Математичне (звичайно-елементне) моделювання прикладних задач поширення тепла в одновимірних констукціонних елементах / Кудайкулов А. - Туркестан 2009 - 168 с.

    3. Хомишина Ф.Ф. Жароміцні сталі і сплави. 2-е перероблене і додаткове видання / Хомишина Ф.Ф. М .: Металургія, 1969г.-749с.

    4. Ноздрьов В.Ф. Курс термодинаміки / Ноздрьов В.Ф. Вид-во Світ, М .: 1967г.-247с.

    5. Сегерлінд Л. Застосування методу кінцевих елементів / Сегерлінд Л. Вид-во Світ, М .: 1979р-392с.

    6. Зенкевич О. Метод кінцевих елементів в техніці / Зенкевич О. М .: Мир, 1975 р.

    7. Писаренко Г.С. Опір матеріалів. "Вища Школа" / Писаренко Г.С. Київ, 1973г.-672с.

    8. Тимошенко С.П. Теорія пружності / Тимошенко С.П., Гудьяр Дж.Н. Вид-во Світ, «Наука», М .: 1975г.-575с.

    9. Бергер І.А. Міцність. Устойтівость. Коливання. Том-1 / Бергер І.А., Пановко Я.Г. М .: Машинобудування, 1698г.-56с.

    10. Ельсгольція Л.Е. Диференціальне рівняння і варіаційне числення. / Ельсгольція Л.Е. Вид-во Наука, М .: 1969г.-424с.

    11. Кенжегулов Б.З. «Математичне моделювання дослідження термонапруженого в стану стержня з жароміцного сплаву» / Кенжегулов Б.З., Ж.Д.Мухтаргаліева, Т.Б.Гапуова // Атирауський державний університет ім. Х.Досмухамедова, м Атирау, Республіка Казахстан, Вісник №3 (50) 21.11.2018 стор.116

    Список літератури англійською мовою / References in English

    1. Kenzhegulov B.Z. Chislennoye modelirovaniye mnogomernykh temperaturnykh i odnomernykh nelineynykh termomekhanicheskikh protsessov v zharoprochnykh splavakh [Numerical modeling of multidimensional temperature and one-dimensional nonlinear thermomechanical processes in heat-resistant alloys. Monograph.] / Kenzhegulov B.Z. ISBN 9965-640-98-X. Publishing house "AtSU named after H. Dosmukhamedov, 2013 - 326 p. [In Russian]

    2. Kudaikulov A. Matematicheskoye (konechno-elementnoye) modelirovaniye prikladnykh zadach rasprostraneniya tepla v odnomernykh konstuktsionnykh elementakh [Mathematical (finite-element) modeling of applied problems of heat distribution in one-dimensional structural elements] / Kudaikulov A. - Turkestan 2009 - 168 p. [In Russian]

    3. Himushin F.F. Zharoprochnyye stali i splavy. 2-oye pererabotannoye i dopolnitel'noye izdaniya [Heat resistant steels and alloys. 2nd edition] / Himushin F.F. M .: Metallurgy, 1969. - 749 p. [In Russian]

    4. Nozdrev V.F. Kurs termodinamiki [Course of thermodynamics] / Nozdrev V.F. Mir. Moscow: 1967 - 247 p. [In Russian]

    5. Segerlind L. Primeneniye metoda konechnykh elementov [Application of finite element method] / Segerlind L. M .: Mir.

    - 1979 - 392 p. [In Russian]

    6. Zenkevich O. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite element method in engineering] / Zenkevich O. M .: Mir

    - 1975. [in Russian]

    7. Pisarenko G.S. Soprotivleniye materialov [Resistance of materials] / Pisarenko G.S. "Vishcha Shkola", Kiev, 1973. -672 p. [In Russian]

    8. Timoshenko S.P. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity] / Timoshenko S.P., Goodyar J.N. M .: Mir., "Nauka", M .: 1975. - 575 p. [In Russian]

    9. Berger I.A. Prochnost '. Ustoytivost '. Kolebaniya [Strength. Sustainability. Fluctuations. Vol. 1] / Berger I.A., Panko Ya.G. M .: Mechanical Engineering, 1698. - 56 p. [In Russian]

    10. Elsgolts L.E. Differentsial'noye uravneniya i variatsionnoye ischisleniye [Differential equations and calculus of variations] / Elsgolts L.E. Nauka, Moscow: 1969 - 424 p. [In Russian]

    11. Kenzhegulov B.Z. Matematicheskoye modelirovaniye issledovaniya termonapryazhennogo v sostoyaniya sterzhnya iz zharoprochnogo splava [Mathematical modeling of study of thermally stressed state of rod of heat-resistant alloy] / Kenzhegulov B.Z., Zh.D. Mukhtargalieva, T.B. Gapuova // Atyrau State University. H. Dosmukhamedova, Atyrau, Republic of Kazakhstan, Bulletin No. 3 (50) 11/21/2018 - P.116 [in Russian]


    Ключові слова: ТЕМПЕРАТУРА / ТЕПЛОВА ЕНЕРГІЯ / ТЕПЛОВОЇ ПОТІК / ГРАДІЄНТ / ТЕПЛООБМІН / TEMPERATURE / HEAT ENERGY / HEAT FLOW / GRADIENT / HEAT TRANSFER

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити