За допомогою математичного моделювання досліджено тепловий стан фрагментів неоднорідних зовнішніх дерев'яних огорож в формі утеплених бруса і колоди. Проведено порівняльний аналіз їх теплозахисної ефективності. Розроблена чисельна технологія дозволяє проводити теплову експрес-діагностику зовнішніх утеплених дерев'яних стін з різними теплофізичними і геометричними характеристиками деревини і утеплювача в реальних умовах експлуатації.

Анотація наукової статті з будівництва та архітектури, автор наукової роботи - Кузін А. Я., Хуторний А. Н., Цвєтков Н. А., Хон С. В., Мірошниченко Т. А.


Mathematical modeling of non-stationary two

Thermal condition of non-uniform outer wooden shells in the form of heated timber and log was investigated with the help of mathematical modeling. Heat-protective comparative analysis was conducted. Developed numeric technology allows to conduct heating instinct exclusion of outer heat-insulated wooden walls with various thermophysical and geometrical characteristics of wood and heat insulation under real operating conditions.

Область наук:

Рік видавництва: 2006 Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ

 

Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання нестаціонарного двовимірного теплопереносу в неоднорідних дерев'яних зовнішніх огорожах'

Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання нестаціонарного двовимірного теплопереносу в неоднорідних дерев'яних зовнішніх огорожах»

 

?СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Зварювання та зварювані матеріали: У 3-х т. Т 1. Зварюваність матеріалів. Справ. изд. / Под ред. Е.Л. Макарова. - М .: Металургія, 1991. - 528 с.

2. Лахтін Ю.М., Леонтьєва В.П. Матеріалознавство. - М .: Машинобудування, 1990. - 528 с.

3. Сараєв Ю.М., чинах Д.А. Сварка в щілинну оброблення сталі 30ХГСА без підігріву // Зварювальне виробництво. - 2002. -№ 7. - С. 18-20.

4. Сараєв Ю.М., чинах Д.А. Регресивні моделі механічних властивостей багатошарових зварних з'єднань сталі 30ХГСА // Зварювальне виробництво. - 2002. - № 5. - С. 3-5.

5. Федько В.Т., Брунов О.Г. Управління процесом зварювання при імпульсної подачі електродного дроту // Технологія металів. - 2000. - № 8. - С. 27-30.

УДК 536.24: 692.2: 691.11: 519.711.3

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НЕСТАЦІОНАРНОГО ДВОВИМІРНОГО Теплоперенос В НЕОДНОРІДНИХ дерев'яних зовнішніх огороджень

А Я. Кузин, А.Н. Хуторний, Н.А. Цвєтков, С.В. Хон, Т.А. Мірошниченко

Томський державний архітектурно-будівельний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

За допомогою математичного моделювання досліджено тепловий стан фрагментів неоднорідних зовнішніх дерев'яних огорож в формі утеплених бруса і колоди. Проведено порівняльний аналіз їх теплозахисної ефективності. Розроблена чисельна технологія дозволяє проводити теплову експрес-діагностику зовнішніх утеплених дерев'яних стін з різними теплофізичними і геометричними характеристиками деревини і утеплювача в реальних умовах експлуатації.

Широке використання деревини в житловому будівництві в якості зовнішніх огороджень вимагає детального вивчення теплозахисних властивостей її фрагментів у вигляді бруса і колоди. Особливо актуальна ця проблема для холодних кліматичних зон з огляду на підвищених вимог до теплотехнічних характеристик огороджень [1]. Одним із шляхів поліпшення теплотехнічних характеристик дерев'яних фрагментів служить заповнення їх осьових отворів ефективним утеплювачем [2]. Знання механізму теплопереносу в таких неоднорідних системах дозволить цілеспрямовано впливати на поліпшення їх теплозахисних властивостей. Оптимальним способом верифікації нових способів утеплення на конкретних конструкціях при мінімальних матеріально-технічних і тимчасових витратах є математичне моделювання. Для підвищення адекватності математичних моделей її параметри повинні визначатися з розв'язання обернених задач із залученням даних лабораторних або натурних експериментів.

Метою цієї роботи є математичне моделювання процесів нестаціонарного ті-плопереноса в неоднорідних фрагментах дерев'яних зовнішніх огороджень у вигляді утеплених бруса і колоди, параметричне дослідження теплозахисних властивостей зазначених фрагментів в залежності від теплофізичних і геометричних характеристик утеплювача і їх порівняльний аналіз.

Фізико-математична постановка задач. Досліджується теплоперенос через плоскі неоднорідні системи, що складаються з дерев'яних утеплений-

них бруса і колоди, осьові отвори яких заповнені утеплювачем (рис. 1). Форма бруса і утеплювача - прямі паралелепіпеди, поперечні перерізи яких квадрати зі сторонами a1 і a2. Колода і утеплювач є прямі співвісні циліндри з радіусами R1 і R2. У нижній частині колоди є технологічний виріз, обумовлений умовами зборки дерев'яної стіни. Внаслідок цього вирізу радіальна координата кордону rY є змінною величиною, яка залежить від кута ф. Кут ф, довжина ГМФ) радіус-вектора ОМ довільної точки М на лінії AD з кутом фе [-ф, ф] і площа поперечного перерізу колоди S визначаються з геометричних міркувань на підставі відомих R1, ROOi і ф за формулами:

= Arcsin ^ 1R - (R0O] / 2) 2 / R,,

гм (ф) = 4 xM + yM >S = 12 (п - 2<ф + sin 2ф x

де ROOi - відстань між центрами сусідніх колод, м; ф - половинний кут адіабатною кордону, радий; Хм, розум - декартові координати точки М, що визначаються за формулою:

хм = -ум tgy, ____________

-R00 + JROo, - (1 + tgV) (R2o, - Ri2)

Розум = ----- 1 ---------- VW ~ 2 ------------- •

1 + tg ф

Теплове навантаження на кордонах бруса і колоди є змінною через наявність адіабатних ділянок на стиках сусідніх брусів і колод і відкритих ділянок, що межують з внутрішнім і зовнішнім повітрям.

При записи математичних постановок задач нестаціонарного теплопереносу в утеплених брусі і колоді використовується декартова і циліндрична системи координат.

Теплоперенос в поперечному перерізі неоднорідного бруса в областях 1 і 2 описується двома двовимірними нелінійними нестаціонарними рівняннями теплопровідності для однорідного бруса і утеплювача

Я • | = - (і

Нейн нестаціонарними рівняннями теплопровідності для однорідного колоди і утеплювача

1 <1 (я ^ 1) +7 ря ін >• | = 12>(11)

з початковими і граничними умовами

*, Т = 0 = 4 (г, Ф), / = 1,2; (12)

з початковими і граничними умовами *, | т = о = 4 (х уx * '= 1,2;

"5 /, |

-Ях, 1 дх I X = 0 = а0 (^ ,, т - * 0);

Я% \

х 1 дх I

= А (4 * - 4);

^ * 71 = 0-

ду1у = °;

^ * 71 = 0 *

ду1у = 7 *;

_ Я ді = про

х = Х1 '2 | х = Х1> Л: Д дх Iх = х 1 ^ -2 дх Х = Х 1

7 * У * Г2;

= 4

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

г, 1 ДГ

= А (4, е-4X р * р * п-р; (13)

= А (4, -4х ж + р * * р * 2п-р; (14)

д'1

ДГ

= 0,

(2п-р! <р<р,) і (ж-р! <р<я + р,); (15)

* | = ^,, = 1,2; | 1р = 0 | 1ф = 2п

д * д * 2

= * Я, - = Я 2 --

1 Г = ^ 2 2 г = .Я.2 'ГД ДГ г = К? г>2 ДГ

(16)

(17)

де г, р - незалежні змінні циліндричної системи координат, г, м, р, радий; рр - радіальна координата зовнішнього кордону колоди, що залежить від р, м.

а

* 1 х = X, * 2 х = X,

* 1 у = 11 * 2 у = 71

* 1 у = 72 * 2 у = 72

5/1 дх

71 * У * 72;

в1 ду \ у = 71 X1 * х * X 2;

Я д4 | х2 сх Iх1 ^ '(8) © У Ук адіабатне / умови ©

«0

. д4 | у-2 ду | у = 71 'Конвективний теплообмін у, 2 \>Л 1 Конвективний теплообмін

(9) 0

д * 1 ду

Х1 * х * X 2

д 2

Я _1 = Я 2

Лу, 1 Я ,, | у = 72 Лу, 2 ду | у = 7 2

Адіабатні / ^ ^ до

умови

(10)

де 4, - температура в початковий момент часу, ° С; ^ Е, - температура зовнішнього і внутрішнього

повітря, ° С; / 0, ^ - температура на внутрішній і зовнішній поверхнях стіни, ° С; а0, ак - коефіцієнт тепловіддачі на внутрішній і зовнішній поверхнях стіни, Вт / (м2.К); т-час, с; х, у - координати, м; с - коефіцієнт питомої теплоємності, Дж / (кг.К); Я - коефіцієнт теплопровідності, Вт / (м.К); р - щільність, кг / м3; X (/ = 1,2), У, (/ = 1,2) - координати внутрішніх кордонів розрахункових подобластей по х і у, м; Хк, Ук - координата верхньої межі розрахункової області по х і у, м.

На кордонах області х = 0 і х = Хк задаються умови конвективного теплообміну (3), (4); у = 0 і у = Ук

- адіабатні умови (5, 6); на внутрішніх кордонах системи - умови четвертого роду (7-10).

Теплоперенос в радіальному перетині утепленого колоди описується двома двовимірними нелі-

адіабатні

©

tg, ins, а 0

конвективний

теплообмін

Мал. 1. Схеми неоднорідних: а) бруса і б) колоди

На зовнішньої CD і внутрішньої АВ межах радіального перетину виконуються умови конвективного теплообміну (13, 14), на лініях AD і ВС-умови адіабатічності (15). На внутрішньому кордоні однорідного колоди з утеплювачем задається

X

гранична умова четвертого роду (17). На радіусі р = 0 - умова періодичності (16).

У математичних моделях (1-10), (11-17) нижні індекси 1, 2 характеризують деревину і утеплювач.

Метод вирішення завдань і результати чисельних розрахунків. Для чисельного рішення задач використовувався метод розщеплення [3]. Отримані в результаті розщеплення одномірні рівняння теплопровідності в одношарових і багатошарових областях за відповідними напрямами розраховувалися ітераційно-інтерполяційним методом [4-6] з ітераціями за коефіцієнтами із заданою точністю. На внутрішніх кордонах областей використовувалися різницеві рівняння, отримані на основі ітераційно-интерполяционного методу і враховують відмінність в теплофізичних характеристиках деревини і утеплювача.

Певні труднощі при чисельній реалізації другого завдання викликало знаходження температури в центрі поперечного перерізу колоди. При завданні в центрі поперечного перерізу умови симетрії невизначеність типу "0/0", що виникає в точці г = 0 при розрахунку температури по г, легко розкривається за правилом Лопіталя [7]. В рамках даної постановки завдання з огляду на змінності теплового навантаження по обводу умова симетрії в точці г = 0 не виконується. Заміна цієї умови граничною умовою четвертого роду при розрахунку температури наскрізь через центр по всьому діаметру також мало коректна через залежностей одержуваних в цій точці температур від радіального напрямку. Тому для визначення температури в центрі був розроблений ітераційний алгоритм, заснований на вирішенні на кожному часовому шарі рівняння теплового балансу для елементарного циліндра з віссю г = 0 і радіусом поперечного перерізу, значно меншим радіусу колоди. Що поступає (відставлений) через бічну поверхню елементарного циліндра тепло йде на його нагрівання (охолодження). Отримана таким чином температура в центрі використовувалася в якості граничного умови першого роду при розрахунку температури в напрямку г для різних р.

Чисельне рішення задач з вищевикладеного алгоритму здійснювалося за допомогою програм, розроблених за модульним принципом на мові програмування ФОРТРАН. Тестування окремих програмних модулів проводилося на підставі відомих з літератури або отриманих за допомогою методу пробних функцій аналітичних рішень [6, 8]. Тестування завдання здійснювалося шляхом порівняння чисельного рішення двовимірної задачі теплообміну в однорідному брусі з відомим стаціонарним аналітичним рішенням з [9]. В результаті чисельних розрахунків було встановлено, що незалежно від завдання початкової умови, яке варіювалося від мінус 40 ° С до плюс 20 ° С, чисельне рішення дво-

мірної задачі прагне до єдиного стаціонарного рішенням [9]. Число вузлів розбиття разностной сітки по х і y бралося рівним 101, по r і р

- 51 і 21; крок за часом дорівнював 60 с. Для полегшення аналізу результатів розрахунків передбачалося, що теплофізичні характеристики деревини і утеплювача ізотропні.

Вихідні дані для розрахунків: ^ = 0,2 м, a2 = 0,1 м, Д = 0,1 м, R2 = 0,05 м, ROO = 0,18 м, А1 = 0,14 Вт / (м. К), А = 500 кг / м3, з1 = 2300 Дж / (кг.К), Я2 = 0,04 Вт / (м.К), р2 = 80 кг / м3, с2 = 1470 Дж / (кг.К ), t&n = 20 0С, t&e = -40 0 С, 4 = 20 0С. Матеріал деревини - сосна, утеплювача -пенополіуретан.

Для оцінки теплозахисної ефективності однорідних і неоднорідних дерев'яних сортиментів та перевірки коректності розрахунків визначалися теплові потоки через внутрішні Q0 і зовнішні Qw відкриті поверхні бруса і колоди довжиною 1 погонний метр за формулами:

Y Y

Qo = Jф, y) dy> Qw = Jq (Xk>y) dy (для бруса);

0 0

n + ps

Qo = J q (R "p) R, dP,

2n-ps

n-ps

Qw = J q (R, p) Rdp (для колоди).

Ps

Мал. 2. Розподіл перепаду температур для утеплених (1-3) і однорідних (4) брусів при тГ1П = 168 ч (1 - пінополістирол, 2, 3 - пінополіуретан)

Аналіз рис. 2 показує, що максимальні обурення температурного поля в утепленому брусі спостерігаються в зонах контакту утеплювача з деревиною. У центрі бруса при х = 0,1 м розташовується перетин з максимальним значенням трансмісійної теплоти, до якого теплота від осі бруса відводиться на його периферію, а після якого, навпаки, підводиться до осі бруса з периферії. Абсолютні значення перепадів температур ДГ (х) = Р (х, Ук) - ^ х, Ук / 2) на периферії і осі бруса з ростом теплопровідності утеплювача зменшуються. Теплофізичні характеристики пінополістиролу-

стиролу: Я2 = 0,06 Вт / (м-К), р2 = 150 кг / м3,

с2 = 1340 Дж / (кг-К); Я2 = 0,04 Вт / (м-К). Для однорідного бруса зважаючи одномірності температурного поля перепад температури дорівнює нулю (крива 4).

Поведінка температур по радіусах характерних напрямків (рис. 3) в поперечному перерізі утепленого колоди показує, що максимальне обурення температурного поля, як і в утепленому брусі, відбувається на кордоні утеплювача з деревиною. Найбільший абсолютний перепад температур в однорідному і утепленому колодах досягається на кордоні деревини з утеплювачем при (р = п / 2 і ф = 3 / 2Пі становить 5,3 і 6,0 ° С відповідно. Різниця в температурах на симетричних відносно горизонтальної осі радіусах незначно.

Рис 3. Розподіл температури по радіусах в поперечних перетинах однорідного (суцільні) і утепленого (штрихові криві) колод при ifin = 168 ч для різних р: 1) 0; 2) р; 3) п / 2; 4) 3 / 2п; 5) (2п -р) ps = 0,451 радий

Змінність теплового навантаження на поверхні колоди призводить до істотної зміни температури по обводу неоднорідного колоди і, як наслідок цього, до значного перетікання теплоти в окружному напрямку (рис. 4).

0 1 2 3 4 5 6 Ф, радий

Мал. 4. Розподіл щільності теплового потоку по обводу утепленого колоди при тп = 168 ч для різних г: 1) 1 / 5г, 2) 2 / 5г ,,, 3) 3 / 5г, 4) 4 / 5г, 5) г, м

Залежність щільності теплового потоку по обводу на поверхні утепленого колоди ДДТ ^ ф) носить яскраво виражений немонотонний характер (крива 5) і досягає максимального значення,

рівного приблизно 8 Вт / м2. У міру віддалення від теплообмінної поверхні абсолютні значення мінімумів і максимумів на температурних кривих, що відповідають кутам п / 2 і 3/2 п, зменшуються, а температурні криві? (Г, ф) спрямляются, що призводить до зменшення перетікання теплоти в окружному напрямку (криві 1-4). При розрахунку щільності теплового потоку д ^ ф) використовувалися періодичні кубічні сплайни.

Цікавим є порівняння теплозахисної ефективності утеплених бруса і колоди (рис. 5).

{Е., Вт

Мал. 5. Теплові потоки через утеплені колоду (суцільні криві 1-3) і брус (штрихова крива 2) для різних значень відносини радіусів утеплювача і колоди (1 - пінополістирол, 2,3 - пінополіуретан)

Штрихова крива 2 відповідає утепленому брусу, площі поперечних перерізів деревини і утеплювача якого рівновеликі відповідним площам утепленого колоди (суцільна крива 2). Аналіз малюнка показує, що теплозащитная ефективність утепленого бруса приблизно на 15 ... 20% вище, ніж для утепленого колоди. а Вт

0 20 40 60 80 100 120 140 160 т, ч

Мал. 6. Теплові втрати через 1) внутрішню і 2) зовнішню поверхні утеплених колоди (суцільні) і бруса (штрихові криві)

Мал. 6 показує характер залежності теплових втрат через внутрішню і зовнішню поверхні утеплених бруса і колоди від часу для базових варіантів розрахунків. При зниженні температури зовнішнього повітря з 20 до -40 ° С теплові

втрати через зовнішні поверхні бруса і колоди (криві 2) спочатку різко зростають, досягаючи при т »1 ч максимальних значень, а потім зменшуються, прагнучи до своїх стаціонарним значенням. Теплові втрати через внутрішні поверхні бруса і колоди (криві 1) з самого початку постійно повільно ростуть, також асимптотично прагнучи до своїх стаціонарним значенням тільки знизу. Після виходу процесу теплопереносу на стаціонарний режим теплові втрати через внутрішню і зовнішню поверхні кожного з фрагментів зрівнюються, що служить одним з підтверджень достовірності розрахунків. При цьому теплові втрати через утеплений брус нижче, ніж через утеплене колоду: 6,3 Вт і 7,8 Вт відповідно.

Таким чином, на підставі математичного моделювання процесів нестаціонарного тепло-перенесення в неоднорідних брусі і колоді виявлені

закономірності розподілу температур і щільності теплових потоків в їх поперечних перетинах; проведено порівняльний аналіз теплозахисної ефективності. Показано, що зниження теплопровідності утеплювача і використання дерев'яних фрагментів в формі утепленого бруса замість утепленого колоди призводить до підвищення теплозахисної ефективності дерев'яних зовнішніх огороджень. Розроблена чисельна технологія дозволяє проводити теплову експрес-діагностику зовнішніх утеплених дерев'яних стін з різними теплофізичними і геометричними характеристиками деревини і утеплювача в реальних умовах експлуатації.

Робота виконана за програмою Федерального агентства з освіти "Розвиток наукового потенціалу вищої школи" (Підпрограма 2. Прикладні дослідження і розробки за пріоритетними напрямами науки і техніки), код проекту 7756.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. СНиП 11-3-79 *. Будівельна теплотехніка / Держбуд Росії. - М .: ГУП ЦПП, 2000. - 29 с.

2. Пат. 38793 Росія. МПК E04C 3/292. Дерев'яний брус / О.М. Хуторний, С.В. Хон, А.Г. Козирєв, А.В. Колесникова, О.І. Недавній, А.Я. Кузин, Н.А. Цвєтков. Пріоритет 22.03.2004. З нами 10.07.2004. Бюл. № 19. - 2 с .: 1 мул.

3. Яненко М.М. Метод дрібних кроків вирішення багатовимірних задач математичної фізики. - Новосибірськ: Наука, 1967. -195 с.

4. Гришин А.М., Берцун В.Н. Ітераційно-інтерполяційний метод і теорія сплайнів // Доповіді АН СРСР. - 1974. - Т 214. - № 4. - С. 751-754.

5. Гришин А.М., Зінченко В.І., Єфімов К.М., Суботін А.Н., Якимів А.С. Ітераційно-інтерполяційний метод і його застосування. - Томськ: Вид-во Томськ. ун-ту, 2004. - 318 с.

6. Гришин А.М., Кузін А.Я., Миков В.Л., Синіцин С.П., Трутніков В.Н. Рішення деяких обернених задач механіки реагуючих середовищ. - Томськ: Вид-во Томськ. ун-ту, 1987. - 247 с.

7. Корн Г., Корн Т. Довідник з математики для науковців та інженерів. - М .: Наука, 1973. - 831 с.

8. Самарський А.А., Миколаїв Е.С. Методи рішення сіткових рівнянь. - М .: Наука, 1978. - 592 с.

9. Богословський В.Н. Будівельна теплофізика. - М .: Вища школа, 1970. - 376 с.

УДК 621.923

Дослідження напруженого стану У шестикутні пластинки, ослаблення центральної КРУГЛИМ ОТВОРОМ з шорсткою

Р.К. Калб

Азербайджанський архітектурно-будівельний університет, м Баку E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

Робота присвячена вивченню напруженого стану шестикутної пластинки, обмеженої зовні шестикутним контуром, а зсередини центрально розташованим отвором, близьким до кругового. На основі методів теорії функції комплексного змінного і конформного відображення розглянуто напружений стан для неодносвязних областей. Шукані функції шукаються у вигляді статечних рядів, коефіцієнти яких визначаються рішенням сукупності деяких нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Працездатність деталей машин і елементів конструкцій у вигляді пластин залежить від наявності в них концентратів напруг типу порожнин, щілин, шорсткостей і т.д. Тому вивчення розподілу напружень і деформацій близько таких дефектів представляє теоретичний і практичний інтерес.

Як відомо, на відміну від ідеальної, зображуваної на кресленнях, реальна поверхня тел (деталей) ніколи не буває абсолютно гладкою, а завжди має мікро- або макроскопічні нерівності, що утворюють шорсткість. Якість обробки поверхні деталей машинобудуванні суттєво впливає на їх міцність. Так наприклад,

Завантажити оригінал статті:

Завантажити