Проведено обгрунтування побудови розрахункової схеми насосної функції серця, складена система диференціальних рівнянь на основі даних фізіології, отримані графіки зміни тиску в передсердях, шлуночках, графіки витрати крові.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Лебеденко Ігор Сергійович, Новосьолова Олена Сергіївна


MATHEMATICAL MODELING PUMP FUNCTION OF HEART

Calculation scheme of pump heart function presents. This scheme used for differential equation system composing, for calculation and physiology parameters based selection of equation coefficients. Solution of equation system allows to plot time diagrams heart volumes pressure, time diagrams of input and output heart volumes flows.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2009


    Журнал: Известия Південного федерального університету. Технічні науки


    Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання насосної функції серця'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання насосної функції серця»

    ?E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    305004, г. Курск, вул. Челюскінців, 19, тел .: (4712) 587098.

    Кафедра біомедичної інженерії, професор, д.т.н..

    Filist Sergey Alexseevich

    SEI HVT «Kursk state technical university».

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    19, street of Chelyuskintsev, Kursk, 305004, Russia, Phone (4712) 587098. Department of Biomedical Engineering, professor, Dr. Sci. Tech.

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ насосна функція

    СЕРЦЯ

    Проведено обгрунтування побудови розрахункової схеми насосної функції серця, складена система диференціальних рівнянь на основі даних фізіології, отримані графіки зміни тиску в передсердях, шлуночках, графіки витрати крові. Математична модель; насосна функція серця.

    MATHEMATICAL MODELING PUMP FUNCTION OF HEART

    Calculation scheme ofpump heart function presents. This scheme used for differential equation system composing, for calculation and physiology parameters based selection of equation coefficients. Solution of equation system allows to plot time diagrams heart volumes pressure, time diagrams of input and output heart volumes flows.

    Mathematical Model; Pump Function of Heart.

    З технічної точки зору серце може бути представлено у вигляді чотирьохкамерного насоса. У цьому насосному агрегаті передсердя виконують функцію насосів низького тиску (підкачки), а шлуночки виконують функції насосів високого тиску. Ці насоси управляються системою авторегуляции. З точки зору технічної аналогії пружність судин можна моделювати пружними камерами змінного об'єму, т. Е. Циліндрами з пружними поршнями [1].

    Відповідно до вищевикладеного була отримана розрахункова схема механіко-гідравлічної системи серця і розраховано коефіцієнти моделі [2].

    При моделюванні був прийнятий ряд припущень: жорсткість серцевого м'яза вважається постійною під час систоли; площі відкриття клапанів постійні під час систоли (клапани відкриваються і закриваються миттєво); маса рідини, яка переміщується при відкритті клапана, незмінна; в'язкість крові постійна; клапани вважаються безінерційні, а їх діаметр - постійним.

    Виходячи з відомих рівнянь динаміки [3], складена система рівнянь, що описує насосну функцію серця.

    правий шлуночок

    Рівняння руху верхнього поршня, що моделює вплив з боку електричної системи регуляції, має вигляд:

    УДК 612.171: 536.8

    І.С. Лебеденко, Е.С. Новосьолова

    I.S. Lebedenko, E.S. Novoselova

    Рівняння руху поршня, що описує жорсткість судин:

    d2x2 (t), мхм), ". . "

    m2 ---------------------------- + h-- + ^ • x2 (t) = рт (t) • S2. (2)

    dt dt

    Відповідно до закону збереження маси можна записати:

    Е а-Е а = i + Bf • <3>

    де Еа-Їй - об'ємна витрата.

    Оскільки кров розглядається як нестисливої ​​рідина, то рівняння, що описує зміну обсягу камер серця, набуде вигляду:

    ^ = Е а, -е й2. (4)

    м

    З іншого боку, рівняння витрати рідини можна записати в такий спосіб:

    О = РБІ,

    де р - щільність рідини, S - площа перетину отвору, і - швидкість течії рідини.

    Швидкість і можна виразити через різницю тисків:

    і = ^ 2 (р ~ р2), тоді О = ^ 2р (р -Р2). (5)

    Таким чином, кров перекачується з області високого тиску в область більш низького тиску. Кров по всій системі кровообігу тече лише в одному напрямку, чому сприяє наявність клапанів у серце, що перешкоджають зворотному току крові.

    Для розроблюваної моделі рівняння витрати рідини набуде вигляду:

    О = 1пМ2, / 2р (р -Р2). (6)

    Рівняння витрати крові через мітральний клапан між правим передсердям і правим шлуночком:

    якщо РПП > РПЖ, то О, = 4ПМ ^ 2р (РШ () - РПЖ ()); (7)

    якщо РПП < РПЖ, то О1 = 0. (8)

    Рівняння витрати крові через клапан легеневої артерії:

    якщо РПЖ > РЛА, то О2 = -4 ПМ2 ^ л / 2р (р: F (? Т-р: а (t)); (9)

    якщо РПЖ < РЛА, то О2 = °. (10)

    Рівняння Пуазейля для витрати крові через капіляри малого кола кро-

    вообращенія:

    РЛА > З то О3 = РДА (?) - Рдв (?) ^ (11)

    X,

    якщо р >РЛВ, то

    | '3

    * 1

    якщо РЛА < РЛВ, то Оз = 0. (12)

    Відповідно до закону збереження енергії, вся корисна робота серця переходить в енергію крові. Тому повну роботу серця за систолу можна розрахувати як суму потенційної і кінетичної енергії крові. У спокої "кінетична" частина роботи серця складає лише 2-5% від повної роботи серця, тому при

    МРаЮ = РлаУ) • К • (I () - Оз (,)) + Х2 • * М

    S2 (Х02 - х2 (ф

    розрахунках нею можна знехтувати. Тоді рівняння, що описують зміни тисків в правому шлуночку і легеневій артерії, візьмуть вигляд:

    - рівняння тиску в правому шлуночку:

    м! М1 = Р-<»• К • {1 (о1 (0 -о, (<)) + Х, • (13)

    М Б, (Х01 - х, ^)) \ р М)

    - додаткове рівняння тиску в легеневій артерії матиме вигляд:

    {1 Л (л \

    . ... . <14)

    ^ Л02 |п'2 ^> \ Р М /

    Вплив електричної системи авторегуляції перетворюється в механічне. Сила управління задається наступним чином:

    Г До при 0,2 с < t < 0,5 с;

    К () = [, (, 5)

    [0 при 0 < t < 0,2 с і 0,5 с < t < 0,8с.

    ліве передсердя

    Рівняння руху поршня, що описує жорсткість судин:

    М2 х3 і) 1 мхм), .. л .. 0

    Т3 • Л + h • - + к3 • Х3 (0 = РЛВ (t) • Б3. (, 6)

    М М

    Рівняння руху верхнього поршня, що моделює вплив з боку електричної системи регуляції, має вигляд:

    Т4 • М Х, 4 (1) + Л • ММГ) + до 4 | ^) =) - РЛП (t) • Б 4. (П)

    dt dt

    Рівняння витрати крові через клапан між легеневої веною і лівим передсердям:

    якщо РЛВ > РЛП, то О4 =; (, 8)

    якщо Р < Р, то О, = 0. (! 9)

    лв лп '4

    Рівняння витрати крові через клапан між лівим передсердям і лівим шлуночком:

    якщо РЛП > РЛЖ, то о5 = -4пМ 4 ^ л / 2р (р: (7) -р: F (?)); (20)

    якщо РЛП < РЛЖ, то ПРО5 = °. (2,)

    Додаткове рівняння тиску в легеневій вені:

    МР ^ = Р ») • До \ ^ - ((О - О, (,)) + х3 • * 3« 1 (22)

    dt Б3 (х03 - х3 ^)) \ р dt)

    Рівняння тиску в лівому передсерді:

    ^ ЛШ ^ _Р; п (^) ^ До ----------- {1 () - ПРО5 (0) + Б4 • МХ1 (^. (23)

    dt Б 4 (х04 - x4 (t)) \ р 4Ч '^ 4 dt J

    Вплив електричної системи авторегуляції перетворюється в механічне. Сила управління задається наступним чином:

    К (t) = {К2 при 0,, з <t < 0,2 с; (24)

    2 [0 при 0 < t < 0Дс і 0,2 с < t < 0,8с.

    Розділ I. Фундаментальні основи медичного приладобудування Лівий шлуночок

    Рівняння руху верхнього поршня, що моделює вплив з боку електричної системи регуляції, має вигляд:

    т5 • с! х (1) + до МХ ^ + К5 ^ ^ _ РЛЖ (ф Х5. (25)

    dt dt

    Рівняння руху поршня, що описує жорсткість судин:

    Л2x6 (t), аХ6 (/), .. п .. 0 ,,, ч

    тб ------ ~ Т2-- + ^ + к6 •• ^ (У) = Ра (t) • Б6. (26)

    м му

    Рівняння витрати крові через клапан між лівим шлуночком і аортою:

    якщо РЛЖ > Ра, ™ О, = Пі2р (Р.ж () Р. ()); (27)

    якщо РЛЖ < Ра, то ПРО6 = 0. (28)

    Рівняння Пуазейля для витрати крові через капіляри великого кола кровообігу:

    якщо Р > Р, то про = Ра (У) - РПВ (У);

    а пв V. / ч

    7 ^ 2

    якщо Р < Р, то про = 0.

    а пв '^ 7 і

    Рівняння тиску в лівому шлуночку:

    сад = Р "<0-К • Гi () - о. (,

    Му х, (х05 - х, (у)) \ / 6 '

    Додаткове рівняння тиску в аорті:

    сад = Р ^ К • {I () - о, про

    Л - Х.М) \ р "

    Вплив електричної системи авторегуляції перетворюється в механічне. Сила управління задається наступним чином:

    / Ч ГК3 при 0,2 с < У < 0,5 с; ,,, ч

    К (У) = [3 (33)

    [0 при 0 < У < 0,2 с і 0,5 с < У < 0,8с.

    праве передсердя

    Рівняння руху поршня, що описує жорсткість судин:

    Т7 • М Х'2) + Ь ^ МХМ ^ -) + К7 • Х7 (У) = РПВ (^ Б7. (34)

    Рівняння руху верхнього поршня, що моделює вплив з

    боку електричної системи регуляції, має вигляд:

    з 2 х8 (у) + к'Мьа)

    ЛУ2 ЛУ

    Рівняння витрати крові через клапан між порожнистої веною і правим передсердям:

    2

    (29)

    (30)

    СХ5 (у) ''. (3,)

    му у

    Мх6 (У) | . (32)

    М у

    т8 --------? Г ~ + Ь ---------- V "+ К8 ^ х8 (У) = К4 (0 - Рпк (0 • Б8. (35)

    якщо РПВ > РПП, то О8 = 4пС6 ^ 2р (Рпе (У) - РПП (У)); (36)

    якщо РПВ < РПП, то О8 = °. (37)

    Додаткове рівняння тиску в порожнистої вени: dP (t) P (t) • K З

    пв ^ _ пв ^

    dt S7 (x07 - x7 (t))

    Рівняння тиску в правому передсерді: dP (t) P (t) • K

    ПП '' _ ПП '/

    - (G7 (t) - G8 (t)) + S7 •

    p dt

    (

    ~ ((T) - G, (t)) + Sg • ^

    p dt

    \

    (38)

    (39)

    & * 8 (х08 - х8 (?))

    Вплив електричної системи авторегуляції перетворюється в механічне. Сила управління задається наступним чином:

    [? 4 при 0,1 с < г < 0,2 с; (40)

    F4 (t) = f 4

    [Б при 0 < t < 0,1 с і 0,2 с < t < 0,8с.

    За розробленої моделі (1) - (2), (7) - (40) в середовищі Maple був реалізований алгоритм вирішення даної системи рівнянь. Результати моделювання наведені на рис. ,.

    Мал. 1. Результати моделювання по розробленої моделі

    Порівняння результатів моделювання з експериментальними даними, отриманими з фізіології, показують, що розроблена модель досить достовірно відображає якісний характер насосної діяльності серця.

    БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

    1. Бігун П.І., ШукейлоЮ.А. Біомеханіка: Уч. для вузів. - СПб .: Політехніка, 2000. - 463 с.

    2. Лебеденко І.С., Новосьолова Є.С., Єфімцева Ю.А., Ракитянская А.С. Математична модель насосної функції серця / Біотехносфера. - №3. - Санкт-Петербург, 2009. - С. 24-31.

    3. ПодчуфаровБ.М. Тепломеханіка: Уч. посібник. - Тула: ТДВ, 1983. - 100 с.

    Лебеденко Ігор Сергійович

    Тульський державний університет.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    300600, г. Тула, пр. Леніна, 92, тел .: (4872) 350552.

    Доцент, к.т.н..

    Lebedenko Igor Sergeevich

    Tula State University.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    92, Lenin avenue, Tula, 300600, Russia, Phone: (4872) 350552.

    Assistant professor, Cand. Eng. Sc.

    Новосьолова Олена Сергіївна

    Тульський державний університет.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    300600, г. Тула, пр. Леніна, 92, тел .: (4872) 350552.

    Доцент, к.т.н..

    Novoselova Elena Sergeevna

    Tula State University.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    92, Lenin avenue, Tula, 300600, Russia, Phone: (4872) 350552.

    Assistant professor, Cand. Eng. Sc.

    УДК 621.396.1.001.24, 681.323: 621.391

    І.В. Разін

    Про МОДЕЛЕЙ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ ОПЕРАТОРІВ ДЛЯ

    Підкреслення і ЛОКАЛИЗАЦИИ ПЕРЕПАДІВ ЯСКРАВОСТІ

    ЗОБРАЖЕННЯ

    В роботі наведено методику синтезу диференціальних операторів і локалізації перепаду яскравості зображення.

    Модель перепаду; диференційний оператор; гладка функція; среднеквадратическая частота.

    I.V. Razin

    ABOUT MODELS OF DIFFERENTIATION OPERATORS FOR ACCENTUATING AND LOCALIZATION OF DIFFERECES OF BRIGHTNESS

    OF THE IMAGE

    In the work are given the methods of synthesis of differentiation operators and localization of difference of brightness of the image.

    Model of the brightness image; differentiation operator; continuously differentiable function; standard deviation of the frequency.


    Ключові слова: МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ /НАСОСНА ФУНКЦІЯ СЕРЦЯ /MATHEMATICAL MODEL /PUMP FUNCTION OF HEART

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити