Розроблено методики, алгоритми та програмне забезпечення розрахунку аеродинамічних процесів з використанням усереднених по Рейнольдсу рівнянь Нав'є-Стокса. Для замикання вихідних рівнянь застосовується однопараметрична диференціальна модель турбулентності Спаларта-Аллмараса для реалізації отделяющихся вихорів. Виконано тестування алгоритмів і програм. Наведено результати обчислювального експерименту.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Сохацький А.В.


MATHEMATICAL SIMULATION OF FLOW ABOUT BODIES BY NUMERICAL SOLUTION OF THE NAVIER-STOKES EQUATIONS

Research of aerodynamic processes is the extraordinarily actual task of mathematical modeling. One of the best ways of her decision is realization of computer design with the use of equations of Navier-Stokes. Their analysis shows that considerable progress was attained as a result of application of кінцево-різницевих methods and empiric models of turbulence. However there is yet a number of problems of decision of tasks of aerodynamics with the use of equations of Navier-Stokes. Methods, algorithms and calculation of aerodynamic processes software, are developed with the use Reynold's averaged equations of Navier-Stokes. For shorting of initial equalizations it is applied one self-reactance differential model of turbulence of Spalarta-Allmarasa in realization of the separated whirlwinds. Testing of algorithms and programs is executed. The results of calculable experiment are resulted.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2014


    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету


    Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання набрякання тел шляхом чисельного рішення рівняння Нав'є-Стокса'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання набрякання тел шляхом чисельного рішення рівняння Нав'є-Стокса»

    ?УДК 519.6: 533.6

    А.В. Сохацький

    1нстітут транспортних систем та технологш НАН Укра1ні

    Математичне моделювання ОБТ1КАННЯ Т1Л Шлях числові розв'язування Р1ВНЯНЬ Нав'я-Стокса

    Розроблено методики, алгоритми та програмне забезпечення розрахунку aepoduHOMiumx процеав з использование осереднених за Рейнольдсом рiвнянь Нав'я-Стокса. Для замикання ernidmx рiвнянь застосовано однопараметричних діференщальну модель турбулентностi Спаларта-Аллмараса в реалiзацii вiдокремленіx віxорiв. Виконаю тестування алгорітмiв та програм. Наведено результати обчислювальних експеримент

    Ключовi слова: математичне моделювання аеродінамт, рiвняння Нав 'е-Стокса, чісловi методи.

    A.V. SOKHATSKY

    The Institute of transport systems and technologies of NAS of Ukraine

    MATHEMATICAL SIMULATION OF FLOW ABOUT BODIES BY NUMERICAL SOLUTION OF

    THE NAVIER-STOKES EQUATIONS

    Annotation

    Research of aerodynamic processes is the extraordinarily actual task of mathematical modeling. One of the best ways of her decision is realization of computer design with the use of equations of Navier-Stokes. Their analysis shows that considerable progress was attained as a result of application of кінцево-різницевих methods and empiric models of turbulence. However there is yet a number of problems of decision of tasks of aerodynamics with the use of equations of Navier-Stokes.

    Methods, algorithms and calculation of aerodynamic processes software, are developed with the use Reynold's averaged equations of Navier-Stokes.

    For shorting of initial equalizations it is applied one self-reactance differential model of turbulence of Spalarta-Allmarasa in realization of the separated whirlwinds. Testing of algorithms and programs is executed. The results of calculable experiment are resulted.

    Keywords: mathematical modeling of aerodynamics, equations of Navier-Stokes, numeral methods.

    Вступ. Необхвдшсть розв'язування складних завдань Вимагаю розробки математичних моделей pi3Horo рiвня складносп, як б опісувалі закономiрностi дослщжуваніх явіщ з Потрiбна точшстю. Дінамжа зростання продуктівносп ЕОМ говорити про ті, что необхвдш яшсно TOBi математічш мо ^ яш б дозволяли не просто моделюваті явіще, а виступали б Експертна системою для прийняття ршення. Сучасш математічш мoделi аеродінашкі розподшяють на наступш piвнi [1-3]:

    1. Аналггічш Наближення та лшеарізоваш piвняння.

    2. Нелшшш piвняння без урахування дисипативних члешв.

    3. Нелшшш piвняння з урахуванням дисипативних члешв.

    4. Повш нестацioнаpнi мoделi.

    Використання моделей 1-го piвня, таких як аналгтічш спiввiднoшення, Наближення потеншально! течі, панельш методи, метод дискретних віхopiв дозволило розраховуваті аеpoдінамiчнi характеристики реальних лiтальніх апаpатiв.

    Мoделi 2-го piвня дозволяють розраховуваті розріві газoдінамiчніх величин, но смороду вімагають использование ЕОМ велике! продуктівносп (бiльше 109 флоп) .

    Розв'язування задач з урахуванням турбулентності паpаметpiв, реальних властівостей газiв вімагають использование моделей третього та четвертогого piвнiв. Складнiсть 1х розв'язування, про ^ м нелiнiйнoстi, пов'язуеться ще й з вщсутшстю вiдпoвiдніх моделей турбулентносп [1-9].

    Постановка задачь Неoбхiднiсть розв'язування складних завдань аеродінам ^ Вимагаю розробки комп'ютерних технологш, яш б дозволили моделюваті закoнoмipнoстi дослвджуваніх явіщ з пoтpiбнoю тoчнiстю.

    У завданнях аеродінашкі фiзікo-математічнi мoделi течiй, что базуються на piвняннях Нав'я-стос, можна представіті двома формами [2]:

    - законами Збереження в штегральнш фopмi

    - J qdQ + J Fnds = J HdQ, (1)

    8t Q s Q

    де q - шукай величина в замкнутому oб'емi Q з межами S; - законами Збереження в діференшальнш фopмi

    8q + 8F = H. (2)

    dt 8xt

    Віхвдш системи р1внянь е нелшшнімі. Теор1Я 1х розв'язування Вівче недостатньо. Такоже нев1дом1 теореми юнування та едносл 1х розв'язк1в, что породжуе питання про вщповвдтсть ф1зічніх та математичних моделей. Багатовім1ршсть завдань аеродінашкі, складшсть геометрп додатково затрудняє 1х розв'язування.

    Основною проблемою.Більше моделювання обтжання тш з Використання осереднених по Фавр-Рейнольдсу р1внянь Нав'я-Стокса е, что реальш течі нестацюнарш, а віх1дш р1вняння осереднюються за годиною. Р1вень точносп розв'язуваних завдань Шляхом использование р1внянь Нав'я-стос пов'язують з моделювання турбулентності

    Методика розв'язування. Дослвдження тепломасообмшніх та аеродінашчніх процеав в р1зномаштніх техшчніх прилаштувати е Надзвичайно актуальним завданням. Одним з найкращих шлях1в 11 розв'язування е проведення комп'ютерного моделювання з Використання р1внянь Нав'я-Стокса. Останшм годиною друкуеться все б1льше наукових праць з числовим метод1в розв'язування повну та осереднених р1внянь Нав'я-Стокса. 1х анал1з показуем, что Значний прогрес Було досягнуть в результат! Застосування сшнченно-р1зніцевіх метод1в та емтрічніх моделей турбулентності проти юнуе ще цшій ряд проблем розв'язування задач аеродінам1кі з Використання р1внянь Нав'я-Стокса. У зв'язку з ЦІМ необхщно Проводити поиск Нових ефективних метод1в, алгорштшв та способ1в розв'язування р1внянь Нав'я-Стокса.

    Зазвічай РОЗРАХУНКОВА область дослвджуваного пристрою е складні, тому небобхвдно використовуват кріволшшну систему координат. Система р1внянь Нав'я-Стокса в форм1 Рейнольдса для довшьно! кріволшшно! системи координат запишеться.

    aQ a (E-Ev) aIF-Fv) a ((G - Gv) "- ​​+ - + ^ -L + --'- = H,

    at

    (3)

    д% дц д?

    де)) - вектор неввдоміх змшніх; Е,] Про - Вектор нев'язкіх потоків;

    =% ХЕУ +% у] У +% 2ОУ > % = ЦхЕУ + Цу] У + ЦхОУ > ОУ = СХЕУ + Су] У + С2ОУ - Вектор в'язки

    потоків; Н = 1 /] Н - вектор Джерельна члешв.

    Вектори)), Е,], (О, ЄУ, ЄУ, ОУ, Н визначаються Наступний сшвввдношеннямі

    Q = 7

    р 'pU' 'pV' 'pW'

    pu, в = 1 J PUu + \ xp, F = 1 J PuV + 4xf, (G = 1 J PuW + C xp

    Pv PUv + \ yp pvV + Л yf pvW + C yp

    pw PUw + ^ zp PwV + ^ zp pwW + C zp

    Et. E + pU- ^ tp_ (Et + p) v - 4tp_ (Et + p) W - Ctp_

    (4)

    Ev =

    UIxx + VIxy + WI xz - qx

    * = 1

    I yy

    lyz

    uixyy + VI yy + - qy

    G = 7

    lyZ

    UI xг + VI y, + WI zz - qг

    (5)

    Де? x,? y,? г,,%, Лг, C x, Cy, C г - стріту коефЩенті J = Ц, Q / a (xy, г,) - якобiан превращение координат, ixx, iyy, 1гг, ixy, ixz, iуг - компоненти тензора напруженного та qx, qy, qг -

    компоненти вектора теплових потоків. Et = р

    e +1 (u2 + v2 + w2)

    В системi рiвнянь (3) n-компонентнi Вектори Q, Ej, F, G ^, Ev, Fv, Gv ма ють ввдповщній вигляд в залежностi вiд моделi турбулентностi.

    Для розв'язування вихiдних рiвнянь (3) застосовано метод ск1нченого об'ему. Турбулентнi ЕФЕКТ опісуються в рамках ппотезі Буссiнеска про уявлення дотичність напруженного з Використання напiвемпiрічноi моделi для турбулентному! в'язкостi.

    0

    0

    0

    I

    I

    xx

    xz

    1

    I

    I

    xz

    рр

    Замикання системи piBHAHb (3) Виконаю з Використання однопараметрічно1 діференцiальноi моделi турбулентностi Спаларта- Аллмараса в реалiзацii вiдокремлення віхорiв (DES) [9, 10].

    Числовий метод. Для розв'язування системи рiвнянь (3) Використано методу контрольного об'ему. Основнi засади методу контрольного об'ему (МКО) полягають в тому, что розглядаються класічнi рiвняння балансу дея ^ 'Величини Q в контрольному об'eмi V, обмеження поверхні

    S = ^ Sfc з зовнiшнього нормаллю П (рис.1). 1нтегруючі рiвняння (1) по контрольному об'ему

    отрімаемо:

    Л /

    AV

    3Q | o (E- Еу) | c (f- _ F) | d (o- Gv) _ H ot o ^ oC

    dV = 0. (6)

    Мал. 1. Контрольний об'ем

    Застосовуючі до рiвняння (6) теорему про середньо занчение функцп i теорему Остроградського-Гаусса, одержимо:

    ^ Е * Уу + ПН, (7)

    де ^ - поверхня вокруг контрольного об'ему А V; П - вектор зовшшньо! нормалi до поверхнi 5 .

    Верхнш знак [~] означае середньо значення Шукало! функціонально за об'ємі:

    ~ = ^ № fdV. (8)

    А АV

    Для проведення числового розв'язування рiвіянь Нав'я-Стокса віконаемо! Х лiнеарізацiю.

    Для розрахунку вектора конвективного потоку в рiвняннi (3) застосовуеться метод розщеплення Ван-ЛРА [11]. Для здобуття неявного алгоритму система нелшшніх віхвдніх рiвіянь лшеарізуеться с помощью розняття векторiв потоків в ряд Тейлора.

    Результати розрахуншв. Розроблення комплекс програмного забезпечення, что основуеться на осереднених за Рейнольдсом Нав'я-Стокса, замкненому моделлю турбулентностi Спаларта-Аллмараса в реалiзацil ввдокремленіх віхорiв, які протестували на задачi поперечного обтiканія кругового цілшдру. Застосовано багатоблочній шдхвд -розрахункова область булу Розбита на три блоки. Результати розрахуншв (рис.2) порiвнюються з експериментального данімі [12].

    На рис.6 показано течш за цілiндром, одержаний Розрахунковим Шляхом та в експеріменп [13, 14]. Пiсля Досягнення усталеного режиму за цілiндром розвіваеться віхорова дор1жка. На рис. 3-5 представлено результати розрахунку та фотографп поля течі з експеримент [13, 14]. Видно, что на приведення матерiалi спостерiгаеться подiбнiсть полiв течі. Це говорити про ввдповщшсть математично! моделi фiзичним процесам, что моделюються.

    Рис.2. Розпод1л коефщемта тиску на поверхт ці.індра для Re = 14000: _- розрахумок Re = 14000; Про - експерімемт Re = 14500 [12]

    а) б)

    Ріc.3.Тeчiя iiaiiKo.io цілlндpа 3i cхoдoм віхopoвoi lopivKKii: а -poзpахунoк (iзoлiнii V), ne = 10000; б - eкcпepімeнт [13]

    Риc. 4. Змша пiдйoмнoi кнопку Cабо за 4acoM для Де = 10000

    б)

    Риc. 5. Вімфіва дopiжка в cлiдi кoлoвoгo цілiндpу: а -po3paxy! OK (блoк 3) ne = 19300; б - eкcпepімeнт ne = 19300 [13,14]

    Висновки. Представлено багатоблочній шдхвд для моделювання обтшання тiл з Використання piBHaHb Нав'я-Стокса. Розроблено методики, алгоритми та програмне забезпечення моделювання аеродінамiчніх процесiв з использование осереднених за Рейнольдсом рiвнянь Нав'я-Стокса. Виконаю тестування алгорітмiв та програм. В подалі дослiдження необхiдно удосконалюваті методики, алгоритми та програмний комплекс з урахування особливо фiзичних процесiв та властівостей середовища.

    лiтература

    1. Anderson J.D. Computational fluid dynamics / J.D. Anderson- McGraw-Hill series in mechanical engineering, U.S.A., 1993 - 540p.

    2. Ковеня В.М. Деякі тенденції математичного моделювання / В.М. Ковеня // Обчислювальні технологи. - 2002. - №2, т. 2. - С. 59-73.

    3. Яненко М.М. Проблеми математичної технології / М.М. Яненко, В.І. Карначук, А.Н. Коновалов // Числ. методи механіки суцільно. середовища. - Новосибірськ. - 1977. - № 3. -С. 129-157.

    4. Волков К.Н. Розробка і реалізація алгоритмів чисельного рішення задач механіки рідини і газу / К.М. Волков // Обчислювальні методи і програмування. - 2007. - Т.8. - C.40-56.

    5. Приходько А.А. Комп'ютерні технології в аерогідродинаміці і тепломассобмене. - Київ: Наукова думка, 2003. - 380с.

    6. Приходько А.А. Математичне і експериментальне моделювання аеродинаміки елементів транспортних систем поблизу екрану / А.А. Приходько, А. В. Сохацький. - Дніпропетровськ: Наука і освіта, 1998. - 160 с.

    7. Кощєєв А.Б. Сучасний стан та перспективи розвитку аеродинаміки /А.Б. Кощєєв // Аерокосмічне огляд. - №5. - 2008. - С.54-57.

    8. Мінайлос А.Н. Дефект точності диференціальних рівнянь в чисельному рішенні / О.М. Мінайлос // Праці міжнародної конференції DRAMM-2001. - 2001. - Т.6, Ч. 2. -C. 294-301.

    9. Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamic flows // La Recherche Aerospatiale. - 1994. - N1. - P.5-21.

    10. Стрілець М.Х. Метод моделювання відокремлених вихорів для розрахунку відривних турбулентних течій: передумови, основна ідея та приклади застосування / М.Х. Стрілець, А.К. Травін, М.Л. Шур, Ф.Р. Спаларт // Науково технічні відомості. - 2004. - №2. - 26с.

    11. Van Leer B. Flux-vector splitting for the Euler equations / B. Van Leer // Lecture Notes in Phys. - 1982. - V. 170. - P. 507-512.

    12. Roshko A. On the drag and shedding frequency of two-dimensional bluff bodies / A. Roshko // NACA Tech. Note. - 1954. - №3169. - 29 p.

    13. Бетчелор Дж. Введення в динаміку рідини / Дж. Бетчелор - М .: Світ, 1973. - 778 с.

    14. Ван-Дайк М. Альбом течій рідини і газу / М. Ван-Дайк - М .: Світ, 1986. -184 с.


    Ключові слова: МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ аеродинаміки /Рівняння Нав'є-Стокса /ЧИСЛОВІ МЕТОДИ /MATHEMATICAL MODELING OF AERODYNAMICS /EQUATIONS OF NAVIER-STOKES /NUMERAL METHODS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити