Розглянуто математичні моделі лінійних неоднорідних систем на базі сингулярних інтегральних рівнянь в залежності від розташування неоднорідностей. На основі сингулярних інтегральних рівнянь з некарлемановскім зрушенням запропоновані динамічні моделі фізичних процесів, що формуються в неоднорідних середовищах.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Усов А.В.


MATHEMATICAL DESIGN of LINEAR HETEROGENEOUS SYSTEMS METHODS of SINGULAR INTEGRAL EQUALIZATIONS

The mathematical models of the linear heterogeneous systems are considered on the base of singular integral equalizations depending on the location of heterogeneous. On the basis of singular integral equalizations with a некарлемановскім change the dynamic models of the physical processes formed in heterogeneousen vironmentsare offered.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва діє до: 2017
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕОДНОРІДНИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ сингулярних інтегральних рівнянь'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕОДНОРІДНИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ сингулярних інтегральних рівнянь»

    ?УДК 519.711-519.6

    А.В. Усов

    Одеський національний політехнічний університет

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЛІНІЙНИХ НЕОДНОРІДНИХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ сингулярних інтегральних рівнянь

    Розглянуто математичні моделі лінійних неоднорідних систем на базі сингулярних інтегральних рівнянь в залежності від розташування неоднорідностей. На основі сингулярних інтегральних рівнянь з некарлемановскім зрушенням запропоновані динамічні моделі фізичних процесів, що формуються в неоднорідних середовищах.

    Ключові слова: математична модель, лінійні системи, сингулярні інтегральні рівняння, некарлемановскій зрушення, імпульсна характеристика, дефекти.

    А.В. Усов

    Одеський нацюнальній полггехшчній ушверсітет

    Математичне моделювання Л1Н1ЙНІХ НЕОДНОР1ДНІХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ сингулярного 1НТЕГРАЛЬНІХ Р1ВНЯНЬ

    Розглянутi математічт модел1 лттніх неоднорідності систем на баз1 сингулярних ттегральніх ргвнянь в залежностi вiд Розташування неоднорiдностей. На основi сингулярних ттегральніх рiвнянь з некарлемановськім Зсув рекомендований дінамiчнi моделi фiзичних явіщ, что формуються у неоднорiдніх середовище.

    Ключовi слова: математична модель, лiнiйнi системи, сінгулярнi ттегральш рiвняння, некарлематвській зсув, iмпульсна характеристика, дефекти.

    A.V. USOV

    Odessa National Politechnikal Universiti

    MATHEMATICAL DESIGN of LINEAR HETEROGENEOUS SYSTEMS METHODS of SINGULAR

    INTEGRAL EQUALIZATIONS

    The mathematical models of the linear heterogeneous systems are considered on the base of singular integral equalizations depending on the location of heterogeneous. On the basis of singular integral equalizations with a некарлемановскім change the dynamic models of the physical processes formed in heterogeneousen vironmentsare offered.

    Keywords: mathematical model, linear systems, singular integral equalizations, nekarleman change, impulsive description, defects.

    Найбільш ефективними з загального арсеналу методів дослідження фізичних процесів, що протікають в середовищах неоднорідної структури і електромагнітних сигналів в середовищах зі змінними характеристиками, а також формування мікротріщин в конструкційних матеріалах, що мають різного роду неоднорідності спадкового походження, до теперішнього часу є методи із застосуванням інтегралів Коші, крайових задач теорії аналітичних функцій, а також методу сингулярних інтегральних рівнянь [1 - 3]

    Постановка проблеми

    Розглянемо деякі положення, необхідні для моделювання систем в неоднорідному

    просторі. Розглянемо контур L = L1 і L2 і L3 і ... і Ln, що складається з кінцевого числа попарно

    непересічних гладких кривих в комплексній площині С. Припустимо, що криві, складові контур L, не містять точок самопересеченія і можуть бути замкнутими або розімкнутими.

    Позитивним напрямком обходу по кривій Li (1 < i < n),, якщо вона замкнута, вважаємо то

    напрям, який залишає внутрішню область, обмежену цієї кривої, зліва. У разі розімкнутого контуру позитивним приймаємо той напрямок обходу, за яким зростає довжина дуги від прийнятого за початок її кінця. Хоча при цьому втрачають сенс поняття «внутрішня» і «зовнішня»

    області, напрямок обходу розімкнутого контуру Lk (1 < k < n) S, має бути таким, що після

    доповнення його деякої кривої до замкнутого контуру внутрішня частина вийшла області весь час знаходиться зліва. Внутрішню і зовнішню області, розділені системою замкнутих контурів,

    що входять в контур Ь, позначимо відповідно $ і $, при цьому вважаємо, що зовнішня область $ містить нескінченно віддалену точку комплексної площині С. Нехай функція / (V) е Н? (Ь), де

    Ні (Ь) - безліч безперервних по Гельдерен на контурі функцій, т. Е. Б відповідала умовам [5]

    / (Г2) - / (гх) |< А; \ г2 - гх \ м; А > 0; 0 </< 1. (1)

    Константа А тут називається постійною Гельдера, а? І - показником Гельдера. При цьому, в точках г е Ь комплексної площині С існує в сенсі головного значення інтеграл типу Коші

    '(Г) = ^ Г / (1) *

    2Ж Ь т - 2

    г й Ь

    (2)

    причому в точках г е Ь цей інтеграл існує в звичайному сенсі, а на контурі Ь справедливо уявлення

    1 Г / (т) ^

    2т |

    т-V

    т г м-т т + 2 /

    777 •> - ^ ^

    т-V

    (3)

    Ь Ь

    в якому інтеграл правої частини абсолютно сходиться. Властивості інтеграла типу Коші використовуються безпосередньо при вирішенні двовимірних задач теорії пружності, а також при його обчисленні. Знайдемо, наприклад, граничні значення сингулярного інтеграла

    ф (г) =

    1 ((V) Ж

    2т Г V - г '

    4)

    де (() належить класу функцій Гельдера Н і.

    Спільне застосування основних положень плоскої задачі теорії пружності, а також теорії функцій комплексного змінного або ж методу сингулярних інтегральних рівнянь, дозволяє провести одночасну оцінку напружено-деформованого стану біля дефекту типу тріщини або жорсткого включення. Особливе значення при цьому має асимптотика розподілів тензора напружень і вектора переміщень, викликаних внесенням зазначених дефектів в пружне тіло. У асимптотичному наближенні об'єднані тензор напружень і вектор переміщень біля вершин прямолінійного жорсткого включення або тріщини представляються наступним чином [6]:

    т

    V Ху У

    До + т

    4 ^ / 2

    жгр *

    д

    4о (і V до! А ЇЇ

    VVУ р * \ 2ж

    3 2 * \ Р 5К

    (3 - 2р *) С0Б - 008 -

    v '2 + 2

    (5 + 2р *) с0Б Рр + С085рР

    (1 + 2р *) п Р + БШ -. 2 + 2

    [2 (х + р *) + 1] С0БРР - С0Б3рР

    [2 (х - р *) 1! бш Р - бш-Р [ '- 2 + 2 У

    кг

    4 ^ / 2

    жгр *

    - (3 - 2р *) бш Р + бш

    До р *

    5К 2

    (2р * -5) п РР -

    (1 - 2 р *) С0БР + С0Б - у і '2 + 2

    [2 (х + р *) +1] бш РР + ^ п-р

    Р ^, 3Р

    -0 (г0);

    -[2 (х - р *) - 1-С0Б-2 - С0 ^ 2

    -0 (Г3 / 2).

    (5)

    компоненти вектора пружних

    тут (<ту ,<х, ту) - компоненти тензора напружень; (І, V) |

    переміщень; К *, К ^ - коефіцієнти інтенсивності напружень (коефіцієнти при сингулярной частини напруг); знаки «+» і «-» відповідають правої і лівої вершин лінійного трещіноподоб-ного дефекту. При р * = - 1 з наведених формул слід відоме асимптотическое розподіл

    біля тріщини, а при р * = х, де х = 3-4 / для плоскої деформації і х = (3 -? і) / (1 -? і) для плоского

    напруженого стану, отримуємо відповідну асимптотику в разі жорсткого включення [6].

    Напруження у вершин тріщиноподібні дефекту мають кореневу особливість 1 / л / Т, де г -

    відстань від кінця тріщини або включення. При цьому коефіцієнти К1 і К11 характеризують локальне

    підвищення рівня напружень у вершин тріщиноподібні дефекту, не будучи при цьому залежними величинами від координат цього дефекту. Хоча розмірність коефіцієнтів інтенсивності напружень, на

    перший погляд, здається незвичайною (МПа / 4м), ці величини можна інтерпретувати як деяку напругу, що діє на відстані ж / 2 від вершини.

    Тріщини і жорсткі включення в пружному тілі є два крайніх випадки в теорії заповнених дефектів. Середнім для цих випадків є випадок збігу пружних характеристик заповнювача з відповідними пружними постійними матеріалу несучої матриці. Розгляд цих двох крайніх випадків важливо хоча б із міркувань встановлення верхньої і нижньої оцінок впливу будь-яких наповнювачів на загальний напружений стан пружного тіла, лівацій, що стосуються теорії жорстких і інших наповнювачів, взаємодіючих з тріщинами.

    Результати моделювання відкривають можливість ефективної оцінки впливу сторонніх наповнювачів на втрату міцності пружного тіла, що містить відмічені недосконалості. У свою чергу точне визначення порядку і характеру сингулярності напружень біля вершин остроугольного недосконалості в пружному матеріалі, представлене в аналітичному вигляді, необхідно в механіці руйнування для формулювання і записи соответствущих критеріальних співвідношень міцності.

    Нехай Г - кусочно-гладка лінія, що складається з кінцевого числа гладких розімкнутих дуг akbk.

    Вузли лінії Г будемо позначати Cj, j = 1, n або просто через с, коли мова йде просто про одне з вузлів лінії.

    Крайова задача Рімана полягає в наступному: потрібно знайти кусочно-голоморфних функцій Ф ^) з линів стрибків Г, що має кінцевий порядок на нескінченності, по граничній умові

    Ф + (t) = 0 (0Ф- (t) + g (t), tеГ, (6)

    Де G (t), g (t) - задані на Г функції класу Н0, які називаються коефіцієнтом з вільним членом крайової задачі. Рівність (6) має виконуватися для всіх звичайних точок лінії Г.

    Розглянемо попередньо відповідну (6) однорідну крайову задачу Рімана з умовою

    Ф + (t) = G (t) Ф (t), t ЕГ. (7)

    Рішення X (z) однорідної завдання (7) називається канонічним рішенням, якщо не тільки X (z), але і 1 / X (z) є кусково-голоморфних функцій.

    Передбачається, що коефіцієнт G (t) належить класу Н0і ніде на Г в нуль не зверталися. Домовимося розуміти під lnG (t) цілком певну для кожної дуги akbk гілка логарифмічною функції. Очевидно, lnG (t) також належить класу Н0.

    Розглянемо інтеграл типу Коші

    . . 1 rln G (T) dт У (z) = -J- •

    / ТТ7 »Т _ Т

    2го 'т - 2

    Тоді поведінку функції ехру (2) поблизу кута с. характеризує формула ехр у (2) = (2 с. ^ ехр у0 (2). Будемо шукати канонічне рішення задачі (7) у вигляді

    Х (г) = ехру (2) 17 (2-Су) - ^ = 11 (2-Суехруо (г), (8)

    У = 1 у = 1

    де xJ - цілі числа. Числа xJ повинні бути обрані так, щоб було забезпечено потрібну поведінку функції Х (2) в околицях вузлів лінії Г, а саме -1 <а. -Ь < 1. Використання математичних

    моделей, які адекватно описують фізичні процеси на кордоні областей, особливості формування сигналів в динамічному середовищі на тлі перехідних процесів, є предметом різноманітних прикладних досліджень. Дистанційне зондування є одним з ефективних методів дослідження природних явищ, яке успішно застосовується при вивченні неоднорідних середовищ, дослідженні їх характеристик, а також при визначенні особливостей їх еволюції.

    Відомо, що реакція довільної лінійної системи зі змінними параметрами на вплив деякого вхідного сигналу) може бути описана за допомогою інтегрального рівняння такого вигляду:

    + ж

    \ К (т, t) 5 (т) й т = g (t). (9)

    - ж

    Таким чином, поведе ня системи повністю визначається видом ядра до (т ^), яке називають імпульсною характеристикою системи.

    Необхідно відзначити, що рішення рівняння (9) щодо невідомої функції) являє собою досить складну задачу, а відновлення імпульсної характеристики до (т, t) за відомими значеннями функцій) і g ^) неможливо без додаткових відомостей про її властивості.

    Традиційний підхід, який використовується при вирішенні прикладних задач, полягає в тому, що параметри лінійної системи покладаються незмінними на деякому проміжку часу, для якого їх зміна досить мало.

    В цьому випадку імпульсна характеристика на всьому проміжку не залежить від t: h (x, t) = А (г), що приводить нас до математичної моделі, що використовує рівняння типу згортки:

    + ж

    J h (t - x) 5 (x) d x = g (t) (10)

    - ж

    або h * S = g. Простота рішення рівнянь такого типу (як щодо s (t), так і щодо h (t)) робить цей підхід досить ефективним у багатьох прикладних задачах.

    Для математичних моделей такого типу є методика побудови високоефективних алгоритмів відновлення імпульсних характеристик, заснованих на використанні спеціального виду зондирующих сигналів s (t). Однак, в ряді випадків (наприклад, в разі необхідності дослідження загальної поведінки системи, в разі швидкоплинних процесів і т.д.) використання рівняння (10) в якості математичної моделі поведінки досліджуваної лінійної системи може виявитися некоректним.

    Математичні моделі, побудовані на підставі рівнянь такого типу, дають можливість з необхідною точністю вивчати процеси в неоднорідних середовищах зі змінними параметрами, що відкриває нові можливості для їх дослідження.

    Сингулярні інтегральні рівняння з некарлемановскімі зрушеннями відносяться до більш широкого класу рівнянь по відношенню до звичайних сингулярним інтегральних рівнянь, і, відповідно, дають можливість окреслити ще більш широкий клас лінійних систем зі змінними параметрами. Зрушення аргументу в рівняннях такого типу відповідає різним особливостям в поведінці лінійних систем (обертання об'єктів, ефект Доплера, модуляція сигналів і т.д.).

    Розглянемо сингулярні інтегральні рівняння (СІП) з чисто статечними ядрами на відрізках

    дійсній осі \ a, P].

    Граничні значення допоміжної кусочно-голоморфної функції

    р р f п-zу Ф (z) = J v (x) St (z, x) dx = J v {x) I ^ -1 dx

    a a V X Z J

    обчислюються за формулами

    x P

    Ф ± (x) = e ± -AJv (x) Sb (t, x) dx + Jv (x) Sb (x, x) dx

    a x

    З їх допомогою отримаємо крайове умова задачі Рімана Ф + (x) = G (x) Ф (x) + g (x)

    G (x) = A (x>- "?<x> , g (x) = 2i ^ W-f.f (x). (I2)

    A (x) - e B (x) A (x) - e - ' "B (x)

    За рішенням Ф (z) крайової задачі рішення v (х) СИУ знаходиться зверненням одного з рівнянь Абеля

    2i sin jrtJfv (x) fP-X1 dx = Ф + (х) - Ф - (х), 2isinяАJv (x) f-- 1 dx = -e-яАФ + (х) + eшАФ- (х)

    a V xxJ x V x x J

    Розглянемо інший спосіб приведення СИУ (11) з чисто статечним ядром до крайової задачі Рімана при

    ((T) = А

    Pv (x) dx Л v (x) dx sin яА / ЛАР 1 fv (x) dx dC

    I А = - cos яА I ---- + - (P - x) I-г-I А--,

    J (x x) A f (x - x) A я ^ > i (p - f)) - Al (f - x) Af- x

    Запишемо рівняння (11) у вигляді СИУ з ядром Коші

    МФ (Х) + Щ4Ш = Л (x), (13)

    я / J з - x

    a

    A1 (x) = A (x) -B (x) cosnA, B1 (x) = isinяАВ (x), f (x) = (P - x) 1-А f (x)

    щодо функції

    *) = (Р-x н про apx ь *

    СИУ (13) в свою чергу, еквівалентно крайової задачі Рімана

    Ф + (x) = G (x) Ф (x) + gi (x) (14)

    _ A (x) - Bi (x) _ A (x) - e ^ B (x) _ fi (x) (? - x) 1 f (x)

    A1 (x) + B1 (x) A (x) - e- irfB (x) '1 A1 (x) + B1 (x) A (x) - e-irfB (x)

    Як і слід було очікувати, завдання Рімана (14) має такий же коефіцієнт G (x), що і завдання (11).

    Поведінка на кінцях відрізка ^ ,?] шуканого рішення Ф (z) крайової задачі Рімана [7] залежить від поведінки функції? (Х). Якщо рішення v (х) СИУ (14) допускає в точках а і? інтегровані особливості, то відповідна йому функція ?? (х) задовольняє на інтервалі (а ,?) умові Н з показником більшим, ніж 1-Л, і допускає в точках а і? особливості порядків менших, ніж Л і 1 відповідно. З іншого боку, якщо функція ?? (х) (різниця граничних значень рішення крайової задачі Рімана) задовольняє умові Н з показником більшим, ніж 1-Л, на інтервалі (а ,?) і допускає в точках а і? особливості порядків менших, ніж Л і 1, то відповідне їй рішення v (х) має в точках а і? інтегровані особливості.

    Будемо вважати, що коефіцієнти A (x), B (x) рівняння (14) задовольняють Н з показником більшим, ніж 1-Л, права частина f (x) задовольняє того ж умові Н на інтервалі ^ ,?) і допускає в точках а й? особливості порядків менших, ніж Л. Крім того, нехай виконується умова

    Q (x) _ A2 (x) + B12 (x) _ A2 (x) - 2cos nЛA (x) B (x) + B2 (x) * 0.

    Очевидно, G (x) | _ 1. Позначимо через у (x) _ arg G (x) таку гілку багатозначною функції, що -2ж<в (а)< 0. Тоді при в (а)< 2жЛ можна будувати необмежену на кінці x _а рішення крайової задачі Рімана; якщо ж в (а) > 2ПЛ, то рішення задачі Рімана має бути обмеженим на цьому кінці. На кінці х _? рішення крайової задачі може бути необмеженим. Припущення про гельдеровскіх властивості коефіцієнтів і правій частині рівняння [8] забезпечить приналежність різниці граничних значень рішення крайової задачі Рімана класу Н з показником більшим, ніж 1 - Л.

    Список використаної літератури

    1 Векуа Н.П. Системи сингулярних інтегральних рівнянь і деякі граничні задачі // Н.П.

    Векуа / Вид-во "Наука", 1970.- 379 с.

    2 Гахов Ф.Д. Крайові задачі // Ф. Д. Гахов / Вид-во "Наука", 1977. - 640 с.

    3 Гахов Ф.Д. Рівняння типу згортки //Ф.Д. Гахов, Ю.І. Черський / Вид-во "Наука", М., 1978. - 296с.

    4 Литвинчук Г.С. Крайові задачі і сингулярні інтегральні рівняння зі зсувом // Г.С.

    Литвинчук / Головна редакція фіз.-мат. літератури "Наука", 1977. -448с.

    5 Мусхелишвили Н.І. Сингулярні інтегральні рівняння //Н.І. Мусхелишвили /

    Головна редакція фіз.-мат. літератури "Наука", 1968. -512 с.

    6 Панасюк В.В. Метод сингулярних інтегральних рівнянь в двовимірних задачах дифракції // В.В.

    Панасюк, М.П. Саврук, З.Т. Назарчук / Київ: Наук. думка, 1984. - 344 с.

    7 Siegfried PROSSDORF Einige Klassen singularer Gleichungen // Akademie Verlag Berlin, 1974. - 494 s.

    8 Оборський Г.А. Моделювання систем: / монографія / Г.А. Оборський, А.Ф. Дащенко, А.В. Усов, Д.В.

    Дмітрішін.- Одеса: Астропринт, 2013.- 664с.


    Ключові слова: МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ / MATHEMATICAL MODEL / ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ / LINEAR SYSTEMS / Сингулярних інтегральних рівнянь / SINGULAR INTEGRAL EQUALIZATIONS / НЕКАРЛЕМАНОВСКІЙ ЗСУВ / імпульсної характеристики / ДЕФЕКТИ / DEFECTS / NEKARLEMAN CHANGE / IMPULSIVE DESCRIPTION

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити