Розроблено математичну модель криволінійного руху колісної машини з використанням рівнянь Аппеля, яка заснована на моделюванні нелінійного керуючого рульового впливу, що забезпечує збіжність

Анотація наукової статті з механіки і машинобудування, автор наукової роботи - Висоцький М. С., Дубовик Д. А.


Mathematical modelling of curvilinear movement of vehicles

The mathematical model of curvilinear movement of vehicles with use of Appel equations is developed. The designed mathematical model is grounded on simulation of the nonlinear steering effect ensuring convergence of calculated values ​​with experimental data with a coefficient of correlation not less 0,99.


Область наук:

  • Механіка і машинобудування

  • Рік видавництва: 2008


    Журнал: Вісник Білорусько-Російського університету


    Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання криволінійного руху колісних машин'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання криволінійного руху колісних машин»

    ?ТРАНСПОРТ

    УДК 629.113-587

    М. С. Висоцький, д-р техн. наук, проф., Д. А. Дубовик, канд. техн. наук

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ криволінійний рух КОЛІСНИХ МАШИН

    Розроблено математичну модель криволінійного руху колісної машини з використанням рівнянь Аппеля, яка заснована на моделюванні нелінійного керуючого рульового впливу, що забезпечує збіжність розрахункових значень з експериментальними даними з коефіцієнтом кореляції не менше 0,99.

    Вступ

    Математичне моделювання відкриває широкі можливості для оцінки функціональних і ресурсних властивостей колісних машин ще на стадії їх проектування, а також оптимізації конструктивних параметрів і експлуатаційних факторів як при розробці, так і при доведенні колісних машин.

    Для забезпечення достовірності оцінки функціональних і ресурсних властивостей і результатів оптимізації конструктивних параметрів і експлуатаційних факторів найважливішим вимогам, які ставляться до математичних моделей, є опис розглянутих процесів і явищ з необхідною для інженерних розрахунків сходимостью розрахункових значень з експериментальними даними.

    Більшість відомих з науково-технічної літератури математичних моделей руху колісних машин описують їх прямолінійний рух. Математичні моделі криволінійного руху колісних машин, як правило, складені з використанням рівнянь Лагранжа 2-го роду і описують усталене круговий рух. При дослідженнях несталого криволінійного руху використовуються в основному моделі з лінійним керуючим впливом на рульове колесо, що при-

    водить до моделювання блоку керуючих сигналів з недостатньою сходимостью розрахункових значень з даними, реалізованими в процесі реальної експлуатації колісних машин.

    Метою цієї статті є розробка математичної моделі криволінійного руху колісної машини з використанням рівнянь Аппеля на основі нелінійного керуючого впливу на рульове колесо.

    рівняння криволінійного

    руху колісних машин

    Розрахункова схема криволінійного руху та-осной колісної машини з п провідними і до керованими мостами в системі нерухомих координат ХОУ показана на рис. 1.

    З центром мас колісної машини зв'яжемо систему рухливих координат хоу.

    У кожен момент часу положення машини в площині опорної поверхні характеризується трьома узагальненими координатами центру мас: Ху, Уу і кутом між поздовжньою віссю машини і віссю ОХ.

    Для отримання рівнянь криволінійного руху в більш зручному для використання вигляді скористаємося рівняннями Аппеля [1]:

    ^; q = 1, 3, (1)

    де? - енергія прискорення колісної машини; - квазіускореніе, відпо-

    вующее q-й квазікоордінате; Qq - узагальнена сила, відповідна q-й квазікоордінате; q - порядковий номер квазікоордінати.

    Для складання рівнянь у формі

    (1) введемо три квазікоордінати пь п2 і П3, пов'язані з координатами центру

    мас машини Xv, Yv та кутом pv наступними співвідношеннями:

    Xv = Пi COS Pv -П2 sin Pv;

    Yv = П 1 sin Pv + П2 cos Pv;

    Pv = П3 • (2)

    Енергія прискорення S машини, доданків з енергії прискорення поступального руху та енергії обертального руху відносно центру мас:

    s = m (+ Y, 2 + р2в2), (3)

    де mv - повна маса машини; pv - радіус інерції машини щодо вертикальної осі, що проходить через центр мас.

    Зі співвідношень (2) знаходимо:

    i; = Пi cos pv -ПipvSin pv --П2 sin Pv -П2pvCos Pv;

    Yv = Пi sin pv + ПiPv cos pv +

    + П2 cos Pv -П2pv sin Pv;

    P v = П 3 •

    Зберігаючи в вираженні (3) лише члени, що містять квазіускоренія, отримуємо

    S = 2 (п - 2пit2 П3 + п + 2it 2 + pv2n 2 + ...).

    Узагальнені сили Qq, що відповідають уведеним квазікоордінатам, визначаються на основі виразу для віртуальних робіт:

    §Л = ^; q = 1 3. (4)

    Вважаємо, що криволінійний рух колісної машини здійснюється на горизонтальній опорній поверхні, кути повороту керованих коліс a / (//) в напрямку протилежному обертанню годинникової стрілки позитивні, а в напрямку обертання годинникової стрілки - негативні.

    Тоді, з урахуванням (i), (2) і (4) рівняння криволінійного руху колісної машини остаточно приймають вид:

    m

    mv + rПi - П2П3) =! [(+ - Pfi) X i = i

    X cos a '- Pisin a' + (- Pi) X

    x cos a '' - Pi sin a ''

    - P "

    (5)

    mv (2 + Пin3) = Z [(P * - Pfi) X

    i = i

    x sin a '+ P>/ I cos a '+ (Р ^ - P f) x x sin a' '+ P' cos a '' J;

    ,pVn = Z {o, 5B [((- p) a '-

    (6)

    -(N - p / fi)

    cos a.

    (P - p) sin a '+ (pi - p) x

    x sin af] - 0,5 В. (Pi sin a '- P? 7 sin a' ') +

    + (Lv- li) (p // iCOsa / + рй COsa //)} - ^ г, (7)

    де 5Г - коефіцієнт обліку обертаю-

    Т>1 (11)

    щихся мас; р - дотичні сили

    тяги провідних коліс (знаки «» і «Л) відносяться до коліс правого і лівого борту відповідно); - сили опору-

    тивления коченню коліс; Р // (//) - бічні реакції коліс; Ра - сила опору повітряного середовища; В / - колія / -го

    моста; / - відстань від першого до / -го моста (поздовжня координата / -го моста); / У - відстань від першого моста до центру мас машини (поздовжня координата центру мас); Мг - загальний момент опору повороту машини в контакті коліс з опорною поверхнею; / - порядковий номер моста, / = 1, ..., т.

    Моделювання блоку керуючих сигналів

    Криволінійний рух колісної машини в загальному випадку реалізується в результаті впливу водія на рульове колесо, на управління педалями подачі палива і гальма, коробкою змінних передач. Для моделювання блоку керуючих сигналів при дослідженні динаміки криволінійного руху необхідно описати пов'язані з цими діями зміни кутів повороту керованих коліс і поступальної швидкості уздовж поздовжньої осі машини.

    В теорії колісних машин криволінійний рух розглядається як сукупність окремих поворотів, що характеризуються імовірною кривизною і довжиною траєкторії [2].

    Процес окремого повороту машини в загальному випадку прийнято представляти в

    а)

    вигляді трьох послідовних етапів [3-5]. Перший етап пов'язаний зі збільшенням кривизни траєкторії - переходом від прямолінійного руху до криволінійного (вхід в поворот), другий етап характеризується рухом машини з постійною кривизною (рівномірний поворот), третій етап полягає в зменшенні кривизни траєкторії - повернення до прямолінійного руху (вихід з повороту) . В окремому випадку другий етап може бути відсутнім.

    Для моделювання блоку керуючих впливів на рульове колесо проаналізуємо експериментальні дані [6], отримані при виконанні входу в поворот і рух колісної машини по синусоїдальної траєкторії зі швидкістю 8,9 м / с.

    Аналіз експериментальних даних (рис. 2) показує, що реалізуються в дійсності закони керуючого впливу мають безперервний характер, що виключає стрибкоподібне зміна швидкості повороту рульового колеса. Причому, максимальна швидкість повороту рульового колеса, як правило, спостерігається на ділянках, рівновіддалених від його крайніх положень.

    б)

    Мал. 2. Осцилограма зміни параметрів колісної машини при вході в поворот (а) та рух по синусоїдальної траєкторії (б) зі швидкістю 8,9 м / с [6]: 1 - кут повороту рульового колеса; 2 - кут крену; 3 - бічне прискорення; 4 - кутова швидкість крену; 5 - кутова швидкість повороту; 6 - поступальна швидкість; 7 - час

    Результати проведеного аналізу дозволили в якості функціональної залежності для моделювання чисельних значень кутів ал повороту рульового колеса при криволінійному русі колісної машини запропонувати залежність наступного виду:

    Ал = а Л шах ^ П2 (+ ат), (8)

    де Ал шах - максимальне значення кута повороту рульового колеса; а1, а0 - коефіцієнти нелінійного рівняння регресії.

    Регресійний аналіз показав, що запропонована функціональна залежність дозволяє з коефіцієнтом кореляції не менше 0,99 описувати процес повороту рульового колеса при здійсненні моделювання «вхід в поворот» або в інший маневр і виходу з них. На відміну від лінійної залежності, нелінійна залежність (8) дозволяє з більш високим на 0,02 коефіцієнтом кореляції розраховувати значення кутів повороту рульового і керованих коліс і виключити недосяжне в дійсності стрибкоподібне зміна швидкості їх повороту.

    Таким чином, залежно для розрахунку кутів повороту рульового колеса при моделюванні руху колісної машини при виконанні маневру «вхід в поворот» або входу в маневр з нескольки-

    ми керуючими циклами і маневру «вихід з повороту» або виходу з маневру з декількома керуючими циклами остаточно приймають такий вигляд:

    - для маневру «вхід в поворот» або входу в маневр з декількома керуючими циклами (рис. 3)

    Ал = аЛшахЕШ2 (Т); 0 < t < 0,5 VТ; (9)

    - для маневру «вихід з повороту» або виходу з маневру з декількома керуючими циклами (рис. 4)

    а Л = а Л шах СОБ2 (Т); 0 < t < 0,5 VТ. (10)

    При складанні залежностей для розрахунку кутів повороту рульового колеса при моделюванні маневру «перестроювання» і руху по синусоїдальної траєкторії з декількома керуючими циклами на різних ділянках з позиції забезпечення однакової інтенсивності управління необхідно корелювати чисельні значення коефіцієнтів а 1 і а 0 залежності (8) з чисельними значеннями коефіцієнтів ь1 і Ь0 залежності наступного виду:

    а Л = а Л шах ^ П (- Ь0). (11)

    Мал. 3. Графічна залежність для моделювання повороту рульового колеса при виконанні маневру «вхід в поворот»

    Мал. 4. Графічна залежність для моделювання повороту рульового колеса при виконанні маневру «вихід з повороту»

    З цією метою чисельні значення коефіцієнтів at і bг в рівняннях (8) і

    (11) визначалися з умови забезпечення рівності швидкості повороту рульового колеса (ОС d = const) в моменти часу, що відповідають кутам повороту

    ad ± 0,5ad max-

    Виконані в рамках цього розділу дослідження дозволили предло-

    жити наступні залежності для розрахунку кутів повороту рульового і керованих коліс при моделюванні криволінійного руху колісної машини при виконанні маневру «зміна смуги руху» ( «перестроювання») і маневру «змійка» (рух по синусоїдальної траєкторії):

    - для маневру «зміна смуги руху» ( «перестроювання») (рис. 5)

    a d = a dmaxSin

    a d = a d

    d d max

    in2 (Tt); 0 < t < 0,5п / T;

    sin (3Tt - 0,6п); 0,5п / T < t < 2,538n / T;

    (12)

    ad = -admaxsin2 (Tt - 0,769n); 2,538n / T < t < 3,538n / T;

    - для маневру «змійка» (рух по синусоїдальної траєкторії) (рис. 6)

    ad = admax Sin2 (Tt); ad = admax Sin T, 3Tt - 0,6П);

    0 < t < 0,5n / T;

    0,5n / T < t < (0,769m + 0,5) n / T; sin2 (Tt - 0,769nm); (0,769m + 0,5) n / T<t<(0,769m + 1) n / T,

    (13)

    де Т - часовий параметр моделируемого маневру (для маневрів «вхід в поворот», «вихід з повороту» і «перестроювання» відповідає часу виконання ма-

    неврит); т - ціле непарне число, яке визначає кількість керуючих циклів маневру «змійка»: 0,5 (т + 1), для маневру «перестроювання» т = 1.

    Мал. 5. Графічна залежність для моделювання повороту рульового колеса при виконанні маневру «перестроювання»

    Таким чином, залежно (9), (10), (12) і (13) дозволяють розрахувати кути повороту рульового і керованих коліс з більш високою збіжністю розрахункових значень з експериментальними даними і підвищити адекватність математичної моделі при дослідженні динаміки криволінійного руху колісної машини.

    Управління педалями подачі палива і гальма, а також перемиканням передач в коробці змінних передач

    здійснюється з метою регулювання поступальної швидкості руху машини. Рішення оберненої задачі динаміки передбачає, що закон зміни поступальної швидкості поздовжньої осі машини відомий (заданий).

    При вивченні криволінійного руху колісної машини, як правило, вдаються до спрощення математичної моделі, вважаючи, що рух машини відбувається з постійною швидкістю [6-8]. Це дозволяє суттєво-

    але спростити програмну реалізацію розрахункової схеми, однак в той же час призводить до обмеження області дослідження.

    Для усунення даного обмеження в [9] пропонується використовувати функціональну залежність між поступальної швидкістю і прискоренням уздовж поздовжньої осі машини:

    альної залежністю [8]

    "Т р / (//>

    р / (//) ____________________ Фг Л5г ГП ___________________________________

    кг I 2

    ^ Г2 + (1 - "г) 2) 2 'Г

    1 - е

    - до! (//>

    г = 1, п,

    (15)

    л,

    1тах

    а1 + (\ 1П 1 ") а

    -а,

    (14)

    де П1тах - максимальне значення прискорення вздовж поздовжньої осі колісної машини; П 1 "- поступальна швидкість усталеного руху уздовж поздовжньої осі, до якої здійснюється розгін; а1, а2 - емпіричні коефіцієнти.

    Таким чином, запропоновані залежності (9), (10), (12) - (14) дозволяють розрахувати зміни кутів повороту рульового і керованих коліс і поступальної швидкості уздовж поздовжньої осі в процесі управління колісної машиною і, тим самим, визначити параметри блоку керуючих сигналів.

    Моделювання сил, що діють на машину

    Експлуатаційні властивості і динаміка криволінійного руху визначаються чинними на машину зовнішніми силами і моментами.

    Для вирішення системи рівнянь руху (5) - (7) висловимо дотичні

    сили тяги рк (//), сили опору коченню Р1 ^ //) і бічні реакції Р? (//) коліс, а також силу опору повітряного середовища Ра через характеристики машини і кінематичні параметри її криволінійного руху.

    Дотичні сили тяги Р1 ^ пов'язані з їх буксування експоненці-

    де Р ^ - нормальні реакції коліс;

    5 / (//) - кути бічного відведення коліс; до-

    характеристичний коефіцієнт, що залежить від властивостей шин і опорної поверхні.

    Сили опору коченню коліс Р ГР розраховуються на основі

    гг

    нормальних реакцій коліс Р.

    Р / (//) _ Г / (//) Р / (//). г = 1 Р Гг ~ Гг Р.Г; 1 + 1,

    / (//) .

    т,

    (16)

    де Гг / (//) - коефіцієнти опору коченню коліс, які визначаються з урахуванням поступальної швидкості руху машини П і кутів бокового

    відведення коліс 5 / (//).

    При моделюванні руху позашляхової машини по деформируемой грунтовій поверхні за рекомендаціями [10] і виразами [11] коригуються значення коефіцієнтів

    зчеплення (/ (//) і враховується вплив

    збіги колії коліс різних мостів на коефіцієнти опору якост-

    / (//)

    нию Гг .

    Бічні реакції коліс Р ^ визначаються відповідно до теорії нелінійного відведення [12]:

    Р / (//) _ К / (//) '/ (//) _ п / (//) К / (//)' / (//) •

    Р1г _ К1г 5г _ п К10г 5г;

    г = 1, т, (17)

    де К? / (//) - коефіцієнт опору

    X

    1

    2

    бічному відведенню коліс; - тангенс

    кута нахилу кривої Рі = _Д5) на початку координат; - загальний коефіцієнт кор-

    рекции, що дорівнює добутку дев'яти приватних коефіцієнтів корекції [13].

    Для моделювання зовнішньої сили, яка реалізується в результаті взаємодії позашляхової машини з повітряним середовищем, т. Е. Сили опору повітря, скористаємося залежностями М. С. Висоцького та А. Н. Євграфова [14]:

    ра = сх цур,

    (18)

    де сх - коефіцієнт аеродинамічного опору (обтічності); Пv - динамічний напір:

    -2

    Чу =

    ра 711

    2

    де ра - щільність повітря; Р - площа миделевого перетину, т. Е. Найбільша площа перетину машини в площині, перпендикулярній напряму її руху:

    Р з [- нь До + пь, нь]

    де С - коефіцієнт форми для вантажних машин, С = 1,0 [14]; В ", Н" - габаритна ширина і висота машини відповідно; І'- відстань від бампера до опорної поверхні; Ред {- ширина колеса з шиною; п {- ошиновка коліс (при односхилих колесах п = 2).

    Загальний момент Мг опору повороту машини в контакті коліс з опорною поверхнею складається з моментів опору повороту в контакті з опорною поверхнею окремих

    коліс М Г (/) і розраховується за формулами [5].

    Передача крутного моменту від силової установки до ведучих коліс через трансформують його агрегати і вузли при русі машини з прискоренням або уповільненням призводить до виникнення

    інерційної сили опору розгону або гальмування обертових мас машини. Дія цієї сили враховується коефіцієнтом обліку обертових мас 5Г в рівнянні (5).

    Інерційний момент опору машини зміни траєкторії криволінійного руху характеризується її радіусом інерції pv і враховується рівнянням (7).

    Для визначення достовірних зовнішніх сил і моментів машини, що діють на колеса, необхідно мати у своєму розпорядженні точними значеннями їх нормальних реакцій. Нормальні реакції коліс Р ^ р визначаються параметрами кінематики машини, її геометричними показниками і характеристиками системи «підвіска - колесо - дорога» і розраховуються за рівняннями [4], складеним на основі просторової розрахункової схеми машини.

    Таким чином, на основі просторової розрахункової схеми криволінійного руху т-осной колісної машини з п провідними і до керованими мостами розроблена математична модель її криволінійного руху для вирішення другого (зворотної) завдання динаміки. Математична модель дозволяє з використанням необхідного закону зміни прискорення вздовж поздовжньої осі визначити необхідну для руху в заданих дорожніх умовах сумарну дотичну силу тяги коліс і реалізовану рушієм потужність з урахуванням масових і геометричних параметрів машини, а також характеристик жорсткості і демпфуючих характеристик системи підресорювання, шин і властивостей опорної поверхні.

    висновок

    Розроблено математичну модель криволінійного руху колісної машини з використанням рівнянь Аппеля, яка заснована на моделюванні нелінійного керуючого рульового впливу, що забезпечує сходи-

    мість розрахункових значень з експериментальними даними з коефіцієнтом кореляції не менше 0,99.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Аппель, П. Теоретична механіка: пров. з фр. : В 2 т. Т. 2: Динаміка системи. Аналітична механіка / П. Аппель. - М.: Физматгиз, 1960. -487 с.

    2. Ванцевіч, В. В. Мобільні транспортні машини. Взаємодія з середовищем функціонування / В. В. Ванцевіч, М. С. Висоцький, Л. Х. Гілелес. - Мінськ: Беларуская навука, 1998. -303 с.

    3. Брянський, Ю. А. Керованість великовантажних автомобілів / Ю. А. Брянський. - М.: Машинобудування. 1983. - 176 с.

    4. Смирнов, Г. А. Теорія руху колісних машин: підручник для студентів машинобудівних спеціальностей вузів / Г. А. Смирнов. - 2-е вид., Доп. і перераб. - М.: Машинобудування, 1990. - 352 с.

    5. Фаробін, Я. Е. Теорія повороту транспортних машин / Я. Є. Фаробін. - М.: Машинобудування, 1970. - 176 с.

    6. Елліс, Д. Р. Керованість автомобіля: пров. з англ. / Д. Р. Елліс. - М.: Машинобудування, 1975. - 216 с.

    7. Литвинов, А. С. Автомобіль. Теорія експлуатаційних властивостей: підручник для вузів за фахом «Автомобілі та автомобільне господарство» / А. С. Литвинов, Я. Е. Фаробін. - М.: Машинобудування, 1989. - 240 с.

    8. Ванцевіч, В. В. Дослідження диференціалів підвищеного тертя і їх впливу на обертальність колісних тракторів 4x4 класу 14 ... 20 кН: дис. ... канд. техн. наук: 05.05.03 / В. В. Ванцевіч. - Мінськ, 1981. - 264 с.

    9. Ванцевіч, В. В. Друга (зворотна) завдання динаміки як основа для побудови теорії руху мобільних машин / В. В. Ванцевіч, М. С. Висоцький // Доповіді НАН Білорусі. -1998. - Т. 42, № 6. - С. 104-110.

    10. Задорожний, В. І. Дослідження впливу розподілу вагових навантажень і моментів, що обертають по колесах на тяговосцепние властивості багатоколісного рушія: дис. ... канд. техн. наук: 05.05.03 / В. І. Задорожний. - Київ, 1967. - 163 с.

    11. Пірковському, Ю. В. Теорія руху повнопривідного автомобіля (прикладні питання оптимізації конструкції шасі) / Ю. В. Пірковському, С. Б. Шухман. - М.: Академія проблем якості, 1999. - 151 с.

    12. Антонов, Д. А. Теорія стійкості руху багатовісних автомобілів / Д. А. Антонов. - М.: Машинобудування, 1978. - 216 с.

    13. Антонов, Д. А. Розрахунок стійкості руху багатовісних автомобілів / Д. А. Антонов. - М.: Машинобудування, 1984. - 168 с.

    14. Євграфов, А. Н. Аеродинаміка колісних машин / А. Н. Євграфов, М. С. Висоцький. -Мінськ: Белавтотракторостроеніе, 2001. - 368 с.

    15. Петрушов, В. А. Опір коченню автомобілів і автопоїздів / В. А. Петрушов, С. А. Шуклин, В. В. Московкін. - М.: Машинобудування, 1975. - 225 с.

    Об'єднаний інститут машинобудування НАН Білорусі

    Матеріал надійшов 05.03.2008

    M. S. Vysotski, D. A. Doubovik Mathematical modelling of curvilinear movement of vehicles

    The mathematical model of curvilinear movement of vehicles with use of Appel equations is developed. The designed mathematical model is grounded on simulation of the nonlinear steering effect ensuring convergence of calculated values ​​with experimental data with a coefficient of correlation not less 0,99.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити