Пропонується математична модель і чисельний метод розрахунку електричних полів катодного захисту трубопроводів протяжними анодами в тривимірній напівобмеженого області. За допомогою розробленого алгоритму і програми отримані оцінки впливу електрохімічних і геометричних параметрів на ефективність катодного захисту магістральних нафтопроводів.

Анотація наукової статті з електротехніки, електронної техніки, інформаційних технологій, автор наукової роботи - болотних А. М., Глазов Н. П., Кисельов В. Д., Хісаметдінов Ф. З.


Mathematical Modeling and Numerical Analysis of Electric Fields in Systems with Extensive Electrodes

Mathematical model and numerical method are proposed for computation of electric fields for cathode protection of pipelines by extensive anodes in three-dimensional semi-bounded domain. Developed algorithm and software provided estimates for the influence of electrochemical and geometrical parameters on efficiency of cathode protection of trunk pipelines.


Область наук:

  • Електротехніка, електронна техніка, інформаційні технології

  • Рік видавництва: 2006


    Журнал: Вісник Башкирського університету


    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ і чисельне дослідження електричних полів в системах з протяжними електродами'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ і чисельне дослідження електричних полів в системах з протяжними електродами»

    ?УДК 5l8.5: 550.83

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ І ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ ПОЛІВ В СИСТЕМАХ З протяжність ЕЛЕКТРОДАМИ болотних А.М., Глазов Н.П., Кисельов В.Д., Хісаметдінов Ф.З.

    Пропонується математична модель і чисельний метод розрахунку електричних полів катодного захисту трубопроводів протяжними анодами в тривимірній напівобмеженого області. За допомогою розробленого алгоритму і програми отримані оцінки впливу електрохімічних і геометричних параметрів на ефективність катодного захисту магістральних нафтопроводів.

    Вступ

    Катодний захист - найбільш важливий і надійний метод боротьби з корозією, який повсюдно застосовується для продовження терміну служби підземних і підводних споруд, в тому числі магістральних нафтопроводів [1, 2]. Проектування нових ліній трубопроводів і оптимізація параметрів в

    існуючих системах захисту потребують як експериментальних досліджень, так і розробки математичних моделей і комп'ютерних програм для проведення обчислювальних експериментів.

    Основна складність моделювання систем катодного захисту трубопроводів протяжними анодами пов'язана з широким розкидом геометричних параметрів досліджуваних об'єктів. Так, наприклад, для труби діаметром 1 м і довжині ділянки, що захищається 100 км, ставлення характерних розмірів становить 1: 100000. Приблизно такий же порядок має відношення діаметра протяжного анода до його довжини. Так як довжина анода, прокладеного вздовж труби, як правило, в 20 - 40 разів менше довжини ділянки, що захищається труби, то звести задачу до двовимірної не представляється можливим.

    Зазначена особливість значно ускладнює застосування традиційних підходів, заснованих на вирішенні граничних задач для потенціалу електричного поля з використанням чисельних методів. Раніше в роботах [3 - 10] були запропоновані методи вирішення для деяких окремих випадків даної задачі: з точковими анодами, без урахування падіння потенціалу в аноді і в металі труби.

    В даній статті запропоновано ефективний алгоритм рішення тривимірної задачі розрахунку електричного поля з урахуванням падіння потенціалів в системі протяжних електродів. Розроблено програму в середовищі Бе1рИ і проведені серії обчислювальних експериментів для оцінки впливу електрохімічних і геометричних параметрів на ефективність катодного захисту магістральних нафтопроводів.

    Математична модель електричного поля протяжних електродів в тривимірній напівобмеженого області

    Розглянемо задачу катодного захисту трубопроводу ланцюгом рівновіддалених протяжних анодів, прокладених в грунті паралельно трубі. Відомо, що потенціал стаціонарного електричного поля при відсутності точкових джерел задовольняє рівняння еліптичного типу:

    div (s (p) grad u (p)) = 0; p їй, (1)

    3

    де s - питома електропровідність; і - потенціал; p ° (х, y, z) - довільна точка області Qc R. Якщо питома електропровідність грунту постійна (s ° const), то (1) перетворюється в рівняння Лапласа.

    Сформулюємо граничні умови. На вільній поверхні землі і на площинах симетрії St для потенціалу ставляться умови другого роду:

    ді дп

    = 0, (2)

    Si

    де п - вектор нормалі.

    На кордонах грунту з бічними поверхнями анода Ба і труби ^ ставляться умови третього роду, що зв'язують щільності струму і потенціали:

    au

    u ± ces0

    an

    = Je; e = a, t, (З)

    Se

    де і - потенціал грунту на кордоні з анодом або трубою; са, сґ - питомі опору оболонки анода і ізоляції труби; Од - питома електропровідність середовища (грунту); фа, фґ - потенціали сердечника анода і металу труби. У даній моделі передбачається лінійна залежність щільності струму від різниці потенціалів на межах анода і труби з грунтом, тому са і сґ є постійними величинами для кожного варіанту розрахунку. Струм прийнятий позитивним в напрямках «анод - грунт» і «грунт - труба», тому в умовах (3) цих межах відповідають знаки «+» і «-» відповідно. Тут і далі нижній індекс е приймає значення а для анода і ґ для труби.

    Якщо заданий струм / 0 в ланцюзі «катодна станція - анод - труба», то в перетинах анода і труби при х = 0 ставляться умови другого роду:

    ax

    x = 0 AeS

    І0 e = a, t, (4)

    де са, - питомі електропровідності сердечника анода і металу труби; Аа, Аг - площі їх

    перетинів; х - напрямок вздовж осей анода і труби.

    Потенціали металів фа і ф {не є постійними величинами: в даній моделі вони залежать від поздовжньої координати, тобто фа = фа (х), ф {= ф {(х), тому необхідні додаткові співвідношення для їх визначення:

    1хе д фе ^ ...

    = - ^ - 7 ^; е = а, г, (5)

    ае дх

    де 1ха, 1хг - струми, поточні уздовж осі х в осерді анода і в металі труби.

    Алгоритм чисельного рішення задачі

    Виділимо кінцевий об'ємний елемент (Кое) анода і труби, в якому будемо вважати всі параметри постійними. Будемо будувати співвідношення для середніх величин в Кое: середнього потенціалу металу, середнього потенціалу в грунті на кордоні з Кое, середньої щільності струму на кордоні Кое з грунтом.

    Нехай число Кое одно N для анода і M для трубопроводу (рис. 1). З граничних умов (З) сформуємо 1-й блок рівнянь:

    Ina k

    Ua, k + Ca AT = Фа, k; k = 1, ..., N, (6)

    ASa

    Intl

    Utl - ct- ^ = Ф, і; l = 1, ..., M, (7)

    t ASt

    де Ua, Ut - середні значення потенціалу грунту на кордоні з Кое (N + M невідомих); Ina, Int - струми,

    поточні по нормалі до бічної поверхні анода і труби (N + M невідомих); ASa, ASt - площі

    бічних поверхонь Кое анода і труби; Фа, Ф, - середні значення потенціалу сердечника анода і металу труби в Кое (N + M невідомих).

    Застосовуючи перший закон Кірхгофа до кожного Кое анода і труби і реалізуючи умова (4), сформуємо 2-й блок рівнянь:

    10/2 - Ixa, 1 - Ina, 1 = 0, Ixa, k - Ixa, k + 1 - Ina, k + 1 = 0; k = ^, ..., N - 2, Ixa, N-1 - Ina, N = 0, (8)

    10/2 - Ixn - Int, 1 = ^ Ixt, l- Ixt, l + 1 Int, l + 1 = °; l = і-M - 2, Ixt, M-1 - Int, M = ^ (9)

    де Ixa, Ixt - струми, поточні уздовж осі x в осерді анода і в металі труби (N + M - 2 невідомих).

    На основі закону Ома, реалізуючи умова (5), сформуємо З-й блок рівнянь для струмів між сусідніми

    Кое, що йдуть уздовж осі x, і потенціалів металу в середніх точках Кое:

    Фа, k-Фа, k + 1 = RaK, k; k = U.N-1, (10)

    ф ,, l + 1-Фt, l = Rtixtl; l = 1, ..., M-l, (11)

    де Яа, Я (- поздовжні опору сердечника анода і металу труби. Тут невідомими є Фа і Фг, які входять в рівняння (6) і (7), а також 1ха і 1х {, які входять в рівняння (8) і (9 ). Четвертий блок рівнянь формується для потенціалів в грунті на кордонах анода і труби:

    4ps (p) Ua, k = X

    m

    4po (p) ut, i = X

    ina

    - X-

    in

    t, n

    R (Pk, Pm) "R (Pl, Pn)

    ina

    -X

    int

    k = 1, ..., N.

    (12)

    (1З)

    ,..'R (Pk, Pm) "R (Pl, Pn)

    де R (Pk, Pm) - відстань від точки Pk, в якій визначається потенціал, до точки Pm, яка є центром Кое анода або труби. Тут невідомими є Ua і Ut, які входять в рівняння (6) і (7), а також Ina і Int, які входять в рівняння (6) - (9).

    Формулами (12) і (13) визначається потенціал системи N + M точкових джерел з інтенсивностями Ina m, int n в необмеженій тривимірному просторі. У праві частини рівнянь (12) і (13) входять

    складові не тільки від «свого» анода і «свого» ділянки, що захищається труби, але і від всіх інших, а також від «дзеркальних» щодо вільної поверхні землі анода і труби, введених для переходу до задачі в необмеженій області. Остання обставина практично не ускладнює чисельний алгоритм розв'язання задачі, так як, по-перше, вплив сусідніх ділянок швидко зменшується в міру їх видалення від досліджуваного анода, і по-друге, додатковий облік доданків від сусідніх ділянок не позначається на розмірності системи рівнянь.

    І0 А

    Іп / 2

    ixt, 1

    ЇХ,

    ЇХ,

    труба

    І0 / 2

    Iq / 2

    І,

    'Ina, 1

    -A-

    I int, 2

    ina

    in

    a, N

    V

    in / 2

    iXa

    ixa2. . . ixa.

    анод

    \ inw

    Мал. 1. Схема струмів в системі «анод - труба».

    Таким чином, сформована система лінійних алгебраїчних рівнянь (6) - (13), в якій число рівнянь і число невідомих дорівнює 4 х (N + М) - 2. Матриця системи стійка до стандартних методів чисельного рішення. У тестових розрахунках отримані чисельні результати з нормою нев'язки, що не перевищує 10-16 для числа Кое до 2000. Час рахунки одного варіанта (процесор Репіііт - 4 з частотою 3 гГц) не перевищує 20 хвилин.

    І

    0

    x

    l

    l

    0

    a

    обчислювальний експеримент

    В якості ілюстрацій наведемо результати деяких розрахунків. Досліджувався вплив різних параметрів на розподіл потенціалу та щільності струму уздовж анода і труби. Струм катодного станції визначався з умови мінімуму відхилення потенціалу металу труби в найбільш віддаленій точці від заданого значення захисного потенціалу (в наведених прикладах захисний потенціал Фг = - 0.3 В). Шкала потенціалів приведена щодо потенціалу грунту в нескінченно віддаленій точці. Значення параметрів наведені в таблиці і в рисунками підписах.

    Значення основних параметрів

    Параметр Варіант 1 (рис. 2) Варіант 2 (рис. 3)

    Глибина від рівня землі до осі труби, м 2.0 2.0

    Зовнішній діаметр труби, м 1.22 1.22

    Товщина стінки труби, мм 25 25

    Питомий опір стали, Ом * м 2.45Е-7 2.45Е-7

    Опір ізоляції труби, Ом * мл2 15000 30000

    Відстань між анодом і трубою, м 0.5 0.001; 0.01; 0.1;

    Довжина анода, км 0.625; 1.25; 1; 10

    Глибина від рівня землі до анода, м 2.5; 5.0 5.0

    Зовнішній діаметр анода, мм 2.82 2.82

    Питомий опір міді, Ом * м 36 36

    Питомий опір грунту, Ом * м 1.75Е-8 1.75Е-8

    5000 2000

    На рис. 2 представлені залежності щільності струму на кордонах «анод - грунт» (а) і «грунт - труба» (б) від поздовжньої координати х при різних значеннях довжини анода. З малюнка видно, що зі збільшенням довжини анода щільність анодного струму зменшується; рівномірність щільності струму на кордоні «грунт - труба» зростає.

    (А) (б)

    Щільність струму анод-грунт, А / м2

    Щільність струму грунт-труба, А / м2

    Відстань від КС, км Відстань від КС, км

    Мал. 2. Розподіл середньої щільності струму уздовж бічної поверхні анода (а) і труби (б) при значеннях довжини анода, км (зверху вниз): 0.625; 1.25; 2.5; 5.0.

    На рис. 3 представлені залежності щільності струму на кордонах «анод - грунт» (а) і «грунт - труба» (б) від поздовжньої координати х, при різних значеннях відстані від анода до труби. З малюнка видно, що межелектродное відстань практично не впливає на анодное розподіл щільності струму; рівномірність щільності струму по поверхні труби поліпшується зі збільшенням відстані до анода.

    (А)

    Щільність струму анод-грунт, А / м

    Щільність струму грунт-труба, А / м2 2.8E-5

    (Б)

    Відстань від КС, км

    Відстань від КС, км

    2.4E-5

    2.0E-5

    1.6E-5

    1.2E-5

    8.0E-6

    Мал. 3. Розподіл середньої щільності струму уздовж бічної поверхні анода (а) і труби (б) при відстанях між анодом і трубою, м (зверху вниз): 0.001, 0.01, 0.1, 1, 10.

    Метою даної роботи є створення математичної моделі і алгоритму чисельного розрахунку електричних полів в системах протяжних електродів. Подальше дослідження припускає пошук оптимальних параметрів анода з урахуванням обмежень, що накладаються на щільність анодного струму і на діапазон захисного потенціалу труби.

    ЛІТЕРАТУРА

    1. Томашов Н. Д. Теорія корозії і захисту металів. М .: АН СРСР, 1959. 592 с.

    2. Глазов Н. П. Підземна корозія трубопроводів, її прогнозування та діагностика. М .: Газпром, 1994. 92 с.

    3. Глазов Н. П., Іванов В. Т. Дослідження токораспределения на трубопроводі при захисті його протяжними протекторами в неоднорідному середовищі // Методи і засоби ЕХЗ магістральних трубопроводів від підземної корозії. М .: ВНІІСТ, 1980. С. 69 - 87.

    4. Іванов В. Т., болотні А. М. Автоматизована система наукових досліджень електричних полів в складних електрохімічних системах на основі обчислювального експерименту // Електрохімія. 1991. Том 27. Вип. 3. С. 324 - 331.

    5. Іванов В. Т., болотні А. М. Пакет прикладних програм для чисельного дослідження електричних полів в неоднорідних електрохімічних системах // Вісник ОНУ: Електромеханіка. 1991. № 6. С. 21 - 28.

    6. болотних А. М. Методи граничних елементів в розрахунках електричних полів електрохімічних систем. Уфа: БашГУ, 2002. 143 с.

    7. болотних А. М., Іванов В. Т. Чисельне моделювання пускових режимів анодної захисту // Захист металів. 2001. Том 37. № 2. С. 197 - 200.

    8. Іванов В. Т., Глазов Н. П., Макаров В. А. Математичне моделювання електрохімічного захисту // Підсумки науки і техніки. Сер. «Корозія і захист від корозії». М .: ВІНІТІ, 1987. Том 13. С. 117 - 194.

    9. Bolotnow A. Algorytmy obliczen parametrow ochrony urzadzen technologicznych przed korozja elektrochemiczna // Bezpieczenstwo elektryczne: XII Miedzynarodowa konf. Wroclaw, 1999. T. 1. S. 461 -468.

    10. Makarov V. A., Ivanov V. T., Glazov N. P. Mathematical modelling of electrochemical protection // Proc. 10th Int. Cong. on metalliccorrosion. Madras, 1987. Vol. 3. P. 927 - 934.

    Надійшла до редакції 11.05.06 р.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити