Побудовано математичну модель роботи редуктора, що використовує новий вид зачеплення робочих коліс, одне з яких представляє собою гвинтовий ексцентрик, а профіль іншого побудований на базі циклоїдальних кривої. Таке зачеплення забезпечує потужні силовими характеристиками і дозволяє отримувати високі передавальні відносини в одному щаблі. Створено комп'ютерну програму, що ілюструє кинематически узгоджений рух ідеальних геометричних фігур торцевих перетинів працюючого механізму і дозволяє знаходити необхідні для конструювання числові характеристики.

Анотація наукової статті з механіки і машинобудування, автор наукової роботи - бубонцями Олексій Михайлович, Щербаков Микола Романович


Mathematical model of reducer operation has been constructed. It uses a new kind of linking of rotor wheels, one of which represents screw eccentric and a profile of another one is constructed on basis of cycloidal curve. Such linking possesses high power characteristics and allows obtaining high reduction ratios in one stage. The computer program that illustrates kinematic cooperative motion of ideal geometric figures face sections of functioning mechanism and allows determining numerical characteristics required for construction was developed.


Область наук:
  • Механіка і машинобудування
  • Рік видавництва: 2009
    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ

    Наукова стаття на тему 'Математичне моделювання динаміки нового виду зачеплення в передавальних механізмах'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне моделювання динаміки нового виду зачеплення в передавальних механізмах»

    ?УДК 514.85

    МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ НОВОГО ВИДУ зачеплення В ПЕРЕДАТОЧНИХ МЕХАНІЗМАХ

    А.М. Дзвіночків, Н.Р. Щербаков

    Томський державний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Побудовано математичну модель роботи редуктора, що використовує новий вид зачеплення робочих коліс, одне з яких представляє собою гвинтовий ексцентрик, а профіль іншого побудований на базі циклоїдальних кривої. Таке зачеплення забезпечує потужні силовими характеристиками і дозволяє отримувати високі передавальні відносини в одному щаблі. Створено комп'ютерну програму, що ілюструє кинематически узгоджений рух ідеальних геометричних фігур - торцевих перетинів працюючого механізму і дозволяє знаходити необхідні для конструювання числові характеристики.

    Ключові слова:

    Математичне моделювання, ексцентрикових-циклоїдальних зачеплення, циклоїдальних крива.

    Вступ

    Широко застосовується евольвентного зачеплення коліс при всіх його достоїнствах володіє і рядом недоліків, таких як недостатня несуча здатність зубів через малої кривизни робочих поверхонь, порівняно високі втрати, пов'язані з наявністю тертя ковзання. Крім того, евольвентного зачеплення має обмеження по величині передавального відносини для одного ступеня. Всі ці недоліки зумовлюють пошук нових видів зачеплень.

    Відомо зачеплення Новікова [1], яке має опукло-увігнуті гвинтові зуби з протилежним напрямком гвинтової лінії і з початковим дотиком в точці, яка при обертанні переміщається паралельно осі коліс. Профілі в торцевому перетині окреслюються дугами кіл і мають кривизну різних знаків. У зачепленні Новікова переважає кочення, тому воно має більш високий ККД, і має більшу контактної міцністю при тих же основних розмірах, ніж евольвентного зачеплення. Однак, редуктори з таким зачепленням мають підвищену чутливість до зміни міжосьової відстані коліс, високою виброакустической активністю, низькою конструктивною гнучкістю, що обмежує область їх практичного використання. В [2] описаний новий вид зачеплення коліс з криволінійними зубами - ексцентрикових-циклоїдальних зачеплення, яке частково об'єднує гідності евольвентного зачеплення і зачеплення Новікова. У даній статті побудована математична модель динаміки цього зачеплення.

    Геометрична модель механізму

    Загальний вигляд редуктора з площиною Р, перпендикулярної осях коліс, наведено на рис. 1, а фрагмент ділянки контакту черв'ячного елемента з великим колесом - на рис. 2. Зубчастий профіль меншого колеса 1 в торцевому перетині є окружність видання діаметра з1 = 2г, ексцентрично зміщену на відстань е щодо осі вра-

    щення колеса ОО1. Криволінійний профіль колеса 1 утворений послідовним і безперервним зміщенням цієї окружності уздовж осі колеса ОО1 з одночасним поворотом її навколо цієї ж осі. Таким чином, поверхня зуба колеса 1 утворює гвинтовий ексцентрик.

    Р

    Мал. 1. Загальний вигляд редуктора. Площина Р перпендикулярна осям коліс

    Профіль зуба більшого колеса 2 в торцевому перетині сполучається з ексцентрично зміщеною окружністю видання колеса 1. Профіль побудований як

    огинає сімейства ексцентрикових кіл в різних фазах зачеплення і являє собою циклоїдальних криву О, яка є еквівалентні-дістантой епітрохоїді [3]. Гвинтові криволинейная поверхню зубів колеса 2 утворюється аналогічно поверхні зуба колеса 1 послідовним і безперервним поворотом циклоїдальних торцевих перетинів колеса навколо осі СС1 колеса 2. Гвинтові поверхні коліс 1 і 2 мають протилежний зміст обертання.

    Мал. 2. Фрагмент ділянки контакту

    Знаходження лінії контакту

    Параметричні рівняння епітрохоїді мають вигляд

    X (т) = -Е С0Бт + асобі

    г2 +1

    у (т) = -е БТТ + АБШ-

    де т = 0, ..., 2п (г2 + 1) - поточний параметр, е - ексцентриситет, а - міжцентрову відстань коліс, - кількість циклів кривої (кількість зубів колеса 2).

    Параметричні рівняння еквідістанти О, віддаленої по нормалі на радіус й / 2 окружності Б від епітрохоїді, мають вигляд:

    X (т) = х (т) + 2 п1 (т), У (т) = у (т) + 2 Щ (т),

    де і1 (т), п2 (т) - координати одиничного вектора нормалі.

    Як видно зі схеми побудови зубчастих поверхонь коліс 1 і 2, профіль зуба колеса 1 в будь-якому торцевому перетині представлений ексцентрично зміщеною окружністю Б, а профіль колеса 2 -повёрнутой циклоїдальних кривої О. Коло Б в будь-якому торцевому перерізі має точку дотику А з відповідною циклоїдальних кривої . Гвинтовий зуб колеса 1 має одночасно безліч точок контакту з гвинтовим циклоїдним зубом колеса 2. Ці точки утворюють безперервну гвинтоподібну (з непостійною кривизною) лінію контакту ААД.

    Координати точки А контакту кола Б з циклоїдальних кривої Про перебувають як сума радіус-вектора центру кола Б з вектором, спрямованим по нормалі до цієї окружності в точці контакту і мають довжину рівну радіусу кола Б. Для знаходження цієї нормалі немає необхідності вдаватися до диференціювання - досить застосувати властивість циклоїдальних кривих: нормаль в довільній точці такої кривої проходить через полюс (точка дотику обкатувати кіл, за допомогою яких виходить вихідна циклоїдальних крива [3. С. 113]). Лінія АА2А4 будується за допомогою вбудованої в пакеті МаШСаё функції інтерполяції масиву точок контакту, відповідних близьким торцевих перетинах. Отримана при цьому вектор-функція Кі (о) (і = 0, ..., 2п - кут повороту окружності Б навколо осі ОО1, при якому виходить відповідне торцеве перетин) точок лінії контакту АА2А4 дає можливість диференціювання за допомогою символьного процесора пакета МаШСаё з метою знаходження кривизни в кожній точці цієї лінії в будь-який момент часу. Ця кривизна виявляється не постійною, т. Е. Лінія контакту не є гвинтовий.

    Радіуси кривизни і розрахунок зусиль в точках контакту

    Для знаходження контактних напружень в точках лінії АА2А4 необхідно знати радіус кривизни тієї лінії на великому зубі 2, яка виходить торцевих перетином, відповідним точці контакту, т. Е. При заданому куті і. Ця лінія є результатом повороту вихідної лінії О на кут - (і + 5)

    де 5 - кут повороту генератора. Радіуси кривизни обчислюються за звичайною формулою Я (о, 8) =

    3

    = (X '(р (о, 8)) 2 + У (<р (і, 5)) 2у

    X '(р (о, 8))?' '<(О, 8)) -X '' (р (о, 8))? '<(О, 8)) '

    де

    р (і, 8) = ^^ (і + 8),

    а Х (р (і, 8)), У (р (і, 8)) - координати точки контакту на відповідній еквідістанти.

    Формула для розрахунку зусиль в точках контакту при куті повороту генератора 8 приймає інтегральний вид:

    ^ (І, 8) = М Бт (у (і, 8))

    про + п

    (1)

    де М - вхідний момент на генераторі, а у (о, 8) -кут між радіус-вектором точки контакту відно-

    2

    2

    2

    сительно осі черв'ячного елемента і загальної нормаллю до стосуються кривим (окружність і еквівалентні-дістанта). Інтегрування ведеться по половині довжини черв'ячного елемента - «робочої частини» черв'яка, що змінюється в залежності від 8.

    Вихідний момент і розрахунок втрат потужності на тертя

    Перетинами перпендикулярними осями обертання виділимо елементарні по глибині фрагменти деталей з розміром в напрямку осей dh їх надалі будемо називати плоскими фрагментами (фігурами) зубчастого колеса і черв'яка. Далі ми припускаємо, що різні по глибині фрагменти кожної окремо взятої деталі не беруть участі між собою в силовому взаємодії. У разі ж існування такої взаємодії реалізують його зусилля були б спрямовані лише вздовж осей обертання. Таким чином, розподілені по лінії контакту зусилля, що визначаються співвідношенням (1), діють в площині нормальної осях обертання деталей. Оскільки на глибині dh реалізується поворот плоскою лінії G на кут dv, то з боку вхідних деталі (черв'яка) на виділений елементарний фрагмент зубчастого колеса буде діяти сила величиною F (v, S) du, спрямована по загальній нормалі до плоских фігур в точці контакту. У свою чергу, з боку зубчастого колеса уздовж того ж напрямку загальної нормалі буде діяти рівна за величиною, але протилежно спрямована сила реакції. Точками опори виділених обертових плоских фігур є центри обертання цих фігур. Ці центри залишаються нерухомими під весь час руху, в разі ж, якщо відцентрові сили є не надто значними, вони взаємодіють між собою за законами статики, тобто за законом рівності дії і протидії.

    Після визначення вектора / (і, 8) (| / (u, 5) | = F (u, 5)) вихідний момент знайдеться за формулою:

    8 + п

    Мвих = | \ / (V, 5) хр (і, 8) | yoі,

    де р (і, 8) = СА - радіус-вектор точки контакту плоских фігур щодо центру обертання фрагмента зубчастого колеса. Таким чином, якщо «розкид» вхідного впливу визначається за формулою (1), то, дотримуючись принципу Лагранжа, при статичному навантаженні системи ми повинні мати:

    М®1 = М "их®2> (2)

    де т1, т2 - кутові швидкості, відповідно, черв'яка і зубчастого колеса, а М - вхідний момент. У динамічних же умовах, т. Е. За наявності в системі руху, співвідношення (2), дотримуючись принципу Даламбера-Лагранжа, можна узагальнити наступним чином:

    Мт, = М т2 - Про ,

    1 вих 2 Х- ^ тр >

    де <2Щ - втрати вхідної потужності на тертя.

    Величини втрат вхідний потужності на тертя розраховуються наступним чином:

    5 + п

    ОТР = до $ ^ (о, 8) (ДУ, Г) yoо.

    8

    Тут до - коефіцієнт тертя, t - одиничний вектор дотичної в точці контакту, ДУ = у1-в1, У1 = тк-Ф1, Уг = Рк'Щ, Гк, Рк - радіус-вектори точки контакту, відповідно, щодо осі обертання черв'яка і осі обертання зубчастого колеса.

    Програма і метод розрахунку можуть бути використані і для інших значень е, d, гь а, М.

    Таким чином, побудована математична модель нового виду зубчастого зачеплення, а саме, ексцентрикових-циклоїдальних зачеплення з криволінійними зубами. Модель включає в себе точні рівняння кривих - профілів деталей механізму і рівняння поверхонь цих деталей, а також алгоритм розрахунку силових характеристик. На підставі цієї моделі створено комп'ютерну програму, що дозволяє візуалізувати процес кинематически узгодженої взаємодії деталей механізму, отримувати значення ККД і величини контактних напружень.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Батурин А.Т., Іцкович Г.М. та ін. Деталі машин. - М .: Машинобудування, 1970. - 264 с.

    2. Пат. 2338105 РФ. МПК8 F16H 55/08. Зачеплення коліс з криволінійними зубами (варіанти) і планетарна передача на його основі / В.В. Станівської, С.М. Казакявічюс, Т.А. Ремньова, В.М. Кузнєцов. Заявлено 09.07.2007; опубліковано 10.11.2008, Бюл. № 31.

    3. Савелов А.А. Плоскі криві. - М .: ГІФМЛ, 1960. - 294 с.

    Надійшла 24.02.2009. Друкується в авторській редакції без урахування думок рецензентів

    УДК 514.85

    ОПТИМІЗАЦІЯ ПАРАМЕТРІВ НОВОГО ВИДУ зачеплення колеса з криволінійними зубами

    Н.Р. Щербаков

    Томський державний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Розглянуто оптимізація геометричних параметрів нового виду зачеплення коліс з криволінійними зубами, а саме ек-сцентріково-циклоїдальних. Зачеплення утворено гвинтовими зубами, причому менше колесо має один зуб, профіль якого в торцевому перетині є ексцентрично зміщену окружність. Профіль зуба більшого колеса в торцевому перетині є циклоїдальних криву. Показано, що ККД і контактні напруги залежать від ексцентриситету і діаметру окружності профілю меншого колеса. Дан алгоритм розрахунку оптимальних значень цих параметрів для досягнення найвищого ККД при гранично допустимих контактних напругах.

    Ключові слова:

    Математичне моделювання, ексцентрикових-циклоїдальних зачеплення, оптимізація.

    В [1] побудована математична модель роботи редуктора, що використовує новий вид зачеплення робочих коліс [2], одне з яких представляє собою гвинтовий ексцентрик, а профіль іншого побудований на базі циклоїдальних кривої. Таке зачеплення забезпечує потужні силовими характеристиками і дозволяє отримувати високі передавальні відносини в одному щаблі.

    Розглянемо геометричні параметри зачеплення, зміною яких можна було б оптимізувати зачеплення по ККД, а також по максимально допустимих значень контактних напружень. Оскільки мале колесо (гвинтовий ексцентрик) в зачепленні має один зуб (^ = 1), то передавальне відношення зачеплення визначається тільки числом зубів більшого колеса г2. При проектуванні редукторів передавальне відношення зазвичай є заданою величиною, отже, для нашого зачеплення варіювати число зубів більшого колеса ми не можемо. Другим заданим параметром редуктора є його номінальний крутний момент, що характеризує здатність навантаження передачі. Величина крутного моменту визначається габаритами передачі. Тому другий постійною величиною в нашому випадку ми вибрали міжцентрову відстань коліс а. Таким чином, в якості змінюваних для оптимізації параметрів були обрані діаметр окружності й в поперечному перерізі однозубого колеса і ексцентриситет е зміщення цієї окружності від осі обертання колеса.

    За допомогою робочої програми була знайдена матриця середніх значень ККД (сітка вузлів) при різних величинах е і й для а = 70 мм і 12 = 10. Для отримання чисельних значень ККД вибрали коефіцієнт тертя ковзання рівним 0,05.

    Далі, виконуючи в МаШСаё інтерполяцію кубічними сплайн-функціями двох змінних (е, й) проводимо через сітку вузлів поверхню, складену з кубічних поліномів від змінних е, й так, що перші і другі приватні похідні є безперервними в кожному вузлі сет-

    ки. Ця поверхня являє собою графік явно заданої функції двох аргументів е, й (рис. 1).

    Таблиця 1. Значення ККД для різних ексцентриситетів і діаметрів

    діаметр / ексцентриситет 13,7 мм 14,3 мм 14,9 мм 15,5 мм 16,1 мм 16,7 мм 17,3 мм

    3,0 мм 96,39 96,339 96,317 96,142 95,874 95,511 95,053

    3,5 мм 96,308 96,371 96,359 96,275 96,118 95,889 95,586

    4,0 мм 96,169 96,298 96,338 96,317 96,237 96,097 95,898

    4,5 мм 96,05 96,187 96,269 96,297 96,273 96,198 96,072

    5,0 мм 95,868 96,039 96,158 96,227 96,249 96,224 96,155

    5,5 мм 95,644 95,852 96,007 96,112 96,173 96,19 96,166

    6,0 мм 95,369 95,618 95,809 95,95 96,045 96,098 96,112

    Мал. 1. Значення ККД як графік функції двох аргументів

    Найбільше значення ККД знаходиться стандартними засобами МаШСаё як максимум значень цієї функції на обраних ділянках значень е, й. Одночасно визначаються і значення аргументів, при яких досягається цей максимум:

    КПДмакс = 96,34% при е = 4 мм, й = 15 мм.

    Таблиця 2. Значення контактних напружень для різних ексцентриситетів і діаметрів

    діаметр / ексцентриситет 13,7 мм 14,3 мм 14,9 мм 15,5 мм 16,1 мм 16,7 мм 17,3 мм

    3,0 мм 1,568.106 1,546.106 1,526.106 1,507.106 1,489.106 1,473.106 1,458.106

    3,5 мм 1,48.106 1,461.106 1,444.106 1,429.106 1,415.106 1,402.106 1,39.106

    4,0 мм 1,409.106 1,394.106 1,38.106 1,367.106 1,356.106 1,345.106 1,336.106

    4,5 мм 1,347.106 1,335.106 1,324.106 1,314.106 1,306.106 1,298.106 1,292.106

    5,0 мм 1,294.106 1,29.106 1,287.106 1,284.106 1,284.106 1,284.106 1,285.106

    5,5 мм 1,268.106 1,267.106 1,268.106 1,313.106 1,325.106 1,34.106 1,358.106

    6,0 мм 1,238.106 1,377.106 1,402.106 1,529.106 2,074.106 2,311.106 2,682.106

    Для цих же значень е, й знаходиться матриця середніх значень максимальних контактних напружень е при кутах повороту гвинтового ексцентрика від 0 до 180 ° при заданому розмірі ширини коліс Ь = 30 мм, і при вхідному моменті Іж = 50 Нм.

    За допомогою інтерполяції будується поверхня (рис. 2), що проходить через вузли сітки, яка є графіком функції двох аргументів е, й.

    де р- радіус-вектора q точок кордону загальної частини проекцій (рис. 4).

    Мал. 2. Значення контактних напружень як графік функції двох аргументів

    Мінімальне значення цієї функції - е-хв = 1,2-106 кг-м-1-з-2 при е = 5,4 мм, й = 14,6 мм.

    Слід зазначити, що максимальний ККД і мінімальні значення контактних напружень досягаються при різних значеннях параметрів е, й. Для знаходження оптимальних значень е, й, що дозволяють отримати необхідні ККД і середнє значення максимально допустимих контактних напружень? Е, створена спеціальна програма. Спочатку вводяться величини, рівні бажаного ККД (тткрй) і бажаного контактному напрузі (Тахое) і проводяться площині 1 = тткрй і 1 = Тахое. Потім на поверхнях, зображених на рис. 1 і рис. 2 залишаються тільки ті точки, які лежать вище (для рис. 1) і нижче (для рис. 2) цих площин. Решта частини поверхонь проектуються на площину аргументів е, й (рис. 3) і визначається межа перетину цих проекцій.

    Оптимальні значення е, й водночас були вектор оріті (е, й) за формулою:

    1 д

    Орйт (е, й) = -2Г '

    Ц г = 1

    Мал. 3. Проектування аргументів на площину аргументів

    Мал. 4. Точка оптимальних значень

    Таким чином, при е = 4,9 мм, а й = 16,23 мм отримуємо при інших рівних умовах найбільший ККД = 96,25% при контактних напругах, що не перевищують е = 1,3-106 ктм-1-з-2.

    Програма і метод розрахунку можуть бути використані і для інших значень гь а, Ь, Іж. Вибір іншого коефіцієнта тертя змінить тільки абсолютне значення ККД, не змінюючи оптимальних значень геометричних параметрів, при яких досягається цей ККД.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. бубонцями А.М., Щербаков Н.Р. Математичне моделювання динаміки нового виду зачеплення в передавальних механізмах // Известия Томського політехнічного університету. - 2009. - № 5. - С. 241-243.

    2. Пат. 2338105 РФ. МПК8 F16H 55/08. Зачеплення коліс з криволінійними зубами (варіанти) і планетарна передача на його основі / В.В. Станівської, С.М. Казакявічюс, Т.А. Ремньова,

    В.М. Кузнєцов. Заявлено 09.07.2007; опубліковано 10.11.2008, Бюл. № 31.

    Надійшла 24.02.2009. Друкується в авторській редакції без урахування думок рецензентів

    УДК 514.85

    КОМП'ЮТЕРНА МОДЕЛЬ ДИНАМІЧНОГО СТАНУ зубчасті рейкової передачі із зачепленням НОВОГО ВИДУ

    Н.Р. Щербаков

    Томський державний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Побудовано математичну модель роботи рейкової передачі, перетворюючої обертальний рух в поступальний і використовує ексцентрикових-циклоїдальних зачеплення. Механізм складається з черв'ячного елемента, що виконує роль генератора, і вихідний деталі (рейки), побудованої на базі циклоїди. Запропонований новий вид зачеплення забезпечує потужні силовими характеристиками і дозволяє отримувати не високі швидкості переміщення рейки. Створено комп'ютерну програму, що ілюструє кинематически узгоджений рух ідеальних геометричних фігур - торцевих перетинів працюючого механізму і дозволяє знаходити необхідні для конструювання числові характеристики, а так само знаходити оптимальні режими функціонування розглянутих систем.

    Ключові слова:

    Математичне моделювання, рейкове зачеплення, оптимізація.

    Вступ

    Розглянутий передавальний механізм відноситься до зубчастих кинематическим парам, а більш конкретно, до рейковим передачам, що перетворює обертальний рух в поступальний і навпаки. Відомі рейкові передачі - циліндричні, [1. С.381] черв'ячні і ін. Мають або недостатню навантажувальну здатність, або низький ККД. Пропонований механізм має підвищену навантажувальну здатність зачеплення при тих же габаритах, а також можливість отримання не високих швидкостей переміщення рейки незалежно від габаритів обертового колеса (а залежать тільки від кутового кроку рейки). Пристрій може бути використано замість звичайних рейкових механізмів в лінійних приводах верстатів, в пристроях рульового управління автомобілів, а також в вантажопідйомної техніки (рейкові домкрати і т. П.).

    Геометрична модель механізму

    На рис. 1 зображений фрагмент рейкової передачі в районі зачеплення її складових елементів.

    Передача складається з колеса - гвинтового ексцентрика і зубчастої рейки. Ідеальна поверхня гвинтового ексцентрика виходить як геометричне місце точок кола, центр якої переміщається по гвинтовій лінії навколо осі обертання колеса. Отже, в кожному перетині гвинтового ексцентрика, перпендикулярному його осі обертання, ми маємо коло радіуса р, центр якої зміщений відносно осі на ексцентриситет е. У такому ж перерізі рейки виходить еквідистанта трохоїда [2] (укороченою циклоїди), віддалена по нормалям до трохоїда на величину р. Таким чином, поверхня рейки виходить зміщенням такий еквідістанти уздовж осі ексцентрика з одночасним зсувом її в на-


    Ключові слова: математичне моделювання / ексцентрикових-циклоїдальних зачеплення / циклоїдальних крива

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити