В роботі розглядається виведення основних співвідношень теорії кінцевих поворотів. Проведено чисельне дослідження залежності направляючого косинуса кінцевого повороту від напрямних косинусів нерухомої системи координат і системи координат, пов'язаної з твердим тілом. Отримано формули для косинусів кута кінцевого повороту.

Анотація наукової статті з механіки і машинобудування, автор наукової роботи - Коротаєв Микита Антонович, Антонова Лідія Вікторівна


The paper deals with the conclusion of the basic relations of the theory of final turns. A numerical study of the dependence of the directional cosine of the final rotation on the directional cosines of the fixed coordinate system and the coordinate system associated with the solid body has been carried out. Formulas for the cosines of the angle of final rotation are obtained.


Область наук:

  • Механіка і машинобудування

  • Рік видавництва: 2019


    Журнал

    E-Scio


    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМИ КООРДИНАТ ТВЕРДОГО ТІЛА'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМИ КООРДИНАТ ТВЕРДОГО ТІЛА»

    ?УДК 519.254

    Фізико-математичні науки

    Коротаєв Микита Антонович, студент

    Національний дослідницький ядерний університет «МІФІ»,

    Москва, Росія Антонова Лідія Вікторівна, студентка

    Національний дослідницький ядерний університет «МІФІ»,

    Москва, Росія

    МАТЕМАТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ СИСТЕМИ КООРДИНАТ

    ТВЕРДОГО ТІЛА

    Анотація: В роботі розглядається виведення основних співвідношень теорії кінцевих поворотів. Проведено чисельне дослідження залежності направляючого косинуса кінцевого повороту від напрямних косинусів нерухомої системи координат і системи координат, пов'язаної з твердим тілом. Отримано формули для косинусів кута кінцевого повороту.

    Ключові слова: математичне дослідження, фізика, будівництво, управління, ядерні дослідження.

    Annotation: The paper deals with the conclusion of the basic relations of the theory of final turns. A numerical study of the dependence of the directional cosine of the final rotation on the directional cosines of the fixed coordinate system and the coordinate system associated with the solid body has been carried out. Formulas for the cosines of the angle of final rotation are obtained.

    Keywords: mathematical research, physics, construction, management, nuclear research.

    Вплив тривалого навантаження на зміну динамічного модуля пружності (динамічної жорсткості) матеріалу в часі можливо врахувати коефіцієнтом К

    Едо) - Едо • ^ Б'ф = 50 ^

    де і S '(t) - динамічні модулі пружності і жорсткості матеріалу в момент часу 1 від початку впливу навантаження, отримані за результатами вимірювань резонансним методом або методом передавальної функції на низьких частотах;

    Едо і S0 - теж в момент часу 1 = 0. Основні співвідношення теорії кінцевих поворотів представляють інтерес і актуальність для різних областей, наприклад, при побудові схеми молекул в біології, також у військових установках систем наведення, встановлення морського судна при крені, при вирішенні прикладних задач 3D моделювання або в управлінні рухом літального апарату в бортовій системі та ін. Динамічний модуль пружності матеріалу пружного шару з урахуванням його зміни в часі під дією тривалої статичної навантаження визначається за формулою

    Од (?) - Ед0

    N

    1 г? пг Н Г-15 • Г-10'5 + 1 -

    а наведена динамічна жорсткість Б 'за формулою:

    5 '(0 =

    Едо / ^

    1 г? .р Н

    Г-15 • Г-10'5 + 1 -

    При розрахунку поліпшення ізоляції ударного шуму використовують величину наведеної динамічної жорсткості S '. Тому при аналізі зміни звукоізоляційних властивостей матеріалу зручніше користуватися безпосередньо даною характеристикою. Це позбавляє від необхідності враховувати в кожен момент часу зміна товщини матеріалу пружною прокладки.

    В роботі [1] використовувався інший висновок формул для обчислення кута кінцевого повороту і його направляють косинусів, ніж в даній роботі. Автор статті [2] розглядає можливості використання інерційних датчиків низького і середнього класу точності в системах автоматичного управління польотом літального апарату з поправкою на кути кінцевого повороту, застосовуючи співвідношення теорію кінцевих поворотів. Вже згадана теорія кінцевих поворотів має також широку сферу застосування в численних аспектах проектування, моделювання та ін. Дослідження [3] присвячене питанням алгоритмів функціонування підсистеми управління, що входить до складу бортової інтегрованої системи керування літальним апаратом і використовуваної на заключному ділянці траєкторії руху. Метод взаємного орієнтування аерознімків, найменше схильний до кореляційним зв'язкам між помилками в кутових елементах, викликаними погрішностями вимірів відповідних прямокутних координат точок стереопари, вивчений в статті [4]. Ключові особливості сучасної автономної навігації, де також використовуються формули для знаходження кінцевого кута повороту, розглянуті в [5]. У статті розроблені і проаналізовані рівняння інерційної навігації для наземних навігаційних систем за допомогою напрямних косинусів. У статті вивчена методика побудови алгоритму балістико-навігаційного проектування перспективної космічної навігаційної системи на підставі обчислень кута кінцевого повороту. Автор роботи представив увазі коротку теорію управління зворотним зв'язком, динамічних моделей, динамічного відгуку, основних властивостей зворотного зв'язку, методу проектування частотної характеристики,

    проектування простору станів, цифрового управління і проектування системи управління з обчисленням відповідних направляючих косинусів кінцевого повороту динамічної установки. Висновок основних співвідношень теорії кінцевих поворотів Нехай тверде тіло рухається навколо нерухомої точки S. Введемо нерухому систему координат Sxyz і рухливу систему координат Sxlylzl, пов'язану з рухомим твердим тілом. Для зручності занесемо косинуси відповідних кутів з введеними осями нерухомої і рухомої системи координат в таблицю №1, а також введемо відповідні позначення для стислості запису направляючих косинусів в подальшому. У початковому положенні рухома система координат збігається з нерухомою. Потім вона змінює своє положення відносно нерухомої системи координат відповідно до таблиці напрямних косинусів.

    За першою сферичної теоремі косинусів для сферичного трикутника [5] встановимо співвідношення:

    cosx sina sinp = cosy- cosa cosp Тоді, якщо прийняти напрямні косинуси у вигляді: cosy = a; cosa = l; cosp = l (2)

    При підстановці (2) в теорему (1) отримаємо: (1 l) 2cosx = a - l2

    отже

    l2 + m2 + n2 = 1

    Формула для косинуса кінцевого повороту записується у вигляді: cosx = (a + e + i- 1) / 2

    Формули Ішлінського мають вигляд [1]

    l = (f-h) / (2 * sin (x)); m = (g-c) / (2 * sin (x)); n = (b-d) / (2 * sin (x)). Чисельне дослідження отриманих результатів. Програма Обчислимо значення напрямних косинусів кінцевого повороту за допомогою програми MATLAB, а також побудуємо графік залежності напрямних косинусів кінцевого повороту, введених в таблиці №1, від синуса кута кінцевого повороту, який дозволити орієнтацію осі кінцевого повороту.

    Програма побудови залежності трьох напрямних косинусів кінцевого повороту від синуса кута кінцевого повороту, що дозволяє орієнтувати вісь кінцевого повороту має вигляд:

    А = трШ :( 'Введіть матрицю напрямних косинусів, A ='); B = mput ( 'a = A (U); b = A (1,2); c = A (1,3); d = A (2,1); e = A (2,2); f = A (2,3); g = A (3,1); h = A (3,2); i = A (3,3) ');

    C = input ( 'sqrt ((A (1,1) - cos (x)) / (1 cos (x)) = (fh) / (2 * sin (x)); sqrt ((A (2, 2) -cos (x)) / (1 cos (x)) = (gc) / (2 * sin (x)); sqrt ((A (3,3) - cos (x)) / (1 cos (x)) = (bd) / (2 * sin (x)) ');

    cos (x) = 0.5 * (A (1,1) + A (2,2) + A (3,3) - 1); x = acos (0.5 * (A (1,1) + A (2,2) + A (3,3) - 1)); l = sqrt ((A (1,1) - cos (x)) / (1 cos (x)); m = sqrt ((A (2,2) - cos (x)) / (1 cos ( x)); n = sqrt ((A (3,3) - cos (x)) / (1 - cos (x));

    fprintf ( '\ n Вихідна матриця напрямних косинусів \ п'); fprintf ( '% 6.2f, A);

    fprintf ( '\ n косинус кута кінцевого повороту \ п'); fprintf ( '% 6.2f, cos (x)); fprintf ( '\ n Напрямні косинуси кінцевого повороту \ п'); disp ( 'l ='); disp (T);

    disp ( 'm ='); disp ( 'm'); disp ( 'n ='); disp ( 'n'); if Г2 + Тл2 + ПЛ2 = 1

    disp ( 'Значення напрямних косинусів знайдені правильно для кінцевого повороту е); else

    disp (Значення напрямних косинусів знайдені неправильно '); end

    x = 0: pi / 12: 2 * pi; l = (A (2,3) - A (3,2)) / (2 * sin (x));

    plot (x, l)

    xlable ( 'Кут кінцевого повороту x'); 11аЬ1е ( 'Один з направляючих косинусів l'); grid on

    Основні результати

    Відзначимо, що при х рівному п, значення косинуса кута кінцевого повороту l існувати не може, так як знаменник першого дробу звернеться в 0. Отже, х = п - ця пряма є асимптотой для залежності направляючого косинуса від синуса кута кінцевого повороту.

    Аналогічним чином поводяться графіки залежностей напрямних косинусів m і n з формул, тому вони тут не наводяться.

    Зауважимо, що при будь-яких x? (0; п / 2) значення l буде зменшуватися зі збільшенням аргументу х, але при x? (П / 2; п) значення l буде збільшуватися зі збільшенням аргументу х. Значення l не існуватиме при х = п, так як sin (n) = 0. В роботі розглядається виведення основних співвідношень теорії кінцевих поворотів. Проведено чисельне дослідження залежності направляючого косинуса кінцевого повороту від напрямних косинусів нерухомої системи координат і системи координат, пов'язаної з твердим тілом. Отримано формули для косинусів кута кінцевого повороту. Розроблено програму обчислення значень напрямних косинусів кінцевого повороту від величин, що входять в умову задачі. Проаналізовано залежність направляючого косинуса кінцевого повороту від синуса кута кінцевого повороту. Дана залежність наочно виводиться при запуску програми.

    Бібліографічний список:

    1. Ішлінський Ю.А. Орієнтація, гіроскопи і інерціальна навігація. М .: «Наука», 1976. - 672 с.

    2. Хацько Н.Є. Про можливість використання інерційних датчиків низького і середнього класу точності в системах автоматичного управління польотом літального апарату // Інженерний вісник Дона, 2013, №3 // URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2013/1756.

    3. Хусаїнов Н.Ш., Кравченко П.П., Салов В.В. Про дослідження бортовий інтегрованої системи управління рухом літального

    апарату з корекцією координат // Інженерний вісник Дона, 2013, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2013/2038.

    4. Добринін Н.Ф., Пімшіна Т.М. Взаємне орієнтування знімків з новим поєднанням кутових елементів // Інженерний вісник Дона, 2015 року, №3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3092.

    5. Пешехонов В.Г. Ключові особливості сучасної автономної навігації // гіроскоп і навігація. - 1996. - № 1 (12). С. 48-55.


    Ключові слова: MATHEMATICAL RESEARCH /PHYSICS /CONSTRUCTION /MANAGEMENT /NUCLEAR RESEARCH

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити