Розглянуті у виде Крайова завдань для Рівняння теплопровідності математичні моделі температурних розподілів во время прокатки металевої стрічки через двошарові валки двохвалкового прокатного стану. побудовали математична модель температурного поля одночасного процесса ліття? прокатування тонкої металевої стрічки с помощью валкового крісталізатора, валки которого ма ють вигляд трішарового циліндра зі щільнім контактом шарів з різнімі теплофізічнімі характеристиками. Розглянуто спрощений завдання, якові розв'язано чисельного-аналітічнім методом. Предложено алгоритм та програму для знаходження температурного поля зони нагрівання двота трішаровіх валків. Проведено чісельні експеримент та побудовані графіки температурних розподілів ціліндрічніх валків

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - В. П. Ляшенко, О. П. Дем'Янченко


MATHEMATICAL SIMULATION OF TEMPERATURE FIELD OF ROLLS AT STRIP ROLLING

Application of continuous roll casting of liquid metal in a roll crystallizer (RC) is a promising method of production of metal strip, allowing drastic reduction of power inputs on its manufacturing. The difficulty of the process of metal casting in RC lies in the fact that liquid metal has to be turned into a metal strip in the roll pass and it requires creation of certain thermal-dynamic equilibrium in the roll crystallizer. It is possible if at crystallizing an efficient thermal removal from the rolls is ensured with the objective of avoiding production losses. Much attention is paid to mathematical simulation of technological process, on the whole and simulation of thermal processes in roll passes of rolling mills at developing such energy-efficient technologies of strip manufacturing. Mathematical simulations of temperature distributions at metal strip rolling on two-layered rolls of two-roll mill were analyzed in the form of boundary problems for meat conductivity equation. A mathematical simulation was compiled for the temperature field of simultaneous casting-rolling process, by means of roll crystallizer, its rolls possessing the shape of three-layered cylinder with ideal layer contacts and different thermal-physic characteristics. A simplified problem, solved by numerical-analytical method was also considered. An algorithm and a simulator were proposed for finding the temperature field of heating area of ​​two and three layered rolls. The boundary problems were solved with the help of the systems of computer mathematic. On the basis of the algorithm a program was developed in MATLAB medium for solving a simplified boundary problem for the heat conductivity equation, making it possible to find temperature distributions in cylindrical rolls of a rolling mill and roll crystallizer, being heated by external acting sources and heat flow and periodically passing it into the surrounding medium. An obtained simplified boundary problem was solved obtained for two-layer rolls, by means of Maple pdsolve function. In the mathematic simulation of the temperature field of three-layered roll of the roll crystallizer the boundary problem was solved by means of finite elements with application of the systems of computer mathematics, according to the algorithm and with the help of GUI-addendum MATLAB PDETool . Numerical experiments were carried out. The simplified boundary problem for two layer rolls was solved by means of Maple pdsolve funcrion. Numerical experiments were carried out and graphs of temperature distributions of cylindrical rolls were compiled.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2018
    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

    Наукова стаття на тему 'Математична МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ валків ПІД ЧАС ПРОКАТКИ стрічки'

    Текст наукової роботи на тему «Математичне МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ валків ПІД ЧАС ПРОКАТКИ стрічки»

    ?УДК 517.9: 519.6: 621.98

    В.П. ЛЯШЕНКО

    Кременчуцький нащональній ушверсітет iMeHi Михайла Остроградського

    О.П. ДЕМ 'ЯНЧЕНКО

    Азовський морський iнститут Нащонального унiверситету "Одеська морська академiя"

    Математична МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ВАЛК1В П1Д ЧАС ПРОКАТКИ СТР1ЧКІ

    Розглянутi у віглядг Крайова завдань для ргвняння теплопровгдностг математічнi модел1 температурних розподтв nid годину прокатки металевог cmpi4KU через двошаровi валки двохвалкового прокатного стану. Побудовали математична модель температурного поля одночасного процесса ліття -прокатування тонког металевог стрiчкі с помощью валкового крісталiзатора, валки которого ма ють вигляд трішарового цілтдра зi щшьнім контактом шарiв з ргзнімі теплофгзічнімі характеристиками. Розглянуто спрощений завдання, якові розв 'язано чисельного-аналiтічнім методом. Предложено алгоритм та програму для знаходження температурного поля зони нагрiвання дво- та трішаровіх валюв. Проведено чісельнi експеримент та побудоват графжі температурніхрозnодiлiв цілтдрічніх валюв.

    Ключовi слова: математична модель, температурне поле, валковий крісталгзатор, Триангулярная стка, метод Делоне, температурн розподиі.

    В.П. ЛЯШЕНКО

    Кременчуцький національний університет імені Михайла Остроградського

    О.П. Демьянченко

    Азовський морський інститут Національного університету "Одеська морська академія"

    МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ВАЛКІВ ПІД ЧАС ПРОКАТКИ СТРІЧКИ

    Розглянуто у вигляді крайових задач для рівняння теплопровідності математичні моделі температурних розподілів під час прокатки металевої стрічки через двошарові валки двовалкова прокатного стану. Побудовано математичну модель температурного поля одночасного процесу лиття - прокатка тонкої металевої стрічки за допомогою валкового кристалізатора, валки якого мають вигляд тришарового циліндра з ідеальним контактом шарів з різними теплофізичними характеристиками. Розглянуто спрощена завдання, вирішена чисельно-аналітичним методом. Запропоновано алгоритм і програма для знаходження температурного поля зони нагрівання дво- і тришарових валків. Проведено чисельні експерименти і побудовані графіки температурних розподілів циліндричних валків.

    Ключові слова: математична модель, температурне поле, валковий кристаллизатор, Триангулярная сітка, метод Делоне, температурний розподіл.

    V. LYASHENKO

    Kremenchuk Mykhailo Ostrohradskyi National University

    O. DEMYANCHENKO

    Azov Maritime Institute of National university "Odessa Maritime Academy"

    MATHEMATICAL SIMULATION OF TEMPERATURE FIELD OF ROLLS AT STRIP ROLLING

    Application of continuous roll casting of liquid metal in a roll crystallizer (RC) is a promising method of production of metal strip, allowing drastic reduction of power inputs on its manufacturing. The difficulty of the process of metal casting in RC lies in the fact that liquid metal has to be turned into a metal strip in the roll pass and it requires creation of certain thermal-dynamic equilibrium in the roll crystallizer. It is possible if at crystallizing an efficient thermal removal from the rolls is ensured with the objective of avoiding production losses. Much attention is paid to mathematical simulation of technological process, on the whole and simulation of thermal processes in roll passes of rolling mills at developing such energy-efficient technologies of strip manufacturing. Mathematical simulations of temperature distributions at metal strip rolling on two-layered rolls of two-roll mill were analyzed in the form of boundary problems for meat conductivity equation.

    A mathematical simulation was compiled for the temperature field of simultaneous casting-rolling process, by means of roll crystallizer, its rolls possessing the shape of three-layered cylinder with ideal layer contacts and different thermal-physic characteristics. A simplified problem, solved by numerical-analytical method was also considered. An algorithm and a simulator were proposed for finding the temperature field of heating area of ​​two

    and three layered rolls. The boundary problems were solved with the help of the systems of computer mathematic. On the basis of the algorithm a program was developed in MATLAB medium for solving a simplified boundary problem for the heat conductivity equation, making it possible to find temperature distributions in cylindrical rolls of a rolling mill and roll crystallizer, being heated by external acting sources and heat flow and periodically passing it into the surrounding medium.

    An obtained simplified boundary problem was solved obtained for two-layer rolls, by means of Maple pdsolve function. In the mathematic simulation of the temperature field of three-layered roll of the roll crystallizer the boundary problem was solved by means offinite elements with application of the systems of computer mathematics, according to the algorithm and with the help of GUI-addendum MATLAB PDETool. Numerical experiments were carried out. The simplified boundary problem for two layer rolls was solved by means of Maple pdsolve funcrion. Numerical experiments were carried out and graphs of temperature distributions of cylindrical rolls were compiled.

    Keywords: mathematical model, thermal field, rolling catalyst, triangular net, Delaunay method, thermal distribution.

    постановка проблеми

    Виробництво металу травні велосипеді значення для розвитку народного господарства i зростання добробуту суспшьства. ВВД устшного розвитку металурги у значнш мiрi Залежить розвиток машинобудування, транспорту, сшьського господарства та шшіх галузь народного господарства [1]. Технолопчній процес Отримання готового прокату у багатьох випадка е завершальній стягнула металургшного виробництва. Через прокатш цехи проходити почти вся сталь, что віплавляеться в сталеплавильних цехах, тому поряд зi збiльшення виробництва прокату юнуе проблема шдвіщення якосп продукцп, что віпускаеться та ефектівносп прокатного виробництва. Цього вдається досягті за рахунок создания Нових технологш та зниженя енерговітрат на виробництво готово! продукцп [1]. Перспективним безпосередньо виробництва металевих! стрiчкі, что дозволяе суттево знізіті енерговітраті на І виробництво е использование неперервно! валковий! розливки рiдкого металу у валковi крісталiзаторі (ВК). Складнiсть розливки металу у ВК полягае у тому, что рвдкій метал у валковий калiбрi Потрiбна превратить у тверду металеву стрiчку, а це Вимагаю создания певно! термодінамiчноl рiвновагі у валковий крісталiзаторi. Це можливо, если пiд час крісталiзацil ввдбуваеться Ефективне вщведення тепла ВВД валк1в з метою запобпання Втрата готово1 продукцп. При створенш таких енергоощадних технологш виробництва з ^ чки та прокату велосипеді значення виводитися математичного моделюваннi технолопчного процесса в цiлому та моделюванш теплових процесiв у валковий калiбрах прокатних станiв, зокрема ВК засоби комп'ютерно! математики.

    Аналiз останнiх дослвджень i публiкацiя

    Як показавши аналiз робiт [2, 3], Досить перспективним з точки зору зниженя енергетичних витрат (в 8-10 разiв) е использование валковий крісталiзаторiв (ВК), яш дозволяють вiдліваті Стальова стрiчку, максимально Наближення по товщінi до готового вироби, что iстотно скорочуе виробничий цикл i к1льк1сть необхвдного обладнання. Например, в кранах? С розроблено технологш за проектом «ЕішБЙр», підставою на застосуваннi ВК i яка дозволяе віробляті Стальова стрiчку у широкому дiапазонi розмiрiв. При вікорістанш ВК рвдка сталь потрапляе у проспр м1ж Рухом валками i при контактi з ними крісталiзуеться ввддаючі своє тепло Рухом валянням i віходячі з валк1в у формi твердо1 стрiчкі (рис.1). При цьом товщина последнего! визначаеться вщстанню мiж валками крісталiзатора, а ширина - бiчнімі стiнкамі ВК, яш могут змiнюватіся. Валки крісталiзатора виготовляють iз жаростiйкіх матерiалiв, например, сплаву мвс з хромом у виглядi порожністіх цілiндрiв, что обертаються i iнтенсівно охолоджуються з середини Радіної [2].

    TBL'JI ^ I З ф] ЧКН

    Мал. 1. Схема формирование стр1чкі у ВК.

    Розрахунок розподшу температури в валках ВК травні важліве прикладне значення. Вш дозволяе прогнозуваті життевих цикл ВК. При проектуванш ВК велосипеді значення виводитися математичного моделюваннi процесса теплообмiну у системi розплавленій метал - прокатш валки, ЯК-1 ма ють складаний конструкцiю.

    Найбiльш розповсюдження методом Отримання стрiчкі е прокатка і через валки прокатного стану, что ма ють вигляд одне та двошарова цілiндрiв [3, 4].

    Основним Показники якосп прокатано! стрiчкі е І геометрічш розмiру.

    Пад час прокатки страйку, в момент проходження І м1ж валками прокатного стану виднітися тепло деформації, Пожалуйста пекло на падвшцення температури стр1чкі та валів (рис. 2).

    Деформація до зони примусове охолодження; в - кут зони примусове охолодження; <- - направление прокатки.

    За рахунок тепла деформації падвіщуеться температура валів, что спріяе! Х нерiвномiрному тепловому розширенню уздовж радiуса i за рахунок цього зменшуеться товщина стрiчкі, что приводити до Порушення розмiрiв стрiчкі. Крiм того пiдчас роботи валки прокатного стану зношуються пад дiею температури та тертого деформації. Для подовжений роботи валк1в на них завдаючи зносостшке та теплостшке покриття, а такоже примусових охолоджують.

    У Науковi лiтературi предложено цшій ряд математичних моделей процесса теплообмшу пiд час прокатки стрiчкі на прокатному Сташ [4-12]. У робот [4] розглядаеться математична модель теплового профшя валка прокатного стану пад час прокатки металевих! стрiчкі у виглядi початково-Крайова! задачi для рiвняння теплопровiдностi.

    У роботах [4, 5] розглядаеться математична модель теплового стану валка пад час Гаряча! прокатки стрiчкі у виглядi нестацюнарно! однорадно! початково-Крайова! задачi для рiвняння теплопровадносп. Прокатний валок розглядаеться у виглядi двошарова цілiндра. М1ж кулями травні мюце щiльній тепловий контакт, Який з математично! точки зору визначаеться рiвнiстю температур та теплових потоиу (Умова теплообмiну четвертого роду). На інцях та поверхнi цілiндрічного валка, що не защяного у зонi контакту з металевих стрiчкою, травні мюце теплообмiн з оточуючім середовища за законом Ньютона. Недовгому математичних моделей запропонованіх у роботах [3-5] е вадсутшсть нелiнiйно! складових! - умови Стефана -Больцмана у граничних условиях. У роботi [7] предложено математична модель двошарова цілiндра зi щiльнім та не щiльнім тепловий контакт. Теплообмш зовнiшнього! поверхнi цілшдрічного валка з оточуючім его середовище сталий по усiй поверхнi. Математична модель что предложено у ЦШ робот травні вигляд початково-Крайова! задачi для неоднорідного рiвняння теплопровiдностi.

    Для визначення температурного розподiлу Т (г, 2, г) у такому Складення цілiндрi пріходімо до Наступний! Крайова! задачi на спряження

    . 1 д. Дт. д2Т дт? -Я, у го<го,

    г ДГ ДГ д22 ДГ [0, у 0 < г < г - А

    0 < г < I, Т > 0,

    Т (г, 0, г) = Т (г, 2,0) = Т), Т (г, 2, I) = Т (2)

    . дт (г0 - А-0,2, г) з дт (г0 - А + 0,2, г)

    Л1 - ^ - = Я2 - ^ -, (3)

    ДГ ДГ

    Т (г0-А-0,2, г) = Т (г0-А + 0,2, г), (4)

    Л1 = _а (т-тс) -а (Т4 -Тс4), ^^^ = 0 (5)

    8г 8т

    де Л} 2, с ^ 2, Р \ 2> Ро, в, а, 8, а, q - вiдповiднi теплофiзічнi характеристики та Параметри матерiалiв шарiв.

    Для визначення температурного розподшу у внутрiшнього цілiндрi Було проведене усереднення температури по радiусу зовшшнього цілiндра i отримай Умова відмінювання iмпедансного типу. Розрахунки температурного поля внутршніх цілiідра отріманi чисельного-аналiтічнім методом та побудоваш температурнi розподiлі. Математична модель, у виглядi задачi (1-5) не дозволяється застосуваті І до розрахунку температурних розподiлiв Рухом вокруг своє! ої валк1в, так як теплообмш з оточуючім! х середовище у рiзних частин поверхнi рiзній. Математична модель процесса теплообмшу валка прокатного стану включае у себе три складів ^ 1) теплообмiн части валка з металом, что шддаеться деформацп, ПВД годину яко! виднітися тепло деформації; 2) теплообмiн части валка з примусових охолоджуючою его рщіною; 3) теплообмiн части валка з навколішшм повiтря за законами Ньютона та Стефана-Больцмана. У зош першо! части моделi травні мюце щiльній тепловий контакт, пiд час которого температура страйку i поверхш валка вірiвнюються, маемо граничну умову четвертого роду, умову спряження; у другш та третiй Частина моделi травні мiсце теплообмiн за законами Ньютона та Стефана-Больцмана або за одним iз них.

    Мета дослвдження

    Метою е побудова математичних моделей температурного поля двошарова валів двох валкового прокатного стану та трішаровіх валів ВК тд годину виробництва металевих! стрiчкі при щшьному контактi шарiв валка з рiзнімі теплофiзічнімі характеристиками шарiв.

    Викладення основного матерiалами досл1дження

    Моделювання температурного розподшу одне та двошарова валів прокатного стану шд час термiчно! ОБРОБКИ та прокатки стрiчкі вiдносіться до завдань визначення температурного поля у цілiідрічнiй обласп, что обертаеться вокруг своє! ос з Кутового швідістю зі [\\, \ 2]. Для визначення температурного розподшу Т (т, ^, р, t) у такому Складення цілiідрi пріходімо до Наступний! Крайова!

    задачi на спряження в

    обласп Qxt = {(т,) | 0 < т < ?о, 0 < г < 1,0 <р< 2ж, 1 > 0}.

    . \ Д, дт, д2Т, \ д2Т дт \-год /, V? О-А + 0<т<?0,

    Ч, 2 - ^ (ТТ) + Ч, 2-Т + Л1,2_2-Г-С \, 2 Р \, ^ =] п «п л л (6)

    'Т дт дт' ДГ т ін дt [0, V 0 < т < т0 - А - 0,

    Т (т, 0, р, ^ = Т (т, г, р, 0) = Т), Т (т, 1, р, t) =% (7)

    Л \ ТГ (т0 - А - 0, г, р, t) = Л2Т (т0 - А + 0, г, р, t), Тт - А - 0, г, р, t) = Т (т0 - А + 0, г, р, t)

    (8)

    \ Тг (т0, г, р, t) = -а (Т-Тс) -8а (Т4 -Т?),

    (9)

    Тт (0, г, р, ^ = 0,

    Т (т, р + 2п, t) = Т (тр), (10)

    де Тс - температура середовища, что оточуюе валки.

    Розглянемо математичний модель температурного поля валка у валковий крісталiзаторi (рис.1), что травні вигляд трішарового цілiндра, у якому одна частина зовшшнього кулі контактуе з розплавленім металом, что травні температуру tс, а Шша частина зовшшнього кулі прийомів доля у теплообмш iз

    оточуючім его середовище з температурою Тс. До іншого шару валка ВК, что травні щ№ній тепловий контакт з дере тепло передаеться теплопроввдшстю i ВВД него до третього шару такоже теплопровiднiстю.

    Визначення температурного розподшу Т (т, г, р, t) у трішаровому цілiідрi ВК, де частина зовшшнього кулі в условиях щшьного теплового контакту спріймае тепловий потшуся ВВД розплавленого металу та передати его до следующего, а внутршнш куля, что травні стало температуру менше вiд температури зовшшшх шарiв, прийомів доля у теплообмш iз зовнiшнiмі кулями травні вигляд Крайова! задачi для однорідного рiвняння теплопровiдностi у цілiндрічнiй областi з ціктчно дiючімі умів теплообмiіу

    Qxt: {0<т <т0, 0 <г <I, 0 <t <^}:

    ^ Початок ^

    _ I _

    Введення даііх: N. видання, ГД, р, с, Т]

    Візначасмо розрахупковій крок сікі за іросторовою координати: І = г / N

    Візначасмо розрахупковій крок аткі за годиною:

    Що вводяться Початкове поле теміературі: / косфгщентн А, В, С /

    V "

    Виведення результату

    і!

    Збііпіуемо ян ну годині на

    крок г; 1 = 1 + т

    X

    Розраховугмо прогоночш коефнменті в Першому вузл1 р1зніцев01 с1ткі а. | 1|

    X

    Візначасмо температуру на кордонів] Т \ -п + 1

    Розраховуемо поле теміературі тощо + | ,! = N-1 ..... 1

    Мал. 3. Блок-схема алгоритму роботи програми.

    ,1 д (дт] д2Г {, 1 д% ДЦ г ДГ у ДГ) дг2 г2 д ^ 2 ДГ

    ДТ1 ДГ

    г = 0

    = 0, ^

    ДГ

    Т (г, 2, ф, 0) = Т),

    Т (г, 0, ^, г) = Тз, Т (г, 1,9, 0 = Т

    Г д, V а>г<ф<ф0 +, = ^ (г, г ^ t, Т) = -! / 4

    3 [ «1 (Тс - Т) +? ° (Тс - Т4)

    Т (г1 ~ 0, рр) = Т + 1 (г + 1, г t), 1 = 1-3 дт + 1

    ДГ

    = Л + 1 |

    г = г -0

    ДГ

    , / = 1 ... 3,

    (11)

    (12)

    (13)

    (14)

    (15)

    (16)

    г = г +0

    Завдання (11) - (16) можна спростіті, розглянувші температурне поле ращального перерiзу валка, вважаючі, что температура уздовж осi 02 залішаеться став, поклали ТГ = 0. Н розв'я зуемое чисельного-аналiтічнім методом. Так як джерела i стоки тепла у ВК дшть ціктчно, то через Деяк годину настає Температурна рiвновага у системi розплавленій метал - валки - охолоджуюча рщіна.

    На основi алгоритму (рис. 3) Створено програму у середовіщi МЛТЬЛБ для знаходження температурного поля зони назви трішарового валка, что розiгрiваеться ВВД розплавленого металу у ВК. Завдання розв'язується методом шнцевіх елеменлв iз ЗАСТОСУВАННЯ систем комп'ютерно! математики зпдно алгоритму (рис.3) с помощью GUI-додатка MATLAB РББТоо1. Сформульовано Триангулярная сiтку з Використання методу Делоне. Кріволшшна границя областi апроксімуеться вiдрiзкамі - ребрами

    трикутна інцевіх елеменпв [13]: Для двошарова валів отриманий спрощений Крайову задачу розв'язано за помощью функції 'Maple pdsolve.

    Мал. 4. Температурний розподл у дво та трішаровому валку, побудованому зг1дно алгоритму (рис.3), за розв'язком спрощений

    задач (6) - (10) та (11) - (16).

    Висновки

    Побудоваш математічш модел1 у вігляд1 Крайова завдань на спряження для визначення температурного розподшу тд годину прокатки металевих! стр1чкі с помощью прокатного стану та валкового крістал1затора, валки якіх ма ють вигляд двошарова та трішарового цілшдр1в з р1знімі теплоф1зічнімі характеристиками шар1в. Побудовали алгоритм та на его основ1 Створено програму для знаходження температурного поля зони нагр1вання трішарового валка. Завдання розв'язано методом інцевіх елеменлв 1З ЗАСТОСУВАННЯ систем комп'ютерно! математики зпдно Надання алгоритму с помощью GUI-додатка MATLAB PDETool.

    Список вікорістано'1 лiтератури

    1. Сталь на рубежі століть / [Белянчіков Л. Н ,. Бородін Д. І, Валавіна В. С та ін.]; під. ред. Ю.С. Карабасова. - М. МІСІС, 2001. - 664 с.

    2. Бровман М. Поєднані процеси безперервного лиття і прокатки. Перспективи розвитку металургійної промисловості / М. Бровман. - Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2014. - 627 с.

    3. Чубенко В.А. Дослщження ефектівносл суспензшно! розливки рідко! сталi у ливарно-прокатш КЛТ для виготовлення тонких смуг / В.А. Чубенко, А.А. Хшоцька, В.В. Чубенко // Гiрнічій вюнік, .- 2016. - Вип. 101.- С. 183-187

    4. Борисов А.А. Математична модель теплового профілю валка прокатного стану, як об'єкта з розподіленими параметрами та постановка задачі управління планшетних прокату / А.А. Борисов // Нау ^ пращ ДонНТУ. - 2007. - Вип. 130. - С. 18-22.

    5. Трішевській О.1. Розробка математично! ' моделi теплового стану валка при гарячш прокатщ листа / О.1. Трішевській., М.В. Салтавець, О.А Юрченко // Східно-європейський журнал передових технологій. - 2009. - № 5/4 (41). - С. 14-17.

    6. Трішевскій О.І. Розробка математичної моделі теплового стану смуги при прокатці / О.І. Трішевскій., М.В. Салтавец // Сталь. - 2009. - № 2. - С. 42-44.

    7. Демьянченко О.П. Температурне поле необмеженого теплоізлучающего циліндра / О.П. Демьянченко, О.Г. Нартова // Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування. - К .: Ін-т математики НАН України. - 1999. - С. 80-84.

    8. Демьянченко О.П. Усереднена завдання теплопровідності для обертового полого циліндра / О.П. Демьянченко // Доповщ НАН Укра! Ні. Математика. Природознавство. - 2002. - № 3. - С. 98-103.

    9. Ляшенко В.П. Дослщження температурного поля двошарова цілшдра з рiзнімі теплофiзічнімі характеристиками / В. П. Ляшенко, Т. А. Григорова // Вюнік Харівського нащонального ушверсітету iменi В.Н. Каразша. - 2010. - № 890. - С. 47-52.

    10. Ляшенко В.П. Математічш моделi теплообмшу з умів iмпедансного типу у багатошаровіх областях / В.П. Ляшенко, О.Б. Кобільська, О.П. Дем'янченко // Вюнік Кременчуцького нащонального ушверсітету iменi Михайла Остроградського. - 2017. - Вип. 6/2017 (106). - С. 37-43.

    11. Березовська Л.М. Періодична задача теплопровідності для циліндра з термічним покриттям / Л.М. Березовська, О.П. Демьянченко // Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування. - 1998. - С. 17-20.

    12. Ляшенко В.П .. До розрахунку температурного поля теплоізлучающего полого циліндра / В.П. Ляшенко, О.П. Демьянченко // Вісник Херсонського державного технічного університету. - 2002. -№ 2 (15). - С. 154-159.

    13. Савула Я.Г. Числовий аналiз завдань математично! фiзікі варiацiйнімі методами / Я.Г. Савула. - Львiв: Видавничий центр ЛНУ iм. 1вана Франка, 2004. - 222 с.


    Ключові слова: математична модель / температурне поле / валковий крісталізатор / Триангулярная сітка / метод Делоне / температурні розподілі / mathematical model / thermal field / rolling catalyst / triangular net / Delaunay method / thermal distribution.

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити