Розглянуто задачу розрахунку ПДВ в напрузі і деформаціях при виготовленні циліндричних оболонок методом намотування на різних етапах її виготовлення.

Анотація наукової статті з механіки і машинобудування, автор наукової роботи - Воронцов Георгій Васильович, Євтушенко Сергій Іванович


In article the problem of calculation of the is intense-deformed condition in pressure and deformations at manufacturing of cylindrical covers by a winding method at various stages of its manufacturing is considered.


Область наук:

  • Механіка і машинобудування

  • Рік видавництва: 2009


    Журнал: Известия вищих навчальних закладів. Північно-Кавказький регіон. Технічні науки


    Наукова стаття на тему 'Математична модель склопластикових виробів, одержуваних методом поздовжньо-поперечного намотування'

    Текст наукової роботи на тему «Математична модель склопластикових виробів, одержуваних методом поздовжньо-поперечного намотування»

    ?УДК 624: 621

    МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ склопластикові ВИРОБІВ, ОТРИМУВАНИХ МЕТОДОМ поздовжньо-поперечного намотування

    © 2009 р Г.В. Воронцов, С.І. Євтушенко

    Південно-Російський державний South-Russian State

    технічний університет Technical University

    (Новочеркаський політехнічний інститут) (Novocherkassk Polytechnic Institute)

    Розглянуто задачу розрахунку ПДВ в напрузі і деформаціях при виготовленні циліндричних оболонок методом намотування на різних етапах її виготовлення.

    Ключові слова: напружено-деформований стан; оболонки; залишкові напруги; диференціальні рівняння; граничні умови.

    In article the problem of calculation of the is intense-deformed condition in pressure and deformations at manufacturing of cylindrical covers by a winding method at various stages of its manufacturing is considered.

    Keywords: tensely deformed condition; covers; residual pressure; the differential equations; boundary conditions.

    Постановка задачі

    В процесі виготовлення намотувальних стеклопла-стікових оболонок обертання з конічними, циліндричними і іншими ділянками виникають такі групи залишкових (початкових) напруг.

    1. Залишкові напруги, обумовлені натягом стрічок під час намотування і перерозподілом внутрішніх зусиль внаслідок податливості попередньо укладених шарів.

    2. Залишкові напруги, що виникають при розігріванні напівфабрикату з метою полімеризації сполучного і викликані:

    а) зміною пружних характеристик матеріалу вироби внаслідок розм'якшення зв'язуючого;

    б) нерівномірним температурним розширенням оправлення і матеріалу напівфабрикату, температурні коефіцієнти розширення якого в різних напрямках неоднакові.

    3. Залишкові напруги, що утворюються в процесі полімеризації (усадка або розширення) сполучного.

    4. Температурні напруги, що виникають при охолодженні вироби і відрізняються за величиною від напружень, викликаних розігріванням. Це пояснюється відмінністю фізико-механічних характеристик матеріалу на стадії розігрівання і після полімеризації (витримці вироби при підвищених температурах).

    5. Напруження, що виникають при знятті вироби з оправлення.

    Нарешті, при відрізанні кінцевих циліндричних ділянок вироби ( «свідків») відбувається новий перерозподіл залишкових напружень, яке можна вважати окончательним1.

    1 Залишкові напруги, що виникають при подальшій обробці вироби, не розглядаємо.

    Відзначимо, що в процесі виготовлення виріб знаходиться в двох різних умовах деформування - оболонки, насадженої на оправлення, і вільної оболонки.

    Цілі досліджень:

    а) знаходження залишкових напружень на кожному етапі виготовлення і в готовому виробі;

    б) обгрунтування закону зміни натягу в процесі намотування, що забезпечує отримання пліт-нопрочного матеріалу і оптимальний розподіл залишкових напружень невисокого рівня.

    При знаходженні напруженого стану на всіх етапах виготовлення склопластикових оболонок приймаємо такі гіпотези.

    1. Гіпотези суцільності, пружності і лінійної деформованості матеріалу.

    Товщину намотуваних поперечних і укладаються поздовжніх шарів вважаємо пренебрежимо малої в порівнянні з товщиною стінки вироби. Дискретну структуру матеріалу замінюємо суцільний анізотропним середовищем з різними фізико-механічними характеристиками в радіальному, окружному і трансверсальному напрямках.

    Залежність між векторами напруг про та деформацій? вважаємо лінійної, причому

    О = Е? ,

    де Е - матриця пружних констант матеріалу.

    Після знаходження «макронапружень» про визначаємо «мікронапруги» в сполучному і наповнювачі.

    2. Фізико-механічні властивості матеріалу і напружено-деформований стан вироби вважаємо симетричним щодо осі обертання оболонки. Тому приймаємо:

    про (r, s) = colon [ar a0 as xrs],

    ? (R, s) = colon [sr Sq Ss srs],

    де координати r, s і індекси r, Q, s відповідно ставляться до радіальних, окружним і трансверсалями-ним напрямками. Матриці E; - жорсткості матеріалу на різних етапах матеріалу будуть розглянуті особливо.

    Коефіцієнти температурного розширення матеріалу об'єднуємо в вектор

    a = colon [ar a, Q as 0]

    з різними за величиною компонентами аг ад а5. Відносні подовження, обумовлені зміною температури матеріалу на t0 (г, 5) градусів обчислюємо за формулою

    = 10а.

    3. Гіпотеза про «миттєвому статичному» зміні фізико-механічних характеристик матеріалу і температури вироби.

    Процес виготовлення виробу представляємо як послідовну зміну кінцевого числа станів матеріалу і оболонки. Кожне стан характеризуємо температурою, фізико-механічними константами матеріалу і умовами обпирання оболонки. При переході від одного стану до іншого миттєво змінюються всі або будь-якої один із зазначених факторів, наприклад тільки жорсткість або температура матеріалу. Перехід до нового стану вважаємо статичним, т. Е. Що не супроводжується тепловим ударом і коливаннями.

    Тим самим вважаємо, що розподіл напружень і деформацій у виробі не залежить від закону і тривалості зміни факторів при зміні станів, а тільки від їх початкових (стан -) і кінцевих (стан - +1) значень. Нульовим гіпотетичним станом вважаємо напівфабрикат, намотаний на абсолютно жорстку оправлення нерозтяжними і несмінаемой стрічками.

    Відносні подовження в виробі в (- +1) -стан обчислюємо за формулою

    отримуємо

    ?i +1 =? i + Ф U i

    + Ь

    (1)

    де і - + 1 - додаткові переміщення елементарних обсягів оболонки, викликані змінами деяких факторів; Ф - матричний оператор, що здійснює перетворення виду

    ? = Ф U.

    (2)

    оскільки

    h + 1 = Ei + 1 (? i + 1 -tai + 1), «i = Ei (? i -tai),

    +1 = E-1

    i +1 «i +1 + ti +1« i +1; ? I = Ei i + tiai, (3)

    де tj +1, tj і а, - +1, а, - - температури і коефіцієнти розширення матеріалу в, -м і (, + 1) -м станах.

    Підставляючи вирази (3) в рівність (1), отримуємо основне співвідношення:

    «I + 1 = Ei + 1

    ,-1

    Ei «i-ti + 1ai + 1 + tiai + Ф U

    i + 1

    - = 1,2, .... (4)

    Напруження в першому стані знаходимо за формулою

    «1 = 0о + Е1Ф і I.

    Тут про про - напруги в виробі, намотаною на

    абсолютно жорстку оправлення недеформіруемое стрічками.

    Рішення завдання в переміщеннях

    Умова рівноваги нескінченно малого елемента оболонки Ег х ds х записуємо у вигляді

    D «= 0,

    (5)

    де D - лінійний матричний диференційний оператор, що залежить від геометричних параметрів оболочкі1.

    Підставляючи вираз (4) в умову (5), маємо:

    Ш + 1ф и- +1 = -М, - +1 (Е- 1о- + ^ а- + 1а- +1), I = 1,2 ,. (6)

    Рівняння (6) і (4) дозволяють послідовно знаходити переміщення і - +1 і залишкові напруги

    про - +1 (- = 1,2 ,.) на кожній стадії виготовлення оболонки, якщо відомі фактори попереднього стану (напруги о- і температура t ^). Відзначимо,

    що вид рівняння (6) не залежить від того, залишається оболонка насадженої на оправлення або знята з оправлення.

    Оскільки стану - + 1 в даній моделі процесу оборотні, з (6) випливає:

    м

    DE ^ i

    -Фі = (Е +1 «- +1 + ^ + 1а- + 1 - -),

    - = 1,2 ,. . (7)

    Рівняння (7) застосовуємо при рішенні зворотної задачі - знаходження закону намотування при заданому розподілі залишкових напружень в готовому виробі.

    Рішення завдання в напружених

    Припустимо, що нами отримано рішення допоміжної задачі про знаходження переміщень і

    1 Напрямок 5 в загальному випадку збігається з дотичною до твірної серединної поверхні оболонки.

    оболонки при заданому розподілі напружень про та температур t. Для цього необхідно проінтегрувати систему рівнянь

    Ф і I = Е -1о + tа,

    см. співвідношення (2) і (6). Рішення представляємо у вигляді

    u = A (E ^ + ta j,

    де А - деякий інтегральний матричний оператор, що залежить від умов закріплення оболонки.

    Оскільки додаткові переміщення і - +1 обумовлені зміною напруженого і температурного стану оболонки від о, -, tj, а- до

    i + 1, ti +1, ai +1

    a,

    маємо:

    u i + 1 = Ai +1 (Ei + 1® i +1 + ti + 1a i +1 j -A, (E, -1® i + tia i j,

    (8)

    2

    d ae, i + 1 + 3 dae, i + 1 + ae, i + 1

    dr

    2

    r dr

    r

    2

    1-

    E

    л

    e, i + 1

    2

    d oei + 3 da

    dr

    2

    ei I aei r dr r 2

    1

    E E

    r i +1 \

    ei

    E

    r J

    Вплив температурних факторів тут не враховується.

    Рівність (9) доводить правомочність «звернення» завдання, про яке говорилося в попередньому розділі.

    Відзначимо, що оскільки в рівняння (9) входить диференційний оператор Ф, множення матриць слід проводити таким чином, щоб множення на матрицю Ф було заключною операцією:

    Ф (А (Е

    (A (E- 1s j) •

    Загальні рівняння для вирішення завдання в напружених можуть бути складені в результаті безпосередньої підстановки формули (8) в вираз (6):

    де відмінності в матрицях А- +1, А - обумовлені можливими змінами пружних констант матеріалу і умовами обпирання оболонки.

    Підставляючи залежність (8) в формулу (4), отримуємо:

    (В- фа- + 1) (Ег "+ 1О- +1 + ^ + 1а- +1) =

    = (? -ФА -) (Е-1о - + -), (9)

    де В - одинична матриця.

    Рівність (2) доводить инвариантность Вира-

    (В-ФА -) (Е 1о; - + t ^ а -) для будь-яких перебуваючи-

    D

    Ei +1 (фа, + 1E- + 1® i + 1 + (ФА, +1 -8 j ti + 1a i +1 j = + DEi + 1 (фа, -8 j (E- 1a i + t, aij •

    + Щ /

    В цьому випадку умови рівноваги враховуються автоматично.

    Основні рівняння для циліндричного кільця при вирішенні задачі в переміщеннях

    Умовою рівноваги нескінченно малого елемента кільця d (Огг) / dr - Од = 0 відповідає оператор

    D =

    вання

    ний - = 1,2, ..., що відрізняються пружними константами Е, коефіцієнтами температурного розширення а, температурами t і граничними умовами вироби.

    Додаючи до вираження (9) диференціальні умови рівноваги Dог- +1 = 0, Dог| = 0, отримаємо повну систему рівнянь, достатню для знаходження вектора о- +1 при заданих напрузі о-, температурах і фізико-механічних характеристик матеріалу Е + 1, Е і а- + 1, атака, для циліндричного колодязя з постійними за обсягом модулями Ег, Од рівняння (9) в сукупності з умовами рівноваги може бути перетворено до виду:

    d Л л

    r- + 1I-1, dr J

    (10)

    причому про = colon [ar Gg]. Відносні деформації елемента

    du

    е r =

    r

    u

    dr

    ee =

    тому оператор Ф =

    d 1

    --ae

    dr 2 e

    (11)

    оскільки і = иг .

    Матриці жорсткості і податливості матеріалу

    E = V

    Er М re Er

    ^ ErEe Ee

    E-1 = v

    1 М ze

    еГ Ee

    Mer 1

    Er Ee

    де V = (1 - Мет Мет) 1, Мг9Ег = МетЕе. Пружні константи матеріалу вважаємо постійними за обсягом кільця.

    З урахуванням виразів (10) - (12) рівняння (6) отримує вид:

    Г

    Ег МтеЕг ет

    МетЕе Її \ 1 _ т

    Ет М теЕт

    МетЕе Її

    d Л ^

    r- +1 I-1, dr J

    u

    r, i +1

    d Л ,

    r - +1 I-1 dr IJ

    i + 1

    f

    1 д re [d "

    Er dr

    ^ Er 1 + 1

    Ee Ee _ i _ r _

    \

    A (ta r) A (tae)

    i + 1, i

    Після перетворень виводимо:

    r k + ^ -? 2 u J

    r

    ° ei (? 2 + 1ii, i +1 + AMre -? 2 + 1? I + 1, i,) +

    E

    ei

    ?2 + 1A ^ er - r ^ Адre

    Eri Eei

    +

    + [A (ta r) + Mre, ​​i + 1 A (tae) -? 2 + 1 (A (tae) + д re, i + 1A (ta r))

    (13)

    У рівнянні (13) позначено:

    Р2 =, +1 = 1 МТЄ, / 'МТЄ, / +1,

    ет

    АМ = Мi +1 - Мi, А (? А) = +1 «/ - + 1 - цщ. Рівняння (13) істотно спрощується, якщо знехтувати коефіцієнтами Пуассона МТЄ і Мет.

    При МТЄ = Мет = 0 маємо:

    \ Рр. і'т п2 і \

    I ит + - Р Т I = I т т2) / + 1

    E

    2 а2 \ + A (ta r)? 2 A (tae)

    ^ (? 2 + 1 -? 2)

    r / -? i + 1 r \ 'r r

    Диференціальні оператори D і Ф для конічних оболонок

    Розглядаємо умови рівноваги нескінченно малого елемента ds х ет х тёе, виділеного з оболонки:

    - двома поздовжніми плоскими перерізами, що проходять через вісь обертання;

    - двома конічними перетинами, паралельними серединної поверхні;

    - двома конічними перетинами, перпендикулярними до серединної поверхні.

    Напружено-деформований стан елемента вважаємо симетричним щодо осі обертання, причому ТТЕ = Т яе = 0.

    Проектуючи всі зусилля, прикладені до елементу, на вісь я, отримуємо

    а (a sr) d (irsr)

    ?

    ds

    - +

    h dr

    = 0.

    (14)

    Проектуючи всі зусилля на радіальний напрямок, виводимо друге рівняння

    d (arr)

    dr

    -ae-3hsr! = 0.

    ds

    (15)

    Залежності між переміщеннями ит, ія елемента і компонентами деформованого стану мають вигляд:

    дит

    (16)

    s r =

    drSe = 2 (ur + Kus);

    du

    s s =

    s .

    ; У rs

    dur + dus

    дя дя дт

    Тут до - кутовий коефіцієнт утворює серединної поверхні конуса.

    Відповідно до рівняннями (14), (15) і (16) складаємо оператори:

    D

    0 0 d d

    r - + до r - +1

    ds dr

    d, -1 0 d

    r - +1 r - + до

    _ Dr ds _

    [D 1 0 d "

    dr r ds

    0 до d d

    r ds dr _

    Ф = D

    Фізико-механічні характеристики, температурні і граничні умови на різних етапах виготовлення оболонок

    Етап намотування вироби (/ = 1) При визначенні початкових напружень в напівфабрикаті від намотування приймаємо такі пропозиції.

    1. Вважаючи, що межвитковое тиск в процесі намотування змінюється незначно, приймаємо модуль Ет1 лінійної пружності постійним по товщині виробу і не змінюється в процесі намотування. Залежності між напруженнями Від, Ое, Оя і

    X

    відносними деформаціями елемента

    dр х pd9 х ds виводимо на основі припущень:

    а) напруження розтягу Од, сприймаються скляними волокнами відповідних напрямків, причому

    09, Про у

    ^ S =

    's

    Eei Esi

    s'r = 0,

    "_ Or1

    Sr =

    E

    se = 0, e ^ = 0,

    r1

    де модуль Їсть підлягає експериментальному визначенню;

    в) модуль зсуву 1ГУ1 визначаємо за формулою

    1

    G

    rs1

    ^ S + 1 ve-v s

    I з

    I з

    d (Xrs0r), d (Os0r) N

    dr

    - ^ 5esiny = 0,

    ds Ce

    d (ar 0r) -ae0 + d (T: s0r) = 0, (17)

    dr

    ds

    де модулі пружності

    Е91 = К9 Їсть У9, Es1 = Куеста У s. Тут Кд і КS - коефіцієнти, що враховують

    викривлення ниток; У9 і у s - об'ємні коефіцієнти армування в окружному і поздовжньому напрямках; Їсть - модуль лінійної деформації скловолокна;

    б) міжшарове тиск ог викликає деформації

    випливають з умов рівноваги елемента dр х pd9 х ds. Тут у - кут «конусности» оболоч-

    Ns

    оs0 = с ^ ls, ae0 = 7 ^ e; (18)

    N9

    -у С9

    Nу і N9 - натягу на одиницю ширини стрічок; Су

    і С9 - товщини стрічок; ? У і? 9 - об'ємний вміст поздовжніх і поперечних стрічок в матеріалі; ^^ туа / С9 - еквівалентні трансверсального

    зусилля, що припадають на одиницю об'єму. Інтегруючи рівняння (17) і вважаючи

    ? у = (у),? 9 =? 9 (у),

    N = N (У), N9 = N9 (р, У),

    отримуємо:

    r X

    Rh

    lesina

    l sNs

    rs 0

    C

    e

    J Nedr- ^ fJL (RH-r).

    ^ з

    1 ст ЧБ

    де GсБ - умовний модуль сполучного, що залежить

    від межслойного тиску, викривлення ниток, адгезійного опору і температури матеріалу напівфабрикату.

    Матриця пружних констант

    Е1 = Лщ [Ег1 Е91 Еу1 G гу1] .

    2. Припускаємо, що натяг

    - поздовжніх стрічок:

    а) залишається постійним по довжині, окружності і товщині вироби;

    б) не впливає на тиск намотуваних поперечних стрічок на укладені шари;

    - поперечних стрічок:

    а) направлено перпендикулярно осі вироби;

    б) безперервно змінюється в радіальному і поздовжньому напрямках;

    в) не перевищує критичної величини, при якій порушується адгезійна міцність матеріалу напівфабрикату і спостерігається сповзання витків по конічної частини оболонки;

    г) не викликає стискають напруг О9 в раніше укладених витках.

    Визначення напруги в виробі під час намотування абсолютно жорсткими стрічками виконуємо на основі рівнянь

    Оскільки на зовнішній поверхні 1 Гуо (Rн) = 0, маємо:

    R

    Cs r

    Cer

    Інтегруючи рівняння (18), маємо:

    \ Ru _ le Rh

    R

    ™ r0 | / = C4 Nedr- J e r r

    н d (Xrs0r)

    ds

    dr,

    звідки слід

    0 = -4e-'edr + IRJ

    r r r ds

    rCe

    так як Про

    r 0

    (Rh) = 0.

    висновки

    У конструкціях, виконаних з пружних матеріалів з незмінюються фізико-механічними характеристиками, ТЕРМОПРУЖНОСТІ напруги зникають, як тільки температурний режим системи повертається в початковий стан. У склопластику-вих виробах, незалежно від того, як взаємодіє (або зовсім не взаємодіє) виріб з оправкой:

    r

    а) при зміні температури виникають ТЕРМОПРУЖНОСТІ напруги внаслідок відмінності коефіцієнтів температурного розширення і пружних констант матеріалу в різних напрямках;

    б) після полімеризації і охолодження вироби до початкової температури в ньому залишаються деякі незворотні температурні напруги, обумовлені зміною модулів деформації і коефіцієнтів розширення матеріалу.

    Тому необхідно окремо знаходити залишкові напруги при розігріванні, а потім - при охолодженні вироби.

    Надійшла до редакції

    Процес зміни напруженого стану оболонки при розігріванні з метою полімеризації сполучного викликається:

    - зменшенням модулів пружності Ет і 1тя напівфабрикату;

    - відмінністю коефіцієнтів температурного розширення матеріалу в радіальному і окружному напрямках;

    - відмінністю коефіцієнтів температурного розширення оправлення і матеріалу виробу.

    Поставлені завдання будуть розглянуті в наступній статті.

    3 березня 2009 р.

    Воронцов Георгій Васильович - д-р техн. наук, академік МАНВШ, професор, кафедра «Опір матеріалів, будівельна та прикладна механіка», Південно-Російський державний технічний університет (Новочеркаський політехнічний інститут). Тел. (8635) 25-53-12.

    Євтушенко Сергій Іванович - канд. техн. наук, професор, зав. кафедрою «Опір матеріалів, будівельна та прикладна механіка», Південно-Російський державний технічний університет (Новочеркаський політехнічний інститут).

    Vorontsov George Vasilievich - Doctor of Technical Sciences, member of the Academy, professor, department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635) 25-53-12.

    Evtushenko Sergey Ivanovich - Candidate of Technical Sciences, professor, head of department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute) ._


    Ключові слова: напружено-деформований стан /оболонки /залишкові напруги /диференційне рівняння /граничні умови /tensely deformed condition /Covers /residual pressure /the differential equations /Boundary conditions

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити