Запропоновано безперервна математична модель, що описує поширення поверхневих хвиль від початкових збурень. Для випадку теорії дрібної води з нелінійної функцією рельєфу дна проведена схематизація завдання, на основі якої отримано її аналітичне рішення.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Тимофєєва Олена Федорівна


MATHEMATICAL MODEL OF WAVE MOVEMENT IN WATER BASIN WITH NONLINEAR RELIEF FUNCTION

It was suggested a continuous mathematical models which describes the distribution of superficial waves from initial disturbance. It was done oversimplification of the task for the case of low water theory with unlinear relief function, on the basis of which its analytical solution was obtained.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2010
    Журнал: Известия Південного федерального університету. Технічні науки
    Наукова стаття на тему 'Математична модель руху хвиль для водойми з нелінійної функцією рельєфу дна'

    Текст наукової роботи на тему «Математична модель руху хвиль для водойми з нелінійної функцією рельєфу дна»

    ?Alekseenko Elena Viktorovna

    Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University".

    E-mail Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

    Phone: +78634371606.

    Е.Ф. T імофеева

    МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ РУХУ хвиль ДЛЯ ВОДОЙМИ З НЕЛІНІЙНОЇ ФУНКЦІЄЮ РЕЛЬЄФУ ДНА

    Запропоновано безперервна математична модель, що описує поширення поверхневих хвиль від початкових збурень. Для випадку теорії дрібної води з нелінійної функцією рельєфу дна проведена схематизація завдання, на основі якої отримано її .

    Поверхневі хвилі; рельєф дна; метод Рімана; гипергеометрическое рівняння

    .

    E.F. Timofeeva MATHEMATICAL MODEL OF WAVE MOVEMENT IN WATER BASIN WITH NONLINEAR RELIEF FUNCTION

    It was suggested a continuous mathematical models which describes the distribution of superficial waves from initial disturbance. It was done oversimplification of the task for the case of low water theory with unlinear relief function, on the basis of which its analytical solution was obtained.

    Superficial waves; bottom relief; Reaman's method; Gauss hypergeometric equation.

    Проведений аналіз показав, що в класичних дослідженнях процесів руху поверхневих хвиль від початкового обурення для дна похилій форми найбільш часто зустрічаються функціями в рівнянні, що описує глибину рідини, є x,, ^ x5, ^ x7. Тому доцільно розглянути

    узагальнюючий випадок для водойми з нелінійної функцією рельєфу дна.

    У даній роботі розглядається декартова прямокутна система коор-

    , . Ox -

    стю невозмущенной рідини і спрямована в бік моря.

    Вирішується задача Коші для просторово-одновимірного рівняння гіперболіче-, -Меню глибини:

    УДК 519.6

    (1)

    c (x, 0) = фо (x), c '(x, 0) = Ci (x),

    (2)

    (3)

    де? (X,?) - відхилення вільної поверхні рідини від рівноважного стану; X - горизонтальна координата; ? - час; g - прискорення сили тяжіння; Н (X) - глибина рідини.

    У даній моделі рівняння для глибини рідини Н (X) в розгорнутої

    формі має вигляд Н (х) = Х _______, X < х0, 0 < р ^ 1, де Але - максимальна глу-

    х0

    біна рідини даній області, Xо - межа області, тоді рівняння (1) перетворюється в такий спосіб:

    1 д2д хр Е2д РХР 1 Ед

    а дї х0 Ех х0 Ех

    2

    = 0,

    (4)

    Рішення поставленого завдання знаходиться за допомогою методу Рімана. Для цього вводиться заміна змінних в рівнянні (4):

    _4хо

    2_

    2-р

    (? + П), X = ^ (24 Р) (? П)) ,

    2-_

    - а 2 + 2

    % = ^ + ~ ----------- X ,

    ^ 0 2 - _

    2-р

    а 2 + 2

    П = ~ г = t ----------- X

    ^ 0 2 - р

    (4)

    Е 2д

    Ед-Е ^ \ _ 0.

    (5)

    (6)

    д§дц 2 (2 - р) (? - Ц) у дп д? /

    Пряма I = 0 переходить в похилу пряму п = -?. Початкові умови в

    нових змінних приймають вид

    Ед

    дї

    _ЕдЕ | _0 д ^ дї

    д {-р? 0

    Ед Еп

    2 - Р

    (% -Н)

    -2 Л

    2 Р

    + -

    . 2 х 2 Еп дї

    2-р

    2 - р 2 2

    п _--------- х

    2-р

    ґ Ед а + Ед а Л

    ^ 4 * 0 ЕП л / х0

    п_Ч

    п_Ч

    Отриманий вираз являє собою похідну функції д по на-

    ґ \ т

    правлінню вектора

    перпендикулярного до прямої п_ - ^. значить,

    а а

    х? Х0 '7х0у

    це похідна функції д по нормалі до прямої п _- ^ тобто.

    Ґ 2 Ч

    Ед

    дї

    Ед

    еп

    _Фі

    п_-?

    2 - р

    (Г; п)

    Функція д_д (^, п)

    замінюється на і

    д (п)

    р 2 - р

    (7)

    тоді

    д:

    (6)

    (? П)

    р 2 - р

    Е 2и

    -і _ 0

    або

    д&п 4 (2 - р) 2 (? - п) 2 ЬІ _ і ^ п + АІ ^ + ^ ип + сі _ 0,

    (8)

    (9)

    де а _ Ь _ 0, з _____________________ 4р 3р

    4 (2 - р) (? П)

    . (9) -

    ється формулою Рімана:

    і (М) _

    і (Р) у (Р) + і (0у (0 1

    | (ІУ ^ - уі ^ - 2Ьуі) г) + (ИУП - уіп + 2ауі) п |

    'ра

    (10)

    де Р, М, 2 - вершини характеристичного трикутника (рис. 1); і (?, п) -рішення рівняння (9); у (?, п) - функція Рімана, рішення задачі Гурса.

    Для вирішення поставленого просторової задачі знаходиться приватне рішення сполученого рівняння

    *

    Ь у _ - ау ^ - ЬУп + су _ 0,

    задовольняє таким умовам на характеристиках:

    у (^, п0, ^ 0, п0) _ 0 на ма,

    уп (^ 0, п, ^ 0, п0) _ 0 на МР, у (^ 0, п0, ^ 0, п0) _ 1 в точці М.

    і

    Мал. 1

    (10),. . у (Л, п0,? 0, п§) = 1 на м&

    на і на і

    Л% 0, п,% 0, п0) = 1 на мр,

    У (? 0, п0,% 0, п0) = 1 м.

    Рішення шукається У вигляді у (?, П,? 0, П0) = ™ (д) ,

    де

    д (? -? 0) (П-П 0) (11)

    (? 0 -П0) ((- Л)

    д (1 - д ^ "(д) + (1 - 2д) ^ '(д) - 4_ - 3_0 ^ (д) = 0. (12)

    4 (2 - р) 2

    Це рівняння є окремим випадком гипергеометрического рівняння:

    x (1 - X) у "(X) + [у - (1 + а + в) X] у '(X) - аву (X) = 0,

    рішення якого можна представити у вигляді статечного ряду

    До ^ До

    Г *

    у (X) = Е (а, в, г, X) = 1 + X а + К-1 | в + К-1. ^ К, | XI < 1

    К = 1 Су + К-1

    або у вигляді інтеграла

    л 1

    у (X) = - [гв-1 (1 - г) гв-1 (1 - tx) ~ аdt. п0

    Тут Е (а, в, У, X) - гіпергеометрична функція,

    а

    4р -3р,! + А + в = 2, ^ а = Л! Р_, Р = л-

    4 (2 - р) 2 2 (2 - р) 2 (2 - р)

    У даних умовах рішення рівняння (12) буде мати вигляд

    4 - 3 р

    р

    ,1, 0

    , і<1.

    2 (2 - р) 2 (2 - р)

    Умови на характеристиках перетворюються до вигляду

    у (^ По,? о, По) = у (^ 0'П, ^, По) = ^ (0) = 1.

    ,

    (- (о) (П-З)

    г = 1.

    (13)

    (15)

    V ((, п, (о, По) = до (0) = до

    ((Про -По) (^ - П)

    є функцією Рімана.

    Так як у (Р) = Р (О) = 1 «п = - (на PQ, то

    . е. і (Р) + і ^) 1 (ді ді

    ІНОЛ) = ^ и ^ + ел / (- '

    -по

    2

    ду ду

    д (дп

    ?((16)

    Для знаходження рішення задачі необхідно обчислити похідні, вхо-

    ґ

    2

    дящие в формулу (16), враховуючи, що х =

    2 - Р ((п) 1 * |р,, -ЗО ^ + п):

    V 4 2а

    2

    0?

    д (

    п = - (

    = 2 Р "2 ((2 - р))" 2 д?

    дх 2а ДГ

    г = про

    .д?

    дп

    2 2 = -2 7-2 (2 - р)) "2 д? + ^ Д?

    п = - (д?

    д ( 'дп

    дх 2а ДГ

    г = про

    ді

    ь (

    = (2 ()

    п = - (

    д?

    а

    РФО

    Я \

    / 2 ^

    [22 р (2 1 руб

    V 2 у

    V У

    2 Л

    п = - (

    д (

    2 (2 - р)

    -(2 ()

    3 р-4 2 (2 р)

    2

    р

    ЕІ

    еп

    = (2?)

    / 2 ^

    р -6 о / Г \ \ 1 2 - р? 1 V 2 *) 2-р

    V)

    п =-?

    ЕІ ЕІ

    Е? еп

    Еп 2 (2 - р) = (2?)

    2 (2-р) (Ед Ед л

    (2?)

    п =-?

    Е? еп

    п =-?

    р

    2 (2-р)

    / 2 Л

    ^ 2 - р Л 2-Р

    Еу

    Е?

    Еу

    еп

    п =-?

    Див? В Св ~ З?

    ?

    1 (? + П0) (? +? 0)

    _ Див Св п = _? йвйп

    п = -? 4 (? 0 -по)? 2 ^ св) п = _?

    1 (? _ По) (? _? О) (

    ^ Еу Еу

    ^ ~ +------

    Е? еп

    ?= -? 4 (? 0 -п0)? 2 ^? Вп =-?

    =? Про + по Див .

    п = -? 2 (? 0 - п0)? Св п =-?

    Значення функції і на бісектрисі? = Ц і в точках Р і 2 дорівнюватимуть:

    2 (2 л

    п =

    2 (2-р) = -? = (2?) Яо

    2 - р ^ | 2-р

    2 (2-р) і (Р) = (2? О) Яо

    2

    У 2 л ^ 2 - р? ^ 2 - р

    ?0

    I \ 2 (2-р)

    і (2) = (- 2по) Яо

    Ґ 2 1

    (2-рп л 2-р

    2 по, 2

    V)

    Підставляючи знайдені значення величин в рівняння (16), отримуємо:

    2 (2 \ 2 (2 1

    ?0

    / "З \ 2 (2-р) (2? 0) Яо

    <(? О, по) = -

    2 - р ^] 2-р

    2

    2 (2-р)

    + (- 2по) Яо

    2

    + _ I М "про

    2 п 1 (? 0 -п0) (? - п) -п0

    Я

    2 - р

    ?

    2-р

    з? +

    2

    2

    2

    +

    2

    2

    за

    г \ 2 (2-Р)

    (2?) Ро

    2 - Р? 12-Р

    2? (? Про -По)

    п =-?

    й? '

    Приймаючи до уваги, що

    ^ -Vго) = |

    і (? о, По) і (? про> по)

    о'1 "!) - Р

    Г 4 2-Р ^

    -------X 2

    про

    V

    2 - Р

    /

    2-Р

    умови на характеристиках, а також певні раніше значення і (Р), і (2), у (Р), у (2) і повертаючись до старих змінним, рішення задачі (1) - (3) отримуємо в такій формі:

    у т л

    а 2 ~ 2Р

    - + ------ X 2

    2 (2-Р)

    л / Хо 2 - Р

    Ро

    і (X, г) = |

    2 - р а

    + X

    2

    2-Р

    4-Р

    +

    22 (2-р)

    2 р

    Ро

    2 - р а1

    2

    - X

    2 Л

    2-Р

    4-Р р

    22 (2-р) X 4

    +-

    ^ / X0 * 2

    2 аг + 2

    2 (2 р) VXо 2-Р

    2 Р

    • + -X 2

    I ™ (0)? 2 (2 Р) Р1

    2-Р

    2 - р

    2-р

    V2 - Ру

    (? Про + По) • 2

    2___

    2 (2-р)

    й? +

    | / «Про 2 Р

    | / »Про 2 р

    4 (? Про -По)

    '4 4

    V2 - Ру

    2 (2-р) р 2 р

    X 4 - "Г + 5 ^ * 2

    2-р

    г yo'и

    |> йб

    3 р-4 о. 2 (2-р)

    ? Р,

    п =-?

    2-Р

    2 Л

    2-Р

    2

    й ?

    або

    / О Л

    аг 2

    - ^ ----- X 2

    Ро

    і (X, г) =-

    2 - р аг ^

    -------------+ X 2

    2

    2-р

    4-р р_

    22 (2-Р) X4

    2

    2

    у

    V

    4

    2 (2-р)

    2

    2 Р

    а 2

    2

    2

    at 2

    2-Р

    2 (2 - p)

    х0 2 p

    Фо

    2 - Р

    2 - p at 0

    ----- ?== x 2

    2 yx0

    2 - Р

    4 - Р p

    22 (2-p) x4

    2 - р

    at 2 про

    . + --------- x 2

    л / xQ 2-Р

    4-p

    a22 (2-p) x4 at 2

    4 - 3 p p

    2

    ; 1; Qlj? 2 (2 Р) Фі (й * 2 +

    2 (2 - p) 2 (2 - p)

    л / ^ О 2-Р

    ?0 + По

    'Tx0 2 Р

    (О-По) 22 (2 p) X

    -3 Р p 4

    i І 8 5p; 4 p; 2; Q | Г "Р>0 (Q) d ?, J 1,2 (2-p) 2 (2-p) 11 ov 2 '

    • / * 0 2 ~ l

    де

    2.2 1 / | »2-p

    -Ay-x2 -?

    2 - Р

    x

    Таким чином, описана математична модель дозволяє при фіксованому значенні величини р знаходити рішення приватних завдань.

    2

    2

    +

    +

    +

    2

    2 Р

    +

    2

    БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

    1. Леонтьєв І.О. Прибережна динаміка: хвилі, течії, потоки наносів. - М .: ГЕОС, 2001..

    2. Овсяников Л.В. Динаміка суцільного середовища. - Новосибірськ, 1973.

    3. Кошляков КС., Глінер Е.Б., Смирнов М.М. Диференціальні рівняння математичної фізики. - М., 1962.

    4. Камке Е. Довідник по звичайних диференціальних рівнянь. - М., 1965.

    5. Сухий інше А.І., Зуєв В.К., Семенистий В.В. Поверхневі хвиль и від початкових збурень в разі зміни глибини дна за лінійним законом // Известия вузів, Північно-Кавказький регіон. Природні науки. - 2004. - № 4. - С. 31-33.

    Тимофєєва Олена Федорівна

    Північно-Кавказький державний технічний університет.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    355029, м Ставрополь, просп. Кулакова, 2.

    Тел .: 88652728858; +79097583970.

    Timofeeva Elena Fedorovna

    North Caucasus State Technical University.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    2, Kulakova pr, Stavropol, 355029, Russia.

    Phone: +78652728858; +79097583970.


    Ключові слова: ПОВЕРХНЕВІ ХВИЛІ / Рельєф дна / МЕТОД Риму / Гіпергеометрична РІВНЯННЯ Гаусса / REAMAN'S METHOD / SUPERFICIAL WAVES / BOTTOM RELIEF / GAUSS HYPERGEOMETRIC EQUATION

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити