Пропонується математична модель процесу зміни демографічної ситуації у вигляді автономної немарковской системи масового обслуговування з необмеженим числом приладів і РН-розподілом часу обслуговування заявок. Її дослідження виконується методом асимптотичного аналізу чисельності заявок, що обслуговуються в системі в момент часу t. Знаходяться розподіл ймовірностей чисельності заявок і основні характеристики, що визначають цей розподіл. Показується можливість застосування розробленої моделі та методу до дослідження процесу зміни демографічної ситуації

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Назаров Анатолій Андрійович, Носова Марія Геннадіївна


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2009


    Журнал: Доповіді Томського державного університету систем управління і радіоелектроніки


    Наукова стаття на тему 'Математична модель процесу зміни демографічної ситуації та її дослідження'

    Текст наукової роботи на тему «Математична модель процесу зміни демографічної ситуації та її дослідження»

    ?УДК 519.872, 519.21 А.А. Назаров, М.Г. Носова

    Математична модель процесу зміни демографічної ситуації та її дослідження *

    Пропонується математична модель процесу зміни демографічної ситуації в вигляді автономної немарковской системи масового обслуговування з необмеженим числом приладів і РН-розподілом часу обслуговування заявок. Її дослідження виконується методом асимптотичного аналізу чисельності заявок, що обслуговуються в системі в момент часу t. Знаходяться розподіл ймовірностей чисельності заявок і основні характеристики, що визначають цей розподіл. Показується можливість застосування розробленої моделі та методу до дослідження процесу зміни демографічної ситуації.

    Ключові слова: математичне моделювання, система масового обслуговування, демографічна ситуація, чисельність населення.

    Дані демографічних досліджень затребувані як в економічному плануванні, так і в плануванні соціальної політики, наприклад, в освіті, охороні здоров'я, спорт і т.д., що робить особливо актуальним завдання побудови науково обґрунтованих демографічних прогнозів. У вирішенні цього завдання корисним є математичне моделювання.

    До перших математичних моделей населення відносяться детерміновані моделі зростання людства, перш за все це моделі лінійного, експоненціального та гіперболічного зростання [1-5]. Слід зазначити, що дані моделі дають задовільні результати тільки на короткий період прогнозування, продовження ж на більш тривалий строк не дає адекватних результатів.

    Найбільш відома детермінована модель - модель стабільного населення [1, 4, 6-9]. У такій моделі населення характеризується незмінними в часі віковими інтенсивностями народжуваності, смертності та віковою структурою. Розробку теорії стабільного населення пов'язують з такими іменами, як Л. Ейлер, Г. Кнапп, В. Лексис, Дж. Лотка, В. Борткевич, П. Леслі. Великий внесок у розробку методів практичного застосування моделі стабільного населення внесли радянські демографи С.А. Новосельський, В.В. Паєвський, А.Я. Боярський, І.Г. Венецкий і ін. [4]. Відомі безперервні і дискретні аналоги моделі стабільного населення. В основі безперервних моделей лежить інтегральне рівняння відтворення населення (рівняння Лотки), в основі дискретних - матрична модель (матриця Леслі).

    Сучасний етап розвитку теорії стабільного населення пов'язують з узагальненням основних висновків на випадок демографічних процесів зі змінними інтенсивностями (процеси народжуваності і смертності у вигляді часових рядів, випадкових процесів) -А. Коул і А. Лопес, а також Р. Лії, Д. Ахлбург, З. Сайкес, М. Алхо, Б. Спенсер, Дж. Поллард, Дж. Кохен, Н. Кейфіца, Х. Касвелл, Л. Гудман та ін. [4, 10-11].

    Значний внесок у побудові математичних моделей зроблений О.В. Староверова [12]. О.В. Старовірів розглядав демографічні процеси в вигляді марковських моделей у формі ланцюгів Маркова. Моделі природного руху населення досліджені в дискретному і безперервному вигляді, для них в [12] отримані основні рівняння. В [12] О.В. Староверова також запропонована стохастична модель розвитку населення з дискретним часом, що враховує випадковість як в народжуваності, так і в смертності.

    Зауважимо, що в моделюванні демографічних процесів найбільш поширені детерміновані (дискретні і безперервні) і стохастичні дискретні моделі. Оскільки реальні процеси розвитку чисельності населення протікають в безперервному часу і є стохастичними, то актуальним є побудова стохастичною демографічної моделі з безперервним часом.

    В роботі для моделювання демографічних процесів пропонується математична модель, яка є оригінальною не тільки в демографії, а й в теорії масового обслуговування, а також більш адекватної демографічним процесам.

    * Робота виконана за підтримки АВЦП «Розвиток наукового потенціалу вищої школи (2009-2010 рр.)» Федерального агентства з освіти РФ за проектом «Розробка методів дослідження немарковского систем масового обслуговування і їх застосування до складних економічних систем та комп'ютерних мереж зв'язку».

    1. Автономна система з РН-розподілом часу обслуговування

    Як математичної моделі процесу зміни чисельності жіночого населення розглядається функціонування автономної немарковской системи масового обслуговування з РН-розподілом часу обслуговування заявок і необмеженим числом приладів.

    У такій системі кожна заявка вхідного потоку в момент свого вступу займає вільний прилад і знаходиться на ньому протягом всього часу обслуговування. Тривалість обслуговування т кожної заявки складається з продолжительностей кінцевого числа фаз

    Т = Т1 + ^ 2 + ••• + Tv ,

    де Ti - тривалість i-ї фази обслуговування. Величини т є незалежними експоненціально розподіленими випадковими величинами з параметром д, який однаковий для всіх i = 1, 2 ... v. Обслуговування кожної нової заявки починається на першій фазі. Заявка, завершивши обслуговування на i-й фазі, з імовірністю rj переходить до обслуговування на (i + 1) -ю фазу, а з імовірністю 1 - rj завершує своє обслуговування і залишає систему. Заявка, що знаходиться на i-й фазі обслуговування, з інтенсивністю bj (t) = = b (i / \ i, t) генерує нові вимоги.

    Число v фаз обслуговування визначається досягненням з першого стану нульового стану ланцюгом Маркова, заданої графом ймовірностей переходів (рис. 1).

    Мал. 1. Граф ланцюга Маркова, що визначає

    тривалість обслуговування заявки

    У термінах демографії яку обслуговує заявка інтерпретується як жінка, час обслуговування заявки - тривалість життя цієї жінки, під фазою мається на увазі стохастический еквівалент віку жінки, функція bi (t) - інтенсивність народження дівчаток у жінки i-ї фази життя в році t. Входять потоком заявок є процес народжуваності дівчаток, тобто послідовність моментів народження дівчаток від всієї сукупності жінок.

    Позначимо n (i, t) - число заявок, що обслуговуються в момент часу t на i-й фазі, тоді випадковий процес

    n (t) = {n (1, t), n (2, t), ...} T

    є багатовимірною ланцюгом Маркова з неперервним часом. Для її розподілу ймовірностей

    P (re1, re2, ..., t) = P {re1 (t) = re1, re2 (t) = ге2, ...}

    за допомогою формули повної ймовірності запишемо систему диференціальних рівнянь Колмогорова [13]

    з ех 1 х

    - [P (n1, n2, ..., t)) = -P (n1, U2, ..., t) \? щ (ц + bi (t)) f + P (n - 1, n2, ..., t) {(n - 1) b1 (t) +? nibi (t)} +

    Gt I i-1 I i-2

    TO

    + Ц? (Ni + 1) {Р (П1, П2, ..., Щ + 1, ni + 1, ..., t) (1 - r) + Р (П1, П2, ..., Щ + 1, % Ц - 1, ni + 2 ..., t) ri}. (1)

    i = 1

    Позначимо характеристическую функцію кількості обслуговуваних заявок в такій системі в момент часу t у вигляді

    е (то м

    H (u, t) = М<!ехр] 'Е ЩЩ (t) [| = Е P (n1, n2, ..., t) expуЕ ЩЩ (Ь) до (2)

    [^ Г = 1 ^ nl, n2, ••• [г = 1]

    де] = >/ -1 - уявна одиниця.

    Характеристична функція Н (і, Г) є функцією векторного аргументу і = {и1,

    і 2, з, ...} Т і скалярного аргументу t. Із системи (1) неважко отримати рівність

    Ніл = у? {(1 - еМ ь (t) + (1 - е-щ) ц + е-щ (1 - е ^ 1) ЦЛ (3)

    дь? = 1 дщ I >

    де Ь (Ь) = Ь (I / М), П = 5 (I / ц) / 5 (I-1 / ц).

    Рішення Н (і, цього рівняння визначає характеристическую функцію компонент багатовимірного процесу п ((), а отже, вирішує завдання дослідження автономної системи з РН-розподілом часу обслуговування.

    Очевидно, що в аналітичному вигляді записати рішення Н (і, Г) рівняння (3) не вдасться, тому для знаходження розподілу ймовірностей його значень, а також основних його характеристик скористаємося методом асимптотичного аналізу [14], модифікованим до розглянутій задачі.

    2. Дослідження системи методом асимптотичного аналізу

    Будемо розглядати рівняння (3) для характеристичної функції Н (і, /) в асимптотичному умови великої чисельності груп, пропорційних нескінченно великою величиною N. У асимптотичному умови знайдемо характеристическую функцію числа заявок п (Г), що обслуговуються в системі в момент часу t.

    Відзначимо, що асимптотики першого і другого порядків розглянутого методу асимптотичного аналізу аналогічні закону великих чисел, центральною граничною теоремою і теорії ймовірностей [15].

    2.1. Асимптотика першого порядку

    Позначивши е = 1 / ^ в рівнянні (3) виконаємо заміни асимптотики першого порядку

    і = ew, Н (і ^) = Fl (w, t, г), (4)

    отримаємо рівність

    е

    5Fl (W, t ,?) = j? 5F1 (w, t, e) {(1 -ejew1) b (t) + (1 -e "jewi + e" jewi (1 -e ~ jewi + 1 ^} . (5)

    dt i = 1 dwi

    В силу визначення характеристичної функції (2) ця заміна еквівалентна розгляду послідовності процесів єп (^ е), для якої можна очікувати збіжності при е ^ -0.

    За формальною ознакою наявності малого параметра е при похідній рівняння (5) можна віднести до сингулярно обуреного рівняння [16].

    Розглянемо такий підклас рішень Н (і, ^ рівняння (3), для яких, в силу (4), функція Fl (w, t, е) має такі властивості.

    Існує кінцевий межа при е ^ -0 функції Fl (w, t, е)

    lim F1 (w, t, e) = F1 (w, t)

    е ^ 0

    і її похідної по t і по wi

    dF, (w, t, e) dF, (w, t) dF. (w, t, e) dF, (w, t). ; -

    lim ---- = ----, lim ---- = ----, i = 1, та.

    е ^ 0 dt dt е ^ 0 dw i dwi

    сформулюємо теорему.

    Теорема 1. При e ^ 0 рішення задачі (5) має вигляд

    да

    Fi (w, t) = exp {j? wvmv (t)}, i = 1

    де j = V-1 - уявна одиниця, а компоненти mi (t) є рішенням системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

    да

    mi (t) = -lm1 (t) +? bi (t) mi (t), (6) i = 1 (6)

    mi (t) = - \ xmi (t) + | ari-1m; -1 (t), i > 1, де функції mi (t) мають сенс середнього значення числа заявок n (i, t), що обслуговуються в момент часу t на i-й фазі.

    Доказ теореми опустимо.

    З замін (4), для характеристичної функції Mejun (t) величини n (t) запишемо асимптотическое рівність

    так Так

    H (u, t) = Mejun (t) = F1 (w, t, e) = F1 (w, t) + О (е) = exp {j? wvmv (t)} + О (е) = exp {jN? uvmv (t)} + О (е).

    v = 1 v = 1

    Визначення. функцію

    oo

    HH1 (u, t) = exp {jN? uvmv (t)}

    v

    v = 1

    будемо називати асимптотикою першого порядку характеристичної функції Н (і, ^ числа заявок п (^, що обслуговуються в системі з РН-розподілом часу обслуговування в момент часу t.

    Слід зазначити, що система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку (6) визначає середнє значення числа заявок, що обслуговуються в системі в момент часу t, або в термінах демографії, середнє значення чисельності жіночого населення.

    2.2. Асимптотика другого порядку

    Оскільки асимптотика першого порядку визначає лише середні значення чисельності заявок n (t), що обслуговуються в системі в момент часу t, то, природно, виникає необхідність знаходження асимптотики другого порядку, яка дозволяє отримати більш детальні характеристики системи.

    Повернемося до рівняння (3), рішення H (u, t) якого запишемо у вигляді

    H (u, t) = ejNm (t) uH2 (u, t), (7)

    де m (t) = {m1 (t), m2 (t), m3 (t), ...} T, u = {u1, u2, u3, ...} T. З (7) очевидно випливає, що H2 (u, t) є характеристичним функціоналом центрованої величини n (t) -Nm (t), для якого математичне сподівання дорівнює нулю. Підставляючи вираз (7) в (3), отримаємо рівність

    Hut) = j? ^ М) j -eju1 (t) + (1 - e-jui) | + E-ju (1 - e-jui + 1 -

    dt i = 1 ^ * 1 (8)

    да

    -NH2 (u, t)? Jmi (t) {(1 - eju1) bi (t) + (1 - e "ju) | + {e" ju (1 - e "jui + 1} + juM (t)}.

    i = 1

    Позначивши e2 = 1 / N, в цьому рівнянні виконаємо заміни

    u = ew, H2 (u, t) = F2 (w, t, e), (9)

    які формально збігаються з замінами (4) для асимптотики першого порядку, але порядок малості параметра е в цих АСИМПТОТИКИ відрізняється принципово. Виконавши зазначені заміни, отримаємо рівність

    е2 dF2 (w, t, e) = j? dF2 (w, t, e) J (1 -ejew1) bi (t) + (1 - e "jewi) | + e" jewi (1 - e "jewi + 1) | гол -

    dt dw; l >

    i = 1 i (10)

    да

    -F2 (w, t, e)? Jmi (t) [(1 - ejew1) bt (t) + (1 - e "jewi) | + e" jewi (1 - e "jewi + 1] + jewim! I (t)}. I = 1

    Аналогічно асимптотиці першого порядку розглянемо підклас рішень H2 (u, t) рівняння (8), для яких в силу (9) функція F2 (w, t, е) має такі властивості.

    Існує кінцевий межа при е ^ -0 функції F2 (w, t, е)

    lim F2 (w, t, e) = F2 (w, t),

    і її похідної по t і по компонентах wi

    dF2 (w, t, e) dF2 (w, t) dF2 (w, t, e) dF2 (w, t). ; -

    lim-2V '' 7 = -2V, lim-2V '' 7 = -2V ', i = 1, та.

    е ^ 0 dt dt е ^ 0 dwi dwi

    Теорема 2. Рішення завдання (10) при е ^ -0 має вигляд

    Г 1 да да 1

    F2 (w, t) = exp | - ^ ?? wiwjRij (t) |, (11)

    де Rij (t), i = 1, так, j = 1, та є рішенням неоднорідної системи лінійних диференціальних рівнянь першого порядку

    да

    R11 (t) = -2 | R11 (t) +? bv (t) {R1v (t) + Rv1 (t)} + qn (t),

    v = 1

    да

    Ri1 (t) = -2 | Ra (t) + | ri-1Ri-n (t) +? bv (t) Riv (t) + qa (t), (12)

    v = 1

    да

    R1j (t) = -2 | R j (t) + | rj-1R1 j-1 (t) +? bv (t) Rvj (t) + q1j (t),

    v = 1

    Rj (t) = -2 | Rij (t) + 15-1 Ri_1 j (t) + | rj-1Rij-1 (t) + qij (t), де функції qij (t) мають вигляд

    q11 (i) = Цтх (0 + X mv УЖ (t),

    _

    ?™ + 1 (0 = qv + lv (*) = - цmv, V = (13)

    (О = № (Про + ^ mv-l (t) rv-l, V = 2, та ,

    Шу (t) = 0, | Н>2, иу = 2 ^ .

    Доказ теореми наводити не будемо.

    Зауважимо, що система диференціальних рівнянь (12) спільно з (13) визначає другі центральні моменти кількості обслуговуваних заявок в системі.

    В силу заміни (9) і рівності (11) очевидно можна записати

    I "1 да да 1

    Щ (иа) = F2 (w, t) + про (е) = ехр | -2 N XX (t) | + О (в).

    Підставивши в (7), запишемо

    да 1 да да

    І (і ^) = е ^^ ЩШ) = ехр {УУ ^ X Uvmv (0 - - N X X UiUjRij (t)} + О (е).

    v = 1 2 i = 1 у = 1

    Визначення. функцію

    да 1 да да

    Й2 (і ^) = exp {jN X Uvmv (0 - - N X X UiUjRij (t)}

    v = 1 2 i = 1 у = 1

    будемо називати асимптотикою другого порядку характеристичної функції Н (^ ^ числа заявок п (t), що обслуговуються в системі з РН-розподілом часу обслуговування в момент часу t.

    Слідство. Розподіл ймовірностей величини п ^) = {п ^), n2 (t), Пз ^), ...} Т числа заявок, що обслуговуються в системі в момент часу t, можна апроксимувати гаус-Совським (нормальним) розподілом з параметрами: вектор математичних очікувань Nm (t) = {Nm1 (t), Nm2 (t), Nm3 (t), ...} Т і матриця ковариаций NR = ^ йу], де

    Rij = M {(nt (t) - Nmi (t)) (nj (t) - Nm (t))}, Rij = Rji, i =, у = .

    В роботі отримані асимптотики першого і другого порядків, які є аналогами добре відомих в теорії ймовірностей граничних теорем - закону великих чисел і центральної граничної теореми [15], тому умови існування асимптотик і області їх застосування аналогічні умовам цих граничних теорем, застосування яких вважається допустимим при N > 100, в той час як в демографії чисельності N стандартних демографічних груп мають порядок 103 для регіонів і 106 для країни в цілому.

    Зауважимо, що запропонована математична модель більш адекватна реальності [17], ніж пуассоновский процес народжуваності, наприклад, як в [12]. З отриманих в роботі результатів випливають відомі раніше результати по детермінованою моделі, в той же час методи, описані в роботі, дозволяють знайти другі моменти численностей демографічних груп, що є необхідним для аналізу сценаріїв розвитку демографічної ситуації.

    висновок

    Побудовано математичну модель процесу зміни демографічної ситуації в вигляді автономної немарковской системи з РН-розподілом часу обслуговування заявок і необмеженим числом приладів. Знайдено розподіл ймовірностей чисельності заявок і основні характеристики, що визначають цей розподіл.

    Прикладне значення роботи полягає в використанні отриманих результатів до дослідження ситуації, і прогнозування майбутньої демографічної ситуації, наприклад в Російській Федерації.

    література

    1. Венецкий І.Г. Статистичні методи в демографії. - М .: Статистика, 1977. - 207 с.

    2. Kendall D.G. Stochastic processes and population growth [Електронний ресурс] // Journal of the Royal Statistical Society. - 1949. - Vol. 11, № 2. - Електрон. версія друк. публ. - Доступ з бази даних «Jstor». - URL: http://www.jstor.org (дата звернення: 11.01.2009).

    3. Tuljapurkar S., Caswell H. Structured-population models in Marine [Електронний ресурс]. - third edition. - New York: Springer, 2005. - Електрон. версія друк. публ. -

    Доступ з бази даних «Springerlink». - URL: http://www.springerlink.com (дата звернення: 23.04.2009).

    4. Демографічний енциклопедичний словник / під ред. Д.І. Валентея. - M .: Радянська енциклопедія, 1985. - 608 с.

    5. Капіца С.П. Загальна теорія росту людства: скільки людей жило, живе і буде жити на Землі. - M .: Наука, 1999. - 190 с.

    6. Демографічні моделі: зб. статей / під ред. E.M. Андрєєва, А.Г. Волкова. -M .: Статистика, 1977. - 182 с.

    7. Вільямсон M. Аналіз біологічних популяцій: пров. з англ. А.Д. Базикіна; під ред. Ю ^. Свірежева. - M .: M ^, 1975. - 271 с.

    8. Donald T.R. Demographic methods and concepts. - Oxford: Oxford University Press, 2006. - 52З p.

    9. Hinde A. Demographic methods. - Arnold, 1998. - З05 p.

    10. Lee R. Probabilistic approaches to population forecasting [Електронний ресурс] // Population and Development Review. - 1998. - Vol. 24, Supplement: Frontiers of Population Forecasting. - Електрон. версія друк. публ. - Доступ з бази даних «Jstor». -URL: http://www.jstor.org (дата звернення: 11.01.2009).

    11. Booth H. Demographic forecasting: 1980 to 2005 in review [Електронний ресурс] // International Journal of Forecasting. - 2006. - № 22. - Електрон. версія друк. публ. -Доступ з бази даних «Sciencedirect». - URL: http: // www.sciencedirect.com (дата звернення: 11.01.2009).

    12. Старовірів О.В. Ази математичної демографії. - M .: Наука, 1997. - 158 с.

    13. Назаров О.О. Теорія масового обслуговування. - Томськ: Вид-во НТЛ, 2004. - 228 с.

    14. Назаров О.О. Mетод асимптотичного аналізу в теорії масового обслуговування. -Томск: Изд-во НТЛ, 2006. - 112 с.

    15. Коваленко І.М. Теорія ймовірностей і математична статистика / І.М. Коваленко, А.А. Філіппова. - M .: Вища школа, 1982. - 206 с.

    16. Ломов С.А. Введення в загальну теорію сингулярних збурень. - M .: Наука, 1981. - 400 с.

    17. Назаров О.О. Про недоцільність апроксимації процесу народжуваності потоками Пуассона при довгостроковому прогнозуванні / А.А. Назаров, M.T. Носова // Вісник Том. держ. ун-ту. Сер. Управління, обчислювальна техніка та інформатика. -2009. - №З (8). - С. 75-80.

    Назаров Анатолій Андрійович

    Д-р техн. наук, професор, зав. каф. теорії ймовірностей і математичної статистики факультету прикладної математики і кібернетики ТГУ Тел .: (382-2) 52-95-99

    Носова Марія Геннадіївна

    Аспірант кафедри. теорії ймовірностей і математичної статистики факультету прикладної математики і кібернетики ТГУ Тел .: + 7-905-992-03-25 Ел. пошта: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    A.A. Nazarov, M.G. Nosova

    The mathematical model of the process of change of a demographic situation and its research

    The mathematical model of change process of a demographic situation in the form of independent non-Markov system of mass service with unlimited number of devices and РН-distribution of a holding time of applications is proposed. Its research is carried out by the method of asymptotic analysis of application number served in the system at the moment of time t. The distribution of probabilities of the number of applications and the basic characteristics defining this distribution are found. The opportunity of application of the developed model and the research method of change process of a demographic situation are shown.

    Keywords: mathematical model, system of mass service, demographic situation, population.


    Ключові слова: математичне моделювання /система масового обслуговування /демографічна ситуація /чисельність населення

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити