Область наук:
  • фізика
  • Рік видавництва: 2003
    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ
    Наукова стаття на тему 'Математична модель процесу руху зарядженої частинки в речовині при наявності магнітного поля'

    Текст наукової роботи на тему «Математична модель процесу руху зарядженої частинки в речовині при наявності магнітного поля»

    ?ВІСТІ

    Томськ ОРДЕНА ЖОВТНЕВОЇ РЕВОЛЮЦІЇ І ОРДЕНА ТРУДОВОГО ЧЕРВОНОГО ПРАПОРА ПОЛІТЕХНІЧНОГО ІНСТИТУТУ ім. С.М. КІРОВА

    Том 294

    1976

    МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРОЦЕСУ рух заряджених частинок в речовині ЗА НАЯВНОСТІ магнітного поля

    В.М. Разін

    (Представлено науковим семінаром кафедри обчислювальної техніки)

    При розрахунках активної біологічного захисту представляється корисним отримати рівняння руху релятивістських протонів в речовині при наявності магнітного поля, оскільки комбіновані способи захисту можуть виявитися оптимальними в тих випадках, коли вага захисних екранів повинен бути обмежений зверху.

    Як відомо, рівняння руху зарядженої частинки в магнітному полі при відсутності речовини в векторній формі має вигляд:

    Су е т- = - З з

    (1)

    де т - маса частинки; е - заряд; с - швидкість світла у вакуумі; V - вектор швидкості; В - вектор магнітної індукції.

    Оскільки нас будуть цікавити частки, швидкість яких порівнянна зі швидкістю світла, то рівняння (1) слід записати в формі співвідношення

    Ср е

    А з

    (2)

    де р = ту - імпульс частинки, маса якої залежить від енергії, т. е. швидкості частинки.

    При проходженні частинки через речовину матимуть місце різні взаємодії частинки з середовищем, в результаті чого енергія частинки буде зменшуватися уздовж траєкторії руху. У нас цікавить діапазоні енергій протонів головними є втрати енергії на іонізацію атомів захисного середовища. Втрати енергії на іонізації будуть еквівалентні дії деякої сили, що діє на частинку (протон) в напрямку, протилежному напрямку вектора швидкості. Величина цієї сил ", РЄ

    ли буде рівна питомій енергії іонізації на елемент довжини траєкторії I, тобто сила дорівнює -.

    З 1

    При обліку сили опору речовини за рахунок іонізації рівняння (2) може бути представлено у векторній формі:

    З 1

    (3)

    Ср ег РЄ З з1

    де прямі дужки означають абсолютне значення відповідної величини, а у - це модуль вектора швидкості частинки.

    В релятивістському випадку ліва частина рівняння (3) має бути представлена ​​наступним чином:

    (\

    Ср С. _ З - = - (ту) = - З З З

    т

    (4)

    де т0 - маса спокою частинки.

    У тривимірної прямокутній системі координат має місце співвідношення

    у2 = х2 + у2 +? 2, (5)

    де для скорочення запису перші похідні за часом позначені точками над відповідними координатами.

    Проекція векторного рівняння (4) на осі координат з урахуванням (5) дає можливість записати рівняння руху в наступному вигляді:

    (\ Л

    З

    З

    З

    З

    З

    З

    1 -

    = Е-в2у - ВУ2 -

    з з

    РЄ

    1-

    2 + 2 2 X + у + z

    1-

    2 + 2 2 X + у + z

    =-Б, z - Б, X-

    = -Бу х - Бх у -сс

    З 1

    РЄ

    З 1

    РЄ

    у-;

    З 1

    Тут В, Ву і В1 - складові вектора магнітної індукції по осях координат. Для скорочення запису введемо позначення

    Ф) =

    РЄ

    З 1

    і праві частини рівнянь системи (6) представимо у вигляді

    -у {у) х + -Б2у --Бvz = Ь \

    е е

    -Бz х-ф (у) у +-Б, z = М; з з

    е е

    -Бу х-Б, у-ф (у) z = N. з з

    (6)

    (7)

    (8)

    Розкриваючи похідні в лівих частинах системи (6) і з огляду на (8), отримаємо

    (\

    т0 | З

    х + х-Сг

    1 -

    2 + 2 2 x + у + z

    = Ь;

    т0 | З

    , 0 у + у-

    ф -Р2 Сг

    1-

    2 + 2 2 x + у + z

    = М;

    z + z-

    д / 1 -р2 Сг

    1-

    = N.

    (9)

    з з

    рядка за часом. розкриємо похідну

    (\

    - релятивістський фактор, а дві точки означає похідну другого по-

    З

    сг

    т0

    1-

    2 + 2 2 x + у + z

    л / (1 -Р2У

    • I хх + уу + zz

    (10)

    так як всі координати є функціями часу. Підставляючи (10) в систему рівнянь (9) і виконуючи нескладні перетворення, отримаємо

    з 2 (1 -р2) + x

    + Xyy + xzz = L1.

    xyx + y

    c2 (1 -в2) + y

    + Yzz = Ml,

    xzx + yzy +

    c2 (1 -в2) + z

    z = N1.

    (11)

    Тут введені для скорочення запису позначення:

    N1 =

    c2-y / (1 -в2) 3

    c% -0 / (1 -в2) 3

    = С \ -0 / (1 -в2) 3

    L;

    M;

    N.

    (12)

    При моделюванні звичайних диференціальних рівнянь на аналогових обчислювальних машинах (АВМ) прийнято вирішувати ці рівняння щодо старших похідних (метод пониження порядку похідної).

    Розглядаємо систему (11), як систему трьох рівнянь з трьома невідомими похідними x, y, z. Обчислюємо головний визначник системи (11)

    2

    А =

    с2 (1 -в1) + x;

    xy;

    xz;

    xy;

    c2 (1 -в2) + y;

    yz

    xz;

    yz

    c2 (1 -в2) + z2;

    (13)

    Застосовуючи правило Саррюс або який-небудь інший спосіб обчислення визначників і з огляду на (5) в нескладних, але громіздких перетвореннях, отримаємо

    Д = с 6 (1/32) 2. (14)

    Тепер вираз, наприклад, для х буде мати вигляд

    || 1 x = -

    А

    L ,:

    xy;

    M {, [c2 (1 -в2) + y]; yz;

    N1; yz; [C2 (1 -в2) +

    (15)

    Громіздкі алгебраїчні перетворення при обчисленні (15) дозволяють в кінцевому підсумку отримати порівняно простий вислів для х

    x = |

    - (- B2 y - By zlVi-87 - HvW (1-В2) 3. M0 V c c I m 0

    (16)

    Аналогічно обчислюються вирази для у і р В результаті отримуємо систему рівнянь руху у вигляді:


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити