Об'єктом дослідження є процес магнітної левітації поїзда. Мета дослідження отримання коректного математичного опису реалізації цього процесу. Виявлено раціональні парадигми дослідження. Розглянуто існуючі версії певної моделі. Описано їх переваги і недоліки. Обрані раціональні розрахункові схеми елементів левітаційного вузла. При дослідженні прийнята інтеграційна парадигма. Для спрощення моделі введені адекватні допущення. Левітаційні компоненти знайдені як сили Ампера. Описана електродинаміка левітаційного вузла.

Анотація наукової статті з електротехніки, електронної техніки, інформаційних технологій, автор наукової роботи - Поляков В.А., Хачапурідзе Н.М.


MATHEMATICAL MODEL OF TRAIN'S MAGNETIC LEVITATION PROCESS

A process of train's magnetic levitation is the research object. The research aim is to get the correct mathematical description of this process realization. Rational paradigms of the research were revealed. Existing versions of the desired model were considered. Their advantages and demerits have been described. Rational design schemes of a levitation unit's elements were chosen. The integrative paradigm was adopted in the research. Adequate assumptions were introduced to simplify the model. Levitation components were found as Ampere forces. The levitation unit's electrodynamics has been described.


Область наук:

  • Електротехніка, електронна техніка, інформаційні технології

  • Рік видавництва: 2017


    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету


    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРОЦЕСУ магнітної левітації ПОТЯГИ'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРОЦЕСУ магнітної левітації ПОТЯГИ»

    ?УДК 629.439

    В. А. ПОЛЯКОВ, Н. М. Хачапурідзе

    Інститут транспортних систем і технологій Національної академії наук України

    МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРОЦЕСУ магнітної левітації ПОТЯГИ

    Об'єктом дослідження є процес магнітної левітації поїзда. Мета дослідження -одержання коректного математичного опису реалізації цього процесу. Виявлено раціональні парадигми дослідження. Розглянуто існуючі версії певної моделі. Описано їх переваги і недоліки. Обрані раціональні розрахункові схеми елементів левітаційного вузла. При дослідженні прийнята інтеграційна парадигма. Для спрощення моделі введені адекватні допущення. Левітаційні компоненти знайдені як сили Ампера. Описана електродинаміка левітаційного вузла.

    Ключові слова: магнітолевітуючі поїзд, математична модель левітації, інтеграційна парадигма дослідження.

    В. О. ПОЛЯКОВ, М. М. Хачапурідзе

    1нстітут транспортних систем та технологш Нацюнально1 академічної наук Украши

    Математична МОДЕЛЬ процес МАГНГГ ^ ЛЕВГГАЦП ^ ЗДА

    Об'ектом до ^ дження е процес магнтно'1 левтаці 'потзда. Цшь до ^ дження - те, що бере коректного математичного Опису реал1зацІ 'цього процесса. Виявлено рацональт парадигми до ^ дження. Розглянуто iснуючi версія 'шукано'1 моделi. Описано imi досто'шства й недолжен. Звертаючись рацонально розрахунковi схеми елементiв левтацшного Вузли. При доИдженш прийнятя нтегратівна парадигма. Для Спрощення моделi поведений адекватш припущені. Левтацшн компоненти Знайди як сили Ампера. Описано електродінамщ левтацшного Вузли.

    Ключовi слова: магнтолевтуючій поХзд, математична модель левiтацii, Штегратівна парадигма до ^ дження.

    V. A. POLYAKOV, N. M. KHACHAPURIDZE

    Institute of Transport Systems and Technologies of Ukraine's National Academy of Sciences

    MATHEMATICAL MODEL OF TRAIN'S MAGNETIC LEVITATION PROCESS

    A process of train's magnetic levitation is the research object. The research aim is - to get the correct mathematical description of this process realization. Rational paradigms of the research were revealed. Existing versions of the desired model were considered. Their advantages and demerits have been described. Rational design schemes of a levitation unit's elements were chosen. The integrative paradigm was adopted in the research. Adequate assumptions were introduced to simplify the model. Levitation components were found as Ampere forces. The levitation unit's electrodynamics has been described.

    Keywords: magnetically levitated train, levitation's mathematical model, research's integrative paradigm.

    Досліджувана проблема. Рівень її досліджене ™

    Підвішування магнітолевітуючі поїзда (МЛП) здійснюється за допомогою левітаційного вузла (ЛУ). Токи і поля його контурів - компоненти єдиного електромагнітного субпроцеси гіперпроцесса електромеханічного перетворення енергії. Істотна складність таких процесів перманентно спонукає дослідників до пошуку шляхів сепаратного вивчення їх окремих компонентів, ключовим з яких є електромагнітний. Його складові порізно з успіхом можуть вивчатися [1] в рамках теорій електричних ланцюгів і електромагнітного поля. Тому існуючі версії математичної моделі (ММ) процесу левітації (ПЛ) МЛП побудовані [1 - 3] виходячи зі згаданих парадигм. Аналіз властивостей згаданих версій моделі свідчить про те, що кожна з них має як переваги, так і недоліками. Їх загальна позитивна риса - достатня функціональність. Основний же іманентна недолік таких версій - нестаціонарність диференціальних рівнянь, викликана циклічної переменностью їх коефіцієнтів, відповідних власним і взаємної індуктивності дискретних колійних контурів (ДПК) ЛУ як між собою, так і з надпровідними поїзними контурами (СПК), в залежності від

    положення поїзда. Це істотно ускладнює вирішення завдань описуваної динаміки [4], радикально знижуючи практичну цінність версій моделі.

    завдання дослідження

    Викладене виявляє [5 - 7] актуальність створення ММ ПЛ МЛП, асиміляційної гідності наявних версій такої моделі, але вільної від їх недоліків. Синтез такої моделі є основним завданням цієї роботи.

    Матеріал і результати дослідження

    Електромеханічне енергопреобразованій ЛУ МЛП здійснюється в процесі взаємодії полів струмів СПК і ДПК. Тому патерном левітаційного сили (ЛЗ) поїзда є взаємодія струму елемента СПК з полем струмів ДПК. Така взаємодія може бути описано виразом закону Ампера [8]:

    / Ру =? Ру |! Ру | Брешу | 8тарХ, (1)

    де / ру - сила, що діє на у тий елемент р -го СПК; ? Ру, 1Р, В ру, а ру - довжина елемента, струм в

    ньому, індукція поля, в якому елемент знаходиться, а також кут між і Брешу .

    Розрахункові схеми СПК і секцій ДПК прийняті, відповідно, у вигляді наборів гальванічне не пов'язаних проводять прямокутних рамок, а також пар ідентичних прямокутних котушок, з'єднаних згідно

    нуль-потокової схемою [1]. Тоді ЛЗ поїзда визначна як векторна сума величин ^ е [1, N], / е [1,4],

    кожна з яких, - це результат взаємодії струму одного з елементів СПК з полем струмів взаємодіючих з ним ДПК. В останньому виразі, N - число згаданих СПК. Динаміка електромагнітного компонента такої взаємодії визначається рівняннями другого закону Кірхгофа [8]. Підсистема "СПК - ДПК ', як правило, виродилися [6] - ємнісні показники її елементів нехтує

    низькі. Тому, в інерціальній системі відліку Qгр Урі [(хр-Е), (хр + Е)], модель електромагнітного

    компонента взаємодії в -го СПК з враховуються (в цій взаємодії) ДПК має вигляд [8, 9]:

    d р г (-р + Ьрі • -, (до р (до

    ° РР = Lpp'-ZiP + LpM'-Z ^ + грн- [(xp - ШХр + E)]; (2)

    "" U I. "До d (К в)

    ° pP = apP - apP; ° pP = - Jf? PP • is J

    Vpe [(xp-E), (xp + E)], p = u vk = l, (3)

    де OppV p<E [(xp -E), (xp + E)], k = u vk = l - електрорушійні сили (е. Д. С.), Індуковані в котушках p -го ДПК при змінах зчеплень з їх подконтурамі потоку струму ip ланцюга p -го СПК; Lpp, Lpy, pV p ^ e [(xp - E), (xp + E)] - власні і взаємні індуктивності, а також активні опори ДПК; Xp- номер (від початку ділянки траси, уздовж якого відбувається рух МЛП)

    останнього ДПК, поперечну осьову лінію якого минула поперечна осьова лінія в -го СПК; E -половина числа ДПК, з якими враховується електромагнітне взаємодія кожного СПК;

    ip, iM Vp, ^ e [(xp-E), (xp + E)] - струми ДПК; MKpp Vp e [(xp-E), (xp + E)], до = uvk = l - взаємні

    індуктивності між p -им СПК і котушками взаємодіючих з ним ДПК; t - поточний час.

    Завдяки вжитим конструкційним заходам [1], значення струмів ijVAe [1, К], змінюються досить повільно і, на інтервалах, порівнянних з часом спостереження руху поїзда, можуть вважатися рівними між собою і постійними

    = Is = const V A e [1, К], (4)

    де К - число СПК, встановлених на МЛП. Значення ж E доцільно вибирати так, щоб по обидва боки від кожного p -го СПК в ДПК, що передують, а також наступних за враховуються, величини "Kp V p < xp-Ev p> x p + E, к = u v к = l, навіть в нерівноважному стані ЛУ, були б нехтує малі.

    Оскільки СПК рухаються щодо ДПК, то величини Lp, Lpy, M Рх

    Vp, u е [(хл-Е), (хл + Е)], Ле [1, К], до = u vk = l мають циклічно змінюються в часі значення. Це, в свою чергу, призводить до нестаціонарності коефіцієнтів рівнянь (2), (3) і, як зазначено, істотно знижує практичну цінність версії моделі. З метою усунення зазначеного недоліку, реалізацію складають ЛЗ МЛП слід розглядати щодо координатних систем, в кожній з яких розглядається СПК і враховуються у взаємодії з ним ДПК умовно взаємно

    нерухомі. В такій якості, найзручніше прийняти [5] відлікові системи СлПі VXe [1, К] ,? е [1,3],

    кожна з яких жорстко пов'язана з Л-им СПК. ІнерціальниміСлПі VЛе [1, К], ие [1,3], в загальному випадку, не є. У той же час, дуже бажано [10], щоб рівняння, що описують динаміку електромагнітного компонента взаємодії СПК з ДПК, мали тензорний характер. такі рівняння

    d

    можуть бути отримані [11], з рівності типу (2) шляхом заміни в них локальних похідних - абсолютними

    dt

    D, а також переходу в моделі (2), (3) до координат 11U VXe [1, К],? Е [1,3]. Співвідношення між згаданими похідними, як відомо, має вигляд [11]:

    D1lUU = dt 1lUU + euav'®a "nvav u, ve [1,3L (5)

    де e uavV UV е [1,3], coa - символ Леві-Чівіта, а також вектор кутової швидкості обертання Canu Vue [1,3].

    Після зазначеної заміни, співвідношення, отримані з (2), набувають тензорний характер. Тому, зокрема, їх форма стає інваріантної стосовно координатами, в яких вони

    записані. Перехід же до координат nu Vu е [1,3] здійснимо відповідно до виражень:

    nUU = $ U-? pV ре [(Ха Е), (Ха + Е)]; U е [1,3], (6)

    де &р - матриця перетворення координат:

    ^ Р = ~ lUUVP е [(Ха-Е), (Ха + Е)]; u е [1,3]. (7)

    dsp

    На осі ПаУіе [1,3] і ер Ур е [(ха-Е), (ха + Е)] можуть проектуватися будь векторні величини, що характеризують електродинаміку взаємодії СПК і ДПК в системах відліку відповідно Саці

    У і е [1,3] і QеУ ре [(ха-Е), (ха + Е)]. Зокрема, ними можуть бути вектори струмів, е. д. з. і індукції полів. Вирази для зв'язків виду

    ПІІ = аєр) У р е [(Ха - Е), (Ха + Е)]; і е [1,3] (8)

    можуть бути отримані виходячи з того, що [5] в процесі описуваного координатного перетворення, його інваріантами є амплітуди струмів в розглянутих контурах, а також їх е. д. з. За допомогою ж матриці

    дер т ---

    $ Рр = - = ($ ії) Т Ур е [(Ха - Е), (Ха + Е)]; і е [1,3], (9)

    дпа

    здійсненно зворотне перетворення

    sp = До lU V ре [(Ха-Е), (Ха + Е)]; ? Е [1,3]. (10)

    У виразах (3) для оррУре [(хр - Е), (хр + Е)], до = і уг = I, значення величин М рр

    Урі [(хр-Е), (хр + Е)], до = і = I істотно залежать, зокрема, від взаємного розташування даного р -го СПК і ДПК, взаємодія з якими для нього розглядається. Тому

    МКРР = Мрр (м>р) Урі [(хр-Е), (хр + Е)], до = іvк = I, (11)

    де м р - координата, що визначає поточне положення розглядуваного р -го СПК щодо початку відліку

    руху МЛП уздовж осі колії. При цьому, оскільки ДПК уздовж траси руху поїзда розташовуються регулярно, останні залежності мають гармонійний характер. У той же час, сучасні способи вимірювання дозволяють

    [12] експериментально-розрахунковими методами з цілком прийнятною точністю визначати значення взаємних індуктивностей контурів магнітосвязанних електричних ланцюгів при різному поточному їх просторовому взаиморасположении. Це, в свою чергу, дозволяє, використовуючи згадані методи, поточечно будувати шукані залежності (11) на необхідної сітці м р. Далі, з використанням методів, наприклад, поліномінальної регресії

    [13], реалізація яких доступна в ряді сучасних систем комп'ютерної математики (наприклад, МаШетайса), залежностей виду (11) може, зі збереженням достатньо високої точності змісту, бути надано форму аналітичних виразів. Крім того, з урахуванням рівності (4), вирази (3) можуть бути перетворені до виду

    і I до (, * до

    ° рр = ° рр - ° рр; ° рр = | • -М рр

    Урі [(хр-Е), (хр + Е)], до = і Vк = I, (12)

    де м р - швидкість поздовжнього (уздовж дотичної до осі) руху розглянутого р -го СПК

    щодо шляху. Значення -МКрр Ур е [(хр-Е), (хр + Е)], до = і Vк = I для підстановки в

    (М р

    вираження (12) можна отримати з використанням, створених описаним шляхом у формі аналітичних виразів, залежностей виду (11). Таким чином, кожен з р векторів а рр

    Ур е [(хр-Е), (хр + Е)] виявляється певним в системі відліку Qsр Урі [(хр-Е), (хр + Е)]. Далі, з використанням співвідношень виду (6) - (8), кожен такий вектор може бути визначений в системі УРП У "е [1,3] своїми проекціями ВРП" е [1,3].

    Після перетворень, рівняння, отримані з (2) і (3) шляхом їх трансформації в ТРІЕДР СРПР У "е [1,3] з використанням співвідношень (5) і (6), набувають вигляду

    = | I + еру'ар- 'Г I + V • I + ер' юр 'в' + г " ''"

    У ", у, т, в е [1,3]; (13)

    "Р = $" "СТррУ ре [(хр-Е), (хр + Е)];" е [1,3]

    і I до (, гк

    ° рр = ° рр - ° рр; ° рр = | • Мрр

    р

    Урі [(хр-Е), (хр + Е)], до = і Vк = I. (14)

    Рівняння (13) мають постійні коефіцієнти, є тензорними і описують струмовий динаміку ЛУ МЛП в координатах ' "У" е [1,3]. Після їх (як правило - чисельного) дозволу щодо цих змінних, останні, з використанням співвідношень (10), можуть бути перетворені в координати 'р У ре [(хр - Е), (хр + Е)], значення яких визначають реальні струми в ланцюгах ДПК.

    Магнітна ланцюг ЛУ передбачається ненасиченої [1]. Тому вона може вважатися умовно-лінійної підсистемою і, отже, до неї можна застосувати принцип адитивності. Виходячи з цього, результуюче поле струмів

    ДПК в будь-якій точці геометричного простору 02У У у е [1,3], в якому реально рухається СПК

    щодо ДПК, може описуватися як сума полів, створюваних в цій точці струмами окремих модулів ДПК:

    B? = Bp? • ep; ep = 1; Vp e [(X? - E), (X? + E)], Y e [1,3], (15)

    де Вр, ВуррУре [(хр-Е), (хр + Е)], ^ е [1,3] - просторові компоненти індукції поля, створюваного всіма (враховуються у взаємодії з р -им СПК) модулями ДПК, а також окремими такими модулями в даній точці цього простору. У свою чергу, значення компонентів Вуар У у е [1,3] для кожного а -ого модуля ДПК, визначені у договорі виразами

    Вуар (1а) = Віуар (а) - В1уар (га) У / е [13], (16)

    де ВКар У у е [1,3], к = і ук = I - просторові компоненти індукції поля струмів котушок а -го ДПК (взаємодіє з р -им СПК). Вирази для визначення значень ТР (! Р) Урі [(хр-Е), (хр + Е)], ^ е [1,3], до = ІУК = I отримані в [14]. Далі, в співвідношення виду (16) послідовно підставляються значення струмів \ р Ур е [(хр - Е), (хр + Е)] і, таким чином, знаходяться значення Вурр У ре [(хр - Е), (хр + Е )], у е [1,3], а потім по ним, згідно (15), - і ВУР у у е [1,3].

    Оскільки простір системи 02У У у е [1,3] - евклідів, то, виходячи з його метрики,

    миттєве значення модуля вектора повної індукції поля, створюваного струмами ДПК, взаємодіючих з р -им СПК, може бути визначено виразом

    B? = VBf? | EY; eY = 1 Vy e [1,3]. (17)

    висновки

    Створена інтеграційна парадигма моделювання підвішування МЛП, асимілююча гідності теорій ланцюгів і поля, але вільна від їх недоліків. Побудована ММ ПЛ МЛП, яка не має дефектів попередніх версій моделі. Цим вирішена задача цієї частини дослідження.

    Список використаної літератури

    1. Високошвидкісний магнітний транспорт з електродинамічної левітацією / В. А. Дзензерський, В. І. Омельяненко, С. В. Васильєв, В. І. Матін, С. А. Сергєєв - К .: Наук. думка, 2001. - 479 с.

    2. Бочаров В. І. Транспорт на надпровідних магнітах / В. І. Бочаров, І. С. Саллі, В. А. Дзензерський - Ростов-на-Дону .: Изд-во РГУ, 1988 - 152 с.

    3. Takahashi T. Suspension characteristics of magnetically suspended high-speed trains / Takahashi, K. Okuyama // Hitachi Review - 1972. - 21, № 8. - P. 59 - 66.

    4. Takano I. Characteristics of magnetic levitation for high-speed trains / I. Takano // Proc. 4-th Int. Cryog. Eng. Conf. - Eindhoven, 1972. - P. 188 - 190.

    5. Електричні машини (спеціальний курс) / Г. А. Сипайло, Е. В. Кононенко, К. А. Хорьков -М .: Вища. шк., 1987. - 287 с.

    6. Львович А. Ю. Електромеханічні системи / А. Ю. Львович - Л .: Вид-во ЛДУ, 1989. - 296 с.

    7. Копилов І. П. Математичне моделювання електричних машин / І. П. Копилов - М .: Вища. шк., 2001. - 327 с.

    8. Безсонов Л.А. Теоретичні основи електротехніки: Електричні кола / Л. А. Бессонов - М .: Вища. шк., 1996. - 578 с.

    9. Арменскій Е. В. Єдина теорія електричних машин / Є. В. Арменскій, І. В. Кузіна - М .: Изд-во Московск. ін-ту електрон. машиностроит., 1975. - 256 с.

    10. Крон Г. Застосування тензорного аналізу в електротехніці / Г. Крон - М., Л .: Госенергоіздат, 1955. - 275 с.

    11. Рашевський П. К. Ріманова геометрія і тензорний аналіз / П. К. Рашевський - М .: Наука, 1967. -

    644 з.

    12. Панфілов В. А. Електричні вимірювання / В. А. Панфілов - М .: Видавництво. дім "Академія", 2006.

    - 288 с.

    13. Корн Г. Довідник з математики для науковців та інженерів / Г. Корн, Е. Корн-М .: Наука, 1973. - 831 с.

    14. Бірюков В. А. Магнітне поле прямокутної котушки з струмом / В. А. Бірюков, В. А. Данилов // Журнал технічної фізики. - 1961. - Т. XXXI, № 4. - С. 428 - 435.


    Ключові слова: магнітолевітуючі ПОТЯГ /MAGNETICALLY LEVITATED TRAIN /МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ левітації /LEVITATION'S MATHEMATICAL MODEL /ІНТЕГРАТИВНА ПАРАДИГМА ДОСЛІДЖЕННЯ /RESEARCH'S INTEGRATIVE PARADIGM

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити