Побудовано математичну модель фінансових потоків компанії, що укладає договори довічної ренти з населенням, у вигляді системи масового обслуговування з необмеженим числом ліній і фаз обслуговування. Дослідження потоків цієї системи з застосуванням методу граничної декомпозиції, в кінцевому підсумку дозволило розрахувати доцільну величину рентних платежів, що задовольняє обидві сторони договору.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Назаров Анатолій Андрійович, Ананіна Ірина Олексіївна


Mathematical model of financial flows of the company, made life annuity contracts with people, has been developed in the form of queuing system with unlimited number of lines and phases of service. The investigation of this system flows applying a method of limiting decomposition allowed finally computing the appropriate value of annuity payment satisfying both sides of the contract.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2011


    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ


    Наукова стаття на тему 'Математична модель процедури довічної ренти'

    Текст наукової роботи на тему «Математична модель процедури довічної ренти»

    ?УДК 519.872

    МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ПРОЦЕДУРИ довічної ренти

    А.А. Назаров, І. А. Ананіна

    Томський державний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Побудовано математичну модель фінансових потоків компанії, що укладає договори довічної ренти з населенням, у вигляді системи масового обслуговування з необмеженим числом ліній і фаз обслуговування. Дослідження потоків цієї системи з застосуванням методу граничної декомпозиції, в кінцевому підсумку дозволило розрахувати доцільну величину рентних платежів, що задовольняє обидві сторони договору.

    Ключові слова:

    Система масового обслуговування з необмеженим числом ліній і фаз, потоки звернень, метод граничної декомпозиції, довічна рента. Key words:

    Queuing system with unlimited number of lines and phases, streams of references, a method of limiting decomposition, a life annuity.

    Вступ

    Однією з основних завдань економіко-математичного моделювання є дослідження фінансових потоків, що володіють істотною нерегулярністю за величиною і в часі. Найбільш адекватними математичними моделями цих потоків є випадкові потоки однорідних подій [1], інтенсивно досліджувані в теорії масового обслуговування [2] - науці, яка виникла з потреб аналізу мереж зв'язку [3]. Такі потоки вимагають істотного узагальнення і розвитку методів їх дослідження стосовно економіко-математичних моделей.

    Інструмент ренти, особливо довічної, грає в даний час дуже серйозну роль, так як багато старі люди, укладаючи договори ренти, намагаються забезпечити своє життя.

    Метою даної роботи є дослідження основних фінансових потоків в процедурі довічної ренти, з точки зору фірми, що здійснює таким чином комерційну діяльність.

    Фінансові потоки в процедурі довічної ренти визначаються трьома потоками розглядається математичної моделі: входять потоком власників нерухомості, які бажають укласти договори довічної ренти, потоком моментів закінчення фаз обслуговування, коли відбувається виплата рентних платежів і потоком моментів закінчення договорів довічної ренти.

    У даній роботі запропонована математична модель процедури формування зазначених потоків у вигляді системи масового обслуговування (СМО) з необмеженим числом ліній і нескінченним числом фаз обслуговування в кожній лінії [4].

    Математична модель процедури

    довічної ренти

    Як математичної моделі процедури довічної ренти розглянемо систему масового обслуговування (рис. 1) з необмеженим числом ліній і нескінченним числом фаз обслуговування в кожній лінії.

    На вхід системи надходить пуассоновский потік заявок (власників нерухомості, які бажають укласти договори довічної ренти) з інтенсивністю Я. Заявка вхідного потоку, що надійшла в систему, займає одну з вільних ліній (клієнт укладає договір довічної ренти). Лінія вважається вільною, якщо вільні всі її фази обслуговування. Обслуговування заявки виконується послідовно на кожній фазі - тимчасових періодах, визначених договором для регулярної виплати ренти (щомісяця). Будемо вважати, що тривалість обслуговування на кожній фазі випадкова (зокрема детермінована) з функцією розподілу В (х).

    Завершивши обслуговування на к-й фазі, заявка з ймовірністю 1-гк залишає систему, а з ймовірністю гк переходить для обслуговування на наступну (до + 1) -ю фазу. Ймовірності гк визначаються функцією дожиття [5] у вигляді:

    гк = 8 (к) / 8 (к-1), (1)

    де? (к) - функція дожиття, тобто ймовірність, що людина доживе до віку, що визначається номером до даної фази обслуговування, а 5 (0) = 1.

    Розглянемо випадкові процеси, що формуються математичною моделлю, що визначають основні фінансові потоки процедури довічної ренти: у ( ') - число заявок вхідного потоку, що надійшли в систему за час', т ( ') - число заявок, які завершили обслуговування і залишили систему за час', п ( ') - число фаз, завершених усіма заявками за час'.

    Знайдемо спільну виробляє функцію тривимірного випадкового процесу {у ( '), п ('), ш ( ')}

    Нху ^^ щх ^ 'У ^}.

    Метод граничної декомпозиції

    Пуассонівський вхідний потік розглядається СМО розділимо по полиномиальной схемою з рівними можливостями на N незалежних Пуаса-соновскіх потоків з інтенсивностями Я / N. Для заявок кожного з потоків визначимо единствен-

    ву відповідну лінію обслуговування і будемо розглядати однолінійну СМО з відмовами в обслуговуванні для тих заявок, які надійшли на періодах зайнятості лінії. Лінія вважається зайнятою, якщо зайнята одна з її фаз обслуговування. Отже, формується N незалежно функціонуючих однолінійних систем обслуговування, дослідження яких набагато простіше, ніж дослідження вихідної системи з необмеженим числом ліній. Таким чином реалізується ідея методу декомпозиції. У зв'язку з можливістю відмов в обслуговуванні, сумарні характеристики сукупності N незалежних однолінійних систем не еквівалентні відповідним характеристикам вихідної системи з необмеженим числом ліній. Цей недолік усувається граничним переходом в сумарних характеристиках при Л ^ -та. У цьому полягає ідея методу граничної декомпозиції.

    Реалізуємо сказане для знаходження виробляє функції Н (х, у,?, /).

    Дослідження однолінійної системи з відмовами

    Розглянемо однолінійну систему обслуговування з відмовами (рис. 2).

    Для цієї системи розглянемо аналогічно тривимірний випадковий процес {у (/, Л), п (/, Л), т (/, Л)}. Для марковізаціі цього процесу визначимо ще дві компоненти: к (0 - номер фази, зайнятої в лінії в момент часу?. Якщо до (0 = 0, то лінія вільна і (/) - довжина інтервалу від моменту / до моменту закінчення обслуговування на поточної фазі.

    Очевидно, що пятімерний випадковий процес {до (0, і (0, у (/, Л), п (/, Л), т (/, Л}} є марковским, тому для його розподілу ймовірностей Р0 (у, п, т, 1, Л) = Р {до (1) = 0, у (Щ = у, п (1, Л) = п, т (1, Л) = т}, Рк (у, п, т, і , 1, Л) =

    = Р {до (Г) = до, у (1, Л) = у, п (1, Л) = п, т (1, Л) = т, і (Г)<і}

    отримаємо систему диференціальних рівнянь Колмогорова

    дР0 (у, п, т, г, І) Х ". лгч

    0 '= - Ро (у, п, т, г, І) +

    ДГ N

    ^ Ін ^ п ^ т-бреши! а -)

    + X - (1 Гк),

    -_1 ді

    Др1 (у, п, т, і, г, І) _ Др1 (у, п, т, і, г, І)

    ДГ

    ді

    ін (у, п, т, 0, г, І) ЛГ. X .

    --^ , , , , , > + Ро (у -1, п, т, г, І) -В (і),

    ді І

    ДРК (у, п, т, і, г, І) _ ДРК (у, п, т, і, г, І)

    ДГ ді

    ДРК (у, п, т, 0, г, І) +

    ді

    ді

    позначивши

    XXX Хуу "2тРо (у, п, т, г, І) _ Але (х, у, г, г, І),

    у_0 п_о т_0

    XXX Хуу "2тР- (у, п, т, і, г, І) _ Н (х, у, ^ і, г, І)

    у_0 п_0 т_0

    з системи (2) отримаємо систему рівнянь для функцій Н0 (х, у, 1 ^, Л) і Нк (х, у, 1, і, 1, Л)

    Дно (х, у, г, г, І) X

    До д (- = ~ ^ Але (х, у, г, г, І) +

    + ГX'дНк (x, У, г, 0 г, І) (1 -),

    - _1 ді - '

    ДН1 (х, у, г, і, г, І) _ ДН1 (х, у, г, і, г, І)

    ДГ

    ді

    дН, (х, у, г, 0, г, І) ТТ, "" X .

    --* ' " > + ХН про (х, у, г, г, І) - В (і), (3)

    ді І

    dHk (х, y, z, u, t, N) = oHk (x, y, z, u, t, N) _ Fk (x, y, z, u, t) =

    dt du t

    Дік (x, y, z, 0, t, N) dHk _, (x, y, z, 0, t, N) = \ {_ k (x, У, z, s) + УДК _A _i (x, У, z, s) B (u + t _ s)} ds,

    я ^ --- a-Гк _1B (u)

    du du

    0

    звідки отримаємо

    Так як в початковий момент часу? = 0 ис ін (0)

    вихідна СМО з необмеженим числом ліній ^ (х, у, г, :) = - '(хуг' ' -.

    вільна, то вільна кожна лінія, тому на- ді

    чільного умови для вирішення Н0 (х, у, 1 ^, Щ, >

    Нк (х, у, 1, и, 1, И) системи (3) визначимо у вигляді = ^ х \ в (: ~ ^^ = ^ хВ (:),

    Але (х, у, г, 0, Ш) = \, Нк (хуАіДЛІ. (4) ° д

    Знайшовши рішення задачі Коші (3,4), визначимо ^ (х у г :) = до (x, у, г, 0, :)

    маргінальну виробляє функцію трехмер- до ді ного процесу {у (/ Д), ПЦ, Щ, ш (1, Щ

    Н (х, у, г,:, І) = М {ху ( 'І) уі) г ™)} =

    I

    : Yrk_i \ h_i (x, У, z, t _ z) dB (z).

    = H0 (x, y, z, t, N) + lim У Hk (x, y, z, u, t, N). (5) З цієї рекурентності ін ° цедури виходить, що

    к = 1 функції hk (x, y, z, t) мають вигляд

    Для різних однолінійних СМО процеси hl (x, y, z, i) = hcB (i),

    {V (t, N), n (t, N), m (t, N)} стохастически незалежні hk (x, y, z., T) = Xxyk-1S (k-1) B (k) (t ),

    і однаково розподілені. Відповідні сумою де B (k) (t) - k-кратна згортка розподілів B (t),

    Марні процеси для сукупності N одноліней- k

    них СМО є суммамінезавісімих і одина а S (k) в силу рівності (1) має вигляд S (к) = Т \ г..

    ково розподілених випадкових процесів для од- = 1

    нолінейних СМ °. Тому що виробляє функ- Підставляючи знайдені для h (x, y, z, t) вираження

    цію H (x, y, z, t) для процесів вихідної системи в (9), отримаємо

    з необмеженим числом ліній запишемо у вигляді р (x y z t) =

    H (x, y, z, t) = lim HN (x, y, z, t, N) (6) і 0 '' 't

    tj nT »= _Xt + zXxY (1 _ r.) yk_1S (k _ 1) fB (r) dz,

    Рішення системи (3) знайдемо у вигляді ^ kJJ v Ч у

    k = 10

    1 _2

    H0 (x, y, z, t, N) = 1 + N p0 (x, y, z, t) + oN), P1 (x, y, z, u, t) = Ax J {B (u + 1 _z) _ B (z)} dz,

    Hk (x, y, z, u, t, N) = N р1 (x, y, z, u, t) + N-2). (7) pk (x, y, z, u, t) = Xxyk_1S (k _ 1) X

    Тоді для функцій Fli (x, y, z, t) і Fk (x, y, z, u, t) зада- 'k1) (k}

    чу (3,4) запишемо в такий спосіб: XJ {B (z) B (u + t _z) _B (z)} dz. (10)

    dF0 (x, y, z, t) 0

    -d- = _X + z у hk (x, y, z, t) (1 _ rk), Отримані рівності (10) вирішують поставлене-

    dt k = 1 ву задачу знаходження функцій H0 (x, y, z, t, N) і

    dP1 (x, y, z, u, t) dP1 (x, y, z, u, t) = Hk (x, y, z, u, t, N) з (8).

    dt du

    = _H1 (x, y, z, t) + xXB (u),

    Дослідження системи з необмеженим числом ліній

    dPk (x, y, z, u, t) dPk (x, y, z, u, t) = Застосовуючи рівності (7) запишемо функцію

    dt du H (x, y, z, t, N) з (5) у вигляді

    = _H (x, y, z, t) + yhk _1 (x, y, z, t) rk _B (u), (8) H (x, y, z, t, N) =

    Fo (x, y, z, 0) = 0, Fk (x, y, z, u, 0) = 0. = H0 (x, y, z, t, N) + lim У Hk (x, y, z, u, t, N) =

    u k = 1

    , , ч dPk (x, y, z, 0, t)

    де hk (x, y, z, t) = -kV '' '. 1 2

    du = 1 + -P (x, y, z, t) + o (N). (11)

    Неважко показати, що рішення цієї системи N

    має вигляд Тут функція F (x, y, z, t) має вигляд

    P0 (x, y, z, t) = _ Xt + z У (1 _ rk) \ hk (x, y, z, s) ds, P (x, у, z, t) = р0 (x, у , z, t) + 1 ™ у Pk (x, у, z, u, t).

    k = 1 0 k = 1

    t Підставляючи сюди вирази (10) для функцій

    P1 (x, У, z, u, t) = Xx J {B (u +1 _ s) _B (s)} ds, (9) Fk (x, y, z, t), отримаємо

    ^ (Х, у, г, г) = (х -1) ХГ + -) ад-1) + | у, л

    Й1 + (у-г) 5 (*) Г 0

    Застосовуючи рівності (6) і (11), знайдемо виробляє функцію Н (х, у,?, 0 тривимірного випадкового процесу {| (0, «(0, т (0}, що визначає основні фінансові потоки процедури довічної ренти.

    Н (х, у, г, г) =

    = 11т {1 + N ^ (х, у, г, г) + про (N ~ 2) | = Е ^

    Таким чином, згідно з (12), функція Н (х, у, г, /) має вигляд

    Н (х, у, г, г) =

    (Х - 1) ХГ +

    = ехр

    |Ях ^ "- 1) 5 (к-1) + [у '-ГВ«' >(Г) Л 1+ (у-г) .. (к) До 1

    Системи з детермінованою тривалістю фаз обслуговування

    Так як в договорах довічної ренти тривалість фаз обслуговування є величиною детермінованою, яку можна покласти рівною одиниці часу (місяць), то функція розподілу В (/) має вигляд

    [О, якщо г < 1,

    [1, якщо г > 1. Тоді для к-кратної згортки запишемо

    Ве) (,) = | 0, якщо г < ', {1, якщо г > до.

    Тому для будь-яких значень / виконується рівність

    [0, якщо г < до,

    | В (до \ т) с1т =

    г - до, якщо г > до.

    при />1 функцію Н (х, у, г, 1) з (9) можна записати у вигляді

    Н (х, у, г, г) = (х - 1) ХГ +

    = ехр

    + ХХ? -1) 5 (до -1) + [+ (у - г) 5 (к)

    ук-1 (г - к)

    (13)

    але потік, який визначається процесом «(/) - не Пуаса-соновскій і визначається виробляє функцією Н (1, у, 1,0 числа фаз, завершених за час

    Запропонована математична модель і метод її дослідження може знайти широке застосування при аналізі різних систем на фінансових ринках нерухомості, банківських послуг, в страховій справі, в пенсійному забезпеченні, а також інших соціально-економічних систем. У даній роботі вона застосовується до аналізу процедури довічної ренти.

    Процес зміни прибутку

    Будемо вважати, що при укладанні договору довічної ренти витрати платника ренти, пов'язані з залученням клієнта, складають значення величини 4 При переході клієнта на наступну фазу витрати компанії, пов'язані з реалізацією рентних платежів, складають значення випадкової величини 77.

    У момент закриття договору в зв'язку з виконанням зобов'язань, компанія отримує дохід дорівнює значенню випадкової величини 4

    Позначимо Щ () - прибуток, накопичену платником ренти за час / комерційної діяльності з надання послуг довічної ренти.

    Так як прибуток дорівнює різниці доходів і витрат, то

    отже, характеристична функція величини прибутку ЩО має вигляд

    в (а, г) = ті-аш (г) =

    Г т ({) п (г) у (1) 1

    = Мехр + а? Д + [.

    {? = 1? = 1? = 1]

    Вважаючи стохастическую незалежність величин 4, 7, 4, що приймають свої значення в різні моменти часу настання платежів для різних одержувачів ренти, а також їх однакові по I розподілу, для О (а, /) отримаємо

    в (а, г) = М {еа41 (г) еащп ({) е -а4'т (г)} =

    = Х М

    ?еа41 "(г) еа77 '

    >( '),

    хе

    -а ^ т «)

    | У (!) = V, п (г) = п, т (г) = т

    де [/] - ціла частина від числа

    Знайдене вираз (13) для виробляє функції Н (х, у,?, 0 тривимірного процесу {| (0, і (0, т (0} вирішує завдання аналізу основних потоків математичної моделі процедури довічної ренти.

    З вигляду (13) випливає, що процеси і т (/) -пуассоновскіе, що цілком природно для вхідного і вихідного потоків системи M | GI |<x>,

    хР (|, п, т, г) = =? (МеаС1У (Меа771) п (Ме ^ УРП, т, г) =

    т, п V

    = Н (х (-а), у (-а), г (а), г),

    де х (а) = Меа1; у (а) = Меа; , Г (а) = Меа - характеристичні функції випадкових величин 4, 7 і 4 Таким чином, характеристична функція величини прибутку платника ренти, накопиченої за час має вигляд

    О (а, 0 = Н (х (-а), у (-а), г (а) Д (14) де функція Н (х, у, 1,1) визначається рівністю (13).

    Дослідження середнього значення величини прибутку

    З властивостей характеристичних функцій випливає, що

    дв (а, г)

    Ж1 (г) = МЗ (г) =--

    да

    тому, в силу рівності (14), отримаємо

    №1 (1) = М? Мт (0-М ^ МП (0-М? -Му (0.

    Нехай М? = 1 - вартість квартири, наприклад 2 млн р; Мг1 = 5 - частка від вартості квартири, яку слід виплатити клієнту за один місяць в якості ренти; МС = 51 - частка від вартості квартири, яку може витратити фірма на залучення клієнта. Отже, № () має вигляд W1 (t) = Mm (t) - ЙЩО- ^ МЦО.

    Середні значення для процесів у (0, п (0 і т (0 визначимо з виду (13) виробляє функції Н (х, у, 1,1), отримаємо

    Ж1 (г) = я? [5 * (до -1) - 5 (к)] (г - к) -

    к = 1 [г]

    5 (к) (г - к) -51Яг.

    (15)

    З (15) очевидно випливає, що середнє значення № () величини прибутку лінійно залежить від інтенсивності Я укладення нових договорів довічної ренти і істотно нелінійно № () залежить від t.

    Визначення функції дожиття

    Функцію $ (к) в демографії називають функцією дожиття, її аналітичним виразом, найбільш адекватно відповідним статистичними даними, є функція Гомперца-Мейкема

    ЗД = ехр {-ак-В (е-М)}, в якій параметри А, В і а визначаються зі статистичних даних.

    Для чоловіків Російської Федерації відомі наступні статистичні дані [6] для безумовної функції дожиття (табл. 1).

    Таблиця 1. Безумовна функції дожиття для чоловіків віку х, років

    х 60 70 80 90

    В (х) 0,651 0,434 0,188 0,003

    до 0 120 240 360

    S6o (k) 1 0,6667 0,2888 0,0046

    ня умовної функції дожиття до к-го місяця чоловіків старше 60 років.

    Значення параметрів А, В і а для умовної функції дожиття

    ?60 (пекла, к) = ехр {-ак-В (ЄАК-1)} знайдемо як розв'язок системи трьох нелінійних рівнянь

    ?60 (А, В, а, 120) = 0,6667, S60 (A, B, а, 240) = 0,2888,? 60 (АД а, 360) = 0,0046 щодо А, В і а.

    Це рішення набуває таких значень А = 0,0028, В = 0,0097, а = 0,017, отже, для чисельних розрахунків функцію? 60 (к) можна брати у вигляді

    ?60 (к) = ехр {-0,0028к-0,0097 (е ° '017к-1)}.

    Аналогічно визначаються значення параметрів для умовних функцій дожиття чоловіків інших вікових груп і жінок.

    При більш детальних статистичних даних про функції дожиття, як правило, застосовують метод найменших квадратів, або інші методи знаходження статистичних оцінок параметрів розподілу.

    Чисельний аналіз математичної моделі

    довічної ренти.

    економічні рекомендації

    Підставляючи знайдену функцію дожиття? 60 (к) в (15) і вважаючи 5 = 0 - витрати на залучення нових одержувачів ренти враховані в залишкової вартості нерухомості, що визначає величину ренти, виконаємо чисельний аналіз середнього значення №? (0 величини прибутку платника ренти при Я = 1 (один новий клієнт в місяць) і середньому значенні залишкової вартості квартири в 2 млн р.

    Зміна в часі величини прибутку ЩО для ряду значень 5 показано на рис. 3.

    З результатів чисельного аналізу випливає, що при 5<0,003 прибуток платника ренти є позитивною при всіх t, при 5>0,0058 величина № [(0<0, тобто при таких значеннях 5 платник ренти терпить тільки збитки від своєї комерційної діяльності. при 0,003<5<0,0058 функція № () має вигляд

    Тут х - вік чоловіка; ? (Х) - значення функції дожиття для чоловіків віку х. Тому для умовної функції дожиття? 60 (к) для чоловіків старше 60 років ці значення будуть наступними (табл. 2).

    Таблиця 2. Функція дожиття до к-го місяця для чоловіків старше 60 років

    Щ) =

    < 0, при г < Т (5), > 0, при г > Т (5).

    Тут до визначається тривалістю виплат рентних платежів в місцях, а? 60 (к) - зна-

    Тривалість Т (5) початкового періоду витрат досить велика. Наприклад, при 5 = 0,004 величина Т (5) = 25 років, а при 5 = 0,005 Т (5) = 45 років. При 5 = 0,004 максимальні збитки становлять 9,264 млн р. і досягаються на 18 році діяльності, а при 5 = 0,005 збитки сягають 31,728 млн р. і припадають на 23 рік комерційної діяльності.

    З наведених розрахунків, очевидно, випливає, що застосування 5>0,003 для платника ренти економічно недоцільно.

    а = 0

    к = 1

    при <5 = 0,003 і вартості квартири в 2 млн р. величина ренти становить 6 тис. р. в місяць, але в середньому ці виплати покривають лише половину вартості квартири, так як середня тривалість дожиття чоловіки старше 60 років становить 172 місяці. Така ситуація навряд чи може зацікавити власника нерухомості до укладення договору довічної ренти.

    висновки

    Побудовано математичну модель процедури формування фінансових потоків компанії, що укладає договори довічної ренти з населенням, у вигляді системи масового обслуговування з необмеженим числом ліній і фаз обслуговування. Запропоновано метод граничної декомпозиції для аналізу тривимірного випадкового процесу, що визначає основні потоки системи.

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Гнеденко Б.В., Коваленко І.М. Введення в теорію масового обслуговування. - М .: КомКнига, 2005. - 400 с.

    2. Хинчин А.Я. Роботи з математичної теорії масового обслуговування. - М .: Физматлит, 1963. - 527 с.

    3. Лівшиць В.С., Пшеничников А.П., Харкевич А.Д. Теорія телетрафіка. - М .: Связь, 1979. - 224 с.

    4. Галажінская О.Н. Нескінченно лінійна нескінченно фазна система масового обслуговування з випадковим перериванням

    Знайдена характеристична функція величини прибутку платника ренти. Виконано дослідження імовірнісних характеристик прибутку.

    Показано, що рентні платежі понад 0,3% від вартості нерухомості для платника ренти економічно невигідні. При таких платежах виплати покривають лише половину вартості нерухомості, що не може зацікавити власника в укладенні договору довічної ренти.

    Звідси випливає, що процедуру довічної ренти необхідно реалізовувати як довгостроковий інвестиційний проект під високонадійні гарантії, або, для людей похилого віку, для збільшення швидкості обороту грошових коштів, або застосовуючи динамічне призначення величини рентних платежів, що зростають з часом.

    обслуговування // Вісник Томського державного університету. - 2006. - № 18. - С. 261-266.

    5. Валентій Д.І., Кваша А.Я. Основи демографії. - М .: Думка, 1989. - 285 с.

    6. Четиркін Є.М. Пенсійні фонди. Зарубіжний досвід для вітчизняних підприємств, актуарні розрахунки. - М .: АТ «Арго», 1993. - 100 с.

    Надійшла 17.01.2011 р.


    Ключові слова: система масового обслуговування з необмеженим числом ліній і фаз /потоки звернень /метод граничної декомпозиції /довічна рента /queuing system with unlimited number of lines and phases /streams of references /a method of limiting decomposition /a life annuity

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити