Вперше створено математичну модель обгрунтованого вибору пакетів матеріалів для різних антропометричних ділянок стопи, що забезпечують її захист від впливу низьких температур. Знаючи теплофізичні властивості матеріалів і їх характеристики при формуванні пакетів матеріалів різних ділянок стопи і враховуючи температурні умови навколишнього середовища і енерговитрати стопи, можливо розрахувати температуру в будь-якій частині взуття в конкретний момент часу. Отже, можна змоделювати умови експлуатації взуття при впливі на неї низьких температур, розрахувати максимально можливий час перебування людини в цих умовах без погіршення мікроклімату всередині взуття і без негативних впливів на стопу людини.

Анотація наукової статті з будівництва та архітектури, автор наукової роботи - Михайлова І. Д., Осика Т. М., Прохоров В. Т., Михайлов А. Б.


Область наук:

  • Будівництво та архітектура

  • Рік видавництва: 2005


    Журнал: Известия вищих навчальних закладів. Північно-Кавказький регіон. Технічні науки


    Наукова стаття на тему 'Математична модель мікроклімату у взутті при впливі на неї низьких температур'

    Текст наукової роботи на тему «Математична модель мікроклімату у взутті при впливі на неї низьких температур»

    ?УДК 865.34.03.01

    МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ МІКРОКЛІМАТУ У ВЗУТТЯ ПРИ ДІЇ НА НЕЇ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

    © 2005 р І.Д. Михайлова, Т.М. Осика, В. Т. Прохоров, А.Б. Михайлов

    Створення комфортності взуття неможливо без об'єктивної оцінки показників властивостей пакетів матеріалів з метою ефективного їх формування шляхом відбору раціонального поєднання верху, підкладки, устілки і підошви [1].

    Основними критеріями комфортності взуття прийняті: температура стопи, яка не повинна бути нижче 27-33 ° С, і температура внутріобувного простору (повинна бути не нижче 21-25 ° С).

    Таким чином, мікроклімат всередині взуття є показником її комфортності, в тому числі при впливі на неї низьких температур. Для людини вкрай важливо, яка частина тіла охолоджується більше при збереженні сумарної тепловіддачі. Наприклад, сильне охолодження ніг не може бути повністю компенсовано нагріванням іншій частині тіла без порушення почуття комфортності людини [2, 3].

    Тому так важливо розробити математичну модель для обґрунтування вибору пакету матеріалів з метою створення комфортності стопи з урахуванням величини і тривалості впливу на неї низьких температур. Для її апробації за допомогою програми 3D Studio MAX 5 побудували геометричний образ моделі черевика (рис. 1).

    Мал. 1. Геометричний образ моделі черевика

    Модель взуття побудована з використанням базових геометричних об'єктів: 1 підошва (складова пластина); 2 - халяву (вертикальний циліндр); 3 -пяточно-перейменний ділянку (циліндричний сегмент, розгорнутий під кутом до поздовжньої осі моделі); 4 - пучковий ділянку (горизонтальний циліндричний сегмент); 5 - шкарпеткова частина (сферичний сегмент); 6 - п'яткова частина (вертикальний циліндричний сегмент).

    Теплові опору верхньої та нижньої частини, зазвичай розглядаються як системи, що складаються з окремих матеріалів, являють собою суму теплових опорів окремих шарів і прошарків (зовнішні деталі, підкладка, межподкладка, прошарку технологічних клеїв, повітря і т.д.), а також суму опорів переходу тепла з одного середовища в іншу на кордоні, що розділяє окремі шари.

    Розроблена математична модель передбачає розрахувати розподіл температури для пакета різних матеріалів, використовуваних для деталей низу і верху взуття. Так як при побудові моделі черевика (рис. 1) були використані геометричні об'єкти: пластина, порожнисті циліндри і куля, тому побудована узагальнена математична модель теплообміну між стопою і навколишнім середовищем розпадається відповідно на три крайові задачі теплопровідності.

    1. Підошва (багатошарова пластина). Введемо наступні позначення: 5i - товщина / -го шару; i

    lj =? 5 k - межі зміни координати xi i-го

    k = 1

    шару (li-1 < xi < li); t - час; 1 i - коефіцієнт теплопровідності i-го шару; ai - коефіцієнт температуропровідності i-го шару; 0 i (xi, t) - температура i-го шару li-1 < xi < li; TC - температура навколишнього середовища; Tt (xi, t) = 0 i (xi, t) - TC - відносна температура i-го шару li-1 < xi < li, i = 1, ..., n.

    При побудові математичної моделі ми розглянемо низ взуття як n-шарову пластину, між шарами якої будемо припускати ідеальний контакт.

    Задача про розподіл температури на першому етапі зводиться до вирішення системи:

    дт,, ч d T ixt, t)

    - ^ (x ,, t) = ai-i V ', i = 1, .., n. (1)

    dtK " '1 Bxf

    Початковий розподіл температури

    Tt (xi, 0) = f (xi), i = 1, .., n (2)

    (На першому етапі можна вважати fi (xi) = const -

    рівній відносної температурі в приміщенні).

    Граничні умови: відносна температура на зовнішній поверхні підошви підтримується рівною 0, тобто рівній температурі навколишнього середовища:

    Tn (ln, t) = 0. (3)

    Внутрішня поверхня підошви нагрівається тепловим потоком стопи щільності q:

    dT (0, t)

    11 ^ '+ q = 0.

    дх

    (4)

    Між шарами підошви передбачається ідеальний контакт, який виражається умовами сполучення на стиках:

    T-1 (-1, t) = T (о, t),

    (5)

    Xм ((н, г) = 1. (0, /), г = 2, ... ». (6)

    Рішення завдання, подібно [1], будемо шукати у вигляді Ti (х., Г) = Я. (х.) + (Х., Г), г = 1, ..., і, де функція

    Я. (х.) Є рішенням крайової задачі стаціонарної теплопровідності при відповідних неоднорідних умовах виду (3), (4) і умовах сполучення (5), (6). Функція N. (х., Г) є рішенням

    нестаціонарної крайової задачі з однорідними крайовими умовами та неоднорідним початковою умовою.

    Отже, функція Яг (ХГ) повинна бути рішенням системи:

    d2 Rj

    dx2

    (Xj) = 0, j = 1,..,

    Aj =

    q

    (/ N-1 (1 1 Л Л

    Bj = q ^ + E lk -

    1 n k = j 1 k 1 k + 1

    j = 1, ... n - 1. (6)

    Для знаходження функцій N. (, г) вирішуємо систему

    dNj Е 2 N

    j = 1, ..., n .

    ДГ 'дх2 Граничні умови на поверхнях:

    ДN 1 (0; г)

    дх1

    | = 0, Nn (ln, t) = 0.

    (7)

    (8)

    Умови сполучення на стиках:

    N.-1 ((.-1, г) = N1 ((.-1, г),

    ! -1 (/,). ((I-l, ^). 2 і (9) 1 м ~ дх- С (.- 1, г) = 1.-дх- '. = "". (9)

    Початкові умови N. (х., 0) = / (х.) - Я. (Х.),. = 1, ..., і. (10)

    Використовуючи метод Фур'є, рішення задачі (7) - (9) шукаємо у вигляді:

    ^. (Х., Г) = X (х.) Ехр (-Ц2 /),. = 1, ..., і.

    Підставляючи цю функцію в (7), отримаємо диффе-

    2

    ренціальное рівняння X '+ - X. = 0, загальне реше-

    (

    ня якого Xj = A j sin

    lx j

    (

    Л

    + Ф j

    . отже,

    Nj (xj, t) = Aj exp (- ^ 2t) sin

    lx j

    + Ф j

    j = 1, ..., n .

    Задовольняючи умовам сполучення (9), будемо мати

    з граничними умовами

    Я »(/") = 0, 11Я1 / (0) = ^, Я.-! (/ L-1) = Я. (/ 1_1), 1 м Ям (/.-1) = 1 ..Я / (/! - 1),. = 2, ..., і. Рішенням цієї системи є

    ЯДх.) = Лх + В.,. = 1, ... і .

    Використовуючи граничні умови, знаходимо коефіцієнти Л. і В .:

    (

    A j-1 sin

    К-1

    Л

    + Ф

    j-1

    (

    A

    j-1

    1 j-1 cos

    'J-1

    ^ J-1

    = A j sin

    Л

    + Фм

    llj-1

    Л

    V «7

    + Фj

    'J-1

    Aj

    (

    : 1j COS

    V «7 j V« 7

    ilj-1

    Л

    + Фj

    j = 2, ..., n.

    (11)

    Звідси

    tg

    ll1

    11

    \

    1 n-1

    + Ф1

    tg

    ll1

    + Ф 2

    (12)

    tg

    lln-1

    + Ф

    n-1

    lln-1

    + Ф

    на кордонах

    COS Ф1 = 0, sin

    + Фу

    = 0.

    (13)

    Із системи (12), (13) визначаємо послідовність власних чисел ц к > 0 і значень ф до, які відповідають цим числам. Використовуючи першу рівність (9), отримаємо:

    Aj-1k = Mj-1kA 1k ,

    j = 3, ..., n .

    де M 1k = 1,

    1

    П sin

    r = 1

    Д klr

    + Ф rk

    sin Ф rk * 0. (14)

    П sin Ф rk

    r = 2

    Таким чином, рішення задачі (7) - (10):

    n » &, t) = E 41кМгк exp (-д 21) sin

    k = 1

    f

    Д kxi

    + Ф ik

    i = 1,2, ..., n.

    Постійні A 1k визначаємо, використовуючи ортого нальность функцій Xik (xi) = Mik sin відрізку [0, ln]:

    f A

    Д kxi + Ф + Ф ik

    n X | li,. ,. \ Const, k = p E - f Xik (xi) Xip (xi) dxi = 1 'F. i = a i i "1 i i i 1 0, k * p

    З початкових умов маємо

    М, (х ,, 0) = /, (х,) _ Я, (х,) =? .41кМ1к ал

    f A

    д kxi

    i + Фш

    k = 1

    4a

    на [li-1, li], отримаємо:

    ~ Mip f Ni (xi, 0) sin

    4i ii-

    Д pxi

    4ai

    A

    + Ф ».

    dxi =

    X i

    ii f

    = E AMpM * - f sin k = 1 a

    "I h-

    Д kxi

    4a

    i = 1, ..., n.

    + Ф *

    ат

    Д pxi

    4a

    + Ф «

    dxi

    П X i

    i

    E ~ Mip f N (x », 0) sin

    i = 1 ai ii -1

    = A1 pEMip ^ f sin2

    i = 1 ai ii-1

    Д pxi

    4ai

    Д pxi

    A

    + Ф »

    + Ф i

    dxi =

    dxi.

    Звідси

    41 p =

    X

    E -Mip f N (x », 0) sin

    i = 1 ai ii-1

    Д p n i

    -7 =-

    dxi

    n X

    (15)

    E ^ Mfp f i = 1 ai i i-1

    аш

    Д pxi

    4ai

    + Ф »

    dxi

    Таким чином, рішення задачі першого етапу (1) - (5)

    Т, (х ,, г) = АГХ, + Б, +

    ^ - / \ • -E A 1kMik exp (-д 21) sin k = 1

    Д kxi

    4 ^

    + Ф i

    на

    Помножимо обидві частини на - Х / р (х,) і, інтегруючи

    Підсумовуючи по / від 1 до п і використовуючи ортогональность Х / к, знаходимо:

    в якому коефіцієнти А ,, Б ,, М / к, АА 1к визначаються за формулами (6), (14), (15). Для отримання розрахунків розподілу температури достатньо взяти кінцеве число членів ряду. Можливості сучасної комп'ютерної техніки дозволяють зробити ці обчислення з високим ступенем точності.

    2. Верх взуття та п'яткова частина (багатошаровий циліндр). Для деталей взуття, що представляють в моделі багатошаровий циліндр, крайова задача про розподіл температури / -го шару ставиться таким чином:

    ^ = 1Ц г ^, К < г < Кг / = 1,2, ..., п,

    ДГ г ДГ I ДГ I

    де Я, ч, Я, - внутрішній і зовнішній радіуси / -го шару; / = 1, 2, ..., п, Від стопи на внутрішню поверхню взуття надходить тепловий потік щільності q:

    А! дТГ1 (я про, г) + q = 0.

    На зовнішньої поверхні взуття відбувається теплообмін з навколишнім середовищем за законом Ньютона з коефіцієнтом теплообміну а:

    А п дггт (Яп, г) + АТП (Яп, г) = о.

    Між шарами передбачається ідеальний контакт:

    т, ч (я, -_ 1, г) = тг (Я / -1, г);

    А / _, ^ (Я / _1, г) = А / дт (Я / _l, г), / = 2 ^ п;

    початкові умови Ti (г, 0) = ф, (г), / = 1, .., п.

    Вирішуючи цю задачу методом Фур'є, отримаємо ряд

    Ti (r, t) = Qi (r) + E Cik k = 1

    f f A J Д kr

    J r

    + Ai, kY 0

    f A A Д kr

    v * /

    х ехр (_ц 2 г),

    де Qi (г) _ рішення стаціонарної задачі, подібної задачі для функції Я, (х,) багатошарової пластини, цк - власні числа крайової задачі, J0,70 _ функції Бесселя першого і другого роду нульового індексу, С / к, А / к _ коефіцієнти.

    3. Шкарпеткова частина (багатошаровий кульової сегмент). Для кульового сегмента задача про розподіл тепла ставиться для системи рівнянь

    ДТГ (r ,, t) = ^ 1 д 2 (r, T, (r ,, t))

    dt

    dr2

    i = 1, ..., n

    при таких же крайових і початкових умовах, як і для циліндра. Її рішення знаходиться методом Фур'є у вигляді функціонального ряду:

    (\

    1 ~

    т, (r ,, t) = q, (r,) + - e w, k exp (-m 2kt) sm r, k = 1

    i = 1, ..., n .

    M kr,

    + Ф, k

    Таким чином, знайдено рішення задачі розподілу тепла для всіх деталей моделі черевика (рис. 1), що представляють собою багатошарові пластину, циліндричний і сферичний сегменти. Знаючи тепло-фізичні характеристики матеріалів, що становлять взуттєвої пакет, температурні умови навколишнього середовища і енерговитрати стопи, за отриманими формулами можна розрахувати температуру в будь-якій частині взуття і в будь-який момент часу. У приватно -сті, можна отримати температуру поверхні стопи як функцію часу, яка є критерієм температурної комфортності стопи при експлуатації взуття в умовах низьких температур.

    Наведемо приклад розрахунку зміни температури поверхні стопи від часу при впливі на

    взуття низьких температур. Характеристики матеріалів, що становлять пакети всіх вузлів даної моделі взуття, наведені в табл. 1.

    Температура навколишнього середовища передбачається рівний -15 ° С і -5 ° С, початкова температура взуття дорівнює + 22 ° С. Щільність теплового потоку стопи береться рівній 64 Вт / м2, що приблизно відповідає енерговитратам людини при ходьбі середньої інтенсивності [4]. Коефіцієнт тепловіддачі передбачається рівним 7 Вт / (м2- ° С). Результати обчислень можуть бути представлені як на графіках залежності від часу перебування взуття під впливом низьких температур і зміни температури поверхні різних антропометричних ділянок стопи (рис. 2), так і характеристикою зміни температури поверхні різних антропометричних ділянок стопи при впливі на неї різних за значенням низьких температур (табл. 2).

    З табл. 2 видно, що найбільша втрата тепла відбувається в ділянці носка стопи. Навіть при -5 ° С стопа людини буде відчувати комфортність трохи більше 1 ч. У зв'язку з цим при розробці асортименту взуття для експлуатації в кліматичних зонах з низькими температурами пакети матеріалів необхідно формувати з урахуванням антропометричних ділянок стопи. Тому, щоб продовжити час комфортного стану стопи у взутті, необхідно підбирати відповідні матеріали, що формують пакет в частину шкарпетки.

    Таблиця 1

    Характеристика матеріалів, що забезпечують захист стопи від впливу низьких температур

    Найменування матеріалів, що входять в пакет * Товщина матеріалу, що входить в пакет, мм Коефіцієнт теплопровідності, Вт / (м2 ° С), і найменування вузлів взуття для аналізу комфортності Коефіцієнт температуропровідності, м / ч, і найменування вузлів взуття для аналізу комфортності

    Низ П'яткова частина Верх Шкарпеткова частина Низ П'яткова частина Верх Шкарпеткова частина

    1 2,0 0,05 0,05 0,05 0,050 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002

    2 10,0 - 0,04 0,04 0,040 - 0,0003 0,0003 0,0003

    3 0,3 - 0,05 0,05 0,05 - 0,0005 0,0005 0,0005

    4 1,2 - - - 0,038 - - - 0,00035

    5 2,7 - 0,083 - - - 0,00014 - -

    6 1,2 - 0,08 0,08 0,08 - 0,0002 0,0002 0,0002

    7 10,0 0,04 - - - 0,0003 - - -

    8 2,5 0,083 - - - 0,00014 - - -

    9 8 0,125 - - - 0,00042 - - -

    10 20 0,186 - - - 0,00065 - - -

    Примітка. * Характеристика матеріалів: 1 - носок бавовняний (внутрішня взуття); 2 - підкладка з натурального хутра; 3 - межподкладка з бязі; 4 - шкіряний подносок; 5 - задник з картону; 6 - шкіра для верху взуття; 7 - вкладна устілка зі штучного або натурального хутра; 8 - картон (другий шар вкладний устілки); 9 - основна устілка і підкладка (шкіра); 10 - пориста гума.

    Таким чином, створена математична модель дозволяє обґрунтовано вибирати пакет матеріалів для всіх базових вузлів взуття, щоб забезпечити комфортність стопі при впливі на взуття низьких температур в заданому часовому режимі і істотно скоротити число стендових випробувань в умовах, близьких до реальних при проектуванні нового теплозахисного варіанти взуття.

    35

    Про

    30

    25

    про

    Й Щ

    і g

    cs &

    Н

    20

    15

    10

    \ 1 '

    \ 2 '3' 4 ', i

    ---- -

    -5 ° С

    Таблиця 2

    Характеристика комфортності стопи

    Температура стопи, ° С Час перебування взуття під впливом низьких температур для різних антропометричних ділянок стопи, хв

    -15 ° С -5 ° С

    шкарпеткова тильна п'яткова ходова шкарпеткова тильна п'яткова ходова

    25 19 19 23 54 25 30 34 72

    20 34 40 47 89 64 - 158 158

    17 51 74 78 125 - - - -

    Крім того, використання створеної математичної моделі виправдано ще й тому, що дозволяє оцінювати нові матеріали для формування пакетів будь-яких видів і родів взуття, забезпечуючи високу достовірність результатів по комфортності стопи.

    література

    1 2 3 4 5 6

    Час, ч

    Мал. 2. Зміна температури частин стопи: 1,1 '- ходовий; 2, 2 '- шкарпетки; 3, 3 '- п'яткової; 4, 4 '-тильной боку

    1. Ченцова К.І. Стопа і раціональна взуття. М., 1974.

    2. Маркосян А.А. Фізіологія. М., 1971.

    3. ВоробьевВ.Р. Анатомія людини. Стопа. Харків, 1932.

    4. Бєляєв Н.М., Рядно А.А. Методи теорії теплопровідності. М., 1982.

    5. Кедров Л.В. Теплозахисні властивості взуття. М., 1979.

    4

    3

    5

    0

    Південно-Російський державний університет економіки і сервісу, м Шахти 27 грудня 2004 р.

    УДК 539.3

    ВИЗНАЧЕННЯ НАПРУГ В СТІНКАХ ізотермічні Резервуари ДЛЯ ТРАНСПОРТУВАННЯ СКРАПЛЕНОГО ГАЗУ В МІСЦЯХ ДІЇ ОПОР

    © 2005 р А.П. Миколаїв, Н.Г. Бандурин, А.П. Кисельов, А.А. сизих

    Ізотермічний резервуар для транспортування зрідженого вуглекислого газу є теплоізольованою ємність з тонколистової сталі у вигляді циліндричної посудини з еліптичними днищами, що спирається на чотири опори і навантаженого внутрішнім надлишковим тиском, власною вагою і вагою продукту. Сили взаємодії між опорами і стінками судини здійснюються через підкладки, показані на малюнку у вигляді прямокутників. Товщина підкладки зазвичай приймається рівною товщині стінок оболонки. розрахунки,

    виконані з використанням теорії тонких оболонок [1], показали, що напруги в області розташування опор значно перевищують номінальні значення. У даній роботі напружено-деформований стан стінок посудини в цій області визначається методом кінцевих елементів із застосуванням об'ємного кінцевого елемента високої точності. Враховується вплив круглої діафрагми з отворами, що приварюється до стінок усередині резервуара, призначеної для гасіння коливань рідини при транспортуванні.


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити