У статті вперше побудована узагальнена просторова математична модель розрахунку температурних полів в підлогою изотропном тілі обертання з відомими рівняннями утворюють ліній в циліндричній системі координат, яка обертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі OZ, з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла у вигляді змішаної крайової задачі для гіперболічного рівняння теплопровідності з початковими і граничними умовами за умови, що теплофізичні властивості тіла є постійними, а внутрішні джерела тепла відсутні. У початковий момент часу температура тіла є постійною, а на зовнішній поверхні тіла відомі значення температури і теплового потоку, які є безперервними функціями координат. Гіперболічне рівняння теплопровідності отримано з узагальненого рівняння переносу енергії для рухомого елемента суцільного середовища з урахуванням кінцівки величини швидкості поширення тепла. Для вирішення отриманої крайової задачі шукане температурне поле представлено у вигляді комплексного ряду Фур'є. рішення отриманих крайових задач для коефіцієнтів Фур'є були знайдені із застосуванням інтегральних перетворень Лапласа і побудованого нового інтегрального перетворення для двовимірного кінцевого простору. Власні значення і власні функції для ядра інтегрального перетворення знаходяться за допомогою методів кінцевих елементів і Гальоркіна. При цьому було зроблено розбиття області на симплекс-елементи. В результаті температурне поле в підлогою изотропном тілі обертання знайдено у вигляді збіжних рядів по функціям Фур'є. отримане рішення крайової задачі є двічі безперервно диференційованим по просторовим координатам і один раз за часом. Знайдене рішення узагальненої крайової задачі теплообміну полого ізотропного тіла обертання, яке обертається, з урахуванням кінцівки величини швидкості поширення тепла може знайти застосування при моделюванні температурних полів, що виникають у багатьох технічних системах (супутники, сортопрокатні валки, ротори енергетичних агрегатів, дискові гальма і ін.). I

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Бердник М.Г.


n the article for the first time a generalized spatial mathematical model for calculating temperature fields in an empty isotropic body of rotation with known equations of generating lines in a cylindrical coordinate system is constructed. It rotates with a constant angular velocity around the OZ axis, taking into account the final rate of heat propagation in the form of a mixed boundary problem for the hyperbolic equation of heat conduction with initial and boundary conditions, provided that the thermophysical properties of the body are constant, and internal sources of heat are absent. At the initial moment, the temperature of the body is constant, and on the outside of the body are known values ​​of temperature and heat flux which are continuous coordinate functions. The hyperbolic heat equation is derived from a generalized energy transfer equation for a moving element of a continuous medium, taking into account the finiteness of the velocity distribution of heat. To solve the boundary-value problem, the desired temperature field is represented as a complex Fourier series. The solutions of the boundary value problems obtained for Fourier coefficients were found using integral Laplace transforms and constructed a new integral transform for a two-dimensional finite space. Own values ​​and their own functions for the integral transformation core are found using finite element and Galerkin methods. In this case, the division of the area into simplex elements was made. As a result, the temperature field in an empty isotropic body of rotation is found in the form of convergent series in Fourier functions. The obtained solution of the boundary value problem is twice continuously differentiated by spatial coordinates and once per time. The solution of the generalized boundary-value heat transfer problem for an isotropic rotating body that rotates, taking into account the finiteness of the velocity of heat propagation, can be found in the modulation of temperature fields that occur in a number of technical systems (satellites , rollers, rotors of power generating units, disk brakes, etc.).


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2018


    Журнал: Інститут проблем математичних машин і системи


    Наукова стаття на тему 'Математична модель и метод решение узагальненої змішаної задачі теплообміну порожнього ізотропного тела Обертаном'

    Текст наукової роботи на тему «Математична модель и метод решение узагальненої змішаної задачі теплообміну порожнього ізотропного тела Обертаном»

    ?УДК 536.24 М.Г. БЕРДНИК *

    Математична МОДЕЛЬ I МЕТОД Р1ШЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНО1 ЗМ1ШАНО1 ЗАДАЧ1 ТЕПЛООБМ1НУ порожніх 1ЗОТРОПНОГО Т1ЛА Обертаном

    Нацiональний технiчний унiверситет «Дшпровська полтгехшка», м. Дніпро, прикрашені

    Анотація. У статт1 Вперше побудовали узагальнена просторова математична модель розрахун-ку температурних пол1в у порожньому? Зотропному тм Обертаном з в1домімі р1вняннямі тв1р-них лтш у цілтдрічтй систем1 координат, Пожалуйста обертаеться з пост1йною Кутовий швідюстю вокруг ос 02, з урахуванням ктцевог швідкост1 розповсюдження тепла у вігляд1 змшаног крайовог задач1 для гтербол1чного р1вняння теплопров1дност1 з початкових 7 граничні умови за умови, что теплоф ^ зічш властівост1 тиа е пост1йнімі, а внутршніх джерела тепла в1дсутт. У початковий момент часу температура тиа е пост1йною, а на зовтштй поверхн тиа в1дом1 зна-чення температури 7 теплового потоку, якг е неперервм функцп координат. Гтербол1чне р1вняння теплопров1дност1 ОТРИМАНО 7з узагальненого р1вняння переносу енергп для руш1йного елемента суциьного середовища з урахуванням сктченност1 Величини швідкост1 Поширення тепла. Для віршення отріманог крайовог задач1 шукане температурне поле представлено у вігляд1 комплексного ряду Фур'є. Ршення отриманий Крайова завдань для коефщент1в Фур'є були Знайду з ЗАСТОСУВАННЯ ттегральніх Перетворення Лапласа 7 побудованого нового ттегрального перетво-рення для двовім1рного юнцевого простору. Власн значення 7 власт функцп для ядра ттегрального превращение знаходяться с помощью метод1в юнцевіх елемент1в 7 Гальоркта. При цьом Було Зроблено розбіття област1 на симплекс-елементи. У тдсумку температурне поле у ​​порожньому? Зотропному тм Обертаном знайдено у вігляд1 зб1жніх ряд1в за функціями Фур'є. Отрі-мане ршення крайовог задач1 е дв1ч1 неперервно діференцтованім за просторово координатами 7 один раз за годиною. Знайденій розв'язок узагальненог крайовог задач1 теплообм1ну? Зотропного тиа Обертаном, Пожалуйста обертаеться, з урахуванням сктченност1 Величини швідкост1 Поширення тепла может найти! Застосування при модулюванш температурних пол1в, якг вінікають у багатьох техмчніх системах (супутники, сортопрокатному валки, ротор енергетичних агрегат1в, дісков1 гальма та гн.).

    Ключов1 слова: крайова задача, кріволттній ттеграл, узагальнене р1вняння переносу енергп, т-тегральне превращение Лапласа, часрелаксацІ.

    Анотація. У статті вперше побудована узагальнена просторова математична модель розрахунку температурних полів в підлогою изотропном тілі обертання з відомими рівняннями утворюють ліній в циліндричній системі координат, яка обертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі OZ, з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла у вигляді змішаної крайової задачі для гіперболічного рівняння теплопровідності з початковими і граничними умовами за умови, що теплофізичні властивості тіла є постійними, а внутрішні джерела тепла відсутні. У початковий момент часу температура тіла є постійною, а на зовнішній поверхні тіла відомі значення температури і теплового потоку, які є безперервними функціями координат. Гіперболічне рівняння теплопровідності отримано з узагальненого рівняння переносу енергії для рухомого елемента суцільного середовища з урахуванням кінцівки величини швидкості поширення тепла. Для вирішення отриманої крайової задачі шукане температурне поле представлено у вигляді комплексного ряду Фур'є. Рішення отриманих крайових задач для коефіцієнтів Фур'є були знайдені із застосуванням інтегральних перетворень Лапласа і побудованого нового інтегрального перетворення для двовимірного кінцевого простору. Власні значення і власні функції для ядра інтегрального перетворення знаходяться за допомогою методів кінцевих елементів і Гальоркіна. При цьому було зроблено розбиття області на симплекс-елементи. В результаті температурне поле в підлогою изотропном тілі обертання знайдено у вигляді збіжних рядів по функціям Фур'є. Отримане рішення крайової задачі є двічі безперервно диференційованим по просторовим координатам і один раз за часом. Знайдене рішення узагальненої крайової задачі теплообміну полого ізотропного тіла обертання, яке обертається, з урахуванням

    © Бердник М.Г., 2018

    1028-9763. Математічш машини i системи, 2018, № 3

    кінцівки величини швидкості поширення тепла може знайти застосування при моделюванні температурних полів, що виникають у багатьох технічних системах (супутники, сортопрокатні валки, ротори енергетичних агрегатів, дискові гальма і ін.).

    Ключові слова: крайова задача, криволінійний інтеграл, узагальнене рівняння переносу енергії, інтегральне перетворення Лапласа, час релаксації.

    Abstract. In the article for the first time a generalized spatial mathematical model for calculating temperature fields in an empty isotropic body of rotation with known equations of generating lines in a cylindrical coordinate system is constructed. It rotates with a constant angular velocity around the OZ axis, taking into account the final rate of heat propagation in the form of a mixed boundary problem for the hyperbolic equation of heat conduction with initial and boundary conditions, provided that the thermophysical properties of the body are constant, and internal sources of heat are absent. At the initial moment, the temperature of the body is constant, and on the outside of the body are known values ​​of temperature and heat flux which are continuous coordinate functions. The hyperbolic heat equation is derived from a generalized energy transfer equation for a moving element of a continuous medium, taking into account the finiteness of the velocity distribution of heat. To solve the boundary-value problem, the desired temperature field is represented as a complex Fourier series. The solutions of the boundary value problems obtained for Fourier coefficients were found using integral Laplace transforms and constructed a new integral transform for a two-dimensional finite space. Own values ​​and their own functions for the integral transformation core are found using finite element and Galerkin methods. In this case, the division of the area into simplex elements was made. As a result, the temperature field in an empty isotropic body of rotation is found in the form of convergent series in Fourier functions. The obtained solution of the boundary value problem is twice continuously differentiated by spatial coordinates and once per time. The solution of the generalized boundary-value heat transfer problem for an isotropic rotating body that rotates, taking into account the finiteness of the velocity of heat propagation, can be found in the modulation of temperature fields that occur in a number of technical systems (satellites , rollers, rotors of power generating units, disk brakes, etc.).

    Keywords: boundary value problem, curvilinear integral, generalized equation of transfer of energy, integral Laplace transform, relaxation time.

    1. Вступ. Постановка проблеми, аналп останшх дослщжень i публжацш

    Диски складно! форми, яю обертаються, е найважлівшім елементом багатьох машин. Можлівють Отримання високих параметрiв роботи таких машин визначаеться мщнютю i довговiчнiстю дісюв. У бшьшосп СУЧАСНИХ турбомашин диски Працюють в условиях тд-віщено! навантаженосп, что виробляти до Виникнення пластичних деформацш, де необ-хщно враховуваті Вплив високих температур i Виникнення температурних напруженного. Великий Вплив на величину температурних напруженного дае закон змші температури по радiо-су диска. Вщомо, что замша лшшного закону змші температури по радiусу квадратичним законом может прізвесті до ютотного зростання окружних напруженного. Тому Достатньо точ-шсть визначення температурного поля в розрахунках на мщшсть травні принципова значен-ня. Крiм того, при великих швидкости Обертаном Вплив скшченносп Величини швідкосп Поширення тепла на теплообмш зграї поманив [1-2]. Ось чому до числа проблем, яю представляються великий теоретичний i практичний штерес, вщносіться проблема Вивчення температурного поля в тшах Обертаном, як обертаються вокруг своє! оа, з урахуванням скшченносп Величини швідкосп Поширення тепла.

    Як показуем огляд л ^ ературі, теплообмш у тшах, як обертаються, вивченню на так-ний час ще недостатньо [1]. Показано, что чісельш методи дослщження нестащонарніх неосесіметрічніх завдань теплообмшу цілiндрiв, як обертаються, Е не всегда ефективного-ми, если мова идет про обчислення при великих швидкости Обертаном.

    Так, доводитися в [1], что умови стшкосп Обчислення у методi скшченніх елемешів i методi кшцевіх рiзніць, что застосовуються до розрахунку нестащонарніх неосесіметрі-

    чних температурних полiв цілiндрiв, якi обертаються, визначаються аналогiчнімі характеристиками. Ц умови ма ють такий вигляд:

    АР 1 Р- л

    1 > 0 i ----- > 0.

    Ар Ар 2

    Если Р- = 105, что вщповщае кутовiй швідкостi Обертаном металевий цілшдра

    з = 1,671 сек 1 радiусом 100 мм, змiннi Ар і Аро повиннi буті пiдпорядкованi таким умів:

    Ар< 2 -10 "5 i Аро < 2 • 10-10.

    Для рiвномiрно охолоджуваного цілiндра за умови Bi = 5 годину, необхiдно для того, щоб температура досягла 90% стащонарного стану, дорiвнюe Ро ~ 0025 [1]. це означав,

    что Потрiбна прінаймнi здiйсніті 1,3 -108 операцiй по годінi для того, щоб Було досягнуть стащонарній розподш температури.

    Бiльше того, Потрiбна вщзначіті, что в течение одного циклу обчислення Потрiбна здiйсніті 3,14 • Ю5 Обчислення, так як внутршнш стан у кшьщ характеризуєте 3,14 • Ю5 точками. У результат видно, что число обчислення, необхщніх для Отримання чисельного результату, відаеться нереальним.

    Тому, для віршення Крайова завдань, яю вінікають при математичних моделю-ваннi трівімiрніх нестацiонарніх процесiв теплообмшу в тiлах, якi обертаються, будемо застосовуваті штегральш превращение.

    Постановка задач1. Розглянемо розрахунок температурного поля тша Обертаном (рис. 1) з твiрнімі ль нiямі L3, Ь6, рiвняння якіх г =% (г), г = ^ (х) вщповь дно у цілiндрічнiй системi координат (р, р, х). Тшо Обертаном обмеження двома торці 5 (х = 0), 5 * 2 (х = І) i бiчнімі поверхні Обертаном 53, № 4. Бiч-нi поверхнi Обертаном 53, № 4 перетінаються з поверхні 5. уздовж лiнiй Lj,] = 1,2, i Ьк, к = 4,5 вщповщ-но.

    Тiло обертаеться вокруг ос OZ з постiйною ку-товою швідкiстю с, а швідюсть Поширення тепла е вiдомою величиною. Теплофiзічнi властивостi тiла НЕ залежався вщ температури, а внутрiшнi джерела тепла вщсутш. У початковий момент часу температура тша постшна Ц, а на зовнiшнiй і внутршнш бiчніх поверхнях тiла вщоме значення температури V (р, х) i V (р, х) вiдповiдно. На торцях вiдомi значення теплового потоку 01 (г, р) i 02 (г, р) при х = 0 i х = І вщповщно.

    Малюнок 1 - Тшо Обертаном з тв1рнімі лш1ямі

    г = й (z), г =? х (

    2. розв'язок задач1

    В [1] ОТРИМАНО узагальнене рiвняння переносу енергл для рушшного елемента суцiльного середовища з урахуванням скшченносп Величини швідкостi Поширення тепла. Згщно з [1], узагальнене рiвняння балансу енергл твердого тша, Пожалуйста обертаеться з постшною Куто-вою швідкiстю з вокруг ос OZ, теплофiзічнi властивостi которого НЕ залежався вщ температури, а внутршш джерела тепла вiдсутнi, прийомів вигляд

    I дт di

    у c] - h а - h тг

    I dt дp

    д 2T д 2I - + a-

    дt2

    дpдt

    = Л

    д2I l di l д2I д2I

    -r + - + ^ -t + -Г

    dr r dr r dp dz

    (1)

    дe у - щiльнicть cepeдoвіщa, з - пітoмa тeплoeмнicть, Л - кoeфiцieнт тeплoпpoвiднocтi, i (p, p, z, t) - тeмпepaтypa cepeдoвіщa, t - чac, тг - чac peлaкcaцii.

    Maтeмaтічнo зaдaчa візнaчeння тeмпepaтypнoгo пoля цілiндpa cклaдaeтьcя в irn ^ -pyвaннi діфepeнцiaльнoгo piвняння тeплoпpoвiднocтi (1) в oблacтi

    D = {(p, p, z, t) | p G {Cl (z), C (z)), p g (0,24 z G (0, h), t G (0 ,?)},

    щo, з ypaхyвaнням пpіінятіх дoпyщeнь, зaпішeтьcя y відi:

    a

    дв дв д2в д2в - + а - + тг-г-+ та- = -

    д t д p д t2 д pd t R2

    д2в l дв l д2в д2в + - + --- + |

    dp p dp p д p dz2

    (2)

    з пoчaткoвімі yмoвaмі

    e (p, Az, 0) = 0, de (p ^) = 0

    д t

    i гpaнічнімі yмoвaмі

    e (Cl (z), p, z, t) = - (p, z), e (c (z), p, z, t) = G (p, z) ,

    (3)

    (4)

    • дв

    dz

    | Дв dz

    c-l

    e т dC = © (p, p),

    z = 0

    (5)

    e Tr dC = Л (p, p),

    z = l

    1 (p, p, z, t) - G0 дe в = --

    - G

    - вiднocнa тeмпepaтypa ^ a, a = - - кoeфiцieнт тeмпepaтypoпpo-

    су

    R = max {f (z)},

    p =

    R

    C (z) =

    4 (z)

    R

    вiдн0cтi, imax = max {V (ф, z), V (ф, z)},

    fiW.m © p, p) = - MA, G (p, z> © (p, p),

    Л (p, p) g C (0,2 ^).

    Тoдi piшeння кpaІoвoi зaдaчi (2) - (5) e (p, p, z, t) e двiчi нeпepepвнo діфepeнцiІoвa-ним пo pip, z, oдин pa3 пo t в oблacтi D i нeпepepвнім нa D [3], тoбтo e ( p, p, z, t) G C2Д (d) П c (d), a фyнкцii G (p, z), - (p, z), © (p, p), Л ^, p), e ( p, p, z, t) мoжyть 6уті poзклaдeнi в кoмплeкcніІ pяд Фyp'e [3]:

    e (p, p, z, t) 'en (p, z, t У

    G (p z) Gn (z)

    -(P, z) r? - n (z)

    © (p, p) n = -? © n (p)

    Л (p, p) [Л n (p) J

    | Exp (inp),

    (Б)

    0

    0

    <

    де

    вп (р, х, г)

    Оп (х)

    ? п (х)

    © п (Р) ЛП (р)

    2л- |

    в (р, р, х, г) О (р, х)

    ^ (Р, х) © (р, р)

    Л (р, ф)

    | Ехр (-гпф) -р,

    &п (р, х, г) = ^ П1) (р, х, г) + вя2) (р, х, г), Оп (х) = О ^ (х) +,? п (х) = *?>«+ ,

    © п (Р) = (р) + г © (й2 ^ р), Л (Р) = Л «(р) + гол! 2) (р).

    З Огляду на ті, что в (р, р, х, г) функцiя дiйсна, надалi обмежімося РОЗГЛЯДУ вп (р, х, г) для п = 0,1,2, ..., тому что вп (р, х , г) i в-п (р, х, г) будут комплексно відмінюванні [3]. Пщставляючі значення функцiй з (6) у (2) - (5), у результатi одержимо систему дифе-ренцiальніх рiвнянь:

    в д г

    + + Т

    дв) д г2

    | + ГЗ

    (Г)

    дв

    Ц)

    д г

    Я2

    д 2в (г) 1 дв (г)

    +

    ін р ін р2

    - пг ВГ) +

    д2в) _п

    (7)

    >

    а

    з початкових умів

    вп: .р, 0) = 0, = 0

    ДГ

    (8)

    i граничних умів

    вп > (Д (х), х, г) = ^) (х), вп г) (д (х), х, г) = О?> (Х),

    - дв]

    \

    ін

    З-г

    г дввг)

    ін

    е тг-з = © г \ р),

    е Гг-з = Л п) (р),

    (9)

    (10)

    де З1 = -оп, = оп, щ = 2, щ = 1, / = 1, 2 .

    Застосовуемо до системи діференщальніх рiвнянь (7) з умів (8) - (10) штегра-льоні превращение Лапласа [3]:

    <х>

    ~ К) = | / (г) еёг .

    У результатi одержуемо систему діференцiальніх рiвнянь:

    в ') + Зп) (в ~ п (Щ) + Гг8впГ' Г в =

    а

    Т

    д2в () п ^ ~ (г) д2вп (г)

    .2 _ _2 п ~ 2

    ін р ін р

    дх1

    (11)

    з граничними умів

    0

    z = 0

    0

    z = 1

    0

    e (1 n

    дв:

    p = fl (z) W p = c (z) n V 7

    &

    z = 0

    dz

    = Л (лр),

    (12) (13)

    z = 1

    дe ©! ] (P) = © ( "" (p>

    Л

    l + -

    V т j

    ; Л) (z) = л "" (z) •

    l + -

    V ^ r J

    .(: = L, 2).

    Для poзв'язaння кpaІoвoi зaдaчi (11) - (13) зacтocoвyeмo iнтeгpaльнe пepeтвopeння:

    f (/ n,) = Я ^ z / nk) pf (P, z) da, (14)

    D

    дe ф (p, z, / ІПК \ / nk - влacнi функцп i влacнi знaчeння.

    До ^^ чта пpoблeмa влacніх знaчeнь i влacніх фyнкцiІ фopмyлюeтьcя як зaдaчa ^ o візнaчeння знaчeнь чіcлoвіх пapaмeтpiв (влacнi знaчeння) / пк i фyнкцiІ (влacнi функцп) ф (x, y, / пк), якi тoтoжньo нepiвнi нулю в oблacтi S = { (x, y) | y g (0, h), x g (c1 (z), c (z))}

    тa зaдoвoльняють piвнянню

    d2ф l дф n2 d2ф

    dx x dx x dy

    = 0

    i дoпoмiжнім yмoвaм

    ф (^ 1 (z), y, / nk "= 0, ф ($ (z), У, / nk" = 0,

    = 0,

    n, k

    дф

    dy

    = 0, ф

    y = 0

    dy

    (15)

    (16) (17)

    y = l

    дe

    d u (x y "djaU (x, y" OaU (x y "= dxa dxa ,

    Ф (x, y, / n) c C2 (S) = {u (x, y) g C (S): dau (x, y) g C (S), Va, \ a \< 2}, I a \ = a - мyльтіiндeкc, ^ мш ^ НТІ якoгo e цiлi нeвiд'eмнi чи-

    cла.

    ЗнaІдeмo влacнi знaчeння / пк i влacнi функціонально

    ф (x, y, / пк) i3 poзв'язкy зaдaчi (15) - (17) 3a дoпoмoгoю мeтoдiв кiнцeвіх eлeмeнтiв i Гaльopкiнa. Для ^ oro 3po-бімo poзбіття oблacтi нa cімплeкc-eлeмeнті (pіc. 2).

    Тoдi фyнкцiя ф (x, y) в cepeдінi cімплeкc-

    eлeмeнтa віpaжaeтьcя чepeз функцп фopмі N, N і N i3 вiдoмімі знaчeннямі ф, ф2, Ф3 у вepшінaх тpи-кyтнікa:

    фе (x, y) = Мф + N ^ ф2 + Мзфз = [Ne] г {фе}, (18)

    дe i N] ​​= i N, N, N] Г; {Фе} = {ф, ф, ф} Г, ніжнш iндeкc (e) oзнaчae дoвiльніІ cімплeкc-eлeмeнт.

    Для: -гo вyзлa (: = l, 2,3) функціонально фopмі мaють вигляд

    (X У) = 1 (а '+ Ь'Х + С, У) ,

    де аг = Х] Ук - ГКУ]; Комерсант, = У] - Ук; Сг = Хк - Х], - = Х2Уз - Х3У2 + Х3Уг - ХгУз + хгу2 - Х2Уг, г, у, до - послщовна нумерацiя вузлiв симплекс-елемента при обходi 1'х проти годінніково'1 стрiлкі.

    Для визначення функцiй форми N, N, N3 Зручне використовуват Ц координати в середіш симплекс-елемента, якi визначаються вщношенням площi трикутника, утворе-ного точкою i стороною, протилежних вершінi г, до загально'1 площi трикутника:

    Ц = 1 '[(У 2 - Уз) (Х - Х2) + (Х3 - Х2) (У - У2)] ,

    L2 = 1 '[(У3 - У1) (Х - Х3) + (Х1 - Х3) (У - У3)]:

    L3 = 1 [(У: - У 2) (Х - Х1) + (х2 - Х1) (У - У :)] .

    -

    У разi лiнiйного симплекс-елемента, что яка містить три вершини, функцп форми зб ^ а-ються з вiдповiдно Ц координатами

    N = Ц, N2 = Ц2, N3 = Ц3. Пiдставімо в рiвняння (15) Наближення розв'язок (18), тодi отрімаемо рiвняння

    (Д2 1 д Д2 ^ З

    д + 1 N ф} +

    дх х дх ду

    У

    2

    п

    № п, до 2

    V Х У

    [N. ] Т {фе} = 0 .

    (19)

    Множення лiвоi части рiвняння (19) на функщю форми [N е] i iнтегрування по елементів е дае

    11 +12 = {0} ,

    де / 1 = Ц N]

    (Д2 1 д Д2 ^

    | + |

    | + |

    дх х дх ду у

    [Ne] т-х-У {фе}; / 2 = Ц | д

    п

    2

    п, до 2

    X

    [N.] Т-х-У {ф}.

    1нтегруючі I; по х i у, отрімаемо

    / 1 = 13 - 14 ,

    / 3 =

    I [N] -У + | [N.]

    д N в] т

    -X

    {Р},

    / 4 = Л-

    дх ду

    Г е

    д Nе] д N] т, д N] д N] т [N. ] Д [N. ] т

    дх дх

    ду ду

    дх

    'Х-У {ре} .

    ВРАХОВУЮЧИ тотожнє стввщношення

    г д р. . д р. . (Д р. Д р, д] Щ - У +] Щ - X =] Щ --У + --- X =] щ - Г

    г дх г Ду г ^ дх ду У г дп

    одержуемо

    і

    і

    і

    I [N.] в -р '

    г дп

    де д / дп - похщна по зовшшнш нормалi, | г -Г - кріволшшній iнтеграл по межi. Сумування по вах елементах дае

    I [N]

    д] т дп

    е і.

    р} + -] [N] [Ne] Т-Х-У {ре} -

    У

    -III

    д ^] д до м + ДШ Діл - Ш ЩД-тр.} = {0}.

    (20)

    дх дх ду ду

    дх

    Помноживши перший доданок (20) на вирази ф} {ф. } Т, одержуемо

    / 3 = 1р. }

    I [N.]

    д] т дп

    {Р.} = I

    [^ -Г

    дп

    I

    IPe Ч ^ Г

    •> дп

    ВРАХОВУЮЧИ граничну умову, можна знехтуваті дерло доданком у (20). Тодi (20) прийомів вигляд

    [К] + /, - [М] = {0},

    (21)

    де

    [К] =! ^ - Я .

    д [^] д [^] т N] д [Ке] --- 1------

    т \

    дх дх

    ду ду

    х дх

    Х-У-Ц. [Ке] До] т-х-У \ фе

    X

    [М] = 111. ]] Х-У 'ф}.

    Таким чином, власнi функцп ф (х, У, / пк) i власнi значення / пк знаходяться iз (21), а формула оберненого превращение травні вигляд

    ф (Р, Z, / пк)

    ] = До I'ф (Р, Z, / п, к)

    2 / (/ п, к).

    (22)

    Застосовуемо до системи діференщальніх рiвнянь (11) з граничними умів (12) - (13) штегральне превращение [14]. У результат одержуемо систему алгебршчніх рь

    внянь вiдносно в

    (Г) •

    в) в ™) + гг8вТ1 Ч + Ч у] = д

    (Г) (~ "{т ') + Гг8впщ))

    (Г) - ,

    (іс> - ^

    п, до

    - в

    (Г)

    (23)

    де

    і

    2

    n ni = J

    z) •

    дф (/ n, P, zУ

    Jp | Q (/ n, k, p, z)

    dp

    дв, {i "

    • -n- "(z z) •-

    дф (/ пл, P, zУ

    p =? l (z)

    dp

    • g ":" (z)

    p = c (z)

    • dz +

    dz

    ~ (I) dQ / p) V a

    & ldp; ink = / nk; i = 1,2

    KpівoлiнiІніІ iнтeгpaл oбчіcлюeтьcя пo зaмкнeнoмy дoдaтнo opieнтoвaнoмy шн-тypy ADCB (pіc. 3).

    Рoзв'язaвші cіcтeмy piвнянь (23), oдepжyeмo

    в ^ у = a

    (I) _ nni ^ 2 + s + qn, k J + (-

    ) + (- i): + 1 ann $ "(1 h s т.)

    n, k

    (Rrs 2 + s + qn, k J + a2 n 2 (l + sтr) 2

    (24)

    дe ank = 0 = 1,2У .

    R

    Зacтocoвyючі дo зoбpaжeння функцш (24) фopмyлі oбepнeнoгo пepeтвopeння Лaп-лaca [4], oдepжyeмo opігiнaлі функцш:

    - 2 i \ ^ '(/ WblC, ^) n?> ) {(2V / + l) + rr ^ /] + Q2 (,;) {rr © / i- (2V / + l) i] •

    j = l

    (E '^ - l) +1) -Trwi] + U? (Sfy [Tra>n + (2Trsf + l) /]} ,

    j = 3

    • (eS '-l) ,

    _ 2 . .

    j = l 4

    j = 3

    (Esj '-1) ,

    (25)

    (26)

    h

    0

    L

    де Г (s) = ^ - j ---, а значення s ,. для / = 1,2,3,4 визначаються за форму-

    Ред n, k \ j) i видання / \ 2 j J ^

    \ 2.zrsj + 1) + {Tran)

    лами

    (Zrconi -1) ^ (1 + zrani) 2 - 4zrqnk (zrconi + l) ^ (l - zrani) 2 - 4zrq

    1,2 2zr '2zr

    Таким чином, з урахувавши формул оберіеііх перетвореіь (6) i (17) одержуемо температура поле тша Обертан, Пожалуйста обертаеться з постшіою Кутовий швідкiстю c иа-вколо осi OZ, з урахувавши кшцево! швідкостi пошіреіія тепла:

    в (р, р, z, t) =

    n = -w

    ± [, t) +, t)]

    k = 1

    Пек *, л z) |

    r e:

    xp (inp),

    де значення e ^ (? nk, t) i djf ^ (? nk, t) визначаються за формулами (25), (26).

    k

    3. Висновки

    Вперше побудовали математична модель розрахунку полiв температури у порожньому iзо-тропний тш Обертаном, з урахуванням кшцево! швідкосп Поширення тепла, Пожалуйста обертаеться, у виглядi Крайова! задачi математично! фiзікі для гiперболiчніх рiвнянь ТЕПЛОПРОМ-вiдностi зi змiшанімі граничні умови. Побудоване штегральне превращение для двовімiрного кiнцевого простору, iз ЗАСТОСУВАННЯ которого знайдено температурне поле у ​​порожньому iзотропному тш Обертаном у виглядi збiжніх рядiв за функцiю Фур'є. Знайденій розв'язок узагальнено! Крайова! задачi теплообмiну iзотропного тiла Обертаном, Пожалуйста обертаеться, з урахуванням скшченносп Величини швідкосп Поширення тепла может найти! застосування при моделюванш температурних полiв, якi вінікають у багатьох тих-нiчніх системах (супутники, сортопрокатнi валки, ротор енергетичних агрегатсв, дісковi гальма та ш.).

    СПИСОК ДЖЕРЕЛ

    1. Бердник М.Г. Математичне моделювання просторово! узагальнено! Крайова! задач! Неймана ті-плообм! Ну ціл1ндра, Який обертаеться. Штучний інтелект. 2015. № 1-2. С. 134-139.

    2. Конет 1.М., Ленюк М.П. Ппербол1чш крайов1 задач1 в Необмежений трішаровіх областях. Льв1в, 2011. 48 с. (Препр. / НАН Укра! Ні 1нстітут прикладних проблем мехашкі i математики 1м. Я.С. Пщстрігача; 01.11).

    3. Маркович Б.М. Рхвняння математично! фхзікі. Льв1в: Видавництво Львхвсько! полтохшкі, 2010. 384 с.

    4. Лопушанська Г.П., Лопушанський А.О., М'яус О.М. Перетворення Фур'є, Лапласа: узагальнення та! Застосування. Льв1в: ЛНУ 1м. 1вана Франка, 2014. 152 с.

    Стаття над1йшла до редакцп 26.12.2018


    Ключові слова: КРАЙОВА ЗАВДАННЯ /криволінійний інтеграл /Узагальнення рівняння ПЕРЕНЕСЕННЯ ЕНЕРГІЇ /Інтегральні перетворення Лапласа /ЧАС РЕЛАКСАЦІЇ /BOUNDARY VALUE PROBLEM /CURVILINEAR INTEGRAL /GENERALIZED EQUATION OF TRANSFER OF ENERGY /INTEGRAL LAPLACE TRANSFORM /RELAXATION TIME

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити