Розроблено математична модель температурного розподілів у ізотропного тела Обертаном з відомим рівнянням твірної Лінії, Пожалуйста обмеження двома торці и бічною поверхнею Обертаном, Пожалуйста обертається з постійною Кутовий швідкістю вокруг осі OZ, з урахуванням кінцевої швідкості Поширення тепла, у виде Крайової задачі Неймана математичної фізики для гіперболічного Рівняння теплопровідності. Розроблено нове інтегральне превращение, с помощью которого знайдено температурне поле тела у виде збіжніх ортогональних рядів за функціямі Фур'є.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - М. Г. Бердник


It was developed a mathematical model of temperature distributions in an isotropic rotation body is developed with a known equation of the generating line, which is bounded by two ends and a lateral surface of revolution which rotates at a constant angular velocity around the OZ axis, taking into account the finite velocity of heat propagation, in the form of the Neumann boundary value problem of mathematical physics for the hyperbolic heat conduction equation. A new integral transformation is developed with the help of which the temperature field of the body is found in the form of convergent orthogonal series with respect to the Fourier functions.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2017


    Журнал: Інститут проблем математичних машин і системи


    Наукова стаття на тему 'Математична модель и метод решение узагальненої задачі Неймана теплообміну ізотропного тела Обертаном, Пожалуйста обертається'

    Текст наукової роботи на тему «Математична модель и метод решение узагальненої задачі Неймана теплообміну ізотропного тела Обертаном, Пожалуйста обертається»

    ?УДК 536.24 М.Г. БЕРДНИК *

    Математична МОДЕЛЬ I МЕТОД Р1ШЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНО1 ЗАДАЧ1 Нейман ТЕПЛООБМ1НУ 1ЗОТРОПНОГО Т1ЛА Обертаном, Яке ОБЕРТАСТЬСЯ

    Державний вищий навчальний заклад «Нацюнальній гiрнічій ушверсітет», м. Дшпро, прикрашені

    Анотація. Розроблено математична модель температурного розподИв у iзотропного тша обер-тання з вiдомім рiвнянням твiрноi ЛТП, Пожалуйста обмеження двома торці i бiчною поверхні обер-тання, Пожалуйста обертаеться з постiйною Кутовий швідюстю вокруг ос OZ, з урахуванням кiнцевоi швідкостi Поширення тепла, у виглядi крайовоi задачi Неймана математічног 'фiзікі для гтербо-лiчного рiвняння теплопровiдностi. Розроблено нове ттегральне превращение, с помощью яко-го знайдено температурне поле тта у виглядi збiжніх ортогональніхрядiв за функщямі Фур'є. Ключовi слова: крайова задача Неймана, узагальнене рiвняння переносу енергп, ттегральне превращение Лапласа, годину релаксацп.

    Анотація. Розроблено математичну модель температурних розподілів в ізотропному тілі обертання з відомим рівнянням утворює лінії, яке обмежене двома торцями і бічною поверхнею обертання, що обертається з постійною кутовою швидкістю навколо осі OZ, з урахуванням кінцевої швидкості поширення тепла у вигляді крайової задачі Неймана математичної фізики для гіперболічного рівняння теплопровідності . Розроблено новий інтегральне перетворення, за допомогою якого знайдено температурне поле тіла у вигляді сходяться орто-гональнихрядов виконуваних функцій Фур'є.

    Ключові слова: крайова задача Неймана, узагальнене рівняння переносу енергії, інтегральне перетворення Лапласа, час релаксації.

    Abstract. It was developed a mathematical model of temperature distributions in an isotropic rotation body is developed with a known equation of the generating line, which is bounded by two ends and a lateral surface of revolution which rotates at a constant angular velocity around the OZ axis, taking into account the finite velocity of heat propagation, in the form of the Neumann boundary value problem of mathematical physics for the hyperbolic heat conduction equation. A new integral transformation is developed with the help of which the temperature field of the body is found in the form of convergent orthogonal series with respect to the Fourier functions.

    Keywords: the Neumann boundary value problem, the generalized energy transfer equation, the Laplace integral transformation, the relaxation time.

    1. Вступ

    Проблема дослщження температурних пол1в у тшах Обертаном постшно прівертае Рамус дослщніюв, так як много елемент1в машин i мехашзм1в (супутники, сортопрокатш валки, ротор енергетичних агрегатсв, дісковi гальма та ш.) Ма ють ix форму i Працюють в условиях штенсівного на ^ ву. Бшьшють робгт у теорп теплопровщносп присвячено вивченню та аналiзу температурного поля в нерухомости тшах Обертаном. У Деяк роботах вівчаеться температурне поле в тшах при Рухом джерелах тепла, в шшіх роботах дослщжуеться температурне поле в тшах з Рухом межами.

    При високих штенсівніх нестацюнарніх процесах, что спостер ^ аються, напри-клад, при Вибух, надзвуковіх потоках, великих швидкости Обертаном Вплив скшченно-ст Величини швідкосп Поширення тепла на теплообмш зграї поманив [1-2]. Ось чому до числа проблем, что представляються великий теоретичний i практичний штерес, вщносіться проблема Вивчення температурного поля в тшах Обертаном, як обертаються вокруг своеi оа, з урахуванням скшченносп Величини швідкосп Поширення тепла.

    © Бердник М.Г. 2017

    ISSN 1028-9763. Математічш машини i системи 2017, № 4

    Як показуем огляд л ^ ературі, теплообмiн у тшах, якi обертаються, Вівче на Данії годину ще недостатньо [1]. Вщзначаеться, что чісельнi методи дослщження нестацiонарніх неосесіметрічніх завдань теплообмiну цілiндрiв, якi обертаються, що не всегда е ефективного-ми, если мова идет про обчислення при великих швидкости Обертаном.

    Тому для вірiшення Крайова завдань, яю вінікають при математичних моделю-ваннi трівімiрніх нестацiонарніх процеав теплообмiну в тiлах, якi обертаються, будемо застосовуваті штегральш превращение.

    Метою роботи е розробка ново! узагальнено! математично! моделi температурних розподiлiв у iзотропного тiла Обертаном у виглядi Крайова! задачi Неймана математично! фiзікі для рiвняння теплопровiдностi та розв'язання ОТРИМАНО! Крайова '! задачi.

    2. Постановка задач1

    Розглянемо розрахунок температурного поля тша Обертаном (рис. 1) з твiрною лiнiею г =? (Z) у цілiндрічнiй системi координат (р, р, z). 1зотропне тiло Обертаном обмеження двома торці? (Z = 0),? 2 (z = 1) i бiчною поверхні Обертаном? 3, яка перетінаеться з поверх-нями уздовж лiнiй, 7 = 1,2.

    Тiло обертаеться вокруг ос 02 з постшною ку-товою швідкiстью с, а швідюсть Поширення тепла е вщомою величиною. Теплофiзічнi властивостi тша НЕ залежався вщ температури, а внутршш джерела тепла вiдсутнi. У початковий момент часу температура тша постшна Оо, а на бiчнiй поверхш тiла вiдоме значення теплового потоку V (р, z). На тор-цях вiдомi значення теплового потоку О (г, р) i О (г, р) при z = 0 i z = І вщповщно.

    Мал. 1. Тшо Обертаном з тв1рною лшею г =? (Z)

    3. розв'язок задач1

    У [1] ОТРИМАНО узагальнене рiвняння переносу енергл для рушiйного елемента суцшьного середовища з урахуванням скiнченностi Величини швідкосп Поширення тепла. Згiдно з [1], узагальнене рiвняння балансу Енерги твердого тiла, Пожалуйста обертаеться, з постшною Куто-вою швідкiстю з вокруг ос OZ, теплофiзічнi властівосп которого НЕ залежався вiд температури, а внутршш джерела тепла вщсутш, прийомів вигляд

    3т 3т

    у е ^ - Ус - УТГ

    3 3р

    3 2т

    И2

    3 2т

    3рИ1

    = л

    3 2т

    зг

    1 3Т -> У - +

    2 г 3г

    32т

    г2 3р2

    + -

    32т

    Зz2

    (1)

    де у - щшьшсть середовища, з - Питома теплоемнiсть, Л - коефщент теплопровiдностi, Т (р, р, z, t) - температура середовища, t - час, тг - годину релаксацп.

    Математично задача визначення температурного поля цілшдра складаеться в Штег-руваннi діференцiального рiвняння теплопровщносп (1) в областi Б = {(р, р, z, t) | р е (0, ^ (z)), В И Р І (0,2ж) , ь е (0,1), 1 е (о, так)}, что з урахуванням прийнятя до-пущені запишеться у відi

    3в 3в

    --У с - У тг

    31 3 р

    3 2в

    3 t

    2 Утгс

    3 2в

    а

    3 р31 я2

    32в

    1 3в 1

    + - + -

    32в

    3р2 р3р р2 3 р

    | + Х-

    32в

    Зz2

    (2)

    з початкових умів

    O (p, p, z, 0) = 0, O0 (p, p, z0 = 0

    d t

    (3)

    i граничних yмoвaмі

    r so

    про op

    C-L

    т

    e TrdC = G (p, z),

    p = C (z)

    t C- t

    J SO e TrdC = © (pp), J OO

    0 dz z = 0 0 dz

    e Tr dC = Л (p, p),

    (4)

    (5)

    z = 1

    T (p, p z, t) -G0 Я де O = ----- - вiднocнa тeмпepaтypa тiлa, a = - кoeфiцieнт тeмпepaтypoпpo-

    Tmax - G0

    ay

    i (z)

    вiднocтi, R = max {C (z) \,% = [, p = r, z = z, ^ (z) =

    ; l h j R h R

    G (p, z), © (p, p), Л ^, p) g C (0,2j),

    G (p, z) = V (p, z) Tr

    _ ^ _ G1 (p, р (тг ^ _ G2 (p, p (rr

    ^ Tmax - G0 У ^ Tmax - G0 V ^ Tmax - G0)

    Тoдi piшeння ^ Айова! зaдaчi (2) - (5) O (p, p, z, t) e двiчi нeпepepвнo діфepeнцiйoвa-

    ним по p i p, z, один pa3 по t в облаем D i нeпepepвнім на D [3], тобто

    O (p, p, z, t) g З 2,1 (D) П C (D), a функцп G (p, z), © (p, p), Л ^ ф), O (p, p , z, t) могут 6уті po-зклaдeнi в кoмплeкcній pяд Фyp'e [3]:

    O (p, p, z, t)

    G (P, z) © (p, p) Л ^)

    +<x>

    = z

    On (p, z, t) Gn (z)

    © n (p)

    Л n (p)

    > • ex

    p (inp),

    (6)

    де

    On (p, z, t)

    Gn (z)

    © n (p) Л n (p)

    i 2ж

    > = - J 2 * J

    O (p, p, z, t) G (P, z) © (p, p) Л ^)

    exp (-inp) dp,

    On (p, z, t) = OO1 (p, z, t) + iO® (p, z, t), Gn (z) = G® (z) + iG ^ (z),

    © n (p) = ©?> (P) + i © [n] (p), ЛП (p) = (p) + ii (p).

    З Огляду на ті, что O (p, p, z, t) функщя дшота, oбмeжімocя нaдaлi poзглядoм

    On (p, z, t) для n = 0,1,2, ..., тому что On (p, z, t) i On (p, z, t) будут комплекото cпpяжeні-

    ми [3]. Пщставляючі значення функцш з (б) у (2) - (5), у peзyльтaтi oдepжімo cіcтeмy ді-фepeнцiaльніх piвнянь:

    OOE d t

    + S ?? ) + Т

    a

    d 2O () + T # (i) OOtl _

    r d t2 r І d t R2

    2 (i)

    d 2O

    | +

    1 dO (i) n! Ai) d2O

    dp 2 p dp

    p

    2 (л d2fi «

    O (i > + r-

    2 r л_2

    dz2

    (7)

    n = -x>

    <

    з початкових yмовамі

    i граничних yмовамі

    в () (p, z, 0) = 0, = 0

    at

    Г в

    j ap

    C-t

    e т dC = G?) (z)

    p = c (z)

    t

    C-t

    \ Ae e r = 0 ( '>(P), J

    t

    dp

    C-t

    e T-dC = Л? (P),

    (8)

    (9)

    (10)

    де S = -an, Si = an, mj = 2, ш2 = i, i = i, 2.

    Заcтоcовyeмо до cіcтемі діференцiальніх рiвнянь (7) з yмовамі (8) - (10) штегра-льоні превращение Лаплаcа [3]:

    ?

    f (s) = j f (т) e ~ ST dT.

    У резyльтатi одержyeмо cіcтемy діференцiальніх рiвнянь:

    sei ') v Sty *) v ТМТ)) v TrS2в () = -aT

    R2

    a2 (9 (i) i a в (i) n2 a 2 #

    d en, ± _ d en n 9 \ l До vd в >

    (I) 2

    v / 1/7

    12в (i У

    | +

    з граничними yмовамі

    ae

    (I)

    Dp

    ap2 p ap p?

    G) (z),

    e () + z-

    az2

    p = ^ (z)

    d0I}

    dz

    = ® {Hp)>

    dey

    dz

    Г i Л

    Де G «(z) = G« (z) 1 + -L; 0 (О (р) = 0 (О (р)

    v STr у

    ; AW (z) = aW (Z)

    v STr y

    (11)

    (12)

    (13)

    v STr y

    (I = i, 2).

    Для розв'язання крайово'1 задачi (11) - (13) заcтоcовyeмо iнтегральне превращение:

    f (Mn, u) = jj Q (? n, k, p ^) 'p | f (P, z) d ^.

    (14)

    Влаcнi функцп Q (^ n, k, p, z) i вла ^ значення? N k знаходятьcя iз розв'язки задачi Штyрма-Лiyвiлля:

    a2q i dq n2 2 ^ a2q a

    - + -7Q + V n, k | Q + = 0,

    ap2 p ap p1 дв

    az

    dp

    p = c (z)

    = 0, de

    dz

    = 0, ae

    dz

    = 0

    (15)

    (16)

    0

    D

    Вла ^ функцп Q (? Nk, p, z) i влacнi значення? Nk зaдaчi Штypмa-Лiyвiлля (15) - (16)

    знaхoдятьcя за фopмyлaмі, пpівeдeнімі в [4], а фopмyлa oбepнeнoгo пepeтвopeння травні вигляд

    fi X V Q Л, P, z) -T-, X ""

    f (p, *) = Zn -, - ?? 2 / (? k). (17)

    j = 1 || Q (? k, p, z) ||

    Зacтocoвyeмo до cіcтeмі діфepeнцiaльніх piвнянь (11) з ^ анічнімі умів (12) - (13) ште ^ ально пepeтвopeння [14]. У peзyльтaтi oдepжyeмo cіcтeмy aлгeбpaiчніх pi-

    внянь вщноото O

    (I).

    sO

    P + ^ OJT1} + TrsO "m)) + Trs O) = q" ,;

    Q

    + TrsOr)) + Trs) = q "k

    (I) л

    n, k (i)

    2

    ? nk

    l y

    l г

    де QП) з = i ^ (z) • Q (? n,? (z), z) G (\ z) dz + Zjp Q? n, k, p, z)

    L l

    i d @ n) ~ (i) oQ? nap)

    dz

    dz

    (18)

    dp,

    i = 1,2; qn, k? 2 n, k.

    , R2

    ^ Иволий ^ шний iнтeгpaл oбчіcлюeтьcя по замкненому додатного opieнтoвaнoмy контуру (рис. 2):

    Phc. 2. Замкнуте кoнтyp з твipнoю лш1ею r = z) розв'язала cіcтeмy piвнянь (18), oдepжyeмo

    ~ Про _ QIUT, .s2 + s + qn, k) + (- lientoni) (l + sTr)

    n, k

    {Trs 2 + s + qn, k) 2 + rn2 n 2 (l + sTr) 2

    (19)

    де an, k = -y, (i = 1,2).

    , R2

    Зacтocoвyючі до зoбpaжeння фyнкцiй (19) фopмyлі oбepнeнoгo пepeтвopeння Лап-лaca [5], oдepжyeмo opігiнaлі фyнкцiй:

    0?] (М'яв, *) = ± СяЛ (*,) {(2Vy + l) + Trmn] + U {; l (Sj) {Trcon- (2TrSj + l) /]}-

    j = l 4

    (Е '' '- l) + \) - Trcom] + U: l {s]) {rrcon + {2Trs] + l) /]} (20)

    j = 3

    (Es '-1)

    в

    (2),

    - (/ W) = iX * (J> Н ^ йь +1) + тг®1я] П «(^) - [гг®і- (2гЛ + l) i]}

    j = i

    (E ^ -l) + YJQk {sj \&l (sj). [(2rrsj + l) -Trconi \-&l (sj) {Trcon + (2Trsj +1) /]} (21)

    j = 3

    (E " '-1) .

    де C ", до {Sj) =

    0.5s- 1апЛ

    , а значення s j для j = 1,2,3,4 визначаються за форму-

    лами

    S1.2 _

    (2rrsj +1) + (тгап) (zro>ni-1) ± ^ (1 + тга>™) 2 - 4тгдп, k (Trcni + 1) ± ^ (1-Trani) 2 -4тг /

    2 т

    ", S3,4 _ '

    2т.

    Таким чином, з урахуванням формул оберненіх Перетворення (6) i (17) одержуемо температурне поле тша Обертаном, Пожалуйста обертаеться з постшною Кутовий швідкiстю з на-вколо ос OZ, з урахуванням кшцево! швідкостi Поширення тепла:

    t) = i

    I [в () (^, до, t) + i-вп (2) і, до, t)]

    k = 1

    Q (? N, k. P. *)

    || Q (? N.k, P. z

    r • exi

    P (inrf,

    де значення в) (? nk, t) i ^ (? nk, 0 визначаються за формулами (20), (21).

    ) (2)

    n = -X

    4. Висновки

    У статп с помощью розроблення нового iнтегрального превращение знайдено температурне поле iзотропного тiла Обертаном, Пожалуйста обертаеться з постшною Кутовий швідкютю зі вокруг ос 02, з урахуванням кшцево! швідкостi Поширення тепла, у виглядi збiжніх ортогональних рядiв за функщямі Фур'є. Знайденій розв'язок узагальнено! Крайова! заду-ЧI теплообмiну iзотропного тша Обертаном, Пожалуйста обертаеться, з урахуванням скшченносп Величини швідкосп Поширення тепла может найти! застосування при моделюванш темпі-ратурніх полiв, якi вінікають у багатьох технiчних системах (супутники, сортопрокатш валки, ротор енергетичних агрегатсв, дісковi гальма та iн.).

    СПИСОК Л1ТЕРАТУРІ

    1. Бердник М.Г. Математичне моделювання температурного поля в цілшдр ^ Який обертаеться, з урахуванням кшцево! швидкости Поширення тепла / М.Г. Бердник // Питання прикладної! математики i математичного моделювання. - Д .: РВВ ДНУ, 2005. - С. 37 - 44.

    2. Конет 1.М. Ппербол1чн1 крайов1 завдань! в Необмежений трішаровіх областях / 1.М. Конет, М.П. Ленюк. - Льв1в, 2011. - 48 с. - (препр. / НАН Украши 1 н-т прикладних проблем мехашкі i математики! М. Я.С. Пiдстрігача; 01.11).

    3. Маркович Б.М. Р! Вняння математично! Ф! Зікі / Маркович Б.М. - Льв! В: Видавництво Льв! Всько! полiтехнiкі, 2010. - 384 с.

    4. Шайдуров В.В. Многосеточние методи кінцевих елементів / Шайдуров В.В. - М .: Наука, 1989. - 288 с.

    5. Лопушанська Г.П. Перетворення Фур'є, Лапласа: узагальнення та! Застосування / Лопушанська Г.П., Лопушанський А.О., М'яус О.М. - Льв1в: ЛНУ! М. 1вана Франка, 2014. - 152 с.

    Стаття над1йшла до редакцп 09.10.2017


    Ключові слова: крайова задача Неймана /узагальнене Рівняння переносу ЕНЕРГІЇ /інтегральне превращение Лапласа /годину релаксації /the Neumann boundary value problem /the generalized energy transfer equation /the Laplace integral transformation /the relaxation time

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити