Метою даної роботи є дослідження внутрішньої люмінесценції планктонних клітин як однієї з можливих причин стійкої нерівномірності розподілу фітопланктону по водоймі ( «плямистості»). В ході дослідження розроблена безперервна математична модель динаміки планктонних популяцій зі стимулюванням розмноження за рахунок внутрішньої люмінесценції. Отримано достатні умови єдиності рішення. Виконано ряд чисельних експериментів, побудовані графіки розподілу концентрації фітопланктону для різних початкових умов. Аналіз результатів показав, що дана модель описує реальні процеси у водоймах.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Сухинов Олександр Іванович, Герасименко Лілія Володимирівна


DYNAMIC MATHEMATICAL MODEL OF PLANKTONIC POPULATIONS WITH THE STIMULATION OF REPRODUCTION AT THE EXPENSE OF THE INTERNAL LUMINESCENCE

The purpose of this work is research of an internal luminescence of planktonic cells as one of the possible reasons of steady irregularity of distribution of a phytoplankton on a reservoir ( «punctuation»). During research the continuous dynamic mathematical model of planktonic populations with the stimulation of reproduction at the expense of the internal luminescence is developed. Sufficient conditions of uniqueness of the decision of a problem are received. A number of numerical experiments are executed; schedules of distribution of concentration of a phytoplankton for various entry conditions are constructed. The analysis of results has shown that the given model describes real processes in reservoirs.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2011


    Журнал: Известия Південного федерального університету. Технічні науки


    Наукова стаття на тему 'Математична модель динаміки планктонних популяцій зі стимулюванням розмноження за рахунок внутрішньої люмінесценції'

    Текст наукової роботи на тему «Математична модель динаміки планктонних популяцій зі стимулюванням розмноження за рахунок внутрішньої люмінесценції»

    ?УДК 519.63: 532.55

    А.І. Сухинов, JLB. Герасименко МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ДИНАМІКИ планктону ПОПУЛЯЦІЙ із стимулюванням РОЗМНОЖЕННЯ ЗА РАХУНОК ВНУТРІШНЬОГО люмінесценції

    Ланцюгом даної роботи є дослідження внутрішньої люмінесценції планктонних клітин як однієї з можливих причин стійкої нерівномірності розподілу фітопланктону по водоймі ( «плямистості»), В ході дослідження розроблена безперервна математична модель динаміки планктонних популяцій зі стимулюванням розмноження за рахунок внутрішньої люмінесценції, Отримано достатні умови єдиності рішення, виконано ряд чисельних експериментів, побудовані графіки розподілу концентрації фітопланктону для різних початкових умов, Аналіз ре, ,

    фітопланктон; люмінесценція; «Плямистість» розподілу; сферична сім,

    A.I. Sukhinov, L.V. Gerasimenko DYNAMIC MATHEMATICAL MODEL OF PLANKTONIC POPULATIONS WITH THE STIMULATION OF REPRODUCTION AT THE EXPENSE OF THE INTERNAL LUMINESCENCE

    The purpose of this work is research of an internal luminescence of planktonic cells as one of the possible reasons of steady irregularity of distribution of a phytoplankton on a reservoir ( «punctuation»), During research the continuous dynamic mathematical model of planktonic populations with the stimulation of reproduction at the expense of the internal luminescence is developed, Sufficient conditions of uniqueness of the decision of a problem are received, A number of numerical experiments are executed; schedules of distribution of concentration of a phytoplankton for various entry conditions are constructed, The analysis of results has shown that the given model describes real processes in reservoirs,

    Phytoplankton; luminescence; a «punctuation» of distribution; spherical symmetry,

    Можливими причинами «плямистості» водойм (стійкої нерівномірності розподілу фітопланктону по водоймі) можуть бути:

    | Виділення в процесі життєдіяльності фітопланктону популяції біологічно активного метаболіту, концентрація якого впливає на швидкість росту особин;

    | Рух з оопланктона, що є хижаком по відношенню до фіто-

    , ;

    | Стимулювання розмноження фіто планктону за рахунок внутрішньої Люми-

    .

    У даній роботі розглядається проста математична модель, по- «» .

    Нехай r0 - ефективний радіус однієї планктонної клітини.

    , () Клітина від будь-якої іншої (однієї) клітини, розташованої на відстані R від дан-

    R > r0 (Ріа 1).

    Нехай / 0 - яскравість (інтенсивність світіння одиничної площі поверхно-).

    ш = 4ЯК2I

    де 4як02 = 5 - площа поверхні однієї клітини.

    Мал. 1. Дві планктонні клітини, розташовані на відстані Я один від одного Потужність, яка потрапляє на поверхню клітини, що знаходиться в точці А:

    Т »т Т17 0 ЯК0 Л 2 т ЯК0 7

    ш = ш0 - = - ° т4пг0210 = -0-10,

    0 4я 4яЯ2 0 0 я20

    пг02

    де О = -0- тілесний кут, під яким видно клітина, яка перебуває в точці А,

    Я 2

    з точки О (тут через нерівності Я ^ Г0 взяли (Я - Г0) ~ Я2). Отже,

    4

    ^ = Шк. 1

    я2 0

    (1)

    Нехай X - концентрація клітин планктону - маса клітин планктону в оди-

    ниці об'єму, тобто [X] = 1 ^ -. Зручніше працювати з ПХ - числом клітин в одиниці

    м

    :

    (2)

    4

    де О - щільність речовини планктонних клітин, -ПК = V - об'єм клітини, а

    3 0

    4 з

    - ЯК О - маса однієї клітини.

    3

    Визначимо потужність випромінювання всіх планктонних клітин, що знаходяться в «тонкому» сферичному шарі радіусом Я і товщиною йк. Очевидно, з урахуванням (1):

    4

    ЯК Шйг = Ш • 4пЯ2 • йк • пх = -2г 10 '4яЯ.2 • йк • пх = 4я2 к0410 • йк • пх, Я

    де 4пЯ2- площа «тонкого» сферичного шару, 4яЯ2 • йк - обсяг шару, 4яЯ2 • йк • п - число планктонних клітин в цьому шарі;

    Х Шйг = Ш'йг • йк,

    ..

    Шйк = 4п2к0410йк • пх. (3)

    Врахуємо тепер ослаблення потужності випромінювання, обумовлене розсіюванням і поглинанням випромінювання за рахунок планктонних клітин, а також зважених час- ().

    йк

    проходженні Йя (рис. 2):

    йшйк = ~ шйк (У1пхпк0 + УгЩЯк1) 4пЯ) Я, де у, ПХ, до - параметри планктонних клітин; У2, ^ ^ - параметри зва-

    ;

    4пЯ Йя - обсяг сферичного ШАРУ ТОВЩИНОЮ Йя;

    2

    У1пхпк0 - сумарна площа поверхні клітин планктону в одиниці;

    2

    У2пупку -;

    ^ У1пхпк02 + У2ЩЯV) • 4яЯ2йЯ - сумарна площа поверхні кле-

    Йя .

    Мал. 2. Розташування сферичних шарів Йя і йк навколо планктонної клітини Звідки

    = - 1 (ВУЛ ^ + У2Щ К2) 4ЯЯ2йЯ .

    Шйк Я

    На якій відстані I ослаблення визначиться (Я2 - Я! = I

    Я2 = Я):

    «2

    1П = - \ (к2 + У2) 4ПЯ2йЯ .

    Я 1

    ,

    Шй1к (К0) = Шй'к (Я) ехр

    V до0 у

    Залишається підсумувати випромінювання від окремих нескінченно тонких шарів по радіусу-вектору від до0 до Ятях, де Ятях - деякий ефективне відстань, що визначає «граничне» відстань, на якому клітини здатні надавати один на одного вплив за допомогою випромінювання.

    Для цього необхідно проінтегрувати (5) по Йя від до0 до Ятях:

    - J (xr2 + Ї2) л2 r) dr

    (4)

    . (5)

    Rmax f R ^

    W = J Wlr (R) exp - J (xtf + r2nvrv2) r) dr

    V ro

    dR =

    У

    \

    dR. (6)

    = J 4 ^ 2r41оПх • exp -J (ro2 + r2nvrV2) rd

    r0 V r0 У

    У співвідношенні (6) перейдемо до масових концентрацій X і V, вчить-

    ,

    3 X 3V

    n

    4 ^ 03Px

    4лr ^ py

    ((2)). отримаємо

    Rmax

    W = J 4 ^ 10

    3 X

    4л0Рх

    ^ Шах = 1

    3 Xлг0 / 0 pX

    / R (

    -• exp "J Ї1

    V r0 V

    Ґ R /

    • exp | (Ї1

    V r0 V

    3 X

    4лГ) Px

    -ro + Г2

    3v

    А з v 4лrvpy

    4л2 r 2dr

    'Vrv J

    3 X 3v

    - + Г2-

    ropx

    rv pv

    лг 2dr

    dR.

    dR =

    (7)

    у у

    Система рівнянь в разі сферичної симетрії, яку ми на початку для простоти припускаємо:

    ЕХ

    Еt

    + Div (Ux) = ux ArX + k1 XS - aX

    ЕS

    -ЕS + div (Us) = u А rS - k2 XS + fi (S '- S) + f (r, t).

    (В)

    (9)

    R

    Тут: X, 5 - концентрації фітопланктону і біогенного речовини (^ від, фосфор) відповідно;

    і = (, V, м) - вектор швидкостей водного потоку;

    А - оператор Лапласа;

    Цх, Ц5 - дифузійні коефіцієнти для фітопланктону і біогенного;

    к1 - питома швидкість росту фітопланктону;

    к2 -;

    X - питома смертність фітопланктону;

    (3 - питома швидкість розпаду біогенного речовини;

    Б '- гранично можлива концентрація забруднюючої речовини;

    / = / (Г, ^) - функція джерела забруднення;

    dX

    dr j

    dSл

    dr

    д rX = ^ dr '

    r dr у

    д rS = ^ dr '

    r dr \

    div SiJX) = 1 ^ (urXr2); \ 'R dr

    div S®) = 7 I (Sr2) |

    Тоді (8) і (9) запишуться у вигляді

    ЕХ 1 Е / "2 \ _ 1 е (2

    + ~ Е. \ (ХГ) = ^ х ^ 2ег

    dt r dr

    dS 1 d

    dt r2 dr

    dX

    dr

    + Ki XS - oX, (8 ')

    (IUrSr 2) = #

    1 d

    S ..2

    r dr

    dS

    dr

    - k2XS + fi (S '- S) + f (r, t). (9 ')

    Тепер підключаємо основну гіпотезу (k10 = const):

    k1 = k10 + Го |W (r, t) =

    l0L

    Px

    (R! (3 X 3V Л \ I ,

    ехр - 1 в1 р 1 ^ 2 р r d 2 r

    J V ro v r0PX rv pv p /

    dR | (10)

    Перетворимо (10) при деяких спрощують припущеннях. Будемо вважати, що концентрація X несуттєво змінюється при зміні відстані від Г0 до ^ шах і концентрація суспензії V = 0. Це припущення допоможе зрозуміти характер нелінійності в рівняннях (8) і (9). тоді

    і = і, 3roXnro10 k1 k10 ~ l "

    Px

    lmax R

    j exp - Jr

    3 Xnr

    = K, 3r0 Xnr010 k10 ^

    Px

    Rmax

    1

    exp

    dr

    До ro 'oPx j

    nxr, (3 - r3)

    dR =

    ropx

    = K10 + 3roXnr ° 10. exp

    позначимо

    px

    nr,

    nrro

    V px

    X

    1Rmax

    Jexp

    d =

    V ropx

    dR. (11)

    ropx

    X = k. Тоді останній інтеграл можна представити в

    вигляді

    Rmax

    j exp (-kR3) dR

    :

    u = exp (-kR3); du = -3kR2 exp (-kR3); dV = dR; V = R

    R

    max

    = R - exp (-kR3) + j 3kR3exp (-kR3) R =

    :

    u =

    exp (-kR3); du = -3kR2 exp (-kR3); dV = 3kR3 dR; V = - kR '

    Q ^ max Q

    = R - exp (-kR3) + - kR4 - exp (-kR3) + j - k2R6 exp (-kR3) R =

    :

    u =

    exp (-kR3); du = -3kR2 exp (-kR3); dV = - k2 R6 dR; V = - k2 R 'v' v '4 4 - 7

    = R - exp (-kR3) + 3 kR4 - exp (-kR3) і - k 2R7 - exp (-kR3)

    +

    4 v '4 - 7

    I - k 3R9 exp {-kR3) dR

    +

    R, exp (-kRi) __________ (kR) ___________

    p (^ 1 (111-3) (l 12 - 3) ... (11 i - 3)

    = Exp (-kR3

    = 01 (111 - 3) 112- 3) ... (11 i -3)

    kiR (1 +, '| 3)

    r

    o

    r

    0

    0

    r

    0

    R

    3

    r,

    0

    В результаті питома швидкість росту фітопланктону набирає вигляду

    k = k101 3r ° Xnr ° 10. exp

    PX

    Л

    Г'о x

    . PX J

    x

    R - exp (-kR3

    1 (111 - 3) (l 12 - 3) ... (l и i - 3)

    ^ max

    = K1013roXnro 10 exp

    P

    X

    Пі'о x

    .. PX J

    x

    '(Max - r0) exp

    Пі

    r0PX

    = 01 (111-3) (112 - 3) ... (11 i)

    Причому ряд '' у.

    ,

    1 = 01 (1 + 1 | 3) (1 + 2 | 3) ... (1 + i | 3)

    як «граничне» відстань, на якому клітини здатні надавати один на одного вплив за допомогою випромінювання, Rmax ^ 1, так само як і радіус планктонної клітини r ^ 1.

    До системи (8 ') - (9') також необхідно додати:

    | Граничні уело вія першого роду:

    X (R, t) = const, S (R, t) = const;

    | Граничні уело вія другого роду:

    dX dr

    r = R

    = 0, -

    = 0;

    r = R

    | Нелокальних граничні умови, що забезпечують виділення единствен:

    11тг ^ про г2 ЕХ = 0, Іт ^ г2 - = п

    "V Г ->0

    Ег Ег

    Виведемо достатні умови існування єдиного рішення.

    Будемо розглядати область О = | г: 0< г < Я]. Г = О \ Про - межа області О. Введемо на кордоні Г області Про функції

    і, і > 0,

    п "п" _ _1_

    і І = u "

    u

    (12)

    0, ип < 0

    Поділимо часовий інтервал 0 < t < Т на досить малі відрізки часу 1п-1 < t < 1п, п = 1,2, ..., ^, t0 = 0, ^ = Т, на кожному з яких запишемо лінеаризовану систему рівнянь виду

    Про

    r

    про

    ЕХ

    ДГ

    + Біу (іхI = / іхАХ + к1ХБп - аХ

    дБ

    -ЕБ + 61у (Б) = рБАБ - к2ХпБ + 3 (( '- 5) + / (г, t).

    До системи рівнянь (13) - (14) приєднаємо:

    | Початкові умови:

    X (г, 0) = Х0 (г), Б (г, 0) = 50 (г), г е О, t = 0;

    | Граничні умови:

    X (Я, t) = ^ (Я, t), Б (Я, t) = г? (Я, t), Л е Г,

    (13)

    (14)

    (15)

    ..

    Е * = 0, - = 0;

    еп еп

    | Умови пе ріодічності:

    X (г, t) = X (г, t + Т), Б (г, t) = Б (г, t + Т),

    де Т > 0, Т - період;

    (16)

    (17)

    | Нелокальних гр анічние умови:

    V 2 ЕХ 2 дБ

    ІІШ. п г - = 0, ІІТ "г

    -ч пана 0 '- \

    Ег Ег

    Надалі будемо припускати, що к1 = к2.

    0.

    (18)

    Отримаємо квадратичний функціонал, який використовується для доказу єдиності рішення задачі (13) - (18). Помножимо обидві частини рівняння (13) і (14) відповідно на функції X і Б і проинтегрируем кожне з отриманих рівностей по області О і за часовою змінною t, tn-l < t < tn, а потім підсумуємо по п = 1,2, ..., п0, і, складаючи отримані рівності, в результаті отримаємо:

    Т 1 ЕX2 Т Т 1 ЕБ2 Т

    | Йг \ ^ - ^ - Йо + \ л IX * - (UХ) Про + | йг \ - ^ - ло + | йг | (ІБ) Йо =

    0 в \

    2 дї

    = Мх

    | Йг | Х АХйв + до? } Йг | Х2 Бпйв - «| йг | Х2 йв + мБ | йг | Б АБйв

    '\ Гп-1

    ) 0 в Т Т

    (19)

    ПДП-1

    В силу умов періодичності (17) маємо тотожності

    [Йг Г1 ЕX- йо = 0, [йг Г1-йо = 0.

    0 в

    0 в

    Застосовуючи теорему Остроградського-Гаусса, отримаємо рівності

    | Xdiv (ОТ) Йо = \ - ^ XгйГ, (ІБ) Йо = | - ^ Б2йГ. (21)

    О Г 2 Про г 2

    (19), (20)

    (21),

    г - + г - + Т щ гп

    | Йг | йг | - ^ Б = ^ | йг | XАXйО + к1? | Йг | X2БпйО

    2 • '•' 2

    0 1 '^ 0 1' ^

    - \ Гп-1

    Т Т П 0 'п

    Iйг | Х2 йв + мБ Iйг | Б АБйв - до? | йг | Б2 Хпйв

    0 в

    0 в

    ПДП-1

    +

    +

    (22)

    0 Про 0 Про

    З огляду на формулу Гріна і граничні умови (16), отримуємо наступну:

    0 в Т

    0 в Т

    дг2

    0 в

    ДХ

    ДГ

    дБ

    йв-

    0 г |.2

    0

    2

    = - * 1л $ сХ) йв-ЛК (? 1 й °.

    0 в

    (23)

    (23), (22).

    квадратичний функціонал можна записати у вигляді

    Т ґдХ42

    0 1

    3 2

    дБ

    0

    йв +

    \ 2

    + Мб | йг ^ -J йв - до? І йг | Х2 Бпйв + а \ йг | Х 2йв +

    ПДП-1

    0 в Т

    + КX} йг | б2Хпйв - $ \ йг] Б2йв- \ йг \ / Бйв|

    п =! \ Гп-1 в) 0 в 0 в

    (24)

    Нехай Нг - максимальний розмір області О в напрямку координатної осі Ог. Справедливо нерівність Фрідріхса:

    §Йг] "МХ

    0 в

    ^ ДХЛ 2

    V ДГ

    йв >

    4Мх (Нг У

    0 в

    Замінимо вираз в лівій частині функціоналу I відповідно до нерівністю Фрідріхса на що не перевищує його член, таким чином, ми постоїмо

    функціонал I:

    0 I

    0 I

    0 в

    ґ и

    За I т »

    -кх ^} йі | X2БПйв + а | йі | X2йв + / л5 | йіЦ ^

    V і-и

    0 в

    0 в V Ег у

    йв +

    и

    П0 І іп

    + До? I А152ХПйв -р \ йг | 5гйв- \ йг | / 5йв • (25)

    п = 1 у гп-1 в) 0 в 0 в

    Нехай спочатку По = 1 і на першому часовому інтервалі ^ - г - гх виконується нерівність

    4 - ^ / С0!>п • (26)

    (І)

    | + А - к, тахв | Б ° | > 0.

    Припустимо, що рішення системи (13) - (18) не єдиний, тобто.

    ^ = X'-X "ф 0, про = 5-5" ф 0.

    Тоді функціонал I для функцій W і Про має вигляд I = р ^ ^ йГ + Ц. ОйГ + -4 ^) | Л | м? ​​2йв - к1 | йг | ^ 250йв +

    - 2 - 2 (Нг)

    (27)

    '2

    0 в іі

    0 в іі

    + а

    іі 4 / до А 4 4

    | Йї Ін>2 йв + / ІБ | йї | - йв + до, | й | А2 X0 йв - ^ й | А2йв = 0.

    0 в 0 в V ДГ) 0 в 0 в

    Але в силу нерівності (26) I > 0. Прийшли до суперечності, в силу якого = 0, О = 0 для г0 - г - г1. Аналогічно для будь-якого П = 1, ..., П0 -1 в припущенні

    4'Их 2 + а-к, шахв {5П}> 0 (28)

    (Нг) 2. 1 ^ 1

    доводиться єдність розв'язку задачі (13-18).

    Таким чином, умова (28) - достатня умова єдиності рішення задачі (13) - (18).

    В ході роботи була побудована дискретна модель задачі (13) - (18), доведена її стійкість і консервативність.

    Результати чисельного рішення задачі можна представити у вигляді графіка, що показує розподіл концентрації фітопланктону на просторовому ділянці Я в різні моменти часу від початку експерименту.

    Було виконано ряд чисельних експериментів для різних початкових умов: від практично однорідних по простору (з початковими флуктуаціями щільності порядку 0,1-0,9%) (рис. 3) до сильно неоднорідних (рис. 4).

    Мал. 3. Графік розподілу концентрації фітопланктону в разі практично однорідних по простору початкових умови

    Мал. 4. Графік розподілу концентрації фітопланктону в разі сильно неоднорідних по простору початкових умови

    У всіх зазначених випадках для набору вхідних параметрів, що визначають чутливість популяції до власного електромагнітного випромінювання (в тому числі в видимому діапазоні), була отримана стійка неоднорідна структура, яка зберігала свої особливості ( «плямистість») аж до зниження

    концентрації біогенного речовини до Ю-6 ^--.

    м'

    Отримані результати свідчать про те, що механізм стимуляції розмноження за рахунок внутрішньої люмінесценції є обґрунтованою гіпотезою, що пояснює феномен «плямистості» розподілу фітопланктону у водних екосистемах - стійкої дисипативної структури у вигляді «плям» підвищеної концентрації фітопланктону.

    Для підтвердження даної гіпотези потрібні додаткові натурні експерименти і дослідження.

    БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

    1. Самарський А.А. Теорія різницевих схем. - М .: Наука, 1977. - 656 с.

    2. Самарський А.А., Миколаїв КС. Методи рішення сіткових рівнянь. - М .: Наука, 1978. - 592 с.

    3. Бєляєв В.І., Кондуфорова Н. В. Математичне моделювання екологічних систем шельфу. - Київ: Наукова думка, 1990. - 240 с.

    4. Сухий інше А.І. Двовимірні схеми розщеплений ия і деякі їх застосування. - М .: МАКС Пресс, 2005. - 408 с.

    Статтю рекомендував до опублікування д. Ф.-м. н., професор Г.В. Купових. Сухинов Олександр Іванович

    Технологічний інститут федерального державного автономного освітнього закладу вищої професійної освіти «Південний федеральний університет» в м Таганрозі.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    347928, м Таганрог, пров. Некрасовський, 44.

    .: 88634310599.

    Керівник ТТІ ПФУ; д.ф.-м.н. .; професор.

    Герасименко Лілія Володимирівна

    E-mail: gerasimenko.liliya @ yandex.ru.

    Тел .: 88634603916; +79045070406.

    Кафедра вищої математики; студентка.

    Sukhinov Alexander Ivanovich

    Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University".

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

    Phone: +78634310599.

    The Head of TIT SFedU; Dr. of Phis.-Math. Sc .; Professor.

    Gerasimenko Liliya Vladimirovna

    E-mail: gerasimenko.liliya @ yandex.ru.

    Phone: +78634603916; _ + 79045070406.

    The Department of Higher Mathematics; student.

    УДК 519.63: 532.55

    А.В. Нікітіна, К.А. Лозівська

    ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ Взаємодія ПЛАНКТОНУ І популяції промислових РИБИ пеленгаса

    Запропоновано нелінійна просторово-неоднорідна ЗБ-модель взаємодії планктону і популяції промислової риби пеленгас. Для чисельного рішення задачі використовувалися неявні кінцево-різницеві схеми другого порядку точності. устойчи-


    Ключові слова: фітопланктону /люмінесценції /"Плямистий" РОЗПОДІЛУ /сферичні СИММЕТРИЯ /A «PUNCTUATION» OF DISTRIBUTION /PHYTOPLANKTON /LUMINESCENCE /SPHERICAL SYMMETRY

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити