З метою поліпшення обчислювальних властивостей і розширення сфер застосування математичних моделей динаміки коливальних процесів механічних систем класу зубчастих передач розроблена кінцево-різницева математична модель на основі застосування методу кінцевих різниць. Як об'єкт для застосування методу кінцевих різниць була запропонована математична модель зубчастої передачі у вигляді системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку

## MATHEMATICAL MODEL FOR THE DYNAMICS OF OSCILLATIONS OF THE ZOOM TRANSMISSIONS

Evaluation of the dynamic characteristics the mechanical oscillatory systems (in particular gears) is an actual task and is carried out by constructing and computerizing their mathematical models, with that the detailed modeling, composition and number of their parameters are the determining factors that affecting on the accuracy of the dynamic calculation. Most of the modern mathematical models of the dynamics of oscillatory the gears describe the oscillatory process in continuous time. It is possible to significantly expand the possibilities of modeling oscillatory processes in mechanical systems of the gears class by creating mathematical models of dynamics, the solution of which is presented in discrete time, taking into account the coefficients of friction. The transition to such model is possible on the basis of the application the method of finite differences (MFD) with respect to the mathematical model in the form of one or several (system) of differential equations. At the same time, the accuracy of the results obtained on such a model is enhanced by the possibility of including an arbitrary deformation law for the material of the mechanical system. With the aim of improve the computational properties and expansion applications of mathematical models of the dynamics of oscillatory processes of mechanical systems class gears, with reference to one of them developed a finite-difference mathematical model, based on the use of the finite difference method. As an object to the use of the finite difference method was proposed a mathematical model of gear in the form of a system of linear differential equations of the second order. It is shown that the finite difference method can be used to transform mathematical models of the dynamics of oscillatory processes of mechanical systems to a finite-difference form, taking into account terms that take energy dissipation. On the example of a system of 14 linear differential equations of the second order describing radial-axial oscillations of a gear in three planes, its finite-difference analogue is developed.

Область наук:
• Математика
• Рік видавництва: 2018
Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету

## Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ДИНАМІКИ КОЛИВАНЬ зубчасті ПЕРЕДАЧ»

?В1СНІК ХНТУ №3 (66), 2018 р., ТОМ 1

1НЖЕНЕРН1 НАУКИ

ГНЖЕНЕРШ НАУКИ

УДК 681.5.015.22

Хафед І.С. АБДУЛСАЛАМ

Національний транспортний університет

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ДИНАМІКИ КОЛИВАНЬ зубчасті

ПЕРЕДАЧ

З метою поліпшення обчислювальних властивостей і розширення сфер застосування математичних моделей динаміки коливальних процесів механічних систем класу зубчастих передач розроблена кінцево-різницева математична модель на основі застосування методу скінченних різниць. Як об'єкт для застосування методу скінченних різниць була запропонована математична модель зубчастої передачі у вигляді системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку.

Ключові слова: метод кінцевих різниць, математична модель, коливальний процес, коефіцієнт тертя.

Хафед 1.С. АБДУЛСАЛАМ

Нацюнальній транспортний ушверсітет

МАТЕМАТІЧША МОДЕЛЬ ДІШАМ1КІ КОЛІВАШЬ зубчасті ПЕРЕДАЧ

З метою полтшення обчислювальних властівостей i Розширення сфер! Застосування математичних моделей дінамiкі колівальніх процеав мехатчніх систем класу зубчасті передач, розроблено ктцево-р1зніцева математична модель на основi! Застосування методу сктченніх рiзніць. В якостi об'єктах для! Застосування методу сктченніх р1зніць булу предложено математична модель зубчасто'1 передачi у виглядi системи лттніх діференщальніхрiвнянь іншого порядку.

Ключовi слова: метод ктцевіх р1зніць, математична модель, колівальній процес, коефщент

тертого.

HAFED I.S. ABDULSALAM

National Transport University

MATHEMATICAL MODEL FOR THE DYNAMICS OF OSCILLATIONS OF THE ZOOM

TRANSMISSIONS

Evaluation of the dynamic characteristics the mechanical oscillatory systems (in particular gears) is an actual task and is carried out by constructing and computerizing their mathematical models, with that the detailed modeling, composition and number of their parameters are the determining factors that affecting on the accuracy of the dynamic calculation. Most of the modern mathematical models of the dynamics of oscillatory the gears describe the oscillatory process in continuous time. It is possible to significantly expand the possibilities of modeling oscillatory processes in mechanical systems of the gears class by creating mathematical models of dynamics, the solution of which is presented in discrete time, taking into account the coefficients offriction. The transition to such model is possible on the basis of the application the method of finite differences (MFD) with respect to the mathematical model in the form of one or several (system) of differential equations. At the same time, the accuracy of the results obtained on such a model is enhanced by the possibility of including an arbitrary deformation law for the material of the mechanical system. With the aim of improve the computational properties and expansion applications of mathematical models of the dynamics of oscillatory processes of mechanical systems class gears, with reference to one of them developed a finite-difference mathematical model, based on the use of the finite difference method. As an object to the use of the finite difference method was proposed a mathematical model of gear in the form of a system of linear differential equations of the second order. It is shown that the finite difference method can be used to transform mathematical models of the dynamics of oscillatory processes of mechanical systems to a finite-difference form, taking into account terms that take energy dissipation. On the example of a system of 14 linear differential equations of the second order describing radial-axial oscillations of a gear in three planes, its finite-difference analogue is developed.

Keywords: finite difference method, the mathematical model, the oscillatory process, the differential equations of dynamics.

Постановка проблеми

Оцінка динамічних характеристик механічних коливальних систем (зокрема зубчастих передач) здійснюється шляхом побудови і комп'ютерної реалізації їх математичних моделей. При цьому деталізація моделей, склад і кількість їх параметрів є визначальними факторами, що впливають на точність динамічного розрахунку [1]. Більшість з розроблених математичних моделей динаміки коливань зубчастих передач, (зокрема [2 - 6]), описують коливальний процес в безперервному часу. Значно розширити можливості моделювання коливальних процесів в механічних системах класу зубчастих передач представляється можливим за рахунок створення математичних моделей динаміки, вирішення яких представлено в дискретному часі, з урахуванням коефіцієнтів тертя. Перехід до такої моделі можливий на основі застосування методу скінченних різниць (МКР) по відношенню до математичної моделі у вигляді одного або декількох (системи) диференціальних рівнянь.

Аналіз останніх досліджень і публікацій

Побудови математичних моделей динаміки зубчастих передач присвячено значну кількість робіт вчених і дослідників, зокрема: Н.А. Ковальова, М. Боша, М.Д. Генкина, В. К. Гринкевича, Д. Т. Демітрадзе і багатьох інших. Проводячи аналіз їх робіт, можна відзначити наступне: Модель Н. А. Ковальова [2] враховує тільки крутильні форми коливань зубчастих коліс при постійній поперечної жорсткості коливальної системи. У моделі динаміки М. Боша [3] також розглядаються тільки крутильні коливання, з урахуванням таких віброобразующіх факторів як помилка форм профілю та основного кроку. Модель М.Д. Генкина і В.К. Гринкевича [4] побудована з урахуванням впливу опор і враховує такі параметри коливальної системи як демпфери зачеплення, пружні жорсткості коліс, маси, моменти інерції і радіуси коліс, кут закрутки і пружну деформацію коліс. Модель враховує крутильні і поперечні складові коливань механічної системи. Модель Д.Т. Демітрадзе так само дає можливість розглядати крутильні і поперечні коливання зубчастих коліс [5]. На даній моделі досліджувався вплив податливості опор на динаміку зубчастої передачі з урахуванням змінної жорсткості зачеплення і коефіцієнтів демпфірування опор. Результати досліджень констатують, що основна частота радіальних і поперечних коливань коліс визначається частотою зміни жорсткості зубів і помилкою зачеплення. Запропонована автором [6] математична модель динаміки одноступінчатої косозубой евольвентної зубчастої передачі у вигляді системи 14-ти лінійних диференціальних рівнянь 2-ої порядку щодо узагальнених координат має вигляд (1):

J p) = - k 1 (p - P1) + M;

JX 1Р1 = k 1 (P - PO - C 3 rB 1R1;

J X 2р2 = - k 2 (P 2 - P 3) + C 3 rB 2 R 2;

J 3 р 3 = k 2 (P 2 - P 3) + M 3;

Jy ф = - C 1 'Z (z 1 - 11ф1) l1 + C1Z (Z1 + 12 ф1) 12 + C 3% R 3;

JY 2ф2 = - C 2 Z (z2 - НФ2) l1 + C 2 Z (z2 + 12ф2) 12 - C 3% R 4;

JZ lФ'lZ = - C1Y (y 1 - W) l1 + C {j (y 1 + 12 ф \) 12 + C 3 rB 1 tg (30 R 5;

• • Z Z Z

JZ 2 ф 2 = - C 2 Y (У 2 - 11ф1) l1 + C 2 Y (У 2 + 12ф2) 12 - C 3 rB 2 tg p 0 R 6; (1)

m 1 x 1 = C1X x1 + C 3 (tg p0 + 1) R 7;

m 2 x 2 = C 2 XХ 2 - C 3 (tg p0 + 1) R 8;

m 1У1 = C1 y (У1 - Нф \) + C1Y (У1 + 12ФlZ) + C 3 R 9;

7 7

m 2 У 2 = C 2 Y (У 2 - 11ф2) + C 2 Y (У 2 + 12ф1) - C 3 R10;

m 1Z1 = C1 z (Z1 - НФ1) + Ci'z (z 1 + 12ф 1Y) + C 3R11;

YY

m 2 z2 = C 2 Z (z2 - 11ф2) + C 2 Z (z2 + 12ф2) - C 3 R12 •

У моделі прийнятий вектор узагальнених координат, що має такий вигляд:

q = {p, (j, p2, p3, ФФ, ФФ, ФФ, ф2, х1, У1, z1, х2, У2, z2} r, де ф; ф1; ф2; Ф3 - кути повороту приєднаних мас

і зубчастих коліс навколо осей х1, х2; ф1; ф /; ф2У; ф / - кути повороту шестерні і колеса навколо осей в1,

у2 і г1,12; х1, у1, г1, х2, у2, 22 - лінійні переміщення шестірні й колеса уздовж осей х, у, м Відмінною особливістю даної моделі є її тривимірність, можливість опису динамічних процесів як в косозубой так і в прямозубой зубчастих передачах, облік похибок зачеплення , змінної жорсткості зачеплення, податливості опор при наявності шести ступенів свободи.

Аналізуючи особливості кожної з розглянутих моделей, можна зробити основний висновок про те, що перехід до кінцево-різницевої математичної моделі динаміки коливань механічних систем даного класу, з урахуванням коефіцієнтів тертя, є завданням актуальним.

Мета дослідження

Основна мета роботи полягає в поліпшенні обчислювальних властивостей і розширення сфер застосування математичних моделей динаміки коливальних процесів механічних систем класу зубчастих передач, шляхом розробки кінцево-різницевої математичної моделі, на основі застосування методу скінченних різниць. Як об'єкт для застосування методу скінченних різниць розглядається математична модель зубчастої передачі, у вигляді системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку.

Виклад основного матеріалу дослідження

У методі кінцевих різниць (МКР) на область коливального тіла умовно наноситься сітка ліній, точки перетину яких називаються вузлами [7]. Невідомими вважаються значення функцій у вузлах, щодо яких справедливі відомі диференціальні рівняння динаміки тіл коливання. Похідні в диференціальних рівняннях при цьому, аппроксимируются наближеними алгебраїчними формулами, на основі відомих співвідношень між операторами диференціювання і операторами кінцевих різниць [8]. Отримані алгебраїчні формули називаються звичайно-різницевими, і невідомими в них є значення функцій у вузлах. Заміна похідних в диференціальному рівнянні звичайно-різницевими формулами, призводить до системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Граничні умови також замінюються алгебраїчними рівняннями. Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь дає можливість знайти розподіл зсувів координат точок коливального тіла щодо положення рівноваги, зміни його положення і форми. По суті, МКР дає можливість в заданому інтервалі зміни значень незалежної змінної отримати кінцево-різницеву апроксимацію диференціальних рівнянь системою алгебраїчних рекурентних формул або рівнянь.

Основна ідея такої апроксимації схематично, в загальному вигляді може бути представлена ​​так [8]: в заданому в загальному вигляді диференціальному рівнянні якій системі: ^ (у "; у '; у; Г) = 0; у (Го) = уо; У '(Го) = УО, - проводиться заміна незалежної змінної t її поданням на заданому інтервалі [Г0, Г) шляхом перетворення Г = Г0 + кп = ^ п0 + п), а шукана функція і її похідні виражаються через кінцево-різницеві співвідношення, через певну кількість рівномірно розташованих з кроком h = 1 ординат у (п), починаючи з по: у (по) = уо, у (по + 1) = у 1, у (по + 2) = у2, ..., у (по + к-1) = ук-1; F (yn + k, у п + к-та -; уп + 1, уп, п) = 0, у (к) = ук, к = 0, 1, 2, ... Дозволивши неявну форму різницевого вираження щодо старшої координати у (к), отримуємо рекуррентную формулу, з якої по відомим до початкових ординатам можна послідовно знайти ординати всього шуканого процесу. Найпростіше таке завдання вирішується в разі апроксимації похідної різницею першого порядку:

у, (п) = = у (п + О - у (п) = у (п + 1) _ у (п) | ^^

Після приведення вихідної системи до системи рівнянь першого порядку, кожна шукана змінна отримує значення при п = 0, що дорівнює своєму початковому умові. В результаті рекурентний обчислювальний процес виявляється певним, і дає можливість обчислити на черговому кроці (к = 1) значення всіх змінних. Такий обчислювальний процес відповідає чисельному інтегруванню систем диференціальних рівнянь за явною методу Ейлера. Основною складністю тут є вибір кроку інтегрування для нецілочисельне незалежної змінної Г.

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами:

х "= р (Г) х '(Г) + д (Г) х (Г) + г (Г) (2)

на інтервалі [а; Ь] з граничними умовами х (а) = а, х (Ь) = в. Побудуємо розбиття відрізка [а; Ь] за допомогою точок а = Г0<Г1 <...<4п = Ь. Покладемо h = (Ь-a) / N, і ti = a + ih для 1 = 0, 1, ..., N. Формули зосереджених різниць, які використовуються для наближення похідних, мають вигляд [8]:

) Х (Г + 1) - + п "2); ш (.) х (Гг- + 1:> -2x (ti) + x (ti-l) + п "2) (3)

х (Г) = --- +); х (Г) = -2- + П (h Ь (3)

2h h2

де О (Н2) - точність апроксимації (О (^) означає Сі2, де С - деяка константа, h - сітковий крок).

В1СНІК ХН ТУ №3 (66), ТОМ 2, 2018 р.

1НЖЕН ПРН I НАУКИ

Замінимо кожен член х (/ г) в правій частині рівності (2) на х (/ '), і отримані в результаті рівняння підставимо в (3) отримаємо рівняння (4).

ХГ + 1 - 2 Х + ^ + 0 (к2) = ^) (ХГ + 1 ~ Х_ + 0 (к2) I +) ХГ + г (Ц).

| - V - / г V-1 / I _, | ~ V - / I | 1 \ -1 / "1 | | \ -1 / • (4)

к2 I 2Н

Опустимо в (4) два члена порядку О (к2) і введемо обозначеніяpi = p (ti), д ^ д ^ г), д1 = д (/ 1). В результаті отримаємо різницеве ​​рівняння (5), яке використовується для отримання чисельних наближень до диференціальних рівнянь (2):

х1 + 1 - 2 х1 + Хг_1 Х1 + 1 Хг_1

--2-- = Р1 1 + 41Х1 + г, (5)

к2 2к

Наближення виходять в процесі множення кожної частини рівняння (5) на к2. Збираючи члени містять х1-1, ХГ, і ХГ + 1, і розташовуючи їх у системі лінійних рівнянь отримаємо рівняння (6).

(_ \ Р1 _ ^ Х1 _1 + (2 + до 2 41х + (до Р1 _ ^

Кр1 _11 х1 + 1 = _к 2 г,

(6)

Для 1 = 1,2, ..., N-1, де хо = а, хи = в. система рівнянь (6) має трехдіагональной форму, яка в матричному вигляді зображується рівнянням (7):

2 + до 2 д1 до Р1 _1 0 0 0 "х!" _ К2 г + е 0

_ До Р 2 _1 2 + до 2 д 2 IР 2 _1 0 0 Х2 _ к2 Г

0 _ до Р1 _1 2 + до 2 ^ до Рг _1 0 X ХГ = _ к2 Г

0 0 _ | Ри_2 _ 1 2 + 2 + до ди _2 кРИ_2 _ 1 хи _2 _ к2Ги_2

0 0 0 _ Кри _ 1 2 + до 4и_1 _ хи _1 _ __ до 2 Ги + е "_

(7)

Де е 0 = 1 2А + Г, і еи = [_ ГРИ_1 +1 в

Якщо обчислення виробляти з кроком до, то чисельне наближення до вирішення буде являти собою безліч дискретних точок {(/, |; х;)}. В якості основи для побудови кінцево-різницевої математичної моделі динаміки зубчастої передачі, візьмемо розроблену раніше автором систему диференціальних рівнянь (1), яку з урахуванням дисипації енергії в коливальній системі необхідно доповнити членами, які враховують тертя, які представлені системою рівнянь (8):

ф = •••-

ф2 =

к. 3

ф +

3х2

к. ф1 +

Ф1 •••; Ф1 = •••

к2 + кз

к1

3х1

ф +

к1 _ кз

3х2

Ф2

3х2

фу

= ••• +

1

= • •• +

в1 = • + |? 1 = • +

11М г + 12 Мг 3У1

11к1у +12 к1'у _ 3г1

к1 у + к \ у Ш1

к1 г + к1г

1

фу

= ••• +

= ••• +

3х1

фз •••; фз = •••

/ 1к2 г + / 2 к2'г

ф1 + 3 3

кз 3 х1

ф3 _

3

у2

/ 1к2г + / 2 к'2г 3 г 2

Ф2у

Ш1

в1 •••; у2 = ••• +? 1 •; ?? 2 = • +

к2 у + к2'у Ш2

к2 г + к2'г Ш2

у2 •;

г2 •.

ф2 •

_

3 3

ф2 •••;

до

з

г

Після заміни похідних системи рівнянь (1) їх кінцево-різницевим еквівалентом (3), з урахуванням доповнення членами (8) і перетворення (4), остаточно кінцево-різницева математична модель динаміки зубчастої передачі набуває вигляду (9):

г1 (г +1) - 2г1 (г) + г1 (г1)

Нг

ГЬ1 ГЬ2 Р2 +

Р1 -

«1« 1

сь

4 + С (г) #

2

'Tgво "х2 +

«1

2С + С3 (г)?

Ш1 Ш1 008 аг

21 +

'Кг + С

Ш1

Ш1 Ш1 008 аг

г1 (г + 1) - г1 (г1)

ФУ -

"Сз (г) # 2" Ф2у + "tgво"

«1008 аг« 1

х1

З з (г) # -

«1 008 аг« 1

г2 (г +1) - 2г2 (г) + г2 (г-1)

Н 2

ГЬ1 Р1 - ГЬ2 Р2 - "Сз (г) # 2"

[ «2 _ 1 т 2 _« 2 008 аг

ФУ +

"Tgво" х2 - "Сз (г)?" Г1 +

_ Т2 _ «2 008 аг

2С + С з (г) 4

(Р (1 + 1) - 2ф (1) + ^ (? - 1)

Н2

к. у

Ш2 т2 008 аг

к1 у

г2 +

Р (г + 1) - 2Р (г) + Р (г-1)

+

у

х1

Н2

р2 (г + 1) -р2 (г-1)

до

Р2 (г + 1) - 2р2 (Г) + Р2 (г-1)

Р (0 + у-Р (г)

З з (г) гЬ1 іх1

^ 2

Р (г)

У

Й2 г + Й2'г Ш2

р (г + 1) - р (г-1)

З ^ 4 + Сз (г) # 2 «2« 2 008 АГ

г2 (г +1) - г2 (г-1)

Ф2у + "tgво"

[ «2 _

х1

р + 7 «2

+

іх1 _ х1 (г) +

Р (г)

до

і

х1

р (г + 1) - р (г-1)

Р>1 (г +1) - Р>1 (г -1)

+

м

У

+

к1 - кз

і

х1

р1 (г +1) -р1 (г-1)

+

З з (г >ь1

і

Н2

+

Й2 + кз

і

х2

р2 (г +1) -р2 (г-1)

іх2 Й2

р2 (г)

+

до

2

х1

р3 (г)

х2 (г);

н "

і

х2

іх2

р3 (г + 1) -р3 (г-1)

Р (г + 1) - р1 (г-1)

+

іх2 Сз (г) гЬ2

+

р3 (г + 1) - 2р3 (г) + р3 (г-1) Н 2

фу »+1) - 2фуо + фу / -1) _

У3

У

в1

Н2

х2 (г)

ГЬ1

У

У1

р2 (г) р1 (г) "

У 3

р3 (г)

У 3

Ух2

р2 (г + 1) -р2 (г-1)

х1 (г)

З з (г) гЬ2

(9)

х2 (г);

У3

Ух2

р3 (г + 1) -р3 (г-1)

М

У3

ГЬ2

У

У1

сь

У

2 + С з (г) # в1 Уу1008 аг

г1 (г)

Р2 (г) + С з (г) #

СЬ1 + Сз ( '* 2 ф

Уу1 Уу1008 а {(г)

ЩГ + «

З з (г) Г

Уу1008 а (

2 (0

У

в1

х1 (г)

Уу1008 аг

2 (0

У

в1

Ф1 (; г + 1) Ф1 (; г-1)

р 7

У

в1

Ф2 (г + 1)

- 2ф2у (г) + Ф2 (г-1)

tgво

У

у 2

Н 2

х2 (г)

ГЬ1

У

у 2

р1 (г) "

ГЬ2

У

З з (г) #

Уу2 008 а;

г1 (г)

р2 (г)

Уу 2 _

СЬ2 - Сз (г) # Уу2 Уу2 008 аг

З з (г) Г

Уу2 008 а;

1 (0

сь

1 ^ Сз (г

Уу 2 Уу2 008 аг

2 (г)

г2 (г) +

?1Й2 г +? 2Й2г

У

Ф \ (1 + 1) - 2ф1г (г) + ф1г (г-1)

Н2

СЬ1 + С з (г) (ги) УА)

У г1 У г1 81П а /

ф1г (г)

у 2

Сз (г) (ги) УА) Уг181і аг

ф2 (г + 1) ф2 (г-1)

tg ^ о

У у 2

х1 (г)

У

у 2

Ф! (Про +

СЬ3 + С з (г) гь ^ 1о У г1 У г1 81П-а г

в1 (г) |

З з (г) rьltg ^ о

У Г18 \ па {

у2 (г) |

?1 ^ 1 у +? 2Й1у

У

ф1 (г + 1) - ф1 (г-1) .

Й

з

до

до

до

Й

2

2

2

2

+

+

+

+

+

Ф2 (ґ + 1) - 2ф2 «+ Ф2 ^ -1)

H 2

Сз (t) rb2tg? 0

Jz 2 sin at

З з (t) (rb2) 2tg2? O Jz2 sin «t

1 (i)

CL1 + + З з (t) (rb2) 2 tg 2? O

J

z2

Jz2 sin at

b2 (i)

yi (i)

CL4 + Сз (t) rb2tg? O

J

z2

Jz2 sin at

y 2 (i)

y + '2 h2'y

J

z2

2 (i + 1) 2 (i-1)

x1 (i + 1) - 2x1 (i) + x1 (i-1) _ H2 = x2 (i + 1) - 2x2 (i) + x2 (i-1)

C1x + Сз (t) (tg? O +1)

Ш1

З з (t) (1 - tg? O)

x1 (i)

2H

З з (t) (tg? O +1)

Ш1

H

2

Ш2

x1 (i)

С2 x + Сз (t) (tg? O +1)

y1 (i + 1) - 2y1 (i) + y1 (i-1)

+

H2

До y + Ш1

CL4 + С з (t) rb1tg? O «1

y1 (i +1) - y1 (i-1)

2H

+

«1 sin at

2С Сз (t)

- +

«1« 1 sin at

ФФ -

У1

y1 (i + 1) - 2y1 (i) + y1 (i-1)

H2

CL4 + Сз (t) rb1tg? O «1

+

h1y +

«1

y1 (i +1) - y1 (i-1)

2H

«1 sin at 2С + С з (t)

Ф \ -

y2 (i + 1) - 2y2 (i) + y2 (i-1)

+

H2

h2 y + h2y «2

+ ,

«1« 1 sin at Сз (t) rb1tg? O

y1

«2

З з (t) rb1tg? O «1 sin at

Сз (t) "y;

-: - y2;

«1 sin at

З з (t H ^ g? O

«1 sin at

Сз (t)

x2 (i); x2 (i);

Ф2>'+

Ф2Z +

y2;

«2 sin at

y2 (i + 1) - y2 (i-1)

2H

+

Сз (t) «2 sin at

Ф1 -

y1 +

«1 sin at CL3 Сз (t) rb1tg? O

«2 2С

+

«2 sin at Сз (t)

Ф2 +

«2« 2 sin at

y2;

(9)

висновки

Показана можливість застосування методу скінченних різниць для перетворення математичних моделей динаміки коливальних процесів механічних систем до кінцево-різницевого увазі, з урахуванням членів, які враховують дисипації енергії. На прикладі системи 14-ти лінійних диференціальних рівнянь 2-го порядку, що описують радіально-осьові коливання зубчастої передачі в 3-х площинах, розроблений її кінцево-різницевий аналог.

Список використаної літератури

1. Аугустайтіс К.В. Автоматизований розрахунок коливань машин / К.В. Аугустайтіс, П.К. Мозура, К.Ф. Слівінскас, Е.Р. Ставяцкене; Під ред. К.М. Рагульскіса. - Л.: Машинобудування, 1988. - 103 с.

2. Ковальов Н.А. Коливання зубчастих передач / Н.А. Ковальов // Известия АН СРСР. Відділення технічних наук. Механізми і машини. - 1961. - №2.

3. Бош. М. Динаміка циліндричних зубчасті коліс з урахуванням точності їх виготовлення / М. Бош. -Деталі машин, 1966. № 11

4. Генкін М.Д. Динамічні навантаження в передачах з косозубимі колесами / М.Д. Генкін, В.К. Гринкевич. - М. Изд-во АН СРСР. Інститут Машиноведения, 1961. - 116 с.

5. Демітрадзе Д.Т. Експериментальне дослідження крутильних та поперечних коливань в прямозубих циліндричних зубчастих передачах / Д. Т. Демітрадзе. // Текст. АН Груз.ССР. - 1974. - Т. 75. - №2.

6. Дяченко П.В. Просторова математична модель Власний частот та форм коливання мехашчно! системи, класу одностутнчастіх, евольвентніх зубчасті передач / П.В. Дяченко // Штучний штелект. - 2o 11. -№ 1. - C. 54-6o.

7. Жермен-Лакур П. Математика і САПР: У 2-х кн. Кн. 2. Пер. з франц. / П. Жермен-Лакур, П.Л. Жорж, Ф. Пістро, П. Безьє. - М .: Світ, 1989. - 264 с.

8. Самарський А.А. Введення в чисельні методи / А.А. Самарський. - М .: Лань, 2005. - 288 с.

+

+

+

Ключові слова: метод кінцевих різниць / математична модель / коливальний процес / коефіцієнт тертя. / finite difference method / the mathematical model / the oscillatory process / the differential equations of dynamics.

Завантажити оригінал статті: