Наведено результати виведення математичної моделі дифузії в напівпровідниках з використанням дрібно-диференціального обчислення. Розглянуто основні механізми дифузійних процесів в напівпровідниках. При цьому причини виникнення цього ефекту можуть носити різний характер. Аналіз методів моделювання дифузії дозволив встановити, що феноменологічний підхід справедливий не для всіх режимів дифузії, що обумовлено перколяційні характером її перебігу. Встановлено, що одним із способів моделювання дифузії є використання дрібно-диференціальних рівнянь. З урахуванням цього в роботі запропонована модель дифузії на основі апроксимації Паде з приростом зміни концентрації за часом.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Литвин Н.В., Капустіна Н.В.


MATHEMATICAL MODEL OF DIFFUSION IN SEMICONDUCTORS BASED ON PADE FREQUENCY-DIFFERENTIAL APPROXIMATION

The article contains the results of the mathematical model derivation of diffusion in semiconductors using fractional differential calculus. The main mechanisms of diffusion processes in semiconductors are considered. At that, the causes of this effect can be of different nature. The analysis of diffusion simulation methods enabled us to establish that the phenomenological approach is valid not for all diffusion modes, which is due to the percolation nature of its course. It is established that one of the ways of modeling diffusion is the use of fractional-differential equations. With this in mind, we propose a diffusion model based on the Pade approximant with an increment in concentration change over time.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва діє до: 2017
    Журнал: Міжнародний науково-дослідний журнал

    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ДИФУЗІЇ В НАПІВПРОВІДНИКАХ НА ОСНОВІ дрібно-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ апроксимацій Паде'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ДИФУЗІЇ В НАПІВПРОВІДНИКАХ НА ОСНОВІ дрібно-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ апроксимацій Паде»

    ?Таблиця 4 - Показники харчової та енергетичної цінності дослідних зразків паштетів в оболонці

    Найменування об'єкта дослідження Найменування показника

    Білок,% Жир,% Харчові Калорійність, ккал

    Паштет в оболонці «Молочний» 20,88 11,50 1,54 219

    Паштет в оболонці без кабачкової борошна і молочної сироватки 16,36 17,02 0,12 231,9

    Аналіз харчову та енергетичну цінність паштетів свідчить, що в зразках паштетів в оболонці з кабачкової борошном і сухої молочної сироваткою значно збільшився вміст білка, за рахунок високого вмісту протеїну добавках, так само вміст харчових волокон збільшилася в 2,5 рази, за рахунок введення кабачка. Вміст жиру знизилося в 1,5 рази, що дає продукту статус дієтичного.

    Поєднання в одному продукті збалансованого вмісту білків, жирів і вуглеводів, а також мікро і макроелементів, особливо калію і магнію, сприятливо впливають на серцевий м'яз, добавок рослинного і тваринного походження, що поліпшують травлення, низький вміст жиру, невисокою собівартості продукту, відкриває широкі перспективи впровадження і використання даного продукту.

    Список літератури / References

    1 Могильний, М. П. Сучасні підходи до виробництва м'ясних функціональних продуктів в громадському харчуванні // Известия вищих навчальних закладів. Харчова технологія. Випуск № 4/2008.

    2 Бузова, В.В. Варене ковбасний виріб «Цариця» / В.В. Бузова, Е.А. Селезньова, С.В. Шинкарева // Продовольча безпека: наукове, кадрове та інформаційне забезпечення. - ФГБОУ ВО «Воронезький держ. ун-т інженерних технологій ». - Воронеж, 2016. - C. 350-352.

    Список літератури англійською мовою / References in English

    1 Mogil'nyj M. P. Sovremennye podhody k proizvodstvu mjasnyh funkcional'nyh produktov v obshhestvennom pitanii [Modern approaches to the production of functional meat products in public catering] // Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Pishhevaja tehnologija [News of higher educational institutions. Food technology]. -2008.V. 4. [in Russian]

    2 Buzova, V.V. Varjonoe kolbasnoe izdelie «Carica» [Boiled sausage "Queen"] / V.V. Buzova, E.A. Selezneva, S.V. Shinkareva // Prodovol'stvennaja bezopasnost ': nauchnoe, kadrovoe i informacionnoe obespechenie. [Food security: scientific, personnel and information security] - FGBOU VO «Voronezhskij gos. un-t inzhenernyh tehnologij ». [ "Voronezh state University of engineering technologies"]. - Voronezh, 2016. - C. 350-352. [In Russian]

    DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.60.017 Литвин Н.В.1, Капустіна Н.В.2

    кандидат технічних наук, доцент, 2Старшій викладач, Волгодонский інженерно-технічний інститут Філія Національного дослідницького ядерного університету «МІФІ» МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ДИФУЗІЇ В НАПІВПРОВІДНИКАХ НА ОСНОВІ дрібно-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ апроксимацій Паде

    анотація

    Наведено результати виведення математичної моделі дифузії в напівпровідниках з використанням дрібно-диференціального обчислення. Розглянуто основні механізми дифузійних процесів в напівпровідниках. При цьому причини виникнення цього ефекту можуть носити різний характер. Аналіз методів моделювання дифузії дозволив встановити, що феноменологічний підхід справедливий не для всіх режимів дифузії, що обумовлено перколяційні характером її перебігу. Встановлено, що одним із способів моделювання дифузії є використання дрібно-диференціальних рівнянь. З урахуванням цього в роботі запропонована модель дифузії на основі апроксимації Паде з приростом зміни концентрації за часом.

    Ключові слова: фрактал, напівпровідник, перколяції, подрібнена похідна, апроксимація Паде, потенційна енергія.

    Litvin N.V.1, Kapustina N.V.2

    : PhD in Engineering, Associate Professor, 2Senior Teacher, National Research Nuclear University (Moscow Engineering Physics Institute) (MEPhI) MATHEMATICAL MODEL OF DIFFUSION IN SEMICONDUCTORS BASED ON PADE FREQUENCY-

    DIFFERENTIAL APPROXIMATION

    Abstract

    The article contains the results of the mathematical model derivation of diffusion in semiconductors using fractional differential calculus. The main mechanisms of diffusion processes in semiconductors are considered. At that, the causes of this effect can be of different nature. The analysis of diffusion simulation methods enabled us to establish that the phenomenological approach is valid not for all diffusion modes, which is due to the percolation nature of its course. It is established that one of the ways of modeling diffusion is the use of fractional-differential equations. With this in mind, we propose a diffusion model based on the Pade approximant with an increment in concentration change over time.

    Keywords: fractal, semiconductor, percolation, fractional derivative, Pade approximant, potential energy.

    Електрофізичні процеси, що протікають в напівпровідниках, багато в чому обумовлені явищами внутрішнього перенесення. Крім струму провідності, в напівпровідниках має місце дифузний струм. Його існування обумовлено, на відміну від струму провідності, що не різницею потенціалів, а зміною концентрації носіїв. Цей струм, також як струм провідності може бути електронним чи дірковим.

    У разі рівномірного розподілу носіїв за обсягом напівпровідника їх концентрація є рівноважною. Однак при наявності зовнішніх чинників розподілі концентрації носіїв може стати нерівномірним, що призводить до появи електричних ефектів. Так, якщо частина напівпровідника піддати дії випромінювання, то в ній посилиться генерація пар носіїв і виникне додаткова концентрація носіїв. Така концентрація називається надмірною. При цьому носії завжди переходять з місць з більш високою концентрацією в місця з меншою концентрацією [1, С. 24-30], [2, С. 40].

    Переміщення атомів речовини (домішки) в решітці кристала відбувається стрибками. Ці скачки відбуваються в трьох вимірах, і сумарний потік визначається статистичними усреднением за певний період часу.

    Для опису процесів переносу та дифузії існує безліч апробованих підходів. Так, для випадку моделі кристалічних напівпровідників використовується класичне рівняння дифузії. Розглянемо його уявлення для одновимірного випадку.

    Розглянемо елементарний об'єм, який має розмір Ах. Рівняння балансу перенесення носіїв в ньому буде мати вигляд [3, С. 166]:

    (С (х, г + А) - з (х, г)) Ах = - (# (х + Ах, г) - д (х, г)) А ^

    де с (х, г) - концентрація речовини;

    д (х, г) - щільність потоку перенесення речовини;

    Аг - характерний час спостереження.

    Для щільності потоку справедливий закон Фіка:

    Ц х, г) = - в ^

    5х (2)

    У разі граничного переходу при Ах ^ 0, Аг ^ 0 має місце відоме рівняння дифузії:

    дс (х, г) Д2 з (х, г)

    д дх 2 (3)

    У цьому випадку розподіл фронту носіїв описується гауссовой статистикою.

    Інший підхід до моделювання дифузії може складатися у використанні клітинно-автоматного підходу (КА) [7, С. 10].

    Клітинні автомати (КА) відносяться до класу дискретних математичних моделей. Вони описують шпрокій клас реальних систем разом з протікають в них процесами. Змістовно клітинний автомат є нескінченною автоматної структурою, побудованої в такий спосіб. Нехай дано п-мірне евклідів простір. Введемо його розбиття на гіперкуби з одиничним ребром. При цьому зберігається властивість паралельності ребер осях координат. У кожен гиперкуб помістимо один і той же кінцевий автомат п входами і одним виходом. Розгалузилася вихід автомата і з'єднаємо з входами його сусідів однаковим чином для всіх гиперкубов в просторі. Отримаємо нескінченну однорідним чином влаштовану автоматну схему, яка і називається клітинним автоматом.

    Послідовність станів окремих автоматів, що містить стану всіх автоматів схеми, буде утворювати стан клітинного автомата. Послідовність станів клітинного автомата, що виникає при синхронній роботі всіх складових його кінцевих автоматів, називається функціонуванням клітинного автомата.

    Однією з КА-моделей дифузії є наївна дифузія [7, С. 10-25]. Вона є досить простою моделлю. Однак при цьому вона на якісному рівні інтерпретує процес як про блукання частинок. При цьому переміщення частинок прагне зробити однаковою концентрацію речовини в просторі. Розглянутий КА функціонує в асинхронному режимі. Це відповідає природі процесу дифузії. Околицею клітини є її найближчі чотири сусіда. Правило функціонування полягають в наступному. В межах такту роботи випадковим чином вибирається осередок. Вона з рівномірно розподіленим ймовірністю змінюється своїм значенням з однієї з клітин своєї околиці. Таке правило можна інтерпретувати як закон збереження маси. Випадковість вибору окрестностних елементів відповідає вероятностному характеру переміщення частинок. Ця особливість відповідає в визначенню процесу дифузії [8, С. 1017], [9, С. 73].

    Ще одна з моделей КА-дифузії - КА-дифузія з околицею Марголуса [7, С. 35]. Клітинний масив розбивають на два підмножини. При цьому підмножина являє сукупність блоків, що містять чотири клітини. Функціонування КА відбувається в двотактному синхронному режимі. Кожна ітерація ділиться на два такту. На парних тактах правила переходу застосовуються до парних блокам, на непарних - до непарних. Правила переходу такі, що виконують зсув станів в клітинах блоку равновероятно за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки. Керуючи значеннями ймовірностей переходу і змінюючи величини просторових і часових кроків, можна моделювати процес дифузії в широкому діапазоні фізичних параметрів [8, С. 76].

    В [10, С. 112] розглядається клітинно-автоматна модель рекомбінації. Область моделювання в ній носить дискретний характер і утворює клітинне поле. Кожній клітці ставиться у відповідність її просторове положення і стан. Стану клітин показують наявність або відсутність в клітці частинок, що беруть участь в

    моделируемом процесі. Зміна станів визначається правилами, що описують поведінку модельованої системи. КА-підхід дозволяє безпосередньо досліджувати вплив просторового розподілу часток на характер процесу рекомбінації.

    Клітинні автомати зазвичай використовуються для математичного моделювання в тому випадку, якщо застосування різницевих методів пов'язане з труднощами і погано описується диференціальними рівняннями. Просторово-часова дискретність і локальність дії правил КА добре адаптують їх реалізацію на ЕОМ. Це робить їх застосування більш раціональним в порівнянні з безперервними, і навіть з рядом дискретними систем. Крім того, клітинні автомати не вимагають виконання операцій з плаваючою комою. Вони можуть використовувати як логічні, так і цілочисельні операції. Це істотно спрощує комп'ютерні експерименти з дослідження КА. Особливо помітний виграш у часі при реалізації клітинних автоматів на спеціалізованих обчислювальних машинах, що володіють великим числом паралельних процесорів - машинах клітинних автоматів.

    Однак однією зі специфічних особливостей дифузійних процесів в напівпровідниках є те, що вони можуть протікати при наявності перколяції [4, С. 13-17], [5, С. 20-25].

    Теорія перколяції є однією з моделей, що дозволяє описати фазовий перехід другого роду і встановити момент появи глобальної зв'язності в двофазної системі. Висновки ці застосовні до широкого класу явищ. До них можна віднести процеси переносу в пористому середовищі, поширення лісових пожеж і епідемій, опис магнітооптичних ефектів у полімерних і скляних матрицях, що містять неоднорідності у вигляді металевих або напівпровідникових включень.

    Альтернативним узагальненням похідною є дрібна похідна [11, С. 15-25], [11, С. 20-30]. Для речового показника а, і функції / (х), такий, що виконується правило: /: (а, так) ^ Я, існує уявлення дробової похідної за Ріманом-Ліувілля [11, С. 20-30]:

    / (Х) (й 1 "] / (г) йг" + | 'Г (т-а) (йх) а (х - г) "-" 1 т = [а] + (4)

    де а - дійсне число; х - поточна змінна.

    Спрощенням визначень (4), (5) є визначення Капуто, яке може бути застосовано для функцій, таких, що операція диференціювання може бути внесена під знак інтеграла [12, С. 14-17]:

    з В "/ (х) = 1 Г / (т) (г) Л

    () Г (т-а); (Х-г) а-т + 1, т = [а] +1, (5)

    Поряд з (1) - (2) існує дискретне уявлення дробової похідної, введене А. Грюнвальдом і А.В. Летникова як наступний межа [11, С. 17-23]:

    д "/ (х) Ааь / (х)

    А "^ ГгЛ- ^ З иЛг.а" а _ Г (к-а)

    = Ит А \ / (х) =? / (Х - щю "_ _

    (6)

    дх "^ 0 н" - к = 0 до до Г (-а) Г (до +1)

    Відзначимо, що формула (3) в кінцевому наближенні найбільш широко застосовується при вирішенні диференціальних рівнянь дробового порядку. Дробове диференціювання можна розглядати як диференціювання на фрактальних множинах. масштаб яких має ступеневу залежність.

    Дрібно-диференціальне уявлення дифузії в напівпровідниках застосовується досить давно. Так, рівняння дифузії вільних носіїв з урахуванням захоплення на локалізовані стани для часів, значно перевищують час одиничного захоплення, має вигляд [13, С. 32-36], [14, С. 347]

    д а с (х, г ^ 2 Д2 з (х, г)

    ДГА = дх2 (7)

    де - порядок дробової похідної.

    Рівняння (7) є узагальненням рівняння класичної дифузії (1). Ставлячи різні значення, а можна відрізняти різні режими перенесення носіїв.

    У роботі пропонується узагальнення (7), засноване на застосуванні дрібно-диференціальної апроксимації Паде тимчасової зміни концентрації носіїв. Апроксимації Паде відносяться до класу локально найкращих раціональних апроксимацій заданого степеневого ряду. Вони знаходять різноманітні додатки в різних завданнях математичної фізики, механіки та прикладної математики.

    Застосуємо до рівняння (1) перетворення Фур'є за часом. Тоді отримаємо наступне співвідношення:

    (ЕзюА - 1) З (х, у) = - (/ (х + Ах, ю) - / (х, у)) Аг ^

    де С (х, у), С (х, у) - фур'є-образи концентрації с (х, г) і потоку щільності / (х, г) .

    Перепишемо множник в лівій частині в такий спосіб

    (Нею -1) = е 2-а- 2

    е 2

    Тоді (8) прийме наступного вигляду:

    (Е 2 - е 2) з (х, а) = -е 2 (? (Х + Ах, а) - д (х, у)) А / ^

    Виконаємо дрібно-диференціальну апроксимацію експоненти в (10). Для цього скористаємося співвідношенням:

    ^ Х * Л2 * х2 * ХПаХПа

    е "= 1 + -: - ^ + -, -...-- ^ +...

    Г (а +1) Г (2а +1) Г (иа +1)

    Утримуючи члени з першим порядком, матимемо наступну апроксимацію

    ((-Т) * (т) * Л до (] ю) а с (х, у) = 1 + (-},) (д (х + Ах, а) -? (Х, а>))& I Г (* +1)

    J

    (11)

    (12)

    At г та - (- т) а де т - -, k - | 4 7

    2 'Т (а +1)

    З фізичних міркувань будемо вимагати, щоб виконувалося співвідношення {^ Т) а = -Та. Тоді, виконуючи зворотне перетворення, остаточно отримаємо

    та-1 дас (x, t) _ no2с (х, t) Ta oa o2с (х, t) - D ---- D-

    Г (а +1) ota ox2 Г (а + l) ota ox2

    (13)

    З вигляду моделі (13) можна зробити висновок про те, що в процес перенесення носіїв може вносити вклад швидкість зміни градієнта щільності потоку, якщо під швидкістю розуміти дробову похідну за часом. З цього можна зробити висновок про те, що зміна щільності потоку може впливати на характер релаксаційних процесів при дифузії. Це, очевидно, буде сприяти більш повному розумінню дифузійних процесів в подальшому.

    Список літератури / References

    1. Гантмахер В.Ф. Електрони в невпорядкованих середовищах. - М .: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - С. 24-40.

    2. Шкловський Б.І., Ефрос А.Л. Електронні властивості легованих напівпровідників. Монографія. - М .: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1979. - С.288-230

    3. Самарський А.А., Тихонов А.Н. Рівняння математичної фізики: Навчальний посібник. - 6-е изд., Испр. і доп. -М .: Изд-во МГУ, 1999 г. - С.166

    4. Тарасевич Ю.Ю. Перколяції: теорія, додатки, алгоритми. Навчальний посібник. М .: Едіторіал УРСС, 2002. - С. 13-17

    5. Федер Е. Фрактали: Пер. з англ. - М .: Видавництво «Світ», 1991. - С.20-25

    6. Самко С. Г., Кілбас А. А., Марічев О. І. Інтеграли і похідні дробового порядку та деякі їх застосування. Мінськ, Наука і техніка, 1987. - 688 С.

    7. Тоффолі Т., Марголус Н. Машини клітинних автоматів. М .: Світ, 1991. - 280 с.

    8. Г. Г. Малинецкий, М. Е. Степанцов, Моделювання дифузійних процесів з допомогою клітинних автоматів з околицею Марголуса // Ж вирахував. матем. і матем. фіз., 1998. - Т. 38. - № 6. - С. 1017-1020.

    9. Євсєєв А. А., Нечаєва О. І. Клітинно-автоматне моделювання дифузійних процесів на триангуляційних сітках // ПДМ. - 2009. - № 4 (6). - С. 72-83.

    10. Сабельфельд К.К., Кірєєва А.Є. дискретне стохастичне моделювання рекомбінації електронів і дірок в 2D- і ЕБ-неоднорідних напівпровідниках // Прикладна дискретна математика. - 2016. - № 4 (34). - С. 110127.

    11. Чуриков В.А. Додаткові глави аналізу. Дробове інтегрування і дробове диференціювання на основі d-оператора: навчальний посібник / Томськ: Изд-во Томського політехнічного університету, 2010. - 118 с.

    12. Псху А.В. Рівняння в приватних похідних дробового порядку. - М .: Наука, 2005. - 199 с.

    13. Сибата Р. Т., Учайкін В. В. Дробово-диференційний підхід до опису дисперсійного перенесення в напівпровідниках // Успіхи фізичних наук. - 2009. - Т.179. - №10. - С. 1079-1104.

    14. Сибата Р. Т., Учайкін В. В. Дробово-диференціальна кінетика переносу заряду в неупорядкованих напівпровідниках // Фізика і техніка напівпровідників, 2007. - т.41. - № 3. - С. 346-351.

    Список літератури англійською мовою / References in English

    1. Gantmaher V.F. Jelektrony v neuporjadochennyh sredah [Electrons in the disorder environments]. - M .: FIZMATLIT, 2013. - Р.24-40 [in Russian]

    2. Shklovskij B.I., Jefros A.L. Jelektronnye svojstva legirovannyh poluprovodnikov. Monografija [Electronic properties of doped semiconductors. Monograph] - M .: Nauka, Glavnaja redakcija fiziko-matematicheskoj literatury [M .: Science, Principal edition of physical and mathematical literature], 1979. - P. 288-230 [in Russian]

    3. Samarskij A.A., Tihonov A.N. Uravnenija matematicheskoj fiziki: Uchebnoe posobie. - 6-e izd., Ispr. i dop. [Equations of mathematical physics: Manual. - 6th edition corrected and additional] - M .: Izd-vo MGU [MSU publishing house, 1999.], 1999. - P. 166 [in Russian]

    4. Tarasevich JuJu. Perkoljacija: teorija, prilozhenija, algoritmy. Uchebnoe posobie [Perkolyation: theory, appendices, algorithms. Manual]. M .: Editorial URSS [Editorial URSS], 2002. - P. 13-17 [in Russian]

    5. Feder E. Fraktaly [Fractals]: Per. s angl.-M .: Izdatelstvo «Mir», 1991. - P. 20-25 [in Russian]

    6. Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Integraly i proizvodnye drobnogo porjadka i nekotorye ih prilozhenija [Integrals and derivatives of a fractional order and some of their appendices]. Minsk, Nauka i tehnika [Minsk, Science and technology], 1987. - 688 P. [in Russian]

    7. Churikov V.A. Dopolnitel'nye glavy analiza. Drobnoe integrirovanie i drobnoe differencirovanie na osnove d-operatora: uchebnoe posobie [Additional chapters of the analysis. Fractional integration and fractional differentiation on the basis of the d-operator: manual] / Tomsk: Izd-vo Tomskogo politehnicheskogo universiteta [Tomsk: Publishing house of the Tomsk polytechnical university], 2010. - 118 P. [in Russian]

    8. Toffoli T., Margolus N. Mashiny kletochnyh avtomatov [Machines cellular automata]. M .: Mir, 1991. - 280 P. [in Russian]

    9. G. G. Malineckij, M. E. Stepancov, Modelirovanie diffuzionnyh processov s pomoshh'ju kletochnyh avtomatov s okrestnost'ju Margolusa [Simulation of diffusion processes using cellular automata with a neighborhood of Margolus] // Zh vychisl. matem. i matem. fiz. [W comp. mod. and mod. Phys.]. - 1998. V. 38. № 6. P. 1017-1020. [In Russian]

    10. Evseev A. A., Nechaeva O. I. Kletochno-avtomatnoe modelirovanie diffuzionnyh processov na trianguljacionnyh setkah [Cellular automata modeling of diffusion processes into triangulated meshes] // PDM. - 2009. - № 4 (6). - P. 72-83. [In Russian]

    11. Sabel'fel'd K.K., Kireeva A.E. Diskretnoe stohasticheskoe modelirovanie rekombinacii jelektronov i dyrok v 2D- i JeB-neodnorodnyh poluprovodnikah [discrete stochastic simulation of recombination of electrons and holes in 2D and EB-inhomogeneous semiconductors] // Prikladnaja diskretnaja matematika [Journal of Applied discrete mathematics]. - 2016. - P. 110-127. [In Russian]

    12. Pshu A.V. Uravnenija v chastnyh proizvodnyh drobnogo porjadka [The equations in private derivatives of a fractional order]. - M .: Nauka [M .: Science], 2005.. - 199 P. [in Russian]

    13. Sibatov R. T., Uchajkin V. V. Drobno-differencial'nyj podhod k opisaniju dispersionnogo perenosa v poluprovodnikah [Fractional and differential approach to the description of dispersing transfer in semiconductors] // Uspehi fizicheskih nauk [Achievements of physical sciences]. - 2009. - V. 179. - №10. - P. 1079-1104. [In Russian]

    14. Sibatov R. T., Uchajkin V. V. Drobno-differencial'naja kinetika perenosa zarjada v neuporjadochennyh poluprovodnikah [Fractional and differential kinetics of transfer of a charge in the unregulated semiconductors] // Fizika i tehnika poluprovodnikov [Physics and technique of semiconductors]. - 2007. - V.41, № 3. - P. 346-351. [In Russian]

    DOI: https://doi.org/10.23670/IRJ.2017.60.094 Литвинова Е.В.

    ORCID: 0000-0001-5549-5627, кандидат технічних наук, Академія будівництва і архітектури ФГАОУ ВО «КФУ імені В.І. Вернадського »ЗАСТОСУВАННЯ методом кінцевих різниць ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ДИНАМІЧНИХ ЗАДАЧ

    анотація

    Пропонується застосування методу скінченних різниць для розв'язання динамічних задач будівельної механіки на прикладі динамічного вигину жорстко затисненої призматической балки під дією раптово прикладеною рівномірно розподіленого навантаження, незмінною в часі. У методі кінцевих різниць область безперервної зміни аргументу замінюється кінцевим (дискретним) безліччю вузлів, званим сіткою. Метод кінцевих різниць - сітковий метод, заснований на заміні похідних різницевими стосунками, простий і зручний для обчислень.

    Ключові слова: метод кінцевих різниць, сіткові функції, різницева схема, динамічне додаток навантаження.

    Litvinova E.V.

    ORCID: 0000-0001-5549-5627, PhD in Engineering, Academy of Construction and Architecture V.I. Vernadsky

    Crimean Federal University APPLICATION OF FINITE DIFFERENCES METHOD FOR DYNAMIC PROBLEMS SOLUTION

    Abstract

    The article proposes the application offinite differences method for solving the dynamic problems of building mechanics with the help of dynamic bending of a rigidly clamped prismatic beam under the impact of a suddenly applied uniformly distributed load, unchanged in time. In the method of finite differences, the domain of continuous change of the argument is replaced by a finite (discrete) set of nodes, called a grid. Finite differences method - the grid method, based on the replacement of derivatives by differencing ratios, is simple and convenient for calculations.

    Keywords: finite difference method, grid functions, differencing scheme, dynamic load application.

    Рішення складних інженерних завдань, що відносяться до предметної області науки про міцність і стійкості будівельних конструкцій, істотно спрощується завдяки моделюванню. Математичні моделі будівельних конструкцій є умови рівноваги конструкцій і її вузлів, виражені в диференціальної або інтегральної формі, під дією різного роду навантажень.

    Розглянемо один з методів дискретизації аналітичних моделей функціонування будівельних конструкцій - метод кінцевих різниць (МКР).

    Нехай на відрізку [0; 1] потрібно знайти рішення деякого рівняння

    L (х) = f (х), 0 < х < 1 (1)


    Ключові слова: фрактал / FRACTAL / НАПІВПРОВІДНИК / SEMICONDUCTOR / перколяції / PERCOLATION / дробове ПОХІДНА / FRACTIONAL DERIVATIVE / апроксимацій Паде / ПОТЕНЦІАЛЬНА ЕНЕРГІЯ / POTENTIAL ENERGY / PADe APPROXIMANT

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити