Запропоновано математичну модель представлення детермінованих і випадкових процесів у вигляді послідовності фракталів. Вона базується на моделі квантування інформації і гіпердельтном розподілі ймовірностей. Для формування послідовності запропоновано нелінійне інтегральне рівняння з цілочисельним ядром. По ньому знаходяться базовий фрактал і субфрактали (кластери). Розглянуто приклад для рівномірного розподілу. Вироблено оцінювання імовірнісних та ентропійних властивостей компонентів розкладання. Визначається вплив порогової константи в нелінійному інтегральному рівнянні, призначеному для знаходження величини базового фрактала, на величину його протяжності. величина протяжності фрактала є важливою характеристикою, від якої залежить кількість інформації, що поміщається у фрактале при відомому законі її розподілу. Дається відповідь на поставлене запитання на прикладах з двома розподілами ймовірностей. Результати дослідження рекомендовані для застосування в метрології, теорії інформації та теорії ефективності.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Смагін Володимир Олександрович, Бубнов Володимир Петрович


Mathematical model of determinated and random processes in the form of consistent hyperfractal distribution

A mathematical model for representing deterministic and random processes in the form of a sequence of fractals is proposed. It is based on a information quantization model and a hyperdelta probability distribution. To form a sequence, a nonlinear integral equation with an integer kernel is proposed. It is used to determine basic fractal and subfractals (clusters). An example for uniform distribution is considered. The probabilistic and entropy properties of the decomposition components are evaluated. The influence of the threshold constant in the nonlinear integral equation, which is used to find the value of the base fractal, on its extent is determined. The fractal length is an important characteristic on which the amount of information placed in the fractal on the known law of its distribution depends. The answer to this question is given by examples with two probability distributions. The research results are recommended for use in metrology, information theory and efficiency theory.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2019
    Журнал: Автоматика на транспорті
    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ детермінована і ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ У ВИГЛЯДІ ПОСЛІДОВНОГО ГІПЕРФРАКТАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ детермінована і ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ У ВИГЛЯДІ ПОСЛІДОВНОГО ГІПЕРФРАКТАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ»

    ?Живучість, надійність, безпеку

    УДК 681.3.06-192

    В. А. Смагін, д-р техн. наук

    Кафедра метрологічного забезпечення, озброєння, військової і спеціальної техніки Військово-космічна академія ім. А. Ф. Можайського, Санкт-Петербург

    В. П. Бубнов, д-р техн. наук

    Кафедра «Інформаційні та обчислювальні системи» Петербурзький державний університет шляхів сполучення імператора Олександра I, Санкт-Петербург

    МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ детермінована і ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ У ВИГЛЯДІ ПОСЛІДОВНОГО ГІПЕРФРАКТАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ

    Запропоновано математичну модель представлення детермінованих і випадкових процесів у вигляді послідовності фракталів. Вона базується на моделі квантування інформації і гіпердельтном розподілі ймовірностей. Для формування послідовності запропоновано нелінійне інтегральне рівняння з цілочисельним ядром. По ньому знаходяться базовий фрактал і субфрактали (кластери). Розглянуто приклад для рівномірного розподілу. Вироблено оцінювання імовірнісних та ентропійних властивостей компонентів розкладання. Визначається вплив порогової константи в нелінійному інтегральному рівнянні, призначеному для знаходження величини базового фрактала, на величину його протяжності. Величина протяжності фрактала є важливою характеристикою, від якої залежить кількість інформації, що поміщається у фрактале при відомому законі її розподілу. Дається відповідь на поставлене запитання на прикладах з двома розподілами ймовірностей. Результати дослідження рекомендовані для застосування в метрології, теорії інформації та теорії ефективності.

    нелінійне інтегральне рівняння, базовий фрактал, константа і її величина, графічне і чисельне рішення, розподіл кількості інформації, протяжність фрактала.

    Б01: 10.20295 / 2412-9186-2019-5-2-145-159

    Вступ

    Одним з актуальних напрямків розвитку теорії динамічних систем і їх численних додатків є група практичних завдань, пов'язаних з нестаціонарної і хаотичної динамікою керованих процесів. Найважливішими представниками даного наукового тренда явля-

    ються прикладна теорія хаотичних процесів і методи фрактального аналізу спостережень [1-5].

    У книзі відомого норвезького фізика дається чітке і просте виклад математичних властивостей фракталів, описуються застосування теорії фракталів в гідродинаміки, океанології, гідрології, в дослідженні перколяційних процесів та ін. [6]. Крім того, наводяться методи комп'ютерної графіки.

    Фрактал (від лат. YOгасШБ - подрібнений, зламаний, розбитий) - це безліч, що володіє властивістю самоподібності (об'єкт, в точності або наближено збігається з частиною самого себе, т. Е. Ціле має ту ж форму). Створення теорії фракталів і методів її застосування належить відомому вченому - автору великого циклу робіт Б. Мандельброту [7].

    Метою даної статті є спроба запропонувати один з можливих математичних методів моделювання детермінованих і випадкових процесів, ідея якого сходить як до робіт авторів [8, 9], так і до ідеї застосування фракталів, викладеної в [6, 8]. Вона полягає в тому, щоб розробити наближений метод дослідження детермінованих і випадкових процесів, з якими тісно пов'язані прикладні методи сучасної науки технічного та інформаційного профілю. У більш простому розумінні - зв'язати науку про фрактали з теорією ймовірностей і теорією інформації. При цьому автори не претендує на створення наукової теорії, а викладають своє розуміння на простих ужиткових прикладах.

    1. Математична модель

    У статті [8], присвяченій розробці однієї з моделей дослідження немарковского процесів в теорії надійності і масовому обслуговуванні, була запропонована марковська модель гіпердельтного розподілу (див. Також [9]). Вона заснована на методі рівності початкових моментів теоретичного і аппроксимирующего розподілу теорії ймовірностей. Тут цю ідею пропонується застосувати до побудови наближеного послідовного розподілу, побудованого на виділення базового, основного фрактала і сукупності субфракталов нижчого рангу в порівнянні з базовим фракталом. Потім на основі дельта-функцій Дірака будується щільність ймовірності фрактального розподілу. З її допомогою оцінюються вероятностно цікавлять дослідника показники об'єкта. Крім того, якщо необхідно, пропонується застосовувати функцію розподілу ентропії для додаткового оцінювання якості об'єкта [10].

    Математична модель ґрунтується на ідеї оптимального в сенсі заповнення квантування інформації [11]. Точніше, вона використовує запис авторами величини математичного очікування квантованной випадкової величини:

    М (х) = (х + с) Л Е - +1 / (г)? 7, (1)

    про V Vх))

    де с - встановлений постійний пропуск між квантами; х - величина кванта; Е - найбільша ціла частина числа з недоліком; / (Х) - щільність ймовірності випадкового кількості квантуемого інформації 2.

    Нехай задана щільність ймовірності / (х) на полуінтервале [0, так), у Вас можуть запитати її у вигляді спадної фрактальної послідовності, складеної базовим, основним фракталом Фо і безліччю субфракталов СФ /, / = 1, 2, 3 .... Тоді можна прийняти наступну формулу для виробництва фракталізаціі:

    ^ (7 \

    | Е (- / (7) й7 -1 = 0. (2)

    про Vх)

    Змістовний сенс формули (2) полягає в тому, що математичне очікування Е не повинна перевищувати одиничного значення, але і не бути негативним. Потрібно прийняти рівність х = Фо і вирішити отримане нелінійне рівняння щодо невідомої величини Фо. При цьому потрібно якомога точніше обчислити цю величину. А потім перевірити правильність досить суворого рішення рівняння (2). Ця чисельна величина і буде представляти базовий, основний факторіал. Можна переконатися, що точне рішення рівняння (2) досягається при тахФо і воно буде єдиним.

    Наступним кроком процесу буде обчислення значення величини першого субфрактала Ф1. Цей процес буде аналогічний процесу обчислення Фо. Але нелінійне рівняння необхідно змінити таким чином, щоб воно прийняло наступну форму:

    ^ - 1 ЕГ ^) / (7 -)? 7 - 1 = о. (3)

    | / (І) йі Фо V 1)

    Фо

    При відомому певному значенні Фо рівняння (3) потрібно вирішити щодо Ф1 з достатньою строгістю і перевірити точність отриманого рішення. Співмножник з внутрішнім інтегралом в уравененіі (3) визначає умовну ймовірність того, що попередній інтервал базового фрактала був успішно завершений.

    Наступним кроком процесу стає обчислення значення величини другого субфрактала Ф2. Для цього необхідно використовувати наступне нелінійне інтегральне рівняння:

    00

    <x>

    f ^ \

    J f (u) du

    J e Z ФФ Ф f (z) dz -1 = 0. (4)

    2 У

    Співмножник з внутрішнім інтегралом в рівнянні (4) визначає умовну ймовірність того, що попередній інтервал до Ф 2, що включає базовий фрактал і перший субфрактал, був успішно завершений. Після виконання процедури слід також забезпечити і перевірити точність отриманого рішення.

    Далі слід виробляти процес обчислення наступних субфракталов по аналогічним, але видозміненим рівнянням доти, поки величина останнього фрактала НЕ буде пренебрежимо малої.

    Автори даної статті не змогли знайти методу вирішення даного нелінійного рівняння в замкнутому, аналітичному вигляді. Тому рішення знаходилося способом безпосередньої заміни шуканої величини таким чином, щоб висока точність рішення досить строго відповідала максимального значення шуканого фрактала або субфрактала.

    1

    2. Приклад виконання процедур обчислень для заданого розподілу ймовірностей

    Задано рівномірний розподіл, його щільність ймовірності записується у вигляді

    / (Х) = dunif (х, а, Ь), а = 0, Ь = 100 од. (5)

    Для визначення значення величини базового фрактала потрібно вирішити рівняння

    J E z '

    J 'Фо У

    f (z) dz -1 = 0. (6)

    В результаті рішення шляхом простого підбору визначаємо Фо = 33,33 од. з точністю 1,819-Ю-4. Число фракталів дорівнює одиниці, а інтервал тимчасової зайнятості складе 33,33 од.

    Визначаємо значення величини першого субфрактала шляхом вирішення рівняння щодо ФЦ

    л

    1 JE (^ ФФ ° f (z) dz-1 = 0. (7)

    J f (u) du

    1 У

    XI

    Фо

    ії

    Значення величини | / (І ^ і = о, 667. А значення величини Ф1 буде

    Фо

    одно 14,21 од. з точністю 2,367-Ю-5. Число субфракталов Ф1 дорівнює одиниці, тому інтервал тимчасової зайнятості складе 14,21 од.

    Визначаємо значення величини другого субфрактала шляхом вирішення рівняння щодо Ф2:

    1

    с. , \ 7 - Ф про - Ф

    1 Е ^ Фр ^ / {- У-1 = о. (8)

    1 / (і) з! І ®о '+ Ф. Ф 2

    ії

    Значення величини | / (І) ^ і = о, 524. А значення величини Ф2 бу-

    фо + ф1

    дет одно 2,3996 од. з точністю 6,177-Ю-5. Число Ф2 субфракталов дорівнює одиниці, тому часовий інтервал зайнятості складе 2,3996 од.

    Визначаємо значення величини третього субфрактала шляхом вирішення рівняння щодо Ф3:

    1

    "^ 7 - Фо - Ф1 - Ф2) ^

    1 ЕГ "" про Ф ^ I / {7 ^ -1 = о; 1 / {і) йі Фо + Ф1 + Ф2 ^ 3 ^

    Фо + Ф1 + Ф2 (9)

    ії

    1 / (і) йі = о, 5о1.

    А значення величини Ф3 дорівнюватиме про, 1195 од. з точністю 4,889-Ю 5. Число Ф3 субфракталов дорівнює одиниці, тому часовий інтервал зайнятості складе про, 1195 од.

    Цим обмежимося, вважаючи, що величина четвертого субфрактала буде досить близька до нуля.

    Аналіз результатів прикладу. У прикладі були отримані наступні тривалості часу зайнятості фрактала і субфракталов:

    г о = 33,33 од., г1 = 14,21 од., г2 = 2,9963 од., г 3 = о, 1195 од.

    Позначимо відповідні ймовірності знаходження процесу в періодах часу зайнятості:

    Р про (г о) = о, 667, Р1 (г1) = о, 519, Р 2 (г 2) = о, 316, Р 3 (г 3) = о.

    30

    P0 (t0) 1

    P1 (t1)

    P2 (t2)

    P3 (t3) 05

    P (t)

    0-

    20 40 60 80 t0, t1, t2, t3, t

    100

    Мал. 1. Імовірність процесу зайнятості

    На малюнку 1 графічно показано зміна ймовірностей процесу зайнятості за часом. Кожен відрізок прямої на малюнку відповідає обчисленої ймовірності на кінець відрізка. І якщо ми хочемо згладити контур кривої безперервної лінією ймовірності, то повинні з'єднати плавною лінією точку 1 на осі ординат з правими кінцями всіх відрізків, виключаючи найнижчий відрізок. При достатній кількості відрізків ця лінія повинна плавно переходити в нульову лінію - лінію абсцис. На даному малюнку при обліку тільки двох субфракталов виконати плавне з'єднання з віссю абсцис неможливо і криву доводиться обривати, не досягаючи осі. На малюнку прямий пунктирною лінією представлений графік ймовірності того, що подія, яке визначається заданим рівномірним розподілом в прикладі з щільністю ймовірності f (:) = dunif (х, а, Ь), а = 0,

    Ь = 100 од. і формулою Р (:) = 1 -1 f (г) dz, не може відбутися. Ця лінія до-

    0

    статочно добре апроксимується кінцями відрізків ймовірностей базового фрактала і другого субфрактала. Це підтверджує правильність виконаної фрактальної апроксимації заданого розподілу ймовірностей на основі послідовного гіперфрактального розподілу.

    Оцінку ефективності фрактального прогнозу можна зробити по ресурсу Н. М. Седякин. Тут величина ресурсу - це критерій важливості, або ваги, фрактала. Ресурс за час: визначається за формулою г (:) =

    f X (z) dz, X (t) = ^.

    0 P (t)

    Тимчасові інтервали зайнятості: 0 = 0; : 1 = 33,33;: 2

    = 55,5; : 3 = 64,2. Остаточний часовий інтервал: > 64,2. Фрактальні (прогнозовані) ресурси г0 (0) = 0; г1 (: 1) = 0,334; г2 (: 2) = 0,555; Г3 (: 3) = = 0,642. Сумарний фрактальний ресурс 1,531. Залишковий ресурс г (: > 64,2) = 0,358. Повний ресурс 1,889. Частка фрактальних ресурсів 1,532 / 1,889 = 81,048%. Частка залишкового ресурсу 0,358 / 1,889 = 18,952%. Таким чином, визначення базового фрактала і двох субфракталов для розглянутого розподілу ймовірності оцінюється 81,048%, т. Е. Рівнем ефективності. Це, на наш погляд, досить хороша оцінка.

    Виконаємо оцінювання важливості фракталів прикладу за критерієм щільності ймовірності випадкової величини ентропії [11]. Для цього по

    обчисленим можливостям для фракталів знайдемо середні значення ентропії Н, її другий початковий момент а й середньоквадратичне відхилення а. Значення вказаних величин наведені в таблиці 1.

    Таблиця 1. Характеристика фракталів

    р Н а 5

    0,667 0,636 0,512 0,328

    0,519 0,692 0,481 0,046

    0,316 0,624 0,518 0,484

    0 0 0,008 0,092

    Виконаємо апроксимацію щільності ентропії нормальним розподілом:

    & (*) =

    З

    (* -Н Г

    'За22

    (10)

    ла

    де С - константа нормування щільності.

    На малюнку 2 приведені графіки трьох щільності ймовірностей для перших трьох рядків таблиці 1. З малюнка слід, що перший субфрактал прикладу має найбільшу значимість, або вага. Дійсно, грубе оцінювання значень показника концентрації величини ентропії (інформації) фракталів I за даними таблиці 1 і малюнка 2 призводить до слідую-

    щим результатами: фрактал Ф (перший рядок таблиці і нульовий графік щільності малюнка 2) - I = 5,21; перший субфрактал Ф1 (другий рядок таблиці і перший графік щільності малюнка 2) -I = 9,031; другий субфрактал Ф2 (третій рядок таблиці і другий графік щільності малюнка 2) - I = 4,502.

    §у20)

    \

    Мал. 2. Щільність ймовірностей рядків таблиці

    е

    3. Вплив величини порогової константи в інтегральному рівнянні для знаходження фракталів послідовного гіперфрактального розподілу

    З інтегральних рівнянь (2) - (4) випливає, що тривалість таким чином певних фракталів (безперервних кластерів) в дослідженні інформаційних процесів повинна мати певну утримуючи-

    тільну вагомість, або важливість, а ймовірність їх появи на осі абсцис говорить про шанси впливу на інші пов'язані з ними процеси. Тому знання протяженностей цих фракталів і ймовірностей їх появи важливо для дослідника при вирішенні поставлених перед ними завдань.

    Значить доцільно ставити питання про те, які базові фрактали по їх параметрами слід віддавати перевагу і як намагатися досягти цього.

    Формалізація поставленого завдання. В інтегральних рівняннях (3), (4) за умови, що щільність ймовірності досліджуваного процесу / (х) відома, можна відповісти на поставлене запитання зміною тільки єдиною порогової константи - одиниці. Спробуємо замінити її константою І, змінною в деяких межах. Для простоти рішення задачі введемо Б = 0,5; 1,0; 1,5. Далі задамося деяким конкретним розподілом ймовірності з щільністю / (х) і графічно отримаємо рішення тільки для базового фрактала.

    Приклад 1. Нехай приходить інформація розподілена за нормальним законом і задана щільністю ймовірності / (х) = (1погт (х, т,<5), т = 100 од., А = 20 од. Позначимо порогову константу В, яка може приймати три значення: 0,5; 1,0; 1,5. Тоді рівняння (2) можна представити системою рівнянь:

    А0 (х) = jtrunc

    про

    зі

    А \ {х) = J

    про

    а

    А2 {х) = J

    trunc

    уХ;

    f2 ^

    \ х

    trunc

    про

    \ Х J

    f (z) dz - D0 (x) = 0, D0 (x) = 0,5; / (Z) dz - D \ (x) = 0, D \ (x) = 1,0; f (z) dz - D2 (x) = 0, D2 (x) = 1,5.

    (І)

    z 1 »vi 1 1 1

    е 1 1 + 1

    | A a a l -.- a 1

    0 20 40 60 80 100

    Мал. 3. Графічне рішення

    До системи (11) додамо ще рівняння нульової лінії О (х) = 0. Далі знайдемо графічне рішення (11), яке представлене на малюнку 3.

    На перетині всіх трьох графіків з нульовою лінією малюнка 3 знайдемо шукані рішення для величин базових фракталів при обмеженнях 1) / (х), / = 1 - 3, Ф 0 = 77,6 од., Ф1 = 66,5 од., Ф2 = 49,8 од. При цьому всі А / (Ф /) = 0, 1 = 0-2 визначені практично з досить високою точністю. з рисун-

    ка 3 випливає, що найбільш результативним за тривалістю є базовий фрактал, отриманий при найнижчому значенні порога В = 0,5, а найменш результативним - базовий фрактал при найбільшому значенні порога В = 1,5.

    Оцінимо величину ентропії базового фрактала при тих же значеннях порога обмеження. Для цього спочатку визначимо ймовірність охоплення про-

    X

    тяжіння кожного фрактала за формулою Q (х) = | / (г) dz. потім по

    про

    знайденим можливостям знайдемо середню величину, другий початковий момент і середньоквадратичне значення ентропії кожного фрактала. За цими характеристиками і при апріорно прийнятому умови про нормальний розподіл випадкової величини ентропії знайдемо закони розподілу ентропії для певних базових фракталів. Чисельні значення зазначених характеристик представлені в таблиці 2.

    Таблиця 2. Чисельні значення характеристик фракталів

    В Q Н а 5

    0,5 0,31 0,388 0,558 0,666

    1,0 0,047 0,190 0,442 0,637

    1,5 0,006 0,037 0,157 0,395

    На підставі цих значень складені графіки щільності ймовірностей і функцій розподілу випадкової величини ентропії для трьох базових фракталів при різних порогових величинах У (рис. 4, 5). Можна зробити висновок, що найбільш інформативним (менш значущим за величиною ентропії) є значення порогового обмеження В = 0,5, якому поступаються В = 1, В = 1,5. Це слід брати до уваги для отримання найкращого результату.

    Мал. 4. Щільність ймовірностей Рис. 5. Функція розподілу ймовірностей

    Приклад 2. Визначення величини базового фрактала з рівномірним розподілом f (x) = dunif (x, а, ред), a =

    = 0 од., Ред = 100 од. при тих же порогових обмеженнях В = 0,5; 1,0; 1,5. Проробивши викладки, аналогічні прикладу 1, отримаємо графічні характеристики, наведені на малюнку 6.

    Чисельні значення зазначених характеристик представлені в таблиці 3. Вони отримані з тих самих виразів, які були використані в прикладі 1.

    Таблиця 3. Чисельні значення характеристик фракталів

    D Q H a S

    0,5 0,50 0,693 0,48 0,50

    1,0 0,34 0,641 0,51 0,314

    1,5 0,25 0,562 0,543 0,476

    Малюнки 7 і 8 показують, що найбільш інформативним (менш значущим за величиною ентропії) є значення порогового обмеження В = 0,5, якому поступаються В = 1, В = 1,5. Однак у порівнянні з графіками прикладу 1 все три криві розташовуються ближче один до одного. Другі функції щільності і розподілу на малюнках 7 і 8 розташовуються більш опукло в порівнянні з аналогічними функціями на малюнках 4 і 5. Це можна пояснити тим, що нормальний закон розподілу в порівнянні з рівномірним законом розподілу є більш «важким».

    Мал. 7. Щільність ймовірностей Рис. 8. Функція розподілу ймовірностей

    _ 2i-1-1-1-1-

    0 20 40 60 80 100

    х

    Мал. 6. Графічне рішення

    висновок

    Математична модель, запропонована в статті, може знайти застосування в різних прикладних наукових дослідженнях. Наприклад, гіперфрактальное розподіл дозволяє представляти сучасні системи числення у вигляді сукупності фракталів, вводити нові системи числення для моделювання процесів і застосовувати їх у вивченні проблем теорії інформації. Фактично воно застосовно до моделювання процесів будь-якої фізичної природи - матеріальної або інформаційної. Воно дозволяє вивчати різні випадкові процеси з метою збільшення точності їх пізнання. Є досить привабливим для метрології [12], теорії ефективності.

    Фрактали, теорія фракталів в даний час застосовуються при описі різних явищ - від біологічних до квантово-механічних [13-18]. На підставі знайомства з окремими працями цієї теорії в статті запропонована математична модель надання процесів на основі послідовного гіперфрактального розподілу. Вона спирається на елементи теорії квантування інформації і на гіпердельтное розподіл ймовірностей, раніше запропонованої авторами. Для моделювання послідовності фракталів розподілів ймовірностей запропоновано нелінійне інтегральне рівняння. Ядро цього рівняння представлено в целочисленном вигляді. В результаті послідовного вирішення рівняння знаходяться базовий фрактал і похідні від нього субфрактали (кластери). Величина і зміст кожного фрактала можуть вивчатися для оцінювання його важливості, інформативності і т. Д.

    У статті було поставлено питання про вплив зміни порогової константи в інтегральному нелінійному рівнянні, що застосовується для знаходження базового фрактала при заданої функції розподілу кількості інформації, що надходить. Приймалися значення порогової константи 0,5; 1,0; 1,5. Показано, що менше значення константи призводить до збільшення протяжності базового фрактала, більшого значення - до її зменшення. Якщо протяжність фрактала пов'язувати з кількістю інформації, яка залежить від неї, це може представляти інтерес для дослідника. У разі протиборства двох сторін інтерес їх різний. І він виправдовує вибір базового фрактала і субфракталов по-різному. Дане питання в статті не розглядався. Розглянуто два приклади з нормальним і рівномірним розподілом кількості інформації, що надходить. Встановлено, що при нормальному розподілі вказаний ефект по протяжності базового фрактала більш виражений, ніж при рівномірному розподілі, так як нормальний розподіл є більш «важким» і значущим для визначення невизначеності кількості інформації.

    Величина базового фрактала може служити основою для визначення довжин субфракталов послідовного гіперфрактального розподілу при вирішенні прикладних задач. При цьому при побудові певної стратегії дії з метою досягнення успіху оператор може навіть в одному розкладанні на свій розсуд змінювати величину порогової константи. Найпростіший приклад - в ігровій ситуації двох протидіючих одна одній сторін. Модель може знайти застосування в метрології, теорії інформації, теорії ефективності і в рішенні конкретних прикладних задач детермінованою або випадковою спрямованості; на її основі можуть бути отримані і нові результати в теорії фракталів.

    бібліографічний список

    1. Ахметханов Р. С. Застосування теорії фракталів та вейвлет-аналізу для виявлення особливостей часових рядів при діагностиці систем // Вісник науково-технічного розвитку. - № 1 (17). - 2009. - C. 26-31.

    2. Антонов В. І., Загайнов А. І., Ву ван Куанг. Автоматизоване програмне забезпечення для численних мультифрактального досліджень // Науково-технічні відомості Санкт-Петербурзького державного політехнічного університету. - 2013. - № 2 (169). - C. 71-77.

    3. Безручко Б. П., Смирнов Д. А. Математичне моделювання та хаотичні тимчасові ряди. - Саратов: ГосУНЦ «Коледж», 2005. - С. 320.

    4. Кратчфилд Д. П., Фармер Д. Д., Паккард Н. Х., Шоу Р. С. Хаос // Світ науки. -№ 2. -1987. - С. 16-28.

    5. Шустер Г. Детермінований хаос: введення // пров. з нім. - М.: Мир, 1988. - 253 с.

    6. Feder J. Fractals. - N. Y.: Springer, 1988. - 254 p.

    7. Mandelbrot B. B. Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. - Paris: Flammarion, 1975. - 190 p.

    8. Смагін В. А Моделювання випадкових процесів на основі гіпердельтного розподілу / В. А. Смагін, Г. В. Філімоніхін // Автоматика і обчислювальна техніка. - 1990. - № 5. - С. 25-31.

    9. Бубнов В. П. Застосування гіпердельтного розподілу в імітаційних моделях мікропроцесорних систем управління і діагностики електровозів / В. П. Бубнов, В. І. Сафонов, С. А. Сергєєв // Вісник Всеросійського науково-дослідного і проектно-конструкторського інституту електровозобудування . - 2015. - № 1 (69). - С. 39-47.

    10. Смагін В. А. Технічна синергетика. Імовірнісні моделі складних систем. СПб., 2004. - 171 с.

    11. Андронов А. М., Бокоєв Т. Н. Оптимальне в сенсі заповнення квантування інформації // Изв. АН СРСР. Технічна кібернетика. - 1979. - № 3. - С. 154-158.

    12. Дорохов А. Н. Метрологічне забезпечення експлуатації озброєння і військової техніки: підручник / 10 авт. ; під ред. А. Н. Миронова. - СПб., 2009. - 755 с.

    13. Захаров А. І., Загайнов А. І. Реалізація програмного комплексу для обчислення фрактальних параметрів складних систем // Інтелектуальні технології на транспорті. - 2015. - № 2. - С. 47-53.

    14. Falconer K. Fractal geometry. - UK: Univ. St. Andrews, 2003. - 335 р.

    15. Потапов А. А. Фрактали і дробові оператори в обробці інформації фундаментальне напрямок синергетики // Известия ПФУ. Технічні науки. - 2011. -№ 6. - C. 30-40.

    16. Li H. Fractal analysis of side channels for breakdown structures in XLPE cable insulation // J. Mater. Sci .: Mater. Electron. Springer Sci. 2013. - No 24. - РP. 1640-1643.

    17. Martinez C. A. T., Fuentes C. Chapter 1. Applications of Radial Basis Function Schemes to Fractional Partial Differential Equations // Mathematics Fractal Analysis - Applications in Physics, Engineering and Technology / ed. F. Brambila 2017.

    18. Agboola O., Onyango M. S., Popoola P., Oyewo O. A. Chapter 10. Fractal Geometry and Porosity // Mathematics Fractal Analysis - Applications in Physics, Engineering and Technology / ed. F. Brambila. - 2017.

    Vladimir A. Smagin

    A. F. Mozhaysky Military Space Academy, Department of Metrological Support

    Vladimir P. Bubnov «Information Technology Systems» department Emperor Alexander I St. Petersburg state transport university

    Mathematical model of determinated and random processes in the form of consistent hyperfractal distribution

    A mathematical model for representing deterministic and random processes in the form of a sequence of fractals is proposed. It is based on a information quantization model and a hyperdelta probability distribution. To form a sequence, a nonlinear integral equation with an integer kernel is proposed. It is used to determine basic fractal and subfractals (clusters). An example for uniform distribution is considered. The probabilistic and entropy properties of the decomposition components are evaluated. The influence of the threshold constant in the nonlinear integral equation, which is used to find the value of the base fractal, on its extent is determined. The fractal length is an important characteristic on which the amount of information placed in the fractal on the known law of its distribution depends. The answer to this question is given by examples with two probability distributions. The research results are recommended for use in metrology, information theory and efficiency theory.

    nonlinear integral equation, basic fractal, constant and its value, graphical and numerical solution, distribution of the amount of information, the length of the fractal.

    References

    1. Ahmethanov R. S. (2009) Application of fractal theory and wavelet analysis to identify the characteristics of the time series in the diagnosis of systems [Primenenie teorii fraktalov i vejvlet-analiza dlya vyyavleniya osobennostej vremennyh ryadov pri diag-nostike system]. Bulletin of scientifictechnical development [Vestnik nauch-notekhnicheskogo razvitiya]. - No 1 (17). - Pp. 26-31.

    2. Antonov V. I., Zagajnov A. I., Vu van Kuang. (2013) Automated software for numerical multifractal research [Avtomatizirovannoe programmnoe obespechenie dlya chislennyh multifraktalnyh issledovanij]. Scientific and technical Bulletin of St. Petersburg state technical University [Nauchnotekhnicheskie vedomosti Sankt Peter-burgskogo go sudar stvennogo politekhnicheskogo universiteta]. - No 2 (169). -Pp. 71-77.

    3. Bezruchko B. P., Smirnov D. A. (2005) Mathematical modeling and chaotic time series [Matematicheskoe modelirovanie i haoticheskie vremennye ryady]. Saratov: Gosunts «College» [Saratov: GosUNTS. Kolledzh]. - Pp. 320.

    4. Kratchfild D. P., Farmer D. D., Pakkard N. H., SHou R. S. (1987) Chaos [Haos] (1987) World of Science [V mire nauki]. No 2. - Pp. 16-28.

    5. SHuster G. (1988) Deterministic chaos: an introduction [Determinirovannyj haos vvedenie], per. s nem. - Moscow: Mir. - 253 p.

    6. Feder J. Fractals. - N. Y.: Springer, 1988. - 254 p.

    7. Mandelbrot B. B. Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension. - Paris: Flammarion, 1975. - 190 p.

    8. Smagin V. A., Filimonihin G. V. (1990) Simulation of random processes on the basis of hyperculture distribution [Modelirovanie sluchajnyh protsessov na osnove gi-perdeltnogo raspredeleniya]. ED [AVT]. - No 5. - Pp. 25-31.

    9. Bubnov V. P., Bubnov V. P., Safonov V. I., Sergeev S. A. (2015) Application hyperculture distribution of simulation models of microprocessor control systems and diagnostics of the electric [Primenenie giperdeltnogo raspredeleniya v imitatsionnyh modelyah mikroprotsessornyh sistem upravleniya i diagnostiki ehlektrovozov]. Bulletin of all-Russian scientific research and design Institute of electric locomotive engineering [Vestnik Vserossijskogo nauchno issledovatelskogo i proektnokon-struktorskogo instituta ehlektrovozostroeniya]. - No 1 (69). - Pp. 39-47.

    10. Smagin V. A. (2004) Technical synergy. Probabilistic models of complex systems [Tekhnicheskaya sinergetika. Veroyatnostnye modeli slozhnyh system]. - St. Petersburg. -171 p.

    11. Andronov A. M., Bokoev T. N. (1979) Optimal in the sense of filling information quantization [Optimalnoe v smysle zapolneniya kvantovanie informatsii]. WPI. USSR Academy of Sciences. Technical cybernetics [Izv. AN SSSR. Tekhnicheskaya kiber-netika]. - No 3. - Pp. 154-158.

    12. Dorohov A. N. (2009) Metrological support of the operation of weapons and military equipment [Metrologicheskoe obespechenie ehkspluatatsii vooruzheniya i voennoj tekhniki uchebnik], 10 auth., Ed. A. N. Mironova. - St. Petersburg. - 755 p.

    13. Zaharov A. I., Zagaynov A. I. (2015) Implementation of programstion of the complex to calculate the fractal parameters complex systems [Realizatsiya programmnogo kompleksa dlya vychisleniya fraktalnyh parametrov slozhnyh system]. Intelligent technologies for TRANSPORT [Intellektualnye tekhnologii na transporte]. - No 2. -Pp. 47-53.

    14. Falconer K. Fractal geometry. - UK: Univ. St. Andrews, 2003. - 335 p.

    15. Potapov A. A. (2011) The fractals and fractional operators in the developing information fundamental direction sinergitiki [Fraktaly i drobnye operatory v obrabotke in-formatsii fundamentalnoe napravlenie sinergetiki]. Izvestiya SFedU. Engineering science [Izv. YUFU. Tekhnicheskie nauki]. - No 6. - Pp. 30-40.

    16. Li H. Fractal analysis of side channels for breakdown structures in XLPE cable insulation, J. Mater. Sci .: Mater. Electron. Springer Sci. 2013. - No 24. - Pp. 1640-1643.

    17. Martinez C. A. T., Fuentes C. Chapter 1. Applications of Radial Basis Function Schemes to Fractional Partial Differential Equations, Mathematics Fractal Analysis -Applications in Physics, Engineering and Technology, ed. F. Brambila 2017.

    18. Agboola O., Onyango M. S., Popoola P., Oyewo O. A. Chapter 10. Fractal Geometry and Porosity, Mathematics Fractal Analysis - Applications in Physics, Engineering and Technology ed. F. Brambila. - 2017.

    Стаття представлена ​​до публікації членом редколегії В. А. Ходаковським Надійшла до редакції 30.01.2019, прийнята до публікації 22.02.2019

    Смагін Володимир Олександрович - заслужений діяч науки Російської Федерації, доктор технічних наук, професор кафедри метрологічного забезпечення, озброєння, військової і спеціальної техніки Військово-космічної академії ім. А. Ф. Можайського;

    e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    БУБНОВ Володимир Петрович - доктор технічних наук, професор кафедри «Інформаційні та обчислювальні системи» Петербурзького державного університету шляхів сполучення імператора Олександра I;

    e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    © Смагін В. А., Бубнов В. П., 2019


    Ключові слова: Нелінійних інтегральних рівнянь / БАЗОВИЙ фрактал / Константа І ЇЇ ВЕЛИЧИНА / ГРАФІЧНЕ І ЧИСЕЛЬНЕ РІШЕННЯ / РОЗПОДІЛ КІЛЬКОСТІ ІНФОРМАЦІЇ / ПРОТЯЖНІСТЬ фрактал / NONLINEAR INTEGRAL EQUATION / BASIC FRACTAL / CONSTANT AND ITS VALUE / GRAPHICAL AND NUMERICAL SOLUTION / DISTRIBUTION OF THE AMOUNT OF INFORMATION / THE LENGTH OF THE FRACTAL

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити