Розглядається комбінаторна математична Модель багатокритеріальної оптимізації, використовувана при побудові комп'ютерних мереж. Запропоновано новий підхід для вирішення даного типу завдань, заданих на конфігурації сполучень, з урахуванням їх подання у вигляді графа.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Колєчкіна Л.М., Нагірна А.М.


A combinatorial mathematical model of multi-criteria optimization used under the construction of computer networks is considered in this paper. It is proposed a new approach to solve this type of problems defined on configuration of interfaces, taking into account their representation as a graph.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2016


    Журнал: Інститут проблем математичних машин і системи


    Наукова стаття на тему 'Математична модель багатокритеріальної оптімізації на множіні сполучень при побудові комп'ютерних мереж'

    Текст наукової роботи на тему «Математична модель багатокритеріальної оптімізації на множіні сполучень при побудові комп'ютерних мереж»

    ?УДК 519.8

    Л.М. КОЛеЧКША *, А.М. НАГ1РНА **

    Математична МОДЕЛЬ БАГАТОКРІТЕРIАЛЬНОI ОПТІМIЗАЦII НА МНОЖІН1 сполучення ПРИ ПОБУДОВ1 КОМП'ЮТЕРНИХ МЕРЕЖ

    Полгавській yHIBepcHTeT економші i торпвлл, Полтава, прикрашені

    1нстітут шбернетікі IMeHI В.М. Глушкова НАН, КШВ, Украша_

    Анотація. Розглядаеться комбтаторна математична модель багатокрітер1альног оптим ^ зацІ, что вікорістовуеться при побудов1 комп'ютерних мереж. Предложено новий nidxid для розв'язання даного типу завдань, завдань на конфiгурацii сполучень, з урахуванням ix представлення у виглядi графа.

    Ключов1 слова: граф, тдграф, функщя, модель, багатокрітерiальна оптімiзацiя, конфiгурацiя сполучень, генерування, мережа, вершина, локалiзацiя.

    Анотація. Розглядається комбінаторна математична модель багатокритеріальної оптимізації, яка використовується при побудові комп'ютерних мереж. Запропоновано новий підхід для вирішення даного типу завдань, заданих на конфігурації сполучень, з урахуванням їх подання у вигляді графа.

    Ключові слова: граф, підграф, функція, модель, багатокритеріальна оптимізація, конфігурація поєднань, генерування, мережа, вершина, локалізація.

    Abstract. A combinatorial mathematical model of multi-criteria optimization used under the construction of computer networks is considered in this paper. It is proposed a new approach to solve this type ofprob-lems defined on configuration of interfaces, taking into account their representation as a graph. Keywords: graph, undirected graph, function, model, multi-criteria optimization, configuration of interfaces, generation, network, apex, localization.

    1. Вступ

    Одшею з важлівіх завдань Украши на шляху до европейського шформацшного сустльства виступали побудова цифрово! шфраструктурі, основним Показники яко'1 е 1нтернет, его корістувач1 i можлівосп доступу. Дослщження, спрямоваш на пщвіщення продуктівнос-т пращ комп'ютерних мереж, стосують протокольних засобiв вщ фiзичних до ятері-вого рiвнiв моделi взаемодп в комп'ютерних мереж [1, 2]. Альо юнуе ряд способiв тдвіщення продуктівносп комп'ютерних мереж, зокрема, использование технологи штелекту-альних антен, змша теріторiального Розташування станцш, розняття сигналу по поляри-зацп, использование технологи, об'єднання каналiв, использование багатоканального багато-штерфейсного режиму роботи, забезпечення ефективного маршруту передачi шформацп [1, 3-7]. У зв'язку c ЦІМ е актуальним представлення математично! моделi i методу ii розв'язання, яка могла б буті покладаючи в основу оптімiзацii роботи комп'ютерних мереж. З щею метою е доцшьнім застосуваті математічш моделi багатокрітерiальноi оптімiзацii на комбiнаторніх конф ^ уращях, якi широко Використовують як формальш моделi реа-льних систем.

    Дана робота продовжуе дослщження роб ^ [2, 7-10], в якіх опісуються моделi когось бшаторно! та векторно! оптімiзацii, пiдході до розв'язання та ix! застосування при реалiза-цп прикладних задач. Зокрема, в роботi опісуеться! Застосування нового пщходу до розв'язання комбшаторніх завдань локалiзацii функцп на комбшаторнш конф ^ урацил сполучень [11-13], для яко'1 визначили графові дерево [2].

    © Колечшна Л.М., Нагiрна А.М., 2016

    ISSN 1028-9763. Математічш машини i системи, 2016, № 4

    2. Постановка математічноТ модел1 задач1

    Для постановки математічно'1 моделi задачi сформулюемо суть дослщжувано! проблематики: при проектуванш комп'ютерних мереж необхiдно враховуваті 1'х складаний багаторiв-Неву арх ^ ектуру, в якiй рiвнi технологічно! iерархii е накладення мережами i використо-вують рiзнi технологи. Важлівім аспектом при функщонуванш комп'ютерних мереж е оптімiзацiя і ресурсiв. Особливо гостре питання оптімiзацii роботи мережi сто'1'ть, коли при вірiшеннi завдань необхщно Передат iнформацiя, зокрема, візначіті фiзічнi i логiчнi зв'язки мiж елементами на рiзних рiвнях системи, забезпечен при цьом сумiснiсть рiзних комп'ютерних технологш i мереж. З щею метою доцiльно вікорістаті математичний апарат векторно'1 комбшаторно! ' оптімiзацii [11-18].

    Отже, е доцшьнім представіті описание багаторiвневоi комп'ютерно'1 системи за до- допоміг структурного графа на комбшаторніх конфiгурацiях, Який складаеться з тдгра-фiв [2]. ВРАХОВУЮЧИ показатели ефектівносп роботи комп'ютерних мереж, якi можна візначіті лшшнімі функцiю, модель задачi е задачею багатокрітерiальноi комбшаторно'1 оптімiзацii на комбiнаторніх конфiгурацiях [8].

    На пiдставi встановлення взаємозв'язку мiж завданнями оптімiзацii на комбiнаторніх конф ^ уращях та графами многограннікiв комбiнаторніх конф ^ урацш Використовують деякi структурнi властивостi допустимо! областi, сформульовано ряд тверджень [2, 8-9], яю можна застосуваті для побудова методу розв'язання комбшаторно! ' задачi з викорис-танням граф? в 1 для вір1шення прикладних задач оптшупзацп роботи комп'ютерних мереж.

    Введемо необхщш Поняття. Нехай дано множини А '= (1,2, ..., і). Сполучення без повторень з п елеменпв по г це г -елементна шдмножіна множини А! . Оскшькі порядок запису елеменпв множини неютотній, то запішемо елементи в кожному сполученш у порядку зростання. Сполучення (а ^, а ^, ..., аг) розглядатімемо як рядок чисел а-у, а 2, ..., аг,

    де а ^<а2< |||<аг. З "- кшькють УАХ сполучень без повторень з п елеменпв по г, де п, г - додатш ЦШ числа, причому г <п. За данім сполучення можна найти Наступний, вщ-повiдно до лексікографiчного порядку, сполучення, что i буде Використано в подалі вікладi матерiалами.

    Розглянемо таку математичного модель завдання візначіті набiр функцiй, якi Оптима зують деяю характеристики роботи комп'ютерних мереж:

    р т п

    Гм {х) = тах ^ X 2>?4, (1)

    хвЯ? = 1 г = 1 у = 1

    де // = 1 ... 5 при комбшаторнш умов1, яка враховуе сполучш властівосп облаем допусти-мих розв'язкiв задачi:

    х ~ (Х1Ь •>х1 «> х1р>-~> ХТР) е тр (Сг), (2)

    i при Додатковий условиях, что могут Вiдображати iнтенсівнiсть надходження вiд користу-вачiв запітiв на Резервування пропускно'1 здатностi каналу для передачi потоюв шформа-ци:

    т

    Т<ауху - '1, де * е е, де Г = РТП; (3)

    г = 1

    Пропускна здатшсть каналу для потоку шформаці, что Надходить на передачу по каналу комп'ютерноТ мереж1, / е ./ ",, / е ./":

    Чтш ^ <ij ^? / max; (4)

    число, что обмежуе кшьюсть запітiв на передачу n0T0KIB шформаці, якi знаходяться в ка-нальнш 4ep3I:

    p {t) = min (/>? (Tj). (5)

    Представлена ​​вищє модель задачi (1) - (5) е моделлю багатокрш ^ ально'1 оптімiза-ци на комбiнаторнiй конф ^ урацил сполучень i дае можливiсть оптімiзуваті характеристики роботи комп'ютерних мереж та заощадіті ресурси тдпріемства чи оргатзаці. Безу-мовно, при розв'язування конкретно! практічно'1 задачi кiлькiсть функцш цiлi может змшю-ватися, а такоже могут корігуватіся додатковi умови.

    Для подальшо'1 реалiзащi дано! багатокрш ^ ально'1 моделi розглянемо побудову послiдовностi значень лшшніх цiльовіх функцiй по точках конфтураці сполучень, РОЗКОМ-Ладен по тдграфах. З точки зору економшо-математичних методiв, е доцiльнім розгля-нути завдання комбшаторно! оптімiзацii увазі

    Z (F, Р): max {F (x, c) \ х е Р, з е З}, яка полягае в максімiзацii функцiй F (a) на комбшаторнш конф ^ урацил сполучень

    п

    е smp (G), де F (x, c) = (с, х) = Z cixi |

    i- \

    Такоже травні сенс Розглянуто задачу, де значення щльово! функцп перебувае в? нтер-вал1 F {x) < F (x) < F (x). Тод1 попередня задача буде набуваті такого вигляд: візначіті J = arg шах F (x) При у = F (x),

    Хеп (А)

    х = arg max F (x) При у = F (x) Хеп (А)

    при yMOBi \ х - х | -min .

    Така модель задачi дозволяе найти дiапазон пропускна! здатностi в СУЧАСНИХ комп'ютерних мереж.

    Важлівою задачею, яка может вінікаті при побудовi моделi оптімiзацii комп'ютерних мереж, может буті математична модель залежносп мiж елементами конф гураці сполучень за значенням лшшно'1 цшьово'1 функціонально, что вщображае упорядкування корістувачiв у комп'ютернш мережi.

    Тодi е доцiльнім Розглянуто елементи конф ^ раці сполучень як точки арифметич-ного евклiдового простору Rn або вершини структурного графа i завдання (1), (2) может буті представлена ​​в шшому математичного формат запису. Оптімiзацiйна завдання вигляд

    Z (0 (a), S * (A)): тах {Ф (а) | а е Skqn (A)}, (6)

    яка полягае в максімiзацii функціонально Ф (а) на комбiнаторнiй конф ^ урацил сполучень SП (A),

    і

    де Ф (а) = X cjxj при Додатковий обмеження (3) - (5). у = 1

    Для реалiзацii вищє сформульованіх математичних моделей задач доцшьно засто-Суват тдході, что грунтуються на властівостях комбшаторніх конф ^ рацш, та 1'х уявлення у виглядi графових структур [2, 9, 17, 18].

    Зокрема, застосуемо координатно метод, что Належить до класу методiв направле-ного структурування i описів в [2]. Даній метод предложено для однокрітерiальноi задачi з лiнiйною цiльовою функцiю, завдань на перестановках. Альо может буті Адапту-ваний i для моделей багатокрітерiальніх завдань на iнших конфшуращях.

    ВРАХОВУЮЧИ, что у загально випадка багатокрітерiальна завдання оптімiзацii - це завдання одночасно! оптімiзацii декiлькох цшьовіх функцiй на множінi допустимих розв'язюв, то у багатокрітерiальніх завданнях вщшукання розв'язки почти всегда проводитися у межах компромiсiв або розв'язюв, оптимальних за крітерiем Парето.

    Найбшьш розповсюдженi методи розв'язання багатокрітерiальніх завдань можна роздшіті на такi групи:

    - зведення сукупносп локальних критеріїв (векторного крітерiю) до одного (скалярного крітерш) с помощью вагових коефiцiентiв, вибраних для шкірного критер ^ (при цьом бiльш важлівій крітерш отрімуе бiльшу Вагу);

    - оптімiзацiя за одним скалярним крітерiем (найбшьш Вагомий) при включенш iнших критеріїв у систему обмежень;

    - мiнiмiзацiя вщхілень значень функцiй мети вщ найкращих значень за всiма кри-терiямі;

    - ранжування сукупностi критеріїв i послiдовна оптімiзацiя за шкірних iз них.

    Джерелом додатковоi шформаці относительно Вибори методу розв'язання багатокрі-

    терiальноi задачi виступали особа, что прийомів ршення (ОПР). 1накше Кажучи, Ефективний план, Який пріймаеться за розв'язок багатокрітерiальноi завдань ^ вібіраеться згщно з системою перевага ОПР, яка уточнюеться або навть лишь формуеться у процес розв'язування конкретноi задачi. Таким чином, поиск розв'язки багатокрітерiальноi задачi проводитися у виглядi дiалогу (в iнтерактівному режімi) з ОПР, яка Несе вщповщальшсть за обраності ршення та его наслщкі. Тому для розв'язання запропонованоi задачi застосуемо зведення й до скалярного вигляд.

    Для зведення локальних критеріїв до скалярного виду застосовують метод рiв-номiрноi оптімiзацii i метод згортання критеріїв.

    Отже, на початкових етат розв'язування задачi (1) - (5) слiд звесті завдання або до однокрітерiальноi зазначеним вищє методами, або застосовуваті запропонованій нижчих метод окремо до кожно'1 функціонально, об'єдналися при цьом отрімаш розв'язки.

    3. координатно метод локал1защт значень л1н1йніх функцій, завдань на конф1гура-ЦГТ 'сполучень

    Для Подальшого викладу методу візначімо структуру конф ^ урацил сполучень та можлівi варiанті генерування П елементiв. Застосуемо один iз методiв генерування конф ^ урацил сполучень, Який дае можливiсть, у залежносп вiд складностi задачi, представіті елементи комбiнаторноi конфiгурацii у виглядi графа i описів в [2]. Даній метод генерування по-брикатися у віборi елементiв з заданоi упорядкованоi множини за зростанням, тобто вібіра-ються елементи для прикладу по два: перший - другий; перший -третш; перший - четвертої i т.д. Таким чином будует верхнш пiдграф Загальна графа послщовносп, далi -інші - третш; другий - четвертий i т.д.

    С помощью даного тдходу до генерування елеменпв комбiнаторноi конфшураці сполучень можна зобразіті елементи конфшураці у виглядi графового дерева. Дані дерево можна представіті у виглядi Расписание на тддерева, тодi Кожне пiддерево формуеться з вершин, в якіх елемент на последнего мющ фшсуеться i е Вибране з початковоi множини а1, а2, ..., ап як максимальний, а остаіш перебіраються рекурсивним методом.

    Слщ Зазначити, что данє дерево е орiентованім, в якому визначення Корш - вершина, яка е лексікографiчно бiльша останнiх. Таким чином отрімуемо орiентоване (спря-мований) дерево - аці ^ чний орграф (орiентованій граф, что НЕ мютіть ціклiв) - тієї, в якому тшькі одна вершина травні Нульовий натвстетнь входу, а вс iншi вершини ма ють на-пiвстепiнь входу 1. Формально дерево конф ^ раці сполучень визначаеться як скшченна множини одного або бшьше вузлiв.

    Такоже вiдмiтімо, что значення функціонально дерева сполучень у напрямку знизу вгору зростан, а зверху вниз - спадає з однакової штервалом при рiвномiрному розподш зна-чень коефiцiентiв, что обумовлено iерархiчною Будова дерева та лiнiйнiстю цшьово! функціонально. При цьом Поняття «верх» або «низ» ма ють стабшьній структурний змiст у вщно-шенш пiддерев i в рамках об'еднуючого дерева [2].

    Для Подальшого розв'язання поставленох задачi (1) - (5) візначімо таю правила:

    а) если в данш вершіш значення функціонально менше заданого, то дал1 треба шукати це значення в сусщнш вершіш, збшипуючі (п - 2), або (п -1) координату;

    б) если в дашй вершіш значення функщ! бшьше заданого, то дал1 треба шукати це значення в сусщнш вершіш, зменшуючі (п - 2), або (п -1) координату.

    Розв'язання задачi проводитися для вах тішв вершин дослщжуваного графа. Шкір-НШ вершіш графа, в залежносп вщ і типу, можна поставити у вщповщшсть СВШ пiдграф ^. На пiдграфi визначаеться тип вершини, пщ Яким розумiеться таке: если остання координата для вершин Усього пщграфа постшна, то передостання i та, что передуе 1й, змшю-ються вiд 6шьшо'1 можліво'1 координати до меншоi.

    Граф представляє ятір, де виток е Найвища i найшвша вершина, а стоком -найніжча i найправiша вершина. В мережi Кожна вершина визначаеться кодом (? 1,? 2, ..., 1 п), тобто номерами координати, яю потім будут переставлятіся.

    Для фшсованого типу вершин послiдовно для шкірного пщдерева знаходяться необ-х1дш вершини х, в якіх / (х) = у. Початкова вершину дерева Про ^ будемо назіваті вер-шиною-виток.

    Алгоритм поиска необхщноТ вершини для шддерева = 2, ..., п) можна подь лити на три етапи.

    Перший етап: побудова коду (що таке, означіті) початковоi вершини для .

    Другий етап: розгортання (что томиться пщ розгортанням) дерева вздовж координати

    хп-1-

    Третiй етап: розгортання дерева вздовж координати хп .

    Розглянемо детально Кожний етап.

    I. Нехай Вибравши тип вершини /2,...,/і), де \ іг2 і ... ИГИ = {1,2, ..., п}, та номер шддерева / '. Тод1 покладемо: Хі = г; хп_у = тах {Л ^ І \ хп}, хп_2 = ТГХ {видання \ п \ (хп_1, хп)}. УПО-рядкуемо числа {Мп \ {хп_2, хп_'хп)} по зростанню] \<] 2<Н Т ° Д1 xl = jiv х2 = М2, Л'З = 7 / з. Це 1 буде код головноТ вершини мереж1, Який будемо позначаті р \ або ц \. 06-чіслімо значення цiльовоi функціонально в цiй вершінi / (р \).

    II. Розглянемо в цьом код1 значення ху. (До - 1, 2, 3, 4) та упорядкуемо за спадання Х4 = / 4 > уз > / 2 > / |. Розгортанням графа вздовж координати х4 (або вниз) назвемо після довшсть транспозіщй / 4 <=> / 3/2 / \. яи, кр1м коду головноТ вершини, приводять до создания ще трьох кодiв, якi ми позначімо Р2, Рз та i запішемо один пiд одним. Щоб найти значення функщ! на ціх сполучення, необов'язково використовуват ва і координати. Достатньо найти р1зніцю значень функщй у сусщшх вершинах. Позначімо /? (А)

    номер miсця числа в код1 перестановки p \ (A = 1,2,3). Тод1 значення f (p2) буде менше f (p \) на величину Д | = (/ 4 - / 3) (с4 -? '(З)). У іншому множніку постшно буде величина С4, тому что у транспозиція всегда бере участь координата x4. Аналогiчно знаходімо одному та третю рiзніцi. Очевидно, что у процес Подальшого поиска необхщно використову-

    *

    вати тшькі ti сполучення, для якіх / (p?) > у .

    III. Розглянемо в код1 вершини р ^ (якові позначімо q \, (к = 1, 2, 3, 4) значення х5, х4, х3, х2, Х | та упорядкуемо ix за спадання х5 = j5 > / 4 > / 3 > / 2 > / |. Розгортанням графа вздовж координати Х5 (або праворуч) назвемо послiдовнiсть транспозіцiй j5 <=> / 4 Уз «/ 2 <=> / |. яю, KpiM коду головноТ вершини, повінш привести до создания ще чотірьох кодiв, якi ми позначімо q2, q3, q4 та. Альо цi коди створюваті необов'яз-ково. Так само, як i при розгортанш графа вниз, значення функціонально f (q2) у вершінi q2 буде меншим вщ значення f (q \) на величину S ^ = (j5 -j4) (c5 -з ^^). За щею формулою знаходімо bci ihiiii р1зніщ. Послщовно вщшмаючі ?>д (4 > Л > 1) вщ / (q \), чи можемо отріматі дв1 такi ситуаци:

    *

    1. Нд значення функцiй бiльшi y. У цьом випадка Зміни в порядку до розгортання следующего коду Pk .

    * ... *

    2. На Деяк крощ А отрімаемо значення функціонально у вершіш, piBHe у (або менше * .

    y). У Першому випадка запам ятовуемо код вщповщно '' вершини. Зміни в порядку до розгор-

    __ ... *

    тання следующего коду p? -. При цьом кшьюсть кроів обмежуеться до X -1.

    ГПсля розгортання bcix p ^ Qc -1,2, ..., і) поиск необхщніх вершин шдграфа G? 3 фiксованім i закшчуеться. Далi проводяться необхiднi обчислення для вах пiдграфiв, ві-корістовуючі опісанi три етапи.

    Основна прюрітетшсть алгоритму поиска необхiдно вершин координатно методом полягае у зменшенш віконуваніх Обчислення, оскшькі обчислюють лишь рiзніцi значень функціонально, тодi як у горизонтальному методi Кожний раз необхщно обчіслюваті значення функціонально в новш вершінi i вщтворюваті код вершини. Крiм того, координатно метод дозволяе декшька модіфшацш, пов'язаних з Обчислення НЕ тшькі в кодах головного вершин (виток), а i симетрично пщходом вщносно вершин-стокiв та iн.

    4. Висновки

    У робот описано модель багатокрітерiальноi оптімiзацii на конф ^ раці сполучень, якові можна використовуват при проектуванш комп'ютерних мереж, что ма ють складаний бага-торiвневу архiтектуру. Сучасна комп'ютерна мережа характеризуєте сукупшстю рiзного роду новий ^ шх технологiй зв'язку, но особливо! уваги заслуговуе оптімiзацiя ii функщону-вання як на рiвнях апаратури i програмного забезпечення, так i в цшому в едінш системi взаемодш. Предложено модель забезпечуе описание багаторiвневоi комп'ютерно! системи с помощью структурного графа на комбшаторніх конфiгурацiях сполучень.

    Оскшькі ефектівшсть роботи комп'ютерно'1 'мережi характеризуєте значний кь лькiстю показніюв, то в роботi визначили цiльовi функціонально лiнiйнімі, а модель вважаеться багатокрітерiальною на конф ^ урацил сполучень.

    Встановлений взаємозв'язок мiж завданнями оптімiзацii на комбшаторніх конф ^ ура-цiях та графами многогранніюв комбiнаторніх конфiгурацiй забезпечуе использование

    структурних властівостей допустимо! област сполучень, представляючі граф у виглядi opieHTOBHoro дерева.

    Координатно метод лoкалiзацi! значення лшшно! функціонально, задано! на конф ^ урацил сполучень, забезпечуе знаходження оптимальних poзв'язкiв за скшченну кiлькiсть кpoкiв i Зменшення числа Обчислення у пopiвняннi з горизонтальним методом.

    Пoдальшi дoслiдження будут спрямоваш на знаходження Нових метoдiв розв'язання даного типу завдань, что моделюють кoмп'ютеpнi меpежi, на шшіх конф ^ урацил ях з мoжлівiстю! Застосування графових моделей.

    СПИСОК Л1ТЕРАТУРІ

    1. Koliechkina L.N. Modified Coordinate Method to Solve Multicriteria Optimization Problems on Combinatorial Configurations / L.N. Koliechkina, O.A. Dvernaya, A.N. Nagornaya // Cybernetics and Systems Analysis. - 2014. - N 4. - P. 154 - 161.

    2. Донець Г.П. Екстремальш задач1 на комбшаторніх конфнуращях / Г.П. Донець, Л.М. Колечкша.

    - Полтава: РВВ ПУЕТ, 2011. - 309 с.

    3. Akyildiz I.F. Wireless mesh networks: a survey / I.F. Akyildiz, X. Wang, W. Wang // Computer Networks. - 2005. - Vol. 47, N 2. - P. 445 - 487.

    4. Capone A. Multi-Layer Network Design with Multicast Traffic and Statistical Multiplexing / A. Capone, G. Carello, R. Matera // IEEE Global Telecommunications Conference (IEEE GLOBECOM). -Washington, USA, 2007. - Р. 2565 - 2570.

    5. Chiang M. Balancing Transport and Physical Layers in Wireless Multihop Networks: Joint Optimal Congestion and Power Control / M. Chiang // IEEE Journal on Selected Areas in Commun. - 2005. -Vol. 23, N 1. - P. 104 - 116.

    6. Singh K. Review on Routing Protocols in Wireless Mesh Networks / K. Singh, S. Behal // International Journal of Application or Innovation in Engineering & Management (IJAIEM). - 2013. - Vol. 2, Iss. 2.

    - P. 143 - 149.

    7. Агєєв Д.В. Подання моделі у вигляді багатошарового графа для вирішення завдань планування інфокомунікаційної системи з урахуванням структурованої кабельної системи [Електронний ресурс] / Д.В. Агєєв // Проблеми телекомунікацій. - 2013. - № 3 (12). - С. 16 - 26. - Режим доступу: http://pt.journal.kh.ua/2013/3/12/102 ageyev layer.pdf.

    8. Семенова Н.В. Підхід до вирішення векторних задач дискретної оптимізації на комбинаторном множині перестановок / Н.В. Семенова, Л.Н. Колєчкіна, А.Н. Нагірна // Кібернетика і системний аналіз. - 2008. - № 3. - С. 158 - 172.

    9. Емелічев В.А. Багатогранники, графи, оптимізація / Емелічев В.А., Ковальов М.М., Кравцов М.К. - М .: Наука, 1981. - 344 с.

    10. Сергієнко І.В. Моделі і методи розв'язання на ЕОМ комбінаторних задач оптимізації / І.В. Сергієнко, М.Ф. Каспшіцкая. - К .: Наукова думка, 1981. - 288 с.

    11. Семенова Н.В. Пол1едральній шдхщ до розв'язання одного класу векторних задач комбшатор-но! оптім1зацп / Н.В. Семенова, Л.М. Колечкша, А.М. НАПрН // Допов1д1 НАН Укра! Ні. - 2009. -№ 6. - С. 46 - 53.

    12. Колєчкіна Л.М. Багатокритеріальні комбінаторні задачі оптимізації на множині поліразмещеній / Л.М. Колєчкіна, Е.А. Родіонова // Кібернетика і системний аналіз. - 2008. - № 2. -С.152 - 160.

    13. Колечкша Л.М. Властівост завдань багатокрітер1ально! оптім1зацн на комбшаторніх множини та методи! х розв'язання / Колечкша Л.М. - Полтава: РВВ ПУСКУ, 2008. - 162 с.

    14. Донець Г.А. Побудова гамільтонова шляху в графах переставних многогранників / Г.А. Донець, Л.М. Колєчкіна // Кібернетика і системний аналіз. - 2010. - № 1. - С. 10 - 16.

    15. Донець Г.А. Екстремальні покриття графів / Г.А. Донець, А.Я. Петренюк. - Кіровоград: ВАТ «Юровоградське видавництво», 2009. - 170 с.

    16. Донець Г.А. Про один підхід до вирішення комбінаторної задачі оптимізації на графах / Г.А. Донець, Л.М. Колєчкіна // Керуючі системи та машини. - 2009. - № 4. - С. 36 - 42.

    17. Донець Г.А. Локалізація значення лінійної функції, заданої на перестановках / Г.А. Донець, Л.М. Колєчкіна // Радіоелектроніка та інформатика. - 2009. - № 1. - С. 76 - 81.

    18. Донець Г.А. Метод упорядкування значень лінійної функції на множині перестановок / Г.А. Донець, Л.М. Колєчкіна // Кібернетика і системний аналіз. - 2009. - № 2. - С. 50 - 61.

    Стаття над1йшла до редакцп 22.07.2016


    Ключові слова: ГРАФ /подграфа /ФУНКЦІЯ /МОДЕЛЬ /багатокритеріальної оптимізації /КОНФІГУРАЦІЯ поєднанні /генерування /МЕРЕЖА /ВЕРШИНА /ЛОКАЛІЗАЦІЯ /GRAPH /UNDIRECTED GRAPH /FUNCTION /MODEL /MULTI-CRITERIA OPTIMIZATION /CONFIGURATION OF INTERFACES /GENERATION /NETWORK /APEX /LOCALIZATION

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити