У статті побудована математична модель процесу накопичення і регенерації тепла в регенеративної захисній масці у вигляді нелінійного звичайного диференціального рівняння першого порядку. Нелінійні члени рівняння дозволяють описувати Вибір між режимами накопичення в режим регенерації і назад. Для побудованого нелінійного звичайного диференціального рівняння введено поняття рішення, що задовольняє заданим початковим умовам, і доведена теорема про існування, єдиності та властивості рішення. А також вирішена зворотна задача по визначенню коефіцієнтів тепловіддачі на основі експериментальних даних.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Наїм А.Н., Синіцин А.А., Монаркін Н.Н.


A MATHEMATICAL MODEL OF THE AUTO LEVELING OF THE PROCESS OF ACCUMULATION AND HEAT RECOVERY IN REGENERATIVE PROTECTIVE MASK

The article builds the mathematical model the generation and heat recovery in regenerative protective mask in the form of a nonlinear ordinary differential equation of the first order. The nonlinear terms in the equation allow us to describe switching from the accumulation mode to the regeneration mode and back. For a nonlinear ordinary differential equation introduced the concept of the solution that satisfies initial conditions, and proved the theorem about existence, uniqueness and properties of solution. And also solved the inverse problem by finding of heat transfer coefficients on the basis of experimental data.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва діє до: 2016
    Журнал: Міжнародний науково-дослідний журнал

    Наукова стаття на тему 'МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ авторегулируемого ПРОЦЕСУ накопичення І РЕГЕНЕРАЦІЇ ТЕПЛА В регенеративних ЗАХИСНОЇ МАСЦІ'

    Текст наукової роботи на тему «МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ авторегулируемого ПРОЦЕСУ накопичення І РЕГЕНЕРАЦІЇ ТЕПЛА В регенеративних ЗАХИСНОЇ МАСЦІ»

    ?DOI: 10.18454 / IRJ.2016.53.204 Наїм А.Н.1, Синіцин А.А.2 Монаркін Н.Н.3,

    : ORCID: 0000-0002-6194-7164, Доктор фізико-математичних наук, професор, Вологодський державний університет (Вогу), Вологодський інститут права та економіки Федеральної служби виконання покарань (ВІПЕ ФСВП Росії), 2ORCID: 0000-0001-5238-696X , Кандидат технічних наук, доцент, Вологодський державний університет (Вогу), 3ORCID: 0000-0002-4411-5753, Аспірант, Вологодський державний університет (Вогу), г. Вологда Робота виконана за часткової фінансової підтримки грантів РФФД 15-01-04713а, 16-01-00150а МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ авторегулируемого ПРОЦЕСУ накопичення І РЕГЕНЕРАЦІЇ ТЕПЛА В регенеративних ЗАХИСНОЇ МАСЦІ

    анотація

    У статті побудована математична модель процесу накопичення і регенерації тепла в регенеративної захисній масці у вигляді нелінійного звичайного диференціального рівняння першого порядку. Нелінійні члени рівняння дозволяють описувати Вибір між режимами накопичення в режим регенерації і назад. Для побудованого нелінійного звичайного диференціального рівняння введено поняття рішення, що задовольняє заданим початковим умовам, і доведена теорема про існування, єдиності та властивості рішення. А також вирішена зворотна задача по визначенню коефіцієнтів тепловіддачі на основі експериментальних даних.

    Ключові слова: регенеративна захисна маска, процес накопичення і регенерації тепла, математична модель, рішення нелінійного звичайного диференціального рівняння.

    Naimov A.N.1, Sinitsyn A.A.2, Monarkin N.N.3

    1ORCID: 0000-0002-6194-7164, PhD in Physics and Mathematics, Professor, Vologda State University,

    Vologda Institute of Law and Economics of the Federal Penitentiary Service, 2ORCID: 0000-0001-5238-696X, PhD in Engineering, Associate professor, Vologda State University, 3ORCID: 0000-0002-4411-5753, Postgraduate student, Vologda State University This work was supported in part by grants RFBR 15-01-04713a, 16-01-00150a A MATHEMATICAL MODEL OF THE AUTO LEVELING OF THE PROCESS OF ACCUMULATION AND HEAT RECOVERY IN REGENERATIVE PROTECTIVE MASK

    Abstract

    The article builds the mathematical model the generation and heat recovery in regenerative protective mask in the form of a nonlinear ordinary differential equation of the first order. The nonlinear terms in the equation allow us to describe switching from the accumulation mode to the regeneration mode and back. For a nonlinear ordinary differential equation introduced the concept of the solution that satisfies initial conditions, and proved the theorem about existence, uniqueness and properties of solution. And also solved the inverse problem by finding of heat transfer coefficients on the basis of experimental data.

    Keywords: regenerative protective mask, process accumulation and heat recovery, mathematical model, solution nonlinear ordinary differential equations.

    Вступ

    У статті побудована математична модель процесу накопичення і регенерації тепла в регенеративної захисній масці. Регенеративна захисна маска застосовується як засіб індивідуального захисту органів дихання при низьких температурах ([1], [2]) У регенеративної захисній масці теплообмінних елементом є регенеративна насадка: насадка поперемінно нагрівається потоком гарячого повітря і охолоджується потоком холодного повітря. На етапі нагріву відбувається накопичення тепла в насадці, а на етапі охолодження - регенерація (віддача) тепла від насадки.

    Математичні моделі процесів теплообміну в регенеративної захисній масці досліджені в роботах [1-3]. На відміну від цих робіт, в цій статті побудована і досліджена математична модель у вигляді нелінійного звичайного диференціального рівняння першого порядку. Нелінійні члени рівняння дозволяють моделювати автоматичні Вибір між режимами накопичення тепла в режим регенерації тепла і назад. Для побудованого нелінійного звичайного диференціального рівняння введено поняття рішення, що задовольняє заданим початковим умовам, і доведена теорема про існування, єдиності та властивості рішення. З цієї теореми випливає, що згідно побудованої моделі процес накопичення і регенерації тепла відбувається наступним чином: 1) починаючи з деякого моменту тх, що залежить від початкової температури маски,

    температура маски коливається періодично; 2) перемикання з режиму накопичення в режим регенерації відбувається автоматично в момент часу, коли температура маски досягає заданого максимального значення ^ тах; 3) перемикання з режиму регенерації в режим накопичення відбувається автоматично в момент часу,

    коли температура маски досягає заданого мінімального значення Umn; 4) період коливань температури маски

    залежить від Umax, Umn, температури зовнішнього повітря і фізичних характеристик маски.

    На основі побудованої моделі вирішена задача визначення коефіцієнтів тепловіддачі, застосовуючи методологію рішення коефіцієнтних обернених задач ([4-6]).

    Таким чином, побудована математична модель дозволяють вирішувати такі практично значущі завдання:

    1. Дослідити аналітично і графічно зміна температури регенеративної захисної маски в авторегулируемого процесі накопичення та регенерації тепла.

    2. Розробити алгоритм розрахунку коефіцієнтів тепловіддачі для всіх етапів накопичення і регенерації тепла в регенеративної захисній масці.

    3. Оцінити ефективність регенеративної захисної маски через період коливань її температури.

    Постановка задачі

    У регенеративної захисній масці маси т, що має площу $ і коефіцієнт теплоємності с, відбуваються два процеси - накопичення і регенерація теплової енергії ([1-3]). У процесі накопичення тепла через маску протікає спрямований в одну сторону потік гарячого повітря перпендикулярно поверхні маски. Внаслідок цього маска нагрівається і одночасно відбувається теплопередача з внутрішнього середовища в зовнішнє (втрата тепла). Передбачається, що фізичні властивості маски і її розташування дозволяють накопичувати значну кількість тепла, а тепловіддача при цьому незначна. У процесі регенерації тепла через маску протікає потік холодного повітря в зворотному напрямку. Потік холодного повітря нагрівається за рахунок накопиченої в масці теплової енергії.

    В роботі [3] передбачалося, що процеси накопичення і регенерації тепла в масці спостерігаються в інтервалах часу фіксованою довжини і перемикання між ними відбуваються зовнішнім управлінням. При цьому доведено, що при необмеженому зростанні часу перемикання відбуваються в ті моменти часу, коли температура маски близька до критичних значень ітах і ітт ,. Коли температура маски близька до ітах відбувається

    перемикання з режиму накопичення в режим регенерації, а коли близька до ітт відбувається перемикання з режиму регенерації в режим накопичення. Значення і та ітт визначаються експериментальними вимірами. У зв'язку з цим становить інтерес питання про побудову математичної моделі, яка описує процеси накопичення і регенерації тепла з авторегулируемого перемиканнями при досягненні критичних значень і та ІШП .

    побудова моделі

    Математичну модель процесу накопичення і регенерації тепла в регенеративної захисній масці побудуємо методом складання рівняння теплового балансу ([7]). Введемо наступні позначення: т, $, з - маса, площа і коефіцієнт теплоємності маски; і (^) - температура маски в момент часу: в середньому по всій площі $; і (0) = і0 - температура маски в початковий момент часу; і - температура зовнішнього середовища, вона постійна;

    Q - потік тепла, що надходить в маску за одиницю часу в процесі накопичення тепла, величину Q вважаємо постійної;

    а - коефіцієнт тепловіддачі маски зовнішньому середовищі в процесі накопичення тепла;

    Р - коефіцієнт тепловіддачі маски холодному повітрю в процесі регенерації тепла. Коефіцієнти а і Р вважаємо постійними.

    Складемо рівняння теплового балансу в процесі накопичення тепла в масці. У проміжку часу від: до: + &, де & вважаємо досить малим, з внутрішнього середовища надходить тепло в кількості Qdt. Одна частина надійшов тепла витрачається на нагрів маски, а інша частина витрачається на тепловіддачу маски зовнішньому середовищі. Отже, рівняння теплового балансу має такий вигляд:

    Qdt = й t +&Г) + Q2 (t, t (1)

    де ^ (^ t + dt) - кількість тепла, яке витрачається на нагрів маски від температури і ^) до температури і (^ + dt), ^ (^ t + dt) - кількість тепла, що віддається маскою зовнішньому середовищі. Кількість тепла ^ (^ t + dt) і збільшення температури Au (t) = і ^ + &С) - і ^), згідно з визначенням коефіцієнта теплоємності ([8]), пов'язані між собою формулою

    ^ (^ T + dt) = тсАі (:). (2)

    А кількість тепла ^ (^ t + dt), відповідно до закону Ньютона-Рихмана ([8]), визначається формулою

    О, (^: + з1?) = А $ '(про (:) -и)&:. (3)

    У рівнянні (1), замість ^ (^: + d :) і ^ (^ t + dt) підставляючи праві частини формул (2) і (3), отримаємо:

    Qdt = тсАі ^) + а $$ №) -і ^. (4)

    Отримане рівність можна вважати уточненням рівнянням теплового балансу в процесі накопичення тепла в масці. Обидві сторони рівності (4) поділимо на dt і перейдемо до межі при d: ^ 0. При цьому скористаємося тим, що ставлення Аі ^) / dt при d: ^ 0 прагне до і '(^) - похідної функції і ^). В результаті отримуємо наступне звичайне диференціальне рівняння першого порядку:

    ТСИ '(0 + а $ (про (:) - і) = Q. (5)

    Рівняння (5) є математичною моделлю процесу накопичення тепла в масці.

    Тепер складемо рівняння теплового балансу в процесі регенерації тепла в масці. Регенерація тепла відбувається тепловіддачею маски холодному повітрю з температурою u. Рівняння теплового балансу в даному випадку має вигляд

    Q3 (t, t + dt) + Q4 (t, t + dt) = 0, (6)

    де Q3 (t, t + dt) - кількість тепла, що віддається маскою холодного повітря, Q (t, t + dt) - кількість тепла, що втрачається маскою (тепловіддача). Відповідно до закону Ньютона-Рихмана, Q3 (t, t + dt) визначається формулою

    Q (t, t + dt) = [S (v (t) - u) dt. (7)

    А тепловіддача Q (t, t + dt) призводить до зниження температури від v (t) до v (t + dt):

    Q (t, t + dt) = mcA v (t), (8)

    де Av (t) = v (t + dt) -v (t). Підставляючи (7) і (8) в (6), отримуємо уточнене рівняння теплового балансу в процесі регенерації тепла:

    [S (v (t) - u) dt + mcAv (t) = 0. (9)

    Обидві сторони рівняння (9) поділимо на dt і перейдемо до межі при dt ^ 0. В результаті отримуємо наступне диференціальне рівняння:

    mcv '(t) + f3S (v (t) - u) = 0. (10)

    Рівняння (10) є математичною моделлю процесу регенерації тепла в масці.

    Моделі (5) і (10) поки отримані незалежно один від одного. Їх необхідно пов'язати між собою і тим самим отримати єдину модель чергуються процесів накопичення і регенерації тепла.

    Припустимо, що накопичення тепла в масці протікає в проміжку часу від 0 до ^ c початкової

    температурою маски v (0) = v0, а регенерація тепла в масці протікає в проміжку часу від тх до т2. Тоді, в силу вище проведених міркувань, один цикл накопичення і регенерації тепла в масці описується рівняннями

    mcv '(t) + aS (v (t) - u) = Q, 0 < t <тг, (11)

    mcv '(t) + J3S (v (t) - u) = 0, тх< t <т2, (12)

    і умовами

    v (0) = v0, (13)

    v (rj- 0) = v (rl + 0). (14)

    Сенс умови (14) полягає в тому, що в момент часу перемикання тг з режиму накопичення тепла в режим регенерації тепла температура маски v (t) не змінюється.

    Момент часу перемикання тх можна формально витлумачити як момент часу, коли Q замінюється 0, коефіцієнт a замінюється коефіцієнтом [5, і, внаслідок цього, рівняння (11) перетворюється в рівняння (12). При наших припущеннях такі заміни можливі, якщо функція v (t) до моменту часу тх зростає і в момент часу тх досягає заданого максимального значення vmax: v (Vj) = vmax. З огляду на цю обставину і вважаючи тх невідомим, рівняння (11), (12) разом з умовами (13) і (14) можна представити в наступному вигляді:

    v '(t) + a (v (t), v' (t)) (v (t) - u) = f (v (t), v '(t)), t > 0, (15)

    v (0) = v, (16)

    Тут функції a (X, y) і f (X, y) визначаються формулами

    aS

    a (x, y) = <

    f (x, y) = \

    mc

    [S

    mc

    Q_

    mc '0,

    якщо або або й інакше,

    якщо або

    або й інакше,

    x <v

    y > 0,

    (17)

    x <v "

    y > 0,

    (18)

    Формули (17) і (18) складені так, що модель (15), (16) може бути застосована в описі не тільки першого циклу накопичення і регенерації тепла, але і наступних циклів.

    Таким чином, побудована математична модель процесу накопичення і регенерації тепла в регенеративної захисній масці у вигляді нелінійного звичайного диференціального рівняння першого порядку (15) з початковою умовою (16), де

    1) моменти перемикання з одного режиму в інший явно не задаються;

    2) перемикання відбуваються авторегулируемого управлінням або при зростанні температури маски і досягнення заданого максимального значення V, або при убуванні температури маски і досягнення заданого

    мінімального значення Vmm.

    дослідження рішення

    Надалі припускаємо, що виконані наступні умови:

    і <min {VoVmm}, max {Vo, Vmin}<Vmax, (19)

    Q (Vmax - u). (20)

    Визначення. Рішенням задачі (15), (16) назвемо функцію v (t), яка

    1) визначена і неперервна на проміжку [0, +;

    2) на будь-якому кінцевому інтервалі значення Vmn і V може приймати лише кінцеве число раз;

    3) неперервна дифференцируема і задовольняє рівняння (15) на будь-якому інтервалі, де вона не приймає

    значення Vmin і Vmax;

    4) задовольняє умовам

    v (0) = v '(0) = - (Q -aS (V - u)). (21)

    mc

    Умова 2) забезпечує наступне властивість рішення: якщо v (t :) = vmx, то при t е (tl, t2) мають місця нерівності v '(t) <0 і Vmil1 <v (t) <Vmx. Аналогічно, якщо v (t3) = Vmil1, то при t е (t3, t4) мають місця нерівності V (t) >0 і Vmil1 < v (t) < Vmx. З умови 4) випливає, що якщо v (t) < Vmx при t е (0, тх), то v (t) на інтервалі (0, Тх) задовольняє рівняння (11). Введемо позначення:

    mc Л (Q - aS (v0 - і) ^

    тг = - ln

    aS

    Q -aS (Vmax - U)

    mc

    v ^ ^ max 'j

    ln

    ?S

    V Vmin - U J

    mc, (Q-aSVu -і) Л

    --ln

    aS

    Q -aS (Vmax - U)

    (22)

    (23)

    (24)

    (Г \ "їв," л 'А

    , (24)

    ln Q -aS (Vmin - U)

    aS

    2 --Ь (Ч, ах - і

    Т = Т'-Т1, (25)

    Має місце наступна теорема.

    Теорема 1. Нехай виконані умови (19) і (20). Тоді рішення і ( ') завдання (15), (16) існує, єдино і має властивості 1 °, 2 °, 3 °:

    1 °. На інтервалах (0, т), (т, Т), (т2, Т3) рішення і ( ') монотонно і представимо формулами

    КО = < + И- «- (і0-і ^ е- ',' е (0, т1), (26)

    аЬ у-Ь)

    , \ ( '-Т,)

    і ( ') = і + (ц "ах - і) е тс,' е (т ,, т2), (27)

    ° ( ') = < + І - [ < - - і)) е - "*), 'е (т2, тз), (28)

    2 °. Рішення про ( ') на проміжку [т, + періодично з періодом, рівним ^

    3 °. Рішення і ( ') в точках т + кТ, к = 0,1,2, ... приймає значення ітах, а в точках т2 + кТ, к = 0,1,2, ... приймає значення .

    Доведення. З початкових умов (21) і умов (19), (20) випливає, що якщо і ( ') - рішення задачі (15), (16), то і (') є рішенням рівняння (11) на будь-якому інтервалі (0 , тх), де має місце нерівність про ( '). Нехай (0, т) - інтервал максимальної довжини, де має місце нерівність про ( '). На цьому

    інтервалі знайдемо рішення рівняння (11), що задовольнить початковому умові і (0) = і0. В результаті отримуємо,

    що рішення задачі (15), (16) на інтервалі (0, тх) існує, єдино і представимо формулою (26). Праву частину формули (26) прирівнюючи і, знаходимо момент часу тх, при якому має місце рівність і (т) = ітх; тим самим отримаємо формулу (22).

    Починаючи з моменту часу тх, рішення і ^) рівняння (15), що задовольняє умові і (т) = ітх, буде рішенням рівняння (12). Нехай (т1, т2) - інтервал максимальної довжини, де має місце нерівність Ц7) >Цп. На цьому інтервалі знайдемо рішення рівняння (12), що задовольнить початковому умові і (т) = ітх. В результаті отримуємо, що рішення задачі (15), (16) на інтервалі (0, т2) існує, єдино і має місце формула (27). Праву частину формули (27) прирівнюючи ІШП, знаходимо момент часу т2, при якому має місце рівність і (т2) = Цп; тим самим отримаємо формулу (23).

    Далі, знаходимо і ^), як рішення рівняння (11), що задовольнить початковому умові і (т2) = Цп. В результаті отримаємо уявлення (28). З умови і (т') = ітх знаходимо Т3 і виводимо формулу (24). Починаючи з моменту часу Т3 поведінку рішення і ^) буде таким же, як з моменту часу тх. Отже, рішення і (Х) завдання (15), (16) періодичне і має період Т = т'~ т1.

    З вище проведених міркувань також випливає, що при к = 0,1,2, ... мають місце рівності

    і (т + кТ) = і (т) = іmax, і (т2 + кТ) = і {т2) = ітп .

    Теорема 1 доведена.

    З теореми 1 випливає, що згідно побудованої моделі процес накопичення і регенерації тепла відбувається наступним чином:

    1) починаючи з деякого моменту т, що залежить від початкової температури маски, температура маски коливається періодично;

    2) перемикання з режиму накопичення в режим регенерації відбувається автоматично в момент часу, коли температура маски досягає заданого максимального значення ітах;

    3) перемикання з режиму регенерації в режим накопичення відбувається автоматично в момент часу, коли температура маски досягає заданого мінімального значення ІШП;

    4) період коливань температури маски залежить від ітах, ітт, температури зовнішнього повітря і фізичних характеристик маски.

    Визначення коефіцієнтів тепловіддачі

    Розглянемо задачу визначення коефіцієнтів тепловіддачі СС, Р і потоку тепла Q на основі експериментальних даних. Для цього застосуємо методологію рішення коефіцієнтних обернених задач ([4-6]).

    Припустимо, що експериментальними вимірами встановлено значення і0, і, ітт, Ц, де

    і0 < і < і, і встановлені моменти часу 0 < ^ < тх <т2 при яких мають місце рівності

    і (0) = і0, і (0 = ії і (т1) = іm? x, і (т2) = ітт. (29)

    Рівняння (15) на інтервалі (0, тх) рівносильне рівнянню (11), а на інтервалі (т, т2) рівносильне рівнянню (12). Тому користуючись рівняннями (11), (12) і вважаючи т, С, Б, і заданими можна знаходити С, Р, Q. Для цього поступимо таким чином:

    1) знайдемо рішення і (1) рівняння (11), що задовольнить початковому умові і (0) = і0;

    2) знайдемо рішення і (1) рівняння (12), що задовольнить початковому умові і (т2) = Цп;

    3) коефіцієнт Р знайдемо з умови і (т) = ітх;

    4) коефіцієнт С і потік тепла Q знайдемо з умов і (^) = Ц, і (т) = ітх .

    Рішення і (1) рівняння (11), що задовольнить початковому умові і (0) = Ц, має вигляд

    - Q (Q Л

    і С) = - + і-I - (ц і) е тс. з Б ^ З Б)

    А рішення і (1) рівняння (12), що задовольнить початковому условіюі (т2) = і ^ ,, має вигляд

    =, \ Щт2-)

    і (0 = і + (іт1П - і) етс .

    В силу умови і (т) = ітх знайдемо Р:

    і

    + (ЧШП - і) е '

    (Т2 ')

    = 4

    Р = И ^ тах - і

    Л

    Б (т2 -Т1) _ 1.Чшп - і у

    Для знаходження невідомих а і < скористаємося умовами і ( 'г) = Ц і ч (т) = ЧІ

    (-Б \-Б

    (30)

    2

    -Б 2

    1 - е

    + 4 - і) е

    ь Л

    (31)

    1-е

    + 4 - і) е

    Перевіримо, що система алгебраїчних рівнянь (31) з невідомими а й < має єдине рішення.

    Лемма 1. Нехай виконані умови

    1 0 < 'х <Т; 2) ч0 <Ч1 < Чтах; 3) Чтах - ч0 < ЧЧ1 - Ч>), № V = ТХ> .

    Тоді система алгебраїчних рівнянь (31) з невідомими а й < має єдине рішення і це рішення можна знаходити формулами

    тс,

    а = - 1 п Б ',

    'Про

    АБ

    2 = "- ((ч - і) - (ц, - і) 2 0) .

    1 -

    (32)

    (33)

    Тут z0 - єдиний корінь скалярного рівняння

    (Чтах - ч0) 2 - (Ч1 -Ч0) ^ = Чтах - Ч1. (34)

    з інтервалу (0, z1), де = ((чтах - ч0) / (V4 -Ч0))) 1 / (у-1).

    Зауваження 1. Ліва частина рівняння (34), як функція змінної z, зростає і опукла вгору на інтервалі (0, ^). Тому корінь ^ рівняння (34) можна знаходити наближено чисельним методом Ньютона або методом хорд ([9]).

    Доказ леми 1. З першого рівняння системи (31) виключаючи <, маємо:

    (-Б \-Б (-Б \

    (Ч - і)

    V тах /

    1 - е

    + (Ч0- і) е тс '= (ч - і)

    1 - е

    -(О0 - і) е ТЗ

    (35)

    Позначимо е тс = z. Тоді невідомі - і < можна виразити через z:

    тс ^ (1 - = -1п -

    Б'1 I z

    (36)

    (37)

    в силу першого рівняння системи (31)

    2 = - "(4 - і) - 4 - і) z).

    1 - z

    Згідно (35), невідоме z є коренем рівняння

    (Чтах - і) (1-Z) + (ч0 - і) ^ (Ч - і) (1 - ^) + (ч0 - і) ^

    де V = Т / К. Дане рівняння після спрощень приймає вид (34). Таким чином, рішення системи (31)

    зведено до вирішення скалярного рівняння (34). Очевидно, z = 1 є коренем рівняння (34). Але, в силу формули (36), через цей корінь знаходити рішення системи рівнянь (31) неможливо.

    Для того, щоб переконатися в існуванні рішення скалярного рівняння (34), відмінного від 1, розглянемо функцію

    Ф (Ю = (Чпах - ч0) Z - (Ч - ч0) ^. Знайдемо критичну точку функції ф (z):

    Ф (^ = (Чтах - ч0) Z - V (Ч1 - ч0) ^ ,

    ф '(Z) = 0

    v (ч -Ч0)

    V

    У

    \

    у

    В силу умов 1) -3), маємо 0 < ^ < 1. Легко перевірити, що ф '(z) > 0 при z е (0, Zj) і ф '(z) < 0 при z G (z, l). Отже, z - точка максимуму і

    ф (zi) >ф (1) = vmsK .

    Звідси випливає, що на інтервалі (0, z) існує єдиний корінь z0 скалярного рівняння (34). У формулах (36) і (37) замість z підставляючи z0, отримуємо формули (32) і (33) для знаходження рішення системи

    алгебраїчних рівнянь (31). Так як скалярний рівняння (34) крім 1 і z0 інших коренів не має, тому

    рішення системи рівнянь (31) єдино. Лемма 1 доведена.

    У підсумку можна зробити висновок, що в статті складена математична модель авторегулируемого процесу накопичення і регенерації тепла в регенеративної захисній масці, яка дозволяє досліджувати температуру всередині маски і знаходити коефіцієнти тепловіддачі при невідомому заздалегідь періоді акумуляції / регенерації теплової енергії.

    Список літератури / References

    1. Находкін В.П. Розробка засобів індивідуального захисту органів дихання та методичних рекомендацій щодо їх застосування в умовах негативних температур: Дисертація на здобуття наукового ступеня к. Т. Н. - Якутськ: Охорона праці, 2005. - 135 с.

    2. Гудков С.В., Філатова Є.Ю., Туголуков Е.Н., Алексєєв С.Ю., Романенко А.В. Вибір раціональної конструкції регенеративного теплообмінника для використання в системі автоматизованого проектування індивідуальних дихальних апаратів // Питання сучасної науки і техніки. Університет ім. В.І. Вернадського. - 2006. № 2 (4), С. 69-76.

    3 Монаркін М.М., Синіцин А.А., Наїм А.Н. Побудова і дослідження найпростішої математичної моделі регенеративного теплообмінника // Вісник ЧДУ. - 2016. № 3 (72). С. 11-15.

    4. Кабаніхін С. І. Зворотні і некоректні завдання. - Новосибірськ: Сибірське наукове видавництво, 2009. -457 с.

    5. Денисов А. М. Введення в теорію обернених задач. - М .: Изд-во МГУ, 1994. - 208 с.

    6. Алифанов О. М. Зворотні задачі теплообміну. - М .: Машинобудування, 1988. - 280 с.

    7. Крапля Є.В., Кузеванов В.С., Шевчук В.П. Моделювання процесів управління в інтелектуальних вимірювальних системах. - М .: Физматлит, 2009. - 512 с.

    8. Ісаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. - М .: Енергоіздат, 1981. - 416 с.

    9. Демидович Б.П., Марон І.А. Основи обчислювальної математики. - М .: Наука, 1966. - 664 с.

    Список літератури англійською мовою / References in English

    1. Nahodkin V.P. Razrabotka sredstv individual'noj zashhity organov dyhanija i metodicheskih rekomendacij po ih primeneniju v uslovijah otricatel'nyh temperatur: Dissertacija na soiskanie uchenoj stepeni k. t. n. [The development of means of individual protection of respiratory organs and methodological recommendations for their application in the conditions of negative temperatures: Ph.D. thesis] - Jakutsk: Ohrana truda, 2005. - 135 P. [in Russian]

    2. Gudkov S.V., Filatova E.Ju., Tugolukov E.N., Alekseev S.Ju., Romanenko A.V. Vybor racional'noj konstrukcii regenerativnogo teploobmennika dlja ispol'zovanija v sisteme avtomatizirovannogo proektirovanija individual'nyh dyhatel'nyh apparatov [The choice of the rational design of regenerative heat exchanger for use in computer-aided design of personal breathing apparatus] // Voprosy sovremennoj nauki i tehniki. Universitet im. V.I. Vernadskogo. [Issues of modern science and technology. University. V. I. Vernadsky] - 2006. # 2 (4), P. 69-76. [In Russian]

    3. Monarkin N.N., Sinicyn A.A., Naimov A.N. Postroenie i issledovanie prostejshej matematicheskoj modeli regenerativnogo teploobmennika [Build and study a simple mathematical model of the regenerative heat exchanger] // Vestnik ChGU [Cherepovec State University]. - 2016. # 3 (72). P. 11-15. [In Russian]

    4 Kabanihin S. I. Obratnye i nekorrektnye zadachi [Inverse and ill-posed problems]. - Novosibirsk: Sibirskoe nauchnoe izdatel'stvo, 2009. - 457 P. [in Russian]

    5. Denisov A. M. Vvedenie v teoriju obratnyh zadach [Introduction to the theory of inverse problems]. - M .: Izd-vo MGU, 1994. - 208 P. [in Russian]

    6. Alifanov O. M. Obratnye zadachi teploobmena [Inverse problems of heat exchange]. - M .: Mashinostroenie, 1988. -280 P. [in Russian]

    7. Kaplja E.V., Kuzevanov V.S., Shevchuk V.P. Modelirovanie processov upravlenija v intellektual'nyh izmeritel'nyh sistemah [Modeling of management processes in smart metering systems]. - M .: Fizmatlit, 2009. - 512 P. [in Russian]

    8. Isachenko V.P., Osipova V.A., Sukomel A.S. Teploperedacha [Heat transmission]. - M .: Jenergoizdat, 1981. - 416 P. [in Russian]

    9. Demidovich B.P., Maron I.A. Osnovy vychislitel'noj matematiki [Foundations of computational mathematics]. - M .: Nauka, 1966. - 664 P. [in Russian]


    Ключові слова: РЕГЕНЕРАТИВНА ЗАЩИТНАЯ МАСКА / REGENERATIVE PROTECTIVE MASK / ПРОЦЕС накопичення І РЕГЕНЕРАЦІЇ ТЕПЛА / PROCESS ACCUMULATION AND HEAT RECOVERY / МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ / MATHEMATICAL MODEL / РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНОГО ЗВИЧАЙНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО Рівняння / SOLUTION NONLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити