Викладено метод розрахунку магнітостатіческого поля в двоякоперіодичні гетерогенної середовищі. сформульовано інтегральне рівняння щодо вектора намагніченості елементів середовища. Розрахунок характеристик поля здійснюється шляхом вирішення польовий завдання в області основного паралелограма періодів без завдання граничних умов на його сторонах. Отримано розрахункові вирази для напруженості поля і тензора магнітної проникності. Наведено результати обчислювальних експериментів, що підтверджують універсальність і ефективність методу. Проведено детальне дослідження поля магнітних сил матриці високоградієнтним магнітного сепаратора. Метод відкриває нові можливості підвищення технічних характеристик електрофізичних пристроїв, для яких універсальність і точність розрахунку локальних і ефективних характеристик поля є визначальною.

Анотація наукової статті з електротехніки, електронної техніки, інформаційних технологій, автор наукової роботи - Толмачов Станіслав Трохимович, Бондаревський Станіслав Львович, Ільченко Олександр Володимирович


MAGNETIC PROPERTIES OF MULTICOMPONENT HETEROGENEOUS MEDIA WITH A DOUBLY PERIODIC STRUCTURE

Heterogeneous media have a wide range of practical applications. Media with a doubly periodic structure (matrices of high-gradient magnetic separators, etc.) occupy an important place. Their study is usually based on experimental and approximate methods and is limited to simple two-phase systems. The development of universal and accurate methods of mathematical modelling of electrophysical processes in such environments is an urgent task. The aim of the paper is to develop a method for calculating local and effective parameters of a magnetostatic field with minimal restrictions on the number of phases, their geometry, concentration, and magnetic properties. Based on the theory of elliptic functions and secondary sources, an integral equation is formulated with respect to the magnetization vector of the elements of the main parallelogram of the periods. The calculated expressions for the complex potential, field strength, and components of the effective magnetic permeability tensor are obtained. The results of a series of computational experiments confirming the universality and effectiveness of the method are presented. As an example of a practical application, a detailed study of the field of the magnetic forces of the matrix is carried out: the lines of magnetic isodine and potential extraction areas for a complex version of the matrix are constructed. Within the framework of the developed method, the calculation of local and effective field characteristics is carried out by solving the field problem in the field of an arbitrary parallelogram of periods without specifying boundary conditions on its sides with a comprehensive consideration of significant interdependent factors. The practical value of the method is to create new opportunities for improving the technical characteristics of electrophysical devices for which the universality and accuracy of calculating local and effective field characteristics is decisive. An algorithm for optimizing the characteristics of the separator is proposed.


Область наук:

  • Електротехніка, електронна техніка, інформаційні технології

  • Рік видавництва: 2020


    Журнал: Електротехніка та електромеханіка


    Наукова стаття на тему 'МАГНІТНІ ВЛАСТИВОСТІ БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ ГЕТЕРОГЕННИХ СРЕД З двоякоперіодичні СТРУКТУРОЮ'

    Текст наукової роботи на тему «МАГНІТНІ ВЛАСТИВОСТІ БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ ГЕТЕРОГЕННИХ СРЕД З двоякоперіодичні СТРУКТУРОЮ»

    ?Теоретична електротехнка та електрофiзіка

    УДК 621.3.013.22:517.968 doi: 10.20998 / 2074-272X.2020.1.05

    С.Т. Толмачов, С.Л. Бондаревський, А.В. Ільченко

    МАГНІТНІ ВЛАСТИВОСТІ БАГАТОКОМПОНЕНТНИХ ГЕТЕРОГЕННИХ СРЕД З двоякоперіодичні СТРУКТУРОЮ

    Виклад метод розрахунку магнШостатічного поля в двоякоперюдічному гетерогенного середовіщ1 сформул-вано штегральне рiвняння вiдносно вектора намагнiченостi елементгв середовища. Розрахунок характеристик поля віконуеться Шляхом вірШення польово'1 задачi в областг основного паралелограма перiодiв без задання граничних умов на его сторонах. Отримав розрахунковi вирази для напруженостг поля i тензора магттног пронікност1. Наведено результати обчислювальних експеріментгв, что тдтверджують утверсальтсть i ефектівнсть методу. Проведено детальне дослгдження поля магштніх сил матриць вісокоградiентного магнiтного сепаратора. Метод вiдкрівае новi можлівостг тдвіщення тих ^ чних характеристик електрофьзічніх прилаштувати, для якіх унiверсальнiсть i точнсть розрахунку локальних i ефектівніххарактерістік поля е визначальності. Бiбл. 16, рис. 11.

    Ключовi слова: двоякопершдічне гетерогенних середовище, штегральне рiвняння, вектор намагшченосл, поле напру-Женос, тензор магштно! "Пронікносі, вісокоградieнтна сепаращя, матриця, магштш сили.

    Викладено метод розрахунку магнітостатіческого поля в двоякоперіодичні гетерогенному середовищі. Сформульовано інтегральне рівняння щодо вектора намагніченості елементів середовища. Розрахунок характеристик поля здійснюється шляхом вирішення польовий завдання в області основного паралелограма періодів без завдання граничних умов на його сторонах. Отримано розрахункові вирази для напруженості поля і тензора магнітної проникності. Наведено результати обчислювальних експериментів, що підтверджують універсальність і ефективність методу. Проведено детальне дослідження поля магнітних сил матриці високоградієнтним магнітного сепаратора. Метод відкриває нові можливості підвищення технічних характеристик електрофізичних пристроїв, для яких універсальність і точність розрахунку локальних і ефективних характеристик поля є визначальною. Бібл. 16, рис. 11.

    Ключові слова: двоякоперіодичні гетерогенна среда, інтегральне рівняння, вектор намагніченості, поле напруженості, тензор магнітної проникності, високоградієнтним сепарація, матриця, магнітні сили.

    Вступ. Гетерогенні середовища (ГС) набули великого поширення завдяки широкому спектру їх практичного застосування - магнітодіелек-трики, напівпровідники, суміші, розчини, композитні та армовані матеріали, магнітні і електростатичні і фільтри і ін.

    Теорія ГС бере початок ще від класичних робіт Дж. Максвелла і Дж. Релея, в яких розглянуті питання визначення ефективних параметрів ГС з канонічними включеннями у вигляді циліндрів і сфер (завдання гомогенізації). В подальшому ці дослідження були розвинені багатьма авторами: К.М. Поліванов, В.М. Фінкельберг, А.В. Нетушил, Б.М. Фрадкін, В.І. Оделевскій, Л.Д. Стьопін, Б.Я. Баляндрасників, Ю.П. Ємець, В. Буряченко, М. Харадлі, В. Джексон, К.З. Марков, С. Немат-Нассер, М. Хорі, В.Т. Перрінс, Д.Р. МакКензі, Р.К. МакФедран, П.Д. Кю-ів, С. Торкуато і багато ін.

    Різні аспекти теорії і практики ГС активно розроблялися і в Україні, зокрема вченими Інституту електродинаміки НАН України. Особлива увага розвитку методів аналізу електромагнітних полів в електропровідних, діелектричних, композитних і гетерогенних системах приділялася в відділі електрофізики перетворення енергії. Ю.П. Ємцем були розвинені аналітичні методи аналізу електричних полів із застосуванням методів інтегральних рівнянь і комплексних змінних. Розглянуто двовимірні двокомпонентні системи з регулярною структурою розподілу неоднорідностей. Визначено основні ефективні параметри двухкомпонент-них діелектричних і провідних середовищ з включеннями канонічної форми: провідність, магнетосопро-тивление і коефіцієнт Холла. Результати досліджень Ю.П. Ємця та його учнів в даному напрямку відображені в монографії [1].

    На основі мультипольного розкладання високих порядків класичні формули Дж. Максвелла і Дж. Релея про сферичних і кругових циліндрах в прямокутної матриці в [2] узагальнені і розвинені на випадок еліптичних циліндрів і сфероїдальних елементів. Там же вперше розглянуто в досить загальній польовий постановці питання про двоякоперіоді-чеський задачі магнітостатики для нелінійної неоднорідної анізотропної середовища з періодичними включеннями і зі складною геометрією елементів.

    В останні роки сфера застосування ГС неухильно розширюється: дослідження нанокомпозитних матеріалів [3], феромагнітних перфорованих мембран (магнітних сит) [6] та ін. Пристроїв мікромагнітной сепарації надтонких магнітних частинок [5]. Більш активно при дослідженні властивостей ГС використовуються можливості сучасних інформаційних технологій.

    Значне місце в теорії і додатках ГС займають завдання, пов'язані з застосовуємо магнітного поля. Зокрема, однією з таких завдань є синтез фільтр-матриць високоградієнтних магнітних сепараторів (ВГМС) для вилучення слабомагнітних мінералів. Потреба в цих пристроях виникла в середині минулого століття в зв'язку з виснаженням запасів багатого сировини на тлі розвивається швидкими темпами технології бездоменной металургії та зростання вимог до якості стали [6, 7]. Були створені різні типи ВГМС (Джонс, Сала-Карусель, Бок-Смага Рапід, Крупп-Сол-24/14, 6-ЕРМ-35/135, ВГС-100/2 та ін.). Експлуатація цих сепараторів показала, що при високих масогабаритних параметрах (наприклад, сепаратор Джонса ДР 335 продуктивністю 180 т / год має діаметр ротора 3,35 м і масу 114 т) і

    © С.Т. Толмачов, С.Л. Бондаревський, А.В. Ільченко

    питомі показники електроспоживання вони не завжди забезпечують необхідні технологічні параметри збагачення. Тому розробка нових конструкцій ВГМС триває, а оптимізація їх технічних параметрів залишається актуальним завданням.

    Відмінною особливістю ВГМС, багато в чому визначає їх ефективність, є застосування магнітних фільтрів матричної структури, елементи яких мають складну геометрію і високу концентрацію для підвищення напруженості магнітного поля і її градієнта. Дослідження різних типів матриць є об'єктом уваги численних авторів. Огляд сучасного стану даного питання з обширною бібліографією дан в [5]. Інтерес до цього питання пояснюється тим, що матриця істотно впливає на продуктивність, ефективність розділення і вартість експлуатації. В ідеалі вона повинна при високій ефективності вилучення забезпечувати максимальну питому обсяг захоплення корисного мінералу при мінімально можливий опір пульпи.

    Оптимізація параметрів матриці пов'язана з пошуком компромісу між великою кількістю чинників, що впливають на її ефективність. Магнітна сила, що діє на частинку з об'ємною магнітною сприйнятливістю х і обсягом V, F =) «0хV | H | grad (\ H |). У цьому виразі останні два множники пов'язані з магнітною системою сепаратора і його матрицею, а решта - з вилученими магнітним матеріалом. Якщо обґрунтування утримує сили \.] Т1П для конкретних параметрів х і V є завданням технологів, то забезпечення необхідного значення величини, Т * = \ Н ^ га ^ \ Н |), при якому \ .Р] > \ ^ | Т; ", є досить складним завданням, що вимагає спеціального дослідження. Очевидно, для вилучення важлива величина., А не значення \ Н \ і grad (\ H |) окремо. При цьому «вага» кожного із співмножників далеко не очевидний. Збільшення інтенсивності поля Н пов'язано зі збільшенням потужності і в кінцевому рахунку массога-барітних параметрів сепаратора. Оскільки при цьому градієнт магнітного поля істотно не змінюється, збільшення напруженості магнітного поля «наосліп» не обов'язково призводить до поліпшення ефективності поділу при практичному використанні [7]. Що ж стосується градієнта поля, то можливості його збільшення потенційно значно більше, так як він істотно залежить від розмірів елементів матриці і їх форми. Але і тут слід шукати компромісне рішення, оскільки для селективного поділу необхідно розміри матричного елемента погоджувати з розподілом часток за розмірами. Крім того, велика неоднорідність поля матриці і особливо його градієнта значно ускладнюють задачу забезпечення максимальної зони захоплення при виключенні можливого блокування матриці. Цим пояснюється велика кількість робіт по дослідженню саме геометричних параметрів елементів матриць. Так, в [8] розрахунковим шляхом підтверджено очікуване зменшення магнітної сили при збільшенні числа сторін правильних багатокутників. У дослідженнях багатьох авторів (див., Наприклад, [7, 9, 10]) рекомендовані оптимальні параметри трикутних зубчастих пластин, хоча за

    рахунок більш однорідного силового поля заміна трикутних елементів на елементи з меншою крутизною поверхні може підвищити здатність до збору дрібних частинок. Навпаки, в патенті [11] запропоновано посилення сил для вилучення дрібної фракції шляхом заміни стрижнів круглого перетину на стрижні з ромбоподібним перетином (при зниженні розмірів зони захоплення). У публікації [12] рекомендовані як перспективні стрижневі матриці з еліптичних перетином. У ряді робіт (див., Наприклад, [13]) обговорюється доцільність використання комбінації стрижнів з різними діаметрами або різними формами поперечного перерізу, а також зміна порядку їх групування.

    Особливістю перелічених робіт є їх приватний і іноді суперечливий характер, а також переважна орієнтація на прості форми елементів матриць. На жаль, вони не дають уявлення про локальний розподіл поля магнітних сил в робочому просторі матриці, сформованого елементами складної геометрії і довільної концентрації, особливо при виникають при цьому складнощі з формуванням граничних умов з метою локалізації області розрахунку.

    Велика розмаїтість використовуваних матричних елементів (кулі, рифлені пластини, стрижні, сітки, спіралі, дротова вата та ін.) Істотно ускладнюють розробку універсальної математичної моделі для розрахунку силового поля матриць ВГМС. Разом з тим слід виділити найбільш поширений тип стрижневих матриць, які характеризуються періодичністю за координатами площині. Як показано в [2, 14], для дослідження таких середовищ природним математичним апаратом є теорія двоякоперіодичні (еліптичних) функцій, застосування яких дозволяє ефективно вирішувати двоякоперіодичні завдання для ГС в досить загальній постановці.

    Метою статті є розробка універсального методу розрахунку магнітного і силового поля гетерогенного середовища з двоякоперіодичні структурою без істотних обмежень на число фаз, їх геометрію, концентрацію і магнітні властивості.

    Основні визначення і властивості двояко-періодичних систем. Першим і обов'язковою умовою при дослідженні багатокомпонентних ГС є визначення основних періодів щ і щ, є утворюють основного паралелограма періодів П (якщо він існує). Однозначну відповідь на це питання не завжди очевидний, оскільки, як буде показано нижче, навіть двоякоперіодічность всіх фаз багатокомпонентної ГС не гарантує її двоякоперіодічность в цілому.

    Розглянемо пару комплексних чисел щ і щ, причому 1т (-р = щ / щ)>0. Точки і і V комплексної площині називають конгруентними, якщо вони пов'язані співвідношенням і = у-mod (щ, щ) [15] або

    і = у + ш \ -а>\ + Т2-Ю2, де тьт2 = 0, ± 1, ± 2, .... (1)

    Паралелограм з вершинами і0, і0 + щ, і0 + щ, і0 + Щ1 + щ2 будемо називати параллелограммом періодів, побудованим на періодах Щ1 і щ2. очевидно,

    безлічі конгруентних точок відповідає нескінченне число параллелограммом періодів, що покривають без перекриття всю комплексну площину.

    Важливе місце в подальшому аналізі займає поняття двоякоперіодичні (еліптичної) функції. Позначимо ю = т \ Щ \ + т2щ2. ФункціюАі) з періодами а будемо називати двоякоперіодичні, а щ і А2 - її основними періодами.

    З теорії еліптичних функцій відомо, що пара основних періодів (щ, А2) не є єдиною. Якщо для довільних цілих чисел т1, т2 і т [, ш2 безлічі точок щ = тущ + т2щ2 і щ = т {| ю [+ т ^ -т'г, збігаються, то пари періодів щі щ є еквівалентними. При цьому пара періодів (®1, щ) тоді і тільки тоді еквівалента парі періодів (ю [, ю'2), коли справедливо співвідношення щ = ащ + дщ, (про ', = у®2 + де а, Д у, «- цілі

    числа, що задовольняють при 1т (®2 / ®1)>0 умові а< - Ду = 1. Приклади еквівалентних періодів для двох множин конгруентних точок показані на рис. 1.

    Мал. 1. Безліч конгруентних точок і відповідні їм еквівалентні паралелограми періодів

    Відзначимо ще кілька очевидних тверджень. Площі еквівалентних періодів однакові, а площа основного паралелограма П з періодами (щ, щ2) мінімальна. Будемо також називати два паралелограма з періодами (щ, щ) і (®1, ®2) подібними, якщо напрямки періодів щ і, щ2 і ®2 збігаються.

    Поняття двоякоперіодичні ГС більш складне, ніж поняття двоякоперіодичні решітки, оскільки крім геометричних слід враховувати також фізичні та інші властивості окремих фаз, їх розташування в параллелограмме періодів та ін. Більш того, однією і тією ж решітці періодів може відповідати безліч ГС. Наприклад, встановимо відповідність між наведеними на рис. 2 двоякопе-періодичних ГС і гратами періодів рис. 1.

    Відзначимо важливий момент на прикладі рис. 2, а. Основним параллелограммом для безлічі конгруентних точок є малий квадрат. У той же час він не може бути основним параллелограммом ГС, оскільки, наприклад, жовтої фазою можна покрити всю комплексну площину. Тому для цієї ГС основні паралелограми періодів відповідають рис. 1, а (кожен з них включає по два елементи жовтої і синьої фаз). ГС, наведеними на рис. 2, видання, з, С відповідають рис. 1, видання. Дійсно, розглядаючи на рис. 2, видання, з систему конгруентних точок жовтої фази (наприклад, верхні точки елементів) бачимо, що

    вони збігаються з гратами періодів рис. 1, видання. Це ж можна сказати і про інших конгруентних точках жовтої і двох інших фаз. Складніша ГС рис. 2, С також відповідає рис. 1, видання. Після повороту рис. 2, С (або системи координат) на 30 ° видно, що топологічно рис. 2, с, С збігаються. Відмінність полягає лише в тому, що кожному елементу фаз рис. 2, з відповідає за три елементи двох фаз рис. 2, С. При цьому, як неважко бачити, безлічі відповідних конгруентних точок всіх шести фаз збігаються з гратами періодів рис. 1, видання.

    з з

    Мал. 2. Приклади двоякоперіодичні багатокомпонентних ГС, відповідних грат рис. 1: двокомпонентна - а;

    трикомпонентні - ред і с; шестікомпонентная - С

    Наведені на рис. 2 багатокомпонентні ГС мають очевидну двоякоперіодічность з однаковими параметрами решіток періодів кожної фази в межах ГС. Як буде показано нижче, в цьому випадку основні періоди ГС в цілому збігаються з відповідними періодами фаз.

    З проведеного аналізу можна зробити ряд важливих висновків. Зокрема, правомірно ввести поняття конгруентних областей, геометрія яких повністю відтворюється в кожному параллелограмме періодів. Більш того, ці області можуть бути багатозв'язними і багатокомпонентними. Це випливає з твердження, що кожному паралелограма періодів системи (1) належить тільки одна точка цієї системи [15]. Розглядаючи сукупність довільних точок V з породжують ними множинами конгруентних точок (1), природно приходимо до поняття конгруентних двоякоперіодичні областей.

    Деякі додаткові особливості двоя-коперіодіческой ГС проілюструємо на прикладі складної ГС, показаної на рис. 3.

    Дискретна фаза цієї ГС представлена ​​трьома фракціями - червоною, синьою і зеленою. Основні паралелограми періодів цих фракцій виділені відповідними кольорами. Вони подібні до (тобто відповідні сторони паралелограма паралельні), але мають різні основні періоди і концен-

    ції включень. Наприклад, якщо для зеленої фракції ввести позначення О 1 = (®'й), то для червоної О2 = (аь 2-а 2), а для синьої О3 = (3-аь а2). Відзначимо, що кожен з виділених основних паралелограмів періодів О 1 має безліч еквівалентних, однак для даної ГС все вони приведені до подібним. Ця процедура необхідна для відповіді на важливе питання: чи є дана ГС двоякоперіодичні і якщо так, то які основні періоди цього середовища. Це питання поставлене в статті [16], тому обмежимося тут лише деякими уточненнями і доповненнями.

    ] ^ ^ ^ ^ 1 А ^ 7 / А А А щ / т А

    / Щ / щ /% /% / • /%, / і / / / і / / А ^ А М А А А / і / А А , & А А , >

    У У УтУУУш \ 3 А А А А А А% /, А А ММА%

    Щ / Ь /% м / т / т) / ш / / / і / / А А А А А А т / Ш / / ж / А А% / Ш / Ш / / / ^ А ж / ф А

    Мал. 3. Основні паралелограми періодів О1, О2, о3 окремих фаз і еквівалентні паралелограми періодів Оі про 'трикомпонентної ГС

    Умова двоякоперіодічності. Нехай деяка багатокомпонентна ГС складена з ряду двоя-коперіодіческіх ГС нижчого рівня. Позначимо через {О 1} безліч примітивних решіток а>'= (®1, ®2), 1 = 1, 2, 3, ... Р. В найпростішому випадку,

    когда®! = П '|а>1, а 2 = т '-а2, де йй1 і йй2 - деякі комплексні числа, причому 1т (йй 2 / йй')>0, а п1, т1 - довільні натуральні числа, що розглядається ГС двоякоперіодичні і її основні періоди й, а 2 визначаються наступним чином. Позначимо через N і М найменші загальні кратні для множин чисел {п1}, {т1}: N = НОК (п1, п2, ..., пр), М = НОК (т1, т2, ..., тр). Тоді а, = N3, а 2 = М-со2. Наприклад, для розглянутої на рис. 3 ГС N = НОК (1, 1, 3) = 3, М = НОК (1, 2, 1) = 2. Таким чином, ю = 3-с1, Ю2 = 2-со2. На рис. 3 два еквівалентних періоду ГС О і О 'виділені жовтим кольором.

    Відзначимо кілька важливих наслідків з проведеного аналізу.

    1. Необхідною умовою двоякоперіодічності ГС є існування в безлічі основних періодів фаз {О 1} підмножини подібних періодів {Про "}.

    2. Двоякоперіодічность і подобу періодів {Про "} не гарантує двоякоперіодічность ГС в цілому. Наприклад, нехай Ю = а, й = Ь, й = й, причому аф' - будь-які ірраціональні числа, наприклад, а = е, Ь = п. Очевидно , не можна підібрати цілі числа кратності для зазначених періодів.

    3. При лінійному переміщенні основного паралелограма періодів Про або при переході до еквівалентного паралелограма зберігаються всі неконгруентні компоненти (або їх частини), концентрація окремих фаз і фізичні параметри, що мають двоякоперіо-ною характер, наприклад, вектори намагніченості в відповідних конгруентних точках. Це важливо при практичному вирішенні завдань по визначенню локальних і ефективних параметрів ГС.

    Відзначимо, що встановлення факту двоякоперіо-дічності ГС і визначення її основних періодів значно розширює можливості дослідження ГС, оскільки забезпечує можливість застосування теорії еліптичних функцій і обмежує область аналізу основних параллелограммом періодів.

    Основні розрахункові співвідношення. У комплексній площині Е розглянемо середу з регулярною структурою, утворену безліччю конгруентних груп магнетиков, кожній з яких відповідає обмежена (в загальному випадку багатозв'язна) область 0тп = ^ 0'тп з досить гладкою кордоном (/ '= 1, 2, ..., до; т, п = 0, +1, +2, ...). Область В00, відповідну основному паралелограма Про з періодами ю \ і Ю1, позначимо для зручності через В. Відповідно і В Зовнішню по відно-

    шению до Магнетика область позначимо через

    Ве = Е / ВТП.

    Нехай В = В (Н, 2) - відома функція, що задає в загальному випадку неоднорідні, нелінійні і анізотропні властивості безлічі конгруентних елементів], 2 е ВТП. Якщо ж 2еВе, то В = д>Н.

    Розглянемо систему диполів з однаковими моментами М, розташованих в точках а). Їх комплексний потенціал і напруженість поля [2]

    ГМ (2) = М-а 2 #) + С (2 #),

    2п

    (2)

    М

    М

    Нм (2) = -К (2) = - --С {2-Ф) -С = - #) - З, (3) 2п 2п

    де? (2?) = С (і), Р (г-<е) = Р (і) - функції Вейершт-раса, а риса над комплексним числом означає операцію сполучення.

    Без обмеження спільності сумісний період ю'з віссю х і приймемо 1тй = 0. З огляду на співвідношення Лежандра

    'Л \ -й2-г12-й \ = 2щ, для константи С отримаємо вирази [2]

    j - М2 М гц =

    2п

    З = --- М ГГ'- + М 2 Г

    "А, а

    ь ш2, а'- А2 2п а'

    j - 1т М М г? "2п а,

    (4)

    Про? .Н. ^ ь

    де М', М2 - розкладання вектора М за напрямками періодів з і а1, ^ О = а1-1та2 - площа основного паралелограма періодів Про.

    Нехай 3 (2), 2еВ - розподіл намагніченості, що виникає під дією поля первинних джерел Н0 (2). Спільне розгляд в області В дії первинних і вторинних джерел (намагніченості всіх магнетиков в Е) призводить до виразів для комплексного потенціалу і напруженості:

    W (2) = ^ (2) + WJ (2) = ВД + ^ | 13 (Я) | [С (2 -Я -

    --З | (2-га)] | а ^ + Р-1т 3 (Я) | (2-га | йт (

    (5)

    Н (2) = Н 0 (2) + Нз (2) = Н 0 (2)-

    2п

    <Г3 (Я)

    Р (2-га) +-

    зі.

    dтi +

    ; | 1т Р

    рп

    (6)

    П / = --13 (Я) |

    Р (2 -Я) +-

    2j| 1т Р ^ йте + ^ -. (7)

    Я Рп

    Позначимо В = / і01Б і розглянемо ланцюжок рівностей:

    3 = В - Н = (і-1) | Н; В, + Н, = П 3;

    ' > 3 3 о_ (8)

    ББ + Н = (і +1) Н = 2Н0 + В3 + Н3 = 2Н0 - П.

    Зі співвідношень (7) і (8) легко отримати інтегральне рівняння щодо вектора намагніченості середовища 3 (2), 2еВ:

    3 (2) = Х (2Н 0 (2) - Па3) = = л \ 2Н 0 (2) + 1 | 7Я-

    Р (2-га) + -

    ат

    ; Т р

    1 (9)

    де Я = (і-1) / (і + 1).

    Наведемо ще один вислів для сингулярного оператора П0Т. Позначаючи через ае коло малого радіусу е, а через Ве = В \ ае - область В з виколоти точкою 2 = Я, вираз (7) перетворимо до виду

    пщ = - Г3 (Я) 4

    З (2-га) (2-га)

    Атя +

    2j| 1т Р

    ~? Ф (Я):

    ^ (2-га) - ^ (2-га)

    ><гя- (10)

    1 |? Я

    тг <> '

    V,

    а-Я) - Ч2-Я)

    са

    &тя + '

    2j| 1т Р

    Легко встановити, що

    р = | 3 (Я) | ат = | {ЕяЯ-3 (Я)] - Я ^} | а ^. (11)

    В В

    Застосовуючи до виразів (10), (11) формулу Гріна в припущенні дифференцируемости функції /

    ?Я| т = -і / (Я) | й ~ Я + ^? / (Я) | а (12)

    Ве 2 S 2? 2-Я = е

    і враховуючи, що інтеграл (12) по колу досить малого радіуса еравен нулю, знаходимо:

    Р =? 3 (Я) | dтя =? {5я [Я | 3 (Я)] - Я |} =

    В В

    = - 3 (Я) | ^ -? Я ^ | а ^ Я.

    2-1 X В

    Тут X - межа області В (в загальному випадку багатозв'язна). При Л (2) = сош1 дД ​​= 0, тому сингулярних оператор Па1 виражається через поверхневий (граничний) інтеграл

    де Р- повний дипольний момент основного паралелограма П. Інтеграл в (6) - сингулярний.

    Розглянемо більш докладно лінійний випадок: В = і ^ Н = і і ^ Н, Ве = Ін для 2еВ і 2еВе відповідно. У цьому випадку поза області В 3 (2) = 0 і завдання розрахунку характеристик поля в довільній точці ГС зводиться до розрахунку розподілу вектора намагніченості 3 (2) в В.

    Введемо в розгляд важливий для подальшого інтегральний оператор [2]

    -

    ^ = ^ Я) |

    а 2-я) - 2 -я)

    а я-

    ---яе

    рп

    ?Я | 3 (Я) ая

    (13)

    Реалізація основних співвідношень. Розглянемо тепер питання практичної реалізації отриманих виразів. Уявімо область У сукупністю трикутних елементів В- ^ Вк з постійною намагніченістю Jk, що відповідає центру ваги Я трикутника Вк. У цьому випадку рішення J (z) = uJk (z) можна отримати методом простих ітерацій для рівняння

    -(2ш) = 2я-НШ + -У Г)

    п до

    Р (2 -Я) +

    | АТ +

    2уЬ

    (14)

    1т X? -, (Як) -агк.

    (Т = 1, 2, 3, ..., М; - = 1, 2, 3, ...).

    Якщо розглядати намагнічені області Вк як диполі з магнітними моментами М = ^ Ат, 'розташованими в точках Я до, то (14) значно спрощується:

    Jш = 2 ^ Н0Ш + -|X? АШ |

    П до гк

    ,-1 АТК +

    | 1т У Г | Дт

    (15)

    де АШК = р (2Ш - Я1) + V /.

    У ^ гчісленіе значень АШК можна виконувати з використанням формул [15]

    р (і) =---

    щ

    1

    (До - к-1) 2

    У

    | К-2

    (1 - я2 "| к-2) 2

    д2г | к2 + (1 - Я2 "| к2) 2

    (16)

    або при -1тт< 1т v< 1ТТ

    VI

    З а | а>1 ^ = 11 - д-

    8п2 ^ пдд ^

    З і = 11 - д

    гсо8 (2л | wv), (17)

    р (і) =

    де і - ІШК = 2Ш-Я, д = ехр (РТГ), v = і / щ.

    Для однорідно намагнічених трикутників інтеграли в (14) можна в ^ гчісліть аналітично. Застосовуючи для к-го трикутника вираз (13) і враховуючи, що [15]

    а (і) - і = - = - И3 ^, т), (18)

    yoі

    ССЯ

    отримаємо

    П

    1

    В

    до

    В

    гк _

    ПС = У Т К [М (2т-Я) іноземних мов-

    до 2п Хк

    -У Яе

    РП до

    ?я-а

    гк

    = У-

    * 2п;

    ак 1п ^ (2т - 2 *) + а- 1п ^ (2т - 2) + + а, і1п ^ (2-2К)

    - - У Яе

    П до

    ?я-а

    (19)

    Г (2) = 2) + 1 |У 3к | а (2 - Як) -2п Т

    -- (0 (2-Як)] | ДТК + -У 1т3к | (2| ДТК -gk),

    ®1 Рп до

    де для gk з використанням формули Гріна отримаємо

    =? Я| ДТК = 2? Дя (Я2) | ДТК = 4? Я2 ^ Я =

    1

    тк =

    ; / _3 "," 3 ", _3

    = 23 ^ ку +2 3 |а * до + 23 X

    а для ^ (і) - - / щ) і можна використовувати абсолютно і рівномірно сходиться ряд

    (

    а (і) - |і = -|

    про,

    про,

    до + к-1 до - до

    1 + 2 | У

    д2п |к2 1 -д2 "|к2 - д2пк2 1 - д 2" |к2

    до Вк

    -У 1т 3к (2ДТк - gk) = ВД -

    П до

    - У 3к Т \ n3VTCЯ + РL У 1т 3к (2ДТк - gk).

    пк

    1п

    (0, т)

    = 1пБт (^) +

    +2 У

    У цьому виразі? - межа к-го трикутника, 2-, 2, 2 до - комплексні координати його вершин,

    а ^ у = аи - ау, А'к ау аук, а] до 'аук ак', АШП = (2 "- 2т) / (2" - 2т), ш, п = ', у к; ^ - тета-функція, що має високу швидкість збіжності: 31 = 2д1 / 4 ^^ XV) - Д2 Бт (3 |л у) + д6 8ш (5 |л у) -...].

    Розглянемо більш докладно розрахунок комплексного потенціалу (5) по відомому розподілу вектора намагніченості 3 (2) в В. В найпростішому випадку дискретний аналог цього рівняння за аналогією з (15) набуває вигляду

    ^ "-2" Г [1 - соб (2ЛП V)].

    1 п ^ (1 -д2 ") З огляду на, що відповідно до (12)? YoЯ - 0.

    Г

    ? 1п 51 (v, т) а =? 1п 81П (л V) | а -

    да

    - 2У? ап | со8 (2ЛП | V) | а,

    "= 1 X

    де ап = д2п / [п | (1 - д2п)].

    Обчислення першого інтеграла в (25) призводить до вираження

    (25)

    / 1 =? 1п8ш (лу) Я =? 1п

    УП (1 -У)

    а =

    (20)

    (21)

    або при -1тт< 1т v< 1т т

    а (і) |і = - • (+ 4| У - ^ - 51П (2лп|у) 1. (22)

    щ о ^ п = 11- д)

    Більш точний вираз для W (2) можна отримати, переходячи в (5) до інтеграла по межі Xе. Використовуючи (18) і (20), перепишемо (5) у вигляді

    Щ2) = ВД -2-У3к? дя ^ Ут)] ^ +

    (23)

    Для обчислення інтегралів в (23) використовуємо відоме розкладання для тета-функції

    =? 1п (2-га) |ая + У? 1п [(2-га) 2 - (п с) 2] ^ ая =

    Бк "= 1 Бк

    ВІД

    = -АШу 'У'п | [и1, Ч1п и1, - 1) + і 2, Ч1п і 2, - 1)] - (26)

    п = 0

    да

    -а, -к 'У'п | [ії Ч1п і1у - 1) + і2у Ч1п і2у - 1)] -

    п = 0

    да

    -а-Ш 'У'п - [і1к Ч1п і1к - 1) + і2к Ч1п і2к -%

    п = 0

    де щр = 2 - п - 2р, і2р = 2 + п / - 2р, р = -, у, до; 'П = 0,5 при п = 0 і'п = 1 при п Ф 0.

    Обчислення другого інтеграла в (25) дає:

    12 = -2 [ап | со8 (2п пу) | а = У -п1Щ0- х

    ?до п = 1 Пп (27)

    х \ [аук 81П (2лпУ) + а ^ БШ (2п1у ') + ауЬ $, \ п (2тук)],

    де уу = (2 - 2]) / а1У = (2 - 2 ') / о1, ук = (2 - 2к) / о1.

    Слід мати на увазі, що логарифм є багатозначна функція, тому при інтегруванні по межі X необхідно вибирати його безперервні гілки.

    Приклади чисельної реалізації. Нижче наведені приклади чисельного моделювання, що ілюструють можливості викладеного методу. На рис. 4-8 показані картини поля (силові лінії - сині, ек-віпотенціалі - червоні) для трикомпонентної ГС з основними періодами щ = 8, ®2 = 6 ;. Зовнішнє поле Н0 однорідний і направлено під різними кутами відносно горизонтальної осі.

    На рис. 5 при тих же параметрах, що і на рис. 4, виконаний розрахунок поля в еквівалентному параллелограмме періодів П 'з Щ = 8, = -8 + 6 ;. порівняння

    розподілу поля на рис. 4 і рис. 5 підтверджує висновок про збереження характеристик поля в конгруентних точках еквівалентних періодів. Свобода вибору з еквівалентних періодів більш зручного для розрахунку і візуалізації результатів в даному випадку однозначно говорить на користь рис. 4.

    Вибір зазначеного на рис. 6 кута 9,2535 ° пояснюється напрямком зовнішнього поля Н0 у напрямку головної осі анізотропії гомогенизированной ГС (розрахунок - див. Далі).

    2 п

    4 '

    10

    8

    6

    4

    2

    О 2 4 й а 10 12

    Мал. 4. Картина поля в трикомпонентної ГС при відносних магнітноїпроникності дискретних елементів, «= 1000 і зовнішнього середовища ^ е = 1. Зеленим пунктиром виділений основний паралелограм періодів. Зовнішнє поле Н0 = 1

    Мал. 5. Картина поля в еквівалентному основному періоді (виділено зеленим пунктиром) при параметрах ГС рис. 4

    (Г ^ ТР ПТ-

    і

    Ш-

    ТІ ---

    та А

    0 2 4 6 8

    Мал. 6. Те ж, що на рис. 4, але зовнішнє поле Н0 направлено під кутом 9,2535 ° до осі х

    й

    4

    2

    0

    Мал. 7. Відносні магнітні проникності трикутних, квадратних і круглих стрижнів відповідно дорівнює 1000, 10 і 2, ^ е = 1. Зовнішнє поле Н0 направлено під кутом 45 ° до осі х

    На рис. 8 і рис. 9 показані результати вирішення завдання обтікання: На рис. 8 наведені силові лінії потоку, а на рис. 9 - розподіл вектора намагніченості в магнітному аркуші з повітряними дискретними пустотами (див. Рис. 8). В даному випадку замість (9) використано рівняння

    J (2) = 2н0 ь = Ь-Ь..

    М1 + Ме 'М1 + Ме

    й

    4

    2

    0 2 4 6 8

    Мал. 8. Завдання обтікання. Відносні магнітні проникності дискретних елементів ц = 1, зовнішнього середовища-д, = 1000

    6

    4

    2

    0

    Мал. 9. Дискретизація розрахункової області і розподіл вектора намагніченості в завданню обтікання (рис. 8)

    Слід звернути увагу на важливу деталь: незважаючи на просту форму основного паралелограма періодів граничні умови на його сторонах апріорі не відомі і не зводяться до звичайно використовуваним в МСЕ умов.

    Розрахунок ефективних параметрів багатокомпонентної ГС. Оскільки викладений вище метод заснований на визначенні комплексного вектора намагніченості 3 в основному параллелограмме періодів, рішення задачі гомогенізації не представляє істотних труднощів. Для цього слід розрахувати 3 (2), 2еО для двох взаємно-перпендикулярних зовнішніх полів Н0, наприклад, для Н0 = 1 і Н 0 = j. Позначимо сумарну намагніченість всіх елементів в Про відповідно через рх = РХХ ^ рху і ру = рух +] РУУ. Тоді тензор відносної магнітної сприйнятливості до легко визначити через ефективну намагніченість середовища: в векторних позначеннях / = а = кН0. очевидно,

    КХХ = РХХ / Ра, Кху = рху! Ра, Кух = рух / Ра, Куу = РУУ!? А.

    У загальному випадку для обраної системи координат тензор до повинен бути симетричним, але не обо-

    зательно діагональним. Для приведення його до діагонального тензора до з головними значеннями КХХ, до (кху = кух = 0) введемо нову систему

    координат (х ', у') поворотом старої на кут а. Цей кут можна визначити з виразу

    1

    а = ^ arctg

    (

    \

    xy

    До До

    yy

    (28)

    а головні значення тензора К - з співвідношень

    _ = Kxx + Куу) + >/ КК

    .-Куу) 2 + 4-к 2

    (Kxx + К

    Куу = '

    'Уу) ^ Ло

    - Куу) 2 + 4Kxy2

    (29)

    2

    Відповідно до викладеного для середовища з параметрами, відповідними рис. 4, отримані наступні результати:

    1,0088 0

    1,0054 0,0211

    0,0210 0,8801

    0 0,8766

    а = 9,2535

    0,4462 - 0,0029 -0,0025 0,5571

    0 0, 5572

    а = 1,4169 °

    ляють пропорційним перерахунком і видно з рис. 4-9) і напрямку зовнішнього поля Н0 = 5 кА / м уздовж цього періоду на рис. 10 зображені лінії \ H \ 2 = const і перпендикулярні їм вектори магнітних сил F *. Оскільки силове поле матриці відрізняється високою неоднорідністю, на рис. 10 наведено фрагмент області з найбільш інтенсивним силовим полем. Площі зон захоплення магнітних частинок визначаються за відомою величиною мінімальної

    I Т7 * I

    сили вилучення F, визначення якої лежить

    I Imin

    за межами розгляду даної статті. Як зазначено вище, ця сила залежить від магнітної сприйнятливості вихідного продукту, розміру витягується фракції і ін. Технологічних параметрів. Наприклад, при | f * | = IfI

    (PaXV) = 5,5-109 А2 / м3, що

    приблизно відповідає реальним значенням, Изодом-

    I т - »* I

    ни F = const і зони вилучення частинок наведені на рис. 11.

    2.65

    Для компонентів тензора ефективної відносної магнітної проникності отримаємо очевидні значення:? Йхх = 2,0088,? Йуу = 1,8801.

    Для підтвердження правильності розрахунків на рис. 6 приведена картина поля, отримана при напруженості зовнішнього поля Н 0 = 1, спрямованої під кутом а = 9,2535 ° до осі х (тобто уздовж головної осі анізотропії). Для ефективної намагніченості середовища отримано достатньо точний результат: ^ = 1,0089-ехр (] - 9,256Ьл / 180).

    Для параметрів ГС, відповідної рис. 7, аналогічні результати рівні:

    0,4461 0

    2,55

    2.35

    4.25 4.3 4.35 4.4 4.45 45 4.55 4.6 4.65 4.7

    Мал. 10. Характеристики силового поля матриці рис. 4 в кутовий зоні трикутного елемента

    Компоненти тензора ефективної відносної магнітної проникності: цхх = 1,4461,

    ??УУ = 1,5572. Їх зменшення в порівнянні з наведеними вище значеннями пояснюється зменшенням ефективної намагніченості ГС за рахунок менших значень магнітних проникностей дискретних фаз. Незначна асиметрія тензора пояснюється практично нульовими його недіагональні компонентами.

    Розрахунок поля магнітних сил. Для додаткової ілюстрації можливостей розробленого методу наведемо результати розрахунку розподілу силового поля В * = \ H \ grad \ H \ = 0,5 ягаа (| # | 2). Як видно з останнього виразу, силове поле матриці ВГМС повністю визначається розподілом модуля вектора напруженості магнітного поля Н в робочому просторі матриці. В рамках розробленого методу це розподіл легко отримати на основі виразу (6) з використанням його дискретного аналога або співвідношення Н = - grad (ReW (z)).

    Для визначення силового поля В * необхідно задати вектор напруженості зовнішнього (фонового) поля Н0 і розміри елементів матриці. Наприклад, для ГС, відповідної рис. 4, при величині основного періоду ®1 = 8 мм (розміри елементів матриці визна-

    Мал. 11. ізодініт \ f \ = const і відповідні їм області вилучення силового поля при \ f * \ min = 5,5-109 А2 / м3 для фрагмента робочого простору матриці

    З наведеного аналізу видно, що висока неоднорідність силового поля (навіть в зоні вилучення сили можуть відрізнятися на 2-3 порядки) є негативним фактором. Більш кращим є достатня для отримання поле з мінімальним розкидом значень магнітних сил (в ідеалі - з-

    2

    динамічне). Відзначимо також високу чутливість поля сил до величини напруженості Н 0 і розмірами елементів фільтра. Це ставить під сумнів універсальність рекомендацій щодо визначення оптимальних геометричних форм елементів матриці без прив'язки до магнітної системи конкретної ВГМС і комплексного її дослідження.

    Польовий аналіз силового поля в матриці можна продовжити в наступному напрямку. Очевидно, що сформовані зони вилучення зменшують площу і геометрію області вільного протікання пульпи. Гідравлічну проникність матриці можна досліджувати шляхом вирішення задачі обтікання (див. Рис. 8) з видозміненій за рахунок налипання частинок геометрією непроникних для рідини областей.

    Таким чином, отримана на основі розробленого методу інформація може бути використана при розробці нових і модернізації існуючих ВГМС в наступних напрямках:

    • розрахунок значення тензора магнітної проникності (завдання гомогенізації) дає можливість досить точно визначити магнітне опір матриці як основного елемента магнітної системи сепаратора, і в результаті розрахунку розподілу магнітного потоку в ньому визначити середню магнітну індукцію в матриці і розрахункове значення напруженості поля Н0. Для розглянутого прикладу jUxx ~ 2 і Н 0 = 5 кА / м середня магнітна індукція становить 5 = ​​0,126 Тл;

    • при обраних геометричних і магнітних параметрах елементів матриці при відомому значенні напруженості Н0 слід розрахувати поле магнітних сил \ F \ > \ F \ min (за прикладом рис. 10), а для заданої величини мінімальної утримує сили \ F \ min-площа потенційних зон вилучення і коефіцієнт заповнення робочого простору (рис. 10). При цьому слід мати на увазі, що питомий магнітний опір матриці не залежить від абсолютних розмірів її елементів і напруженості зовнішнього поля. У той же час магнітні сили \ F \ пропорційні \ H0 \ 2 і обернено пропорційні абсолютними розмірами елементів. З цього випливає, що перерахунок силового поля в цих випадках проводити не слід, оскільки картина ізодініт | f * | = Const залишається незмінною, змінюються лише значення їх величин;

    • розрахована конфігурація непроникних для рідини областей дає можливість оцінити гідравлічну проникність пульпи і прийняти рішення про зміну силового поля F * в ту чи іншу сторону;

    • варіюючи геометричні розміри і форми елементів матриці і проводячи серію відповідних обчислювальних експериментів можна оптимізувати магнітну систему ВГМС в цілому при заданих технологічних обмеженнях.

    Таким чином, використання запропонованого методу дозволить створити додаткові можливості підвищення технічних характеристик електрофізичних пристроїв з елементами ГС, наприклад, високоградієнтних магнітних сепараторів, електростатичних фільтрів та ін. Конструкцій, для яких універсальність і точність розрахунку ефективних і особливо локальних характеристик поля є визначальними.

    висновки.

    1. Розроблено універсальний метод розрахунку локальних і ефективних характеристик магнітного поля багатокомпонентної гетерогенного середовища з двоя-коперіодіческой структурою, який базується на рішенні інтегрального рівняння щодо вектора намагніченості елементів основного паралелограма періодів.

    2. Проведені обчислювальні експерименти підтверджують високу ефективність і точність запропонованого методу. Його основними перевагами є компактність розрахункової області, відсутність необхідності завдання невідомих граничних умов на сторонах паралелограма періодів і жорстких обмежень геометрію і кількість компонентів гетерогенного середовища.

    3. Однією з ефективних областей застосування розробленого методу є аналіз силових полів матриць високоградієнтних магнітних сепараторів. Можливість комплексного врахування чинників, що визначають ефективні та локальні характеристики поля, відкриває додаткові можливості оптимізації параметрів матриці і поліпшення мас-согабарітних і технологічних характеристик сепаратора в цілому.

    4. Без істотних змін метод може бути використаний при аналізі інших потенційних полів в двоякоперіодичні системах (конструювання електростатичних фільтрів, завдання обтікання решіток складного профілю та ін.).

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Ємець Ю.П. Електричні характеристики композитних матеріалів з регулярною структурою. - Київ: Наукова думка, 1986. - 191 с.

    2. Толмачов С.Т. Спеціальні методи вирішення завдань магнітостатики. - Київ: Вища школа, 1983. - 166 с.

    3. Kowalczyk P., Bielski W., Idzik A. Effective conductivity in two-dimensional two-component structures: macroscopic isot-ropy // Photonics Applications in Astronomy, Communications, Industry, and High-Energy Physics Experiments. - 2014. - Т. 9290. - P. 92901A. doi: 10.1117 / 12.2075144.

    4. Earhart C.M., Nguyen E.M., Wilson R.J., Wang Y.A., Wang

    5.X. Designs for a microfabricated magnetic sifter // IEEE Transactions on Magnetics. - 2009. - vol. 45. - no. 10. - pp. 4884-4887. doi: 10.1109 / tmag.2009.2026486.

    5. Ge W., Encinas A., Araujo E., Song Sh. Magnetic matrices used in high gradient magnetic separation (HGMS): A review // Results in Physics. - 2017. - vol. 7. - pp. 4278-4286. doi: 10.1016 / j.rinp.2017.10.055.

    6. Oder R. High gradient magnetic separation theory and applications // IEEE Transactions on Magnetics. - 1976. - vol. 12. - iss. 5. - pp. 428-435. doi: 10.1109 / TMAG.1976.1059076.

    7. Svoboda J. Magnetic Techniques for the Treatment of Materials. - Kluwer Academic Publishers, 2004. - 642 p. doi: 10.1007 / 1-4020-2107-0.

    8. Ren L., Zeng S., Zhang Y. Magnetic field characteristics analysis of a single assembled magnetic medium using ANSYS software // International Journal of Mining Science and Technology. - 2015. - vol. 25. - no. 3. - pp. 479-487. doi: 10.1016 / j.ijmst.2015.03.024.

    9. Song C.C., Ning G.H., Yuan Z.Y., Jing L.X., Hui C.C., Yao M.S. Investigation of the influence of different matrix rotation angles on the surrounding magnetic field in a uniform magnetic field // Ming Metall Eng. - 2014. - no. 34. - pp. 290-294.

    10. Gerlici J., Шведчикова I.О., Романченко Ю.А., Нжггчен-ко I.В. Визначення рацюнальніх геометричність параме ^ в

    пластинчастого елеменпв MarHITHOi матріцi полiгрaдieншо-го сепаратора // Електротехтка i електромехатка. - 2018. -№ 4. - С. 58-62. doi: 10.20998 / 2074-272X.2018.4.10.

    11. Hou L.S., Geng L. A kind of high gradient magnetic matrix for high-intensity magnetic separator, CN. Patent. - 2012.

    12. Zheng X., Wang Y., Lu D., Li X. Study on the application of elliptic cross-section matrices for axial high gradient magnetic separation: key considerations for optimization // Physico-chemical Problems of Mineral Processing. - 2019. - vol. 55 (3). - pp. 655-666. doi: 10.5277 / ppmp18178.

    13. Ding L., Chen L.Z., Zeng J.W. Investigation of combination of variable diameter rod elements in rod matrix on high gradient magnetic separation performance // Advanced Materials Research. - 2014. - vol. 1030-1032. - pp. 1193-1196. doi: 10.4028 / www.scientific.net / amr.1030-1032.1193.

    14. Толмачов C.T, Рожненко Ж.Г. Комплексне вирішення завдання магнітостатики в системі з упорядкованою гетерогенної середовищем // Вісник НТУ «ХПІ». - 2008. - № 40. - С. 139-145.

    15. Hurwitz A., Courant R. Vorlesungen uber allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. - J. Springer, 1922. - 399 p.

    16. Толмачов С.Т., Бондаревський С.Л. Класифікація гетерогенних структур і умова їх двоякоперіодічності // Східно-Європейський журнал передових технологій. -2013. - Т. 5. - № 5 (65). - С. 24-29.

    REFERENCES

    1. Yemets Y.P. Elekricheskie harakteristiki kompozicionnih materialov s reguliarnoi ctrukturoi [Electrical characteristics of regular structure composites]. Kyiv, Naukova Dumka Publ., 1986. 191 p. (Rus).

    2. Tolmachev S.T. Specialnie metody resheniia zadach magni-tostatiky [Special methods for solving magnetostatic problems]. Kyiv, Vyshcha shkola Publ., 1983. 166 p. (Rus).

    3. Kowalczyk P., Bielski W., Idzik A. Effective conductivity in two-dimensional two-component structures: macroscopic isot-ropy. Photonics Applications in Astronomy, Communications, Industry, and High-Energy Physics Experiments, 2014 року, Т. 9290, P. 92901A. doi: 10.1117 / 12.2075144.

    4. Earhart C.M., Nguyen E.M., Wilson R.J., Wang Y.A., Wang

    5.X. Designs for a microfabricated magnetic sifter. IEEE Transactions on Magnetics 2009, vol. 45, no. 10, pp. 4884-4887. doi: 10.1109 / tmag.2009.2026486.

    5. Ge W., Encinas A., Araujo E., Song S. Magnetic matrices used in high gradient magnetic separation (HGMS): A review. Results in Physics 2017, vol. 7, pp. 4278-4286. doi: 10.1016 / j.rinp.2017.10.055.

    6. Oder R. High gradient magnetic separation theory and applications. IEEE Transactions on Magnetics, 1976, vol. 12, iss. 5, pp. 428-435. doi: 10.1109 / TMAG.1976.1059076.

    7. Svoboda J. Magnetic Techniques for the Treatment of Materials. Kluwer Academic Publ., 2004. 642 p. doi: 10.1007 / 14020-2107-0.

    8. Ren L., Zeng S., Zhang Y. Magnetic field characteristics analysis of a single assembled magnetic medium using ANSYS software. International Journal of Mining Science and Technology, 2015-го, vol. 25, no. 3, pp. 479-487. doi: 10.1016 / j.ijmst.2015.03.024.

    9. Song C.C., Ning G.H., Yuan Z.Y., Jing L.X., Hui C.C., Yao M.S. Investigation of the influence of different matrix rotation angles on the surrounding magnetic field in a uniform magnetic field. Ming Metall Eng, 2014 року, no. 34, pp. 290-294.

    10. Gerlici J., Shvedchykova 1.О., Romanchenko J.A., Nikitchenko I.V. Determination of the rational geometrical parameters of plate type elements of magnetic matrix of the polygradient separator. Electrical engineering & electromechanics, 2018, no.4, pp. 58-62. doi: 10.20998 / 2074-272X.2018.4.10.

    11. Hou L.S., Geng L. A kind of high gradient magnetic matrix for high-intensity magnetic separator, CN. Patent, 2012.

    12. Zheng X., Wang Y., Lu D., Li X. Study on the application of elliptic cross-section matrices for axial high gradient magnetic separation: key considerations for optimization. Physico-

    chemical Problems of Mineral Processing, 2019, vol. 55 (3), pp. 655-666. doi: 10.5277 / ppmp18178.

    13. Ding L., Chen L.Z., Zeng J.W. Investigation of combination of variable diameter rod elements in rod matrix on high gradient magnetic separation performance. Advanced Materials Research, 2014 року, vol. 1030-1032, pp. 1193-1196. doi: 10.4028 / www.scientific.net / amr.1030-1032.1193.

    14. Tolmachev S.T., Rozhnenko Z.G. Complex solve of a magne-tostatic problem in systems with ordered heterogeneous medium. Bulletin of NTU «KhPI», 2008, no. 40, pp. 139-145. (Rus).

    15. Hurwitz A., Courant R. Vorlesungen uber allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. J. Springer, 1922. 399 p. (Ger).

    16. Tolmachev S.T., Bondarevskyi S.L. Classification of heterogeneous structures and conditions of their doubly periodicity. Eastern-European journal of enterprise technologies, 2013, vol. 5, no. 5 (65), pp. 24-29. (Rus).

    Надійшла (received) 20.08.2019

    Толмачов Станіслав Трофімовіч1, д.т.н., проф., Бондаревський Станіслав Львовіч1, к.т.н., доц., Ільченко Олександр Владіміровіч1, к.т.н., доц., 1 Криворізький національний університет, 50027, Дніпропетровська обл., Кривий Ріг, вул. Віталія Матусевича, 11, e-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    S.T. Tolmachev1, S.L. Bondarevskyi1, A.V. Il'chenko1 1 Kryvyi Rih National University,

    11, Vitaly Matusevich Str., Kryvyi Rih, Dnipropetrovsk Region, 50027, Ukraine.

    Magnetic properties of multicomponent heterogeneous media with a doubly periodic structure.

    Heterogeneous media have a wide range of practical applications. Media with a doubly periodic structure (matrices of highgradient magnetic separators, etc.) occupy an important place. Their study is usually based on experimental and approximate methods and is limited to simple two-phase systems. The development of universal and accurate methods of mathematical modelling of electrophysical processes in such environments is an urgent task. The aim of the paper is to develop a method for calculating local and effective parameters of a magnetostatic field with minimal restrictions on the number of phases, their geometry, concentration, and magnetic properties. Based on the theory of elliptic functions and secondary sources, an integral equation is formulated with respect to the magnetization vector of the elements of the main parallelogram of the periods. The calculated expressions for the complex potential, field strength, and components of the effective magnetic permeability tensor are obtained. The results of a series of computational experiments confirming the universality and effectiveness of the method are presented. As an example of a practical application, a detailed study of the field of the magnetic forces of the matrix is ​​carried out: the lines of magnetic isodine and potential extraction areas for a complex version of the matrix are constructed. Within the framework of the developed method, the calculation of local and effective field characteristics is carried out by solving the field problem in the field of an arbitrary parallelogram of periods without specifying boundary conditions on its sides with a comprehensive consideration of significant interdependent factors. The practical value of the method is to create new opportunities for improving the technical characteristics of electrophysical devices for which the universality and accuracy of calculating local and effective field characteristics is decisive. An algorithm for optimizing the characteristics of the separator is proposed. References 16, figures 11. Key words: doubly periodic heterogeneous medium, integral equation, magnetization vector, strength field, homogeniza-tion problem, magnetic permeability tensor, polygradient separation, matrix, magnetic forces.


    Ключові слова: Двоякоперіодичні гетерогенного середовища /інтегральні рівняння /ВЕКТОР намагнічених /ПОЛЕ НАПРУЖЕНОСТІ /ТЕНЗОР магнітної проникності /високоградієнтним СЕПАРАЦІЯ /МАТРИЦЯ /МАГНІТНІ СИЛИ /DOUBLY PERIODIC HETEROGENEOUS MEDIUM /INTEGRAL EQUATION /MAGNETIZATION VECTOR /STRENGTH FIELD /HOMOGENIZATION PROBLEM /MAGNETIC PERMEABILITY TENSOR /POLYGRADIENT SEPARATION /MATRIX /MAGNETIC FORCES

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити