На основі теорії двофазного запізнювання розроблена математична модель теплопровідності для стержня довільного перетину в умовах конвективного теплообміну з навколишнім середовищем. При виведенні диференціального рівняння, що описує процес переносу теплоти в локально нерівноважних умовах, використовувалася формула закону Фур'є, що враховує одноразову релаксацію як теплового потоку, так і градієнта температури. Аналіз результатів чисельних розрахунків розподілу температури по довжині стрижня дозволив визначити залежність оптимальної довжини стержня від інтенсивності теплообміну з його бічної поверхні.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Єрьомін А.В.


Locally - non-equilibrium heat transfer in а rod with forced convection

Based on Dual-Phase-Lag theory a mathematical model of heat transfer in a rod was developed. During the derivation of the differential equation, the modified Fourier law was used. Analysis of the calculation results made it possible to determine the dependence of the optimal rod length on the intensity of heat transfer from its side surface.


Область наук:

  • фізика

  • Рік видавництва: 2019


    Журнал: Інженерний вісник Дона


    Наукова стаття на тему 'ЛОКАЛЬНО - нерівноважні ТЕПЛООБМІН У стрижні В УМОВАХ вимушеної конвекції'

    Текст наукової роботи на тему «ЛОКАЛЬНО - нерівноважні ТЕПЛООБМІН У стрижні В УМОВАХ вимушеної конвекції»

    ?Локально - нерівноважний теплообмін в стрижні в умовах

    вимушеної конвекції

    А.В. Єрьомін

    Самарський державний технічний університет, Самара

    Анотація: На основі теорії двофазного запізнювання розроблена математична модель теплопровідності в стрижні довільного перетину в умовах конвективного теплообміну з навколишнім середовищем. При виведенні диференціального рівняння, що описує процес переносу теплоти в локально - нерівноважних умовах, використовувалася формула закону Фур'є, що враховує одноразову релаксацію як теплового потоку, так і градієнта температури. Аналіз результатів чисельних розрахунків розподілу температури по довжині стрижня дозволив визначити залежність оптимальної довжини стержня від інтенсивності теплообміну з його бічної поверхні. Ключові слова: інтенсифікація теплообміну, граничні умови третього роду, просторово - тимчасова нелокальність, теорія двухфазного запізнювання, метод кінцевих різниць.

    У промисловості широко використовуються різного роду теплообмінні апарати, призначені для передачі теплоти від одного середовища (газ, рідина, розплавлений метал та ін.) До іншої. Їх ефективність характеризується кількістю теплоти, переданої через одиницю площі в одиницю часу, яке залежить від багатьох чинників: геометричної форми поверхонь (ребра, стрижні, шипи, лунки і ін.); фізичних властивостей матеріалу теплообмінника і омивають середовищ; коефіцієнтів тепловіддачі, що залежать від швидкостей течії середовищ [1, 2]. З метою інтенсифікації теплообміну в багатьох випадках застосовуються стрижні, розташовані перпендикулярно теплопередающей поверхні, перевага яких полягає в максимальній простоті конструкції. Однак їх тепловий розрахунок в нестаціонарних режимах роботи пов'язаний зі значними труднощами через необхідність вирішення крайової задачі для диференціального рівняння, що включає доданок, що враховує конвективний теплообмін стержня з навколишнім середовищем [3].

    Особливий інтерес представляють теплообмінні процеси, що протікають в локально - нерівноважних умовах. До таких процесів відносяться бистропротекающие процеси, тривалість яких порівнянна з часом релаксації т, а також будь-які інші процеси, що розглядаються на вельми малих початкових тимчасових ділянках [4 - 9].

    Розглянемо висновок диференціального рівняння теплопровідності для кінцевого стрижня довільного перетину в умовах конвективного теплообміну з навколишнім середовищем з урахуванням локальної нерівноваги (рис. 1). Для цього модифікуємо закон Фур'є виду q = -XдТ / дх так, щоб в ньому було враховано зміну в часі градієнта температури і теплового потоку [6 - 9]

    q

    X

    дт

    д 2ТЛ

    + Т-дх дхдн

    дн

    (1)

    Запишемо співвідношення теплового балансу для елементарної ділянки стрижня, з урахуванням теплообміну на бічній його поверхні [3]

    СРБ-АХМ = - Б-Ахан + а1 р (ТСР - Т) Ахан, дн дх

    (2)

    р - периметр; а1 - коефіцієнт тепловіддачі з бічної поверхні; Б-площа перетину; ТСР - температура середовища.

    Мал. 1. - Схема теплообміну в стрижні Розділимо обидві частини рівняння (2) на срБАхАн

    дт 1 ^ + а1р Т) ^ + - (ТСР - Т).

    ср дх СРБ

    (3)

    Підставляючи (1) в (3), знаходимо

    дт

    ДГ ср ДГ

    Т д (дд \ д2Т + д3Т +, (Т Т) 1 + а-- + + Ь (Т - Т).

    дх

    у

    дх2

    2 дх 2дг

    де Ь = (а1 р) / (пор?) - константа; температуропроводности. Висловимо з (3) дq / дх

    ДЧ дт _ + ЬсрТ - Т).

    Підставами (5) в (4)

    а = X / (ср) -

    (4)

    коефіцієнт

    (5)

    дТ_ ~ ДГ

    д 2Т Ь дт + д 2Т + д 3Т + Ь (Т Т - -тЬ- - + а-т + + Ь (ТСР -Т).

    1 дг2

    ДГ дх1

    дх 2дг

    (6)

    Рівняння (6) можна записати у вигляді

    дт

    д 2Т

    (1 + т1Ь) - + т1 - ^ = а

    ДГ

    дг2

    (&Т дг2

    + т

    д3Т л 2 дх 2дг

    + Ь (ТСР - Т).

    (7)

    Крайові умови для випадку, коли на одному з торців стрижня підтримується постійна температура (граничні умови першого роду), а на другому торці стержня теплообмін відбувається при граничних умовах третього роду (причому коефіцієнти тепловіддачі з бічної поверхні і з торця не рівні) мають вигляд

    Т (х, 0) = Т ,; = 0; Т (0,1) = Тс

    X ЯШ = а (Т - Т), (8)

    ДГ 'дх

    де Т0 - початкова температура; Тст - температура стержня при х = 0; а коефіцієнт тепловіддачі на торці стрижня.

    позначимо:

    И =

    0

    а1

    т;

    Т - Т

    ср

    Т - Т

    10 ср

    "Аг х

    Бо = -т; ^ = -; Бо, 8 8 1

    ат

    1 .

    Т - Т

    В = -ср;

    Т -Т

    0 ср

    В = И2 / а; В

    82 Т-Т

    Бо2

    АТ 2

    ср

    Т -Т

    0 ср

    Бо3 = 1 + Ьт1

    Завдання (7), (8) з урахуванням позначень буде

    Д20 д © Д20 Д30

    БО1 ^ г + Бо3 - = ^ + --В0; (9)

    1 дБо2 3 ДБО д? 2 д? 2дБо

    0 (?, 0) = 1; д © (^, 0) = 0; 0 (0, Бо) = В; д0 (^ Ро) + Б10 (1, Бо) = 0. (10)

    Якщо покласти т1 = т2 = 0, то рівняння (9) наводиться до

    класичного рівняння для стержня з урахуванням теплообміну на бічній поверхні

    д © Д20 о0

    -= - + -В0.

    ДБО д? 2

    При вирішенні задачі (9), (10) чисельним методом введемо просторово - часову сітку з кроками А ?, або по змінним?, Бо так, що

    ?г =? А ?, I = 0,1; Бок = до Або, к = 0, К, (11)

    де I, К - кількість кроків по координатам?, Бо.

    На сітці (11) введемо сіткові функції 0, = 0 (?, Бок) [10].

    Використовуючи явну схему апроксимації, завдання (9), (10) може бути записана у вигляді

    0к-1 - 20к + 0к + * 0к + 1 - 0к 0к, - 20к + 0к +,

    Бо, --1 --- + Бо3 --- = ^ -2-- +

    1 АБо2 3 або А? 2

    0к + 1 _ 20к + 1 + 0к + 1 - 0к + 20к - 0к + Бо2 0-1 20 + 0 + 1 0-1 +20 0 + 1 - В0к; (12)

    2 А? 2АБо г

    0к - 0к

    00 = 0; 00 = 01; 00 = В; 01 ^ 1 -1 + Б107к = 0. (13)

    Результати рішення задачі (12), (13) представлені на рис. 2 - 4.

    0,8 ©

    0,6 0,4 0,2

    0 0,25 0,5 0,75? 1,0

    Мал. 2. - Розподіл температури в стрижні: БО1 = Бо2 = 0; В = 0,667; В = 160 Аналіз результатів чисельних розрахунків розподілу температури по довжині стержня дозволяє зробити висновок, що при високій інтенсивності теплообміну (Bi > 0,5) частина стрижня приймає температуру навколишнього середовища (див. Рис. 2). Так, наприклад, при В1 = 1 безрозмірна температура в діапазоні значень 0,6 < ? < 1 дорівнює нулю. При цьому тепловий потік в напрямку осі стрижня на цій ділянці відсутня. Таким чином, подальше збільшення довжини стержня не призводить до збільшення теплового потоку в напрямку осі стрижня, тобто існує оптимальна довжина стержня, при якій теплова потужність стержня (шипа, ребра) перестає збільшуватися. На рис. 3 представлена ​​залежність оптимальної довжини? стрижня від В1.

    У статті також виконана оцінка впливу коефіцієнтів релаксації на процес теплообміну в стрижні. На рис. 4 наведені результати розрахунків температури в несталому процесі теплообміну. Їх аналіз дозволяє зробити висновок, що облік релаксаційних властивостей має найбільший вплив на процес теплообміну в діапазоні тимчасової змінної 0 < бо < 0,2. З плином часу розбіжність результатів розрахунків при БО1 = Бо2 = 0 і БО1 = Бо2 = 0,1 зменшується і не перевищує 5%.

    \\ \\ В1 = 0,1 0.2

    2х-- 1 ---

    Процес встановлення граничних умов першого роду становить або * 0,2.

    \ Алгг

    ° 0,4 0,55 0,7 0,85 / 1,0

    Мал. 3. - Залежність оптимальної довжини стержня від И: БО1 = Бо2 = 0; В = 0,667; В = 160

    У у 'Г У

    / / X * '/ А // / / / / / / 0,05 ----------

    - --

    / V / / // / /// / 0.4

    Мал. 4. - Розподіл температури в стрижні: В = 0,667; В = 0,312; 1 - БО1 = Бо2 = 0; 2 - БО1 = Бо2 = 0,1

    Дослідження виконано за фінансової підтримки Російського фонду фундаментальних досліджень (РФФД) в рамках наукового проекту № 18-38-00029 мовляв а й Ради по грантам Президента РФ в рамках наукового проекту МК-2614.2019.8.

    література

    1. Кудінов І.В., Єрьомін А.В., Сичинава Г.В., Бранфілева А.Н., Ткачов В.К., Курганова О.Ю. Експериментальне дослідження потужності газоводяних теплообмінників // Вісник СамГТУ. Серія «Технічні науки». Самара, 2017. №2 (54). С.146 - 153.

    2. Ликов А.В. Теорія теплопровідності. М .: Вища школа, 1967. 600 с.

    3. Арамановіч І.Г, Левін В.І. Рівняння математичної фізики. М .: Наука, 1969. 288 с.

    4. Ликов А.В. Застосування методів термодинаміки незворотних процесів до дослідження тепло- і масообміну // Інженерно - фізичний журнал. 1965. Т. 9. № 3. С. 287.

    5. Liu K.C., Chang P.C. Analysis of Dual-Phase-Lag Heat Conduction in Cylindrical System with a Hybrid Method // Appl. Mathem. Modeling. 2007. V. 31. P. 369.

    6. Кудінов В.А., Єрьомін А.В., Кудінов І.В., Жуков В.В. Критичні умови теплового вибуху з урахуванням просторово-часової нелокальності // Известия вищих навчальних закладів. Авіаційна техніка. 2018. № 2. С. 100 - 104.

    7. Кірсанов Ю.А., Кірсанов А.Ю., Юдахіна А.Є. Метод вимірювання теплової релаксації в твердому тілі // Теплофизика високих температур. 2018. Т. 56. № 3. С. 446 - 454.

    8. Кірсанов Ю.А., Кірсанов А.Ю., Юдахіна А.Є. Вимірювання часу теплової релаксації і демпфірування температури в твердому тілі // Теплофизика високих температур. 2017. Т. 55. № 1. С. 122 - 128.

    9. Kudinov V.A., Eremin A.V., Kudinov I.V., Zhukov V.V. Strongly Nonequilibrium Model of Thermal Ignition with Account for Space - Time Nonlocality // Combustion, Explosion and Shock Waves. 2018. V. 54 (6). Pp. 649 -653.

    10. Каліткін М.М. Чисельні методи. М .: Наука, 1978. 512 с.

    References

    1. Kudinov I.V., Eremin A.V., Sichinava G.V., Branfileva A.N., Tkachev V.K., Kurganova O. Ju. Vestnik SamGTU. Serija «Tehnicheskie nauki». Samara, 2017. №2 (54). Pp.146 - 153.

    2. Lykov A.V. Teorija teploprovodnosti [Heat conduction theory]. M .: Vysshaja shkola, 1967. 600 p.

    3. Aramanovich I.G, Levin V.I. Uravnenija matematicheskoj fiziki [Equations of mathematical physics]. M .: Nauka, 1969. 288 p.

    4. Lykov A.V. Inzhenerno - fizicheskij zhurnal. 1965. V. 9. № 3. p. 287.

    5. Liu K.C., Chang P.C. Appl. Mathem. Modeling. 2007. V. 31. P. 369.

    6. Kudinov V.A., Eremin A.V., Kudinov I.V., Zhukov V.V. Izvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Aviacionnaja tehnika. 2018. № 2. Pp. 100 - 104.

    7. Kirsanov Ju.A., Kirsanov A.Ju., Judahin A.E. Teplofizika vysokih temperatur. 2018. V. 56. № 3. Pp. 446 - 454.

    8. Kirsanov Ju.A., Kirsanov A.Ju., Judahin A.E. Teplofizika vysokih temperatur. 2017. V. 55. № 1. Pp. 122 - 128.

    9. Kudinov V.A., Eremin A.V., Kudinov I.V., Zhukov V.V. Combustion, Explosion and Shock Waves. 2018. V. 54 (6). Pp. 649 - 653.

    10.Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical methods]. M .: Nauka, 1978. 512 p.


    Ключові слова: ІНТЕНСИФІКАЦІЯ ТЕПЛООБМІНУ /Граничні умови ТРЕТЬОГО РОДА /Просторово ВРЕМЕННАЯ нелокального /ТЕОРІЯ двофазним запізненням /Методом кінцевих різниць /HEAT TRANSFER INTENSIFICATION /THIRD KIND BOUNDARY CONDITIONS /TEMPORAL NONLOCALITY /DUAL-PHASE-LAG THEORY /FINITE-DIFFERENCE METHOD

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити