Робота присвячена побудові кусочно-трикутні базису для 26-вузлового кубічного кінцевого елемента. Показано, що за допомогою процедури усереднення можна будувати апроксимації гармонійних функцій з більшою точністю, ніж при використанні базисів більш високого порядку.

Анотація наукової статті з фізики, автор наукової роботи - Ніколаєнко Ю.І., Моісеєнко С.В.


PIECEWISE TRILINEAR BASIS OF 26-NODE CUBIC FINITE ELEMENT

The aim of the study was to building 26-node cubic finite element of piecewise trilinear basis by which it will be possible to construct approximations of the solution of the Laplace equation with is not inferior in accuracy of higher order approximations. It is shown that by using an averaging procedure can build approximations harmonic functions with a higher accuracy than when using higher order of basis.


Область наук:

  • фізика

  • Рік видавництва: 2015


    Журнал: Вісник Херсонського національного технічного університету


    Наукова стаття на тему 'Кусково-трикутний базис 26-вузлового кубічного кінцевого елемента'

    Текст наукової роботи на тему «Кусково-трикутний базис 26-вузлового кубічного кінцевого елемента»

    ?УДК 515.2: 519.6

    Ю.І. НІКОЛАЄНКО

    Херсонський фізико-технічний ліцей при ХНТУ та ДНУ

    СВ. МОЙСЕЄНКО

    Херсонський національний технічний університет

    КУСКОВО-трикутні БАЗИС 26-ВУЗЛОВОГО кубічних КІНЦЕВОГО ЕЛЕМЕНТА

    Робота присвячена побудові кусочно-трикутні базису для 26-вузлового кубічного кінцевого елемента. Показано, що за допомогою процедури усереднення можна будувати апроксимації гармонійних функцій з більшою точністю, ніж при використанні базисів більш високого порядку.

    Ключові слова: кусочно-трикутний базис, апроксимація гармонійних функцій, процедура усереднення.

    Ю.1. ШКОЛАСНКО

    Херсонський фiзіко-технiчний лщей при ХНТУ та ДНУ

    С.В. МО1СЕ6НКО

    Херсонський нацюнальній техшчній ушверсітет

    КУСКОВО-ТРІЛ1Н1ЙНІЙ БАЗИС 26-Вузловий КУБ1ЧНОГО СК1НЧЕННОГО елементів

    Робота присвячено побудовi кусочно-трілiнiйного базису для 26-Вузловий кубiчного сюнченного елемента. Показано, что с помощью процедури усереднення можна будуваті апроксимації гармонiчніх функцш з віщою точнктю, атж при вікорістаннi базіав бшьш високого порядку.

    Ключовi слова: кусочно-трілттній базис, апроксімацiя гармонiчніх функцш, процедура усереднення.

    U.I. NIKOLAENKO

    Kherson Physical and Technical Lyceum

    S.V. MOISEENKO

    Kherson national technical university

    PIECEWISE TRILINEAR BASIS OF 26-NODE CUBIC FINITE ELEMENT

    The aim of the study was to building 26-node cubic finite element of piecewise trilinear basis by which it will be possible to construct approximations of the solution of the Laplace equation with is not inferior in accuracy of higher order approximations. It is shown that by using an averaging procedure can build approximations harmonic functions with a higher accuracy than when using higher order of basis.

    Keywords: piecewise trilinear basis, harmonic approximation functions, procedure of averaging.

    Постановка проблеми

    З активним впровадженням в інженерну практику обчислювальної техніки найбільш ефективним наближеним методом вирішення прикладних задач механіки є метод кінцевих елементів. Ключова ідея МСЕ полягає в розбитті суцільного середовища на області - кінцеві елементи (КЕ), в яких поведінка середовища описується за допомогою окремих наборів функцій - базисних функцій (БФ). При вирішенні завдань математичної фізики в 3D областях найбільш поширеними формами об'ємних кінцевих елементів є чотиригранні і шестигранні кінцеві елементи [1-3]. Актуальність роботи полягає в необхідності створення нових підходів до конструювання інтерполяційних поліномів для задач відновлення функцій.

    Один із шляхів поліпшення моделі - це усереднення ординарних математичних моделей. При цьому використання зваженого усереднення сприяє підвищенню точності, чутливості моделі. Широке застосування зваженого усереднення обумовлено, перш за все, існуванням глибоких зв'язків між різними методами дискретизації.

    Аналіз публікацій по темі дослідження

    Процедура усереднення в математичному моделюванні має універсальний характер і, як правило, є надійним засобом удосконалення моделі, методу, розрахункової схеми. Конкретні приклади описані в [4, 8]. Було встановлено, що ідеї усереднення присутні в багатьох чисельних методах. Зокрема, розрахункова формула такого популярного методу, як метод кінцевих різниць (МСР), являє собою середнє арифметичне в разі квадратної сітки, середнє зважене в разі прямокутної сітки і адаптованого шаблону. Метод скінченних елементів (МСЕ) також використовує усереднення при побудові інтерполяційного полінома на окремому елементі. У схемах випадкових блукань методу Монте-Карло теж використовується зважене усереднення. Це дає можливість для створення нових моделей і методів.

    Класичні базиси для просторових елементів були отримані методами матричної алгебри [1-3]. Геометричний підхід, комбінований алгебро-геометричний метод і комп'ютерний експеримент дозволили побудувати альтернативні базиси [5-7] для 20, 32 і 44 вузлових моделей._

    СКЕ

    | 17 1бО

    18 (

    V.п

    4р- - - -о

    &

    *

    О-о-

    СКЕ-20

    СКЕ-32

    ІІ 1,

    | П |< 1 | ф 1.

    Базисні функції для вузлів в вершинах КЕ і проміжних вузлів

    N + І + ПП) (1 +? О (2037 (? П + ІС + ПП ^ Про -

    16000

    - 2074 (ІІ + пп + ^ 0 + 2111); , = 1,8; І = ± 1; п = ± 1; ? = ± 1 + 1 2

    N = (1 - І 2) (1 + пп) (1 + ^<) (74 - 2037пп - 2037?<); 16000

    1 2

    N = - (1 - І 2) (1 + пп) (1 + ^) (74 - 2 031 щп - 203760;

    16000

    i = 9,11,17,19; п = ± 1; = ± 1.

    N = 8000 (1 + ІІ) (1 + пп) (1 + ^ г<) (І250 (і 2 + п2 + + + 10647 (ПІП, п + + - 21294ІІ + пп + Ш + 8191);

    i = 1,8; І = ± 1; п = ± 1; = ± 1,

    9 2

    N (! - И2) (! + Пп) (! + С,<) (134 + 22500ІІ + 183пп +1183 ^, ^); 16000

    , = 9,10,13,14,25,26,29,30; І = ± 1; п = ± 1; & = ± 1.

    19

    20

    15

    І

    13

    3

    Слід зазначити, що моделі [5-7] задовольняють вимогам межелементних безперервності і геометричній изотропии, мають позитивний спектр повузлова розподілу рівномірної масової сили. Однак збільшення порядку КЕ в даних моделях привело до підвищення ступеня інтерполяційного полінома, і як наслідок до небажаних осциляціям на кордоні елемента. Крім того нерівномірний розподіл вузлів на кордоні, а саме концентрація вузлів на ребрах і вершинах і відсутність вузлів на гранях елемента, може вплинути на обчислювальну точність моделі.

    Трикутний базис найпростішого 8-вузлового КЕ кубічної форми з базисними функціями

    N, | = - ^ (1 + ІІ) (1 + пп) (1 + С? С) (І, = ± 1, п = ± 1, Сг = ± 1) володіє унікальними властивостями - його базисні 8

    функції є гармонійними і лінійно змінюються між сусідніми вузлами на кордоні елемента. Внаслідок чого він добре пристосований для апроксимації рішень задачі Дирихле для рівняння Лапласа. Тому привабливо виглядає перспектива побудови базису 26-вузлового КЕ кубічної форми, що зберігає переваги трилинейная базису.

    мета статті

    Побудувати кусочно-трикутний базис 26-вузлового КЕ кубічної форми, за допомогою якого можна будувати апроксимації гармонійних функцій, які не поступаються за точністю апроксимації більш високого порядку.

    Основна частина

    Побудуємо формулу усереднення для гармонійної функції, в якій значення функції в центрі

    Для цього за формулою Тейлора висловимо значення відновлюваної функції в граничних вузлах через її значення і значення її похідних в центрі куба з точністю до 0 (И8), де І - половина довжини ребра куба. Окремо підсумуємо значення функцій в тих вузлах, які знаходяться на однаковій відстані від центру куба.

    X ик = 8 "0 + 4 до 4 (мХХХУу + і ХХІІ + і ^) + - | 384м ХХХУуіі + 0 (до \

    до = 1 3 6!

    20 -4 (\ -6

    X ик = 12і0 + - (іХХХУу + іХХХІі + іууЬг) - 6Г -156іХхХХУуіі + 0 (- \

    до = 9 3 б! (1)

    26 до 4 (\ к 6

    X ик = 6Мо - - (мХХХУу + і + іУІі) + -т | 6і ^ і + 0 (до \

    до = 21 6 6!

    У формулах (1) ик - значення функції в к-му вузлі на поверхні куба, і0 - значення функції в центрі куба, все змішані похідні теж обчислюються в центрі куба. При цьому було враховано, що функція м (х, у, z) задовольняє рівняння Лапласа (м ^ + ИУУ + іZ2) = 0).

    Комбінуючи формули (1), можна позбутися від доданків, що містять множник к4, що дозволяє отримати 14-тіузловую і 18-тіузловую формули усереднення з позитивними коефіцієнтами, що мають похибку порядку 0 (к6):

    26 8 - 6 1 26 1 6 6 8 X ик + Хік = 56мо + - | 432мХХУуіі + 0 (до \ (2) або Мо = - X Мк + -XМк + 0 (к) (3) к = 21 к = 1 6! 7 к = 21 56 до = 1 26 20 - 6 1 26 1 20 6 2 X Мк + ХМК = 24мо - - -144м + 0 (-8) М0 = - X ик + - Xік + 0 (к6) . (5)

    к = 21 до = 9 6! (4) або 12 к = 21 24 к = 9

    Вимога позитивності коефіцієнтів усереднення пов'язано з тим, що тільки в цьому випадку коефіцієнти можна інтерпретувати як перехідні ймовірності (з центру куба в граничні вузли), які використовуються в методі Монте-Карло при вирішенні задачі Діріхле для рівняння Лапласа.

    Комбінуючи формули (2), (4) отримуємо єдину формулу усереднення з позитивними коефіцієнтами, що має похибку порядку 0 (й8):

    14 26 3 20 18 8

    М0 = - X ик ик ик + 0 (к). (6)

    128 до = 21 128 до = 9 128 к = 1

    Кусково-трикутні БФ 26-вузлового СЕ можна задати компактними аналітичними виразами з допомогою тривимірного аналога функції-пагоди П (х, у) [10], яка визначається наступним чином:

    1 (х, у ^) = в (1-х; - в (Цу \) - в (1-Н; - (1-Х) - (Щ) - (1-Й),

    де в (о), 0 (о), 0 (і) - функції Хевісайда. Базисні функції будуємо таким чином, щоб їх значення в центрі куба збігалися з відповідними коефіцієнтами усереднення у формулі (6):

    Щх, у, і) = 1 (х + 1, у + 1, і +1) + - ^ 1 (х, у, і),.

    128

    N8 (х, у, і) = 1 (х + 1, у-1, і -1) + - ^ 1 (х, уі);

    128

    (7)

    3 ••

    И9 (х, у, і) = 1 (х, у + і +1 (х'У, і) '|||' (8)

    3

    И20 (х, у, і) = 1 (х + 1уі - 1) + - 1 (х, у, і);

    128

    14 •• 14 ••

    И2! (Х, у, і) = 1 (х, у + 1, і) +1281 (х'У, і) '|||'К26 (х'У, і) = 1 (х'У, і - 1 (х'У'І). (9)

    Функції (6) - (8) фактично являють собою зважені середні трикутних базисних функцій, визначених у восьми кубиках з довжинами ребер рівними одиниці, на які природним чином ділиться КЕ-26 (рис. 1).

    Легко перевірити, що функції (6) - (8) задовольняють обов'язковим вимогам, що пред'являються до базисних функціях:

    N1 (Хк, Ук) =&1к ( '= 1,26, к = 1,26), де - символ Кронекера;

    26

    X N1 (х, у) = 1.

    I = 1

    У роботах [5-7] якість моделей визначається наявністю позитивного спектра поузловой навантаження, мінімальним значенням сліду матриці жорсткості КЕ і гармонійністю базисів по Привалову і Кёбе. У нашій роботі ми пропонуємо оцінити якість отриманої моделі безпосередніми розрахунками на конкретному прикладі і підрахунком середнього квадратичного відхилення.

    Для тестування виберемо відому гармонійну функцію

    . 10

    і (х, у, г) =, яка описує розподіл потенціалу точкового

    У (х - 2) 2 + (у -1) 2 + (7 - 3) 2 заряду, розташованого в точці М (2,1,3). Розрахуємо значення ик цієї функції в 26-ти граничних вузлах куба зі стороною 2 І = 1 з центром в точці Мо (0,0,0). Ці значення використовуємо для побудови

    апроксимації і (х, у, г) функції і (х, у, г) всередині куба за відомою в МСЕ формулою:

    _ 26

    і (X, Y, г) =? ікИк (х, у, г)

    I = 1

    Результати розрахунків наведені в таблиці 1.

    Для оцінки точності отриманих формул будемо використовувати значення середнього квадратичного відхилення:

    о =.

    1 г

    V •>

    КЕ

    (_ \ І - і

    V

    2

    dV,

    де V- об'єм КЕ (= 1 куб.ед.), і - точне значення функції, і - наближене значення.

    Таблиця 1

    Розрахунок точних і наближених значень функції і (х, у, г)

    Координати точки Мк Точні значення Наближені значення / відносні похибки

    Базис (6) - (8) Базис СКЕ-20 [6] Базис СКЕ-32 [7]

    {1 V 4 4 4) 2,989740372 2,989792749 0,0018% 2,990121003 0,013% 2,991773304 0,068%

    V 4 4 4) 2,753713564 2,753778405 0,0023% 2,753985216 0,01% 2,753531902 0,0066%

    V 4 4 4) 2,654893245 2,654973302 0,003% 2,654856821 0,0014% 2,652864895 0,076%

    (0,0,0) 2,672612419 2,672612331 0,33 -10-5% 2,673381283 0,029% 2,673251904 0,024%

    Середнє квадратичне відхилення 0,0021 0,0033 0,0032

    Результати розрахунків показують, що збільшення числа вузлів на ребрах елемента з 12-ти в моделі СКЕ-20 до 24-х в моделі СКЕ-32 практично не підвищило точність апроксимації гармонійних функцій. Використання ж 6-ти додаткових вузлів в центрі граней куба і застосування кусково-трикутні базису 26-вузлового КЕ помітно зменшило середню помилку обчислень.

    Висновки і перспективи подальших досліджень

    В роботі побудований кусочно-трикутний базис 26-вузлового КЕ кубічної форми, базисні функції якого є гармонійними всередині куба за винятком безлічі заходи нуль. Цей базис дозволяє будувати більш точні апроксимації гармонійних функцій, ніж при використанні базисів вищого порядку моделей СКЕ-20, СКЕ-32.

    Список використаної літератури

    1. Зенкевич О. Метод кінцевих елементів в техніці / О.Зенкевіч. - М .: Світ, 1975. - 541 с.

    2. Норрі Д. Введення в метод кінцевих елементів / Д. Норрі, Ж. де Фріз.- М.: Мир, 1981. - 304 с.

    3. Сегерлінд Л. Застосування методу кінцевих елементів / Л. Сегерлінд. - М.: Мир, 1979. - 392 с.

    4. Хомченко А.Н. Моделі зваженого усереднення і кубатурних формули О.М.. Хомченко, О.В. Цибуленко // Геом. та комп'ютерне моделювання. Зб. наук. пр.-Харшв: ХДУХТ, 2002.- Вип. 2. - С. 19-24.

    5. Хомченко А.Н. Згладжене усереднення граничних потенціалів на сірендіпових елементах. / О.М. Хомченко, Н.В. Валько, Є.І. Литвиненко // Науково техн. журнал "Автоматика. Автоматизація. Електротехнічні комплекси та системи" - 2004.- №2 (14). - С. 79-81.

    6. Хомченко А.Н. Оберніть завдання побудова базіав трівімiрніх серендіповіх сшнченніх елеменпв. / О.М. Хомченко, О.1. Литвиненко, 1.О. Астюненко // Прикладна геометрiя та шженерна графша. Працi / Таврiйській державний агротехнолопчній унiверситет - Вип. 4, т. 41.

    - Мелтгополь: ТДАТУ, 2008. С. 9-17.

    7. Хомченко А.Н. 1.О. Задачi корекція 'iнтегральніх середшх на серендіповіх ск1нченніх елементах. / О.М. Хомченко, О.1. Литвиненко, 1.О. Астюненко // Прикладна геометрiя та шженерна графша. Працi / Таврiйській державний агротехнолопчній ушверсітет - Вип. 4, т. 39.

    - Мелтгополь: ТДАТУ, 2008. - С. 24 - 29.

    8. Хомченко А.Н. Про усереднення в математичному моделюванні О.М.. Хомченко, В.В. Крючковський // Вісник Херс. национ. техн. ун-ту.- Вип. 22. - Херсон: ХНТУ, 2005. - С. 340 343.

    9. Школаенко Ю.1. Кусково-бшншна апроксімащя на квадратному сшнченому елеменп / Ю.1. Школаенко, С.В. Моiсеенко // Прикладна геометрiя та iнженерна Графiк. Пращ. Тавршській державний агротехнологiчній унiверситет. - Вип. 4, т. 41. - Мелтгополь: ТДАТУ, 2008. - С. 92 -100.


    Ключові слова: КУСКОВО-трикутні БАЗИС /Апроксимації гармонійних функцій /ПРОЦЕДУРА усереднений /PIECEWISE TRILINEAR BASIS /HARMONIC APPROXIMATION FUNCTIONS /PROCEDURE OF AVERAGING

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити