Кусково-поліноміальна апроксимація рішення диференціальних рівнянь (ДУ) в приватних похідних будується на основі інтерполяційного полінома Ньютона. На поточному подобласти по сітковим наближенням інтерполюються всі приватні похідні ДУ, обчислюються коефіцієнти інтерполяційних поліномів, рішення наближається за допомогою повторного інтеграла. Процес итеративно повторюється до мінімізації похибки наближення другої похідної. Комп'ютерна реалізація відрізняється високою точністю наближення рішення при малій тимчасової складності.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Ромм Яків Овсійович, Джанунц Гарік Апетович


PIECEWISE-POLYNOMIAL SOLUTIONS OF THE PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

Piecewise-polynomial approximation of the partial differential equations (DE) is based on Newton's interpolation polynomial. At the current subdomain on grid approximations all partial DE derivatives are interpolated, coefficients of the interpolation polynomial are calculated, the solution is approached with iterated integral. The process is repeated iteratively until the approximation error of the second derivative is minimized. Computer realization has highly accurate approximation of the solution at a low time complexity.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2011


    Журнал: Известия Південного федерального університету. Технічні науки


    Наукова стаття на тему 'Кусково-поліноміальний рішення диференціальних рівнянь в приватних похідних'

    Текст наукової роботи на тему «Кусково-поліноміальний рішення диференціальних рівнянь в приватних похідних»

    ?Розділ III. Алгоритмічне і апаратне забезпечення

    681.3.06: 681.323 (519.6)

    Я.Е. Ромм, Г.А. Джанунц

    КУСКОВО-поліноміальний РІШЕННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ В ПРИВАТНИХ ПОХІДНИХ

    Кусково-поліноміальна апроксимація рішення диференціальних рівнянь (ДУ) в приватних похідних будується на основі інтерполяційного полінома Ньютона. На поточному подобласти по сітковим наближенням інтерполюються всі приватні про,, -бліжается за допомогою повторного інтеграла. Прогрес итеративно повторюється до мінімізації похибки наближення другої похідної. Комп'ютерна реалізація відрізняється високою точністю наближення рішення при малій тимчасової складності.

    Кусково-поліноміальна апроксимація; інтерполяційний поліном Ньютона; диференціальні рівняння в приватних похідних.

    YA.E. Romm, G.A. Dzhanunts

    PIECEWISE-POLYNOMIAL SOLUTIONS OF THE PARTIAL DIFFERENTIAL

    EQUATIONS

    Piecewise-polynomial approximation of the partial differential equations (DE) is based on Newton's interpolation polynomial. At the current subdomain on grid approximations all partial DE derivatives are interpolated, coefficients of the interpolation polynomial are calculated, the solution is approached with iterated integral. The process is repeated iteratively until the approximation error of the second derivative is minimized. Computer realization has highly accurate approximation of the solution at a low time complexity.

    Piecewise-polynomial approximation; Newton's interpolation polynomial; partial differential equations.

    .

    диференціальних рівнянь (ДУ) в приватних похідних дозволяють отримати таблицю наближених значень шуканого рішення в деяких точках розглянутої області. Однак проблема наближення рішення ДУ в приватних похідних зберігається при обмеженнях на точність і при вимозі аналітичності отриманого наближення [1]. Нижче розглядається питання про побудову разностно-полиномиального наближення рішення задачі Коші для ДУ в приватних похідних на основі методу сіток за допомогою кусочно-поліноміальної інтерполяції різницевих значень в обмеженнях загального вигляду. Методологія побудови схеми спирається на підхід, представлений в [2].

    Опис вихідного методу кусково-поліноміальної інтерполяції. Безпосередньо нижче описується вихідний для викладається підходу метод

    -

    полінома Ньютона від однієї і від двох змінних [3, 4].

    Апроксимація дійсної функції у = у (х) від однієї дійсної змінної на довільно фіксованому замкнутому проміжку [а, 0 \ виконується наступним чином. Вибирається система подинтервалов рівної довжини, об'єднання яких покриває [а, 0 \, причому так, щоб мало місце співвідношення

    Р-1Г

    [А, 0 \ = і [Х1, Х1 + 1 \, (1)

    ; = 0

    де Р = 2к, к е {, 1, ...}. Довжина подинтервалов позначається р = х1 + 1 - х1,

    i = 0, P -1. Для кожного окремо взятого подинтервала з (1) з номером i будується інтерполяційний поліном Ньютона Yin (z) з рівновіддаленими вузлами, х -% i

    де z = ------, n вибирається мінімальним за умови, що абсолютна похибкою-

    h

    ність не перевищує апріорі заданого? одночасно на всіх подинтервалах: ix) -Yin (z) ^? хе [xi, xi + J i = 0, р-1.

    При цьому поліном Ньютона в загальному випадку перетвориться до виду полінома з явними значеннями числових коефіцієнтів - на i-м подинтервале аппроксимирующий поліном приймає вигляд

    Pin (х) = ai0 + ai 1 х + ai 2 х2 + ... + ainXn. (2)

    (2) . -

    х i + 1 - х i

    мий поліном Ньютона з кроком інтерполяції h = -------------------- між вузлами

    n

    х ^ = х ^ + jh, j = 0, 1, ..., n записується у вигляді

    win (z) = y (i 0) + ^ n (z - k), z = - ^, (3)

    j = 1 j! k = 0 h

    де -yi0 - кінцева різниця j-ro порядку в точці х10. попередньо обчислюва-

    ляють кінцеві різниці -yi0 = y (хп) -y ^ i0), -kyi0 = - 1 yц --- 1yi0, k = 2, 3, ..., n, значення яких позначаються bi j = - yi0. Кожен твір j-1

    Pj (z) = n (z -k) є поліномом, заданим розкладом на множники, де к = 0

    k = 0, j -1,:

    Pj (z) = dj 0 + dj1 z + dj 2 z 2 + • • • + djj

    Pj (z) = dj 0 + dj1 z + dj 2 z 2 + ... + djjzj. Нижче використовуються позначення

    = I, t = 0, j -1. Застосовується відмінне від формули Вієта співвідношення

    1 0 0 0

    ^ 3 - Sj-1 1 0 0

    j (j-1) II 0 - S - 0 0

    j про 0 0 •• - Sj-е 1

    0 0 0 - Sj

    (4)

    і -? + 1

    Доказ (4), інваріантний щодо номера коефіцієнта алгоритм обчислення і програмна реалізація наводяться в [5]. Передбачається, що

    для всіх необхідних індексів и апріорі обчислені значення d ^ / і !,? = 0, и ,

    які зберігаються в пам'яті. Поліном (3) перетворюється на (2) приведенням подібних із заміною змінної:

    П

    Yin (z) = ai 0 + X auzl 1 = 1

    де

    (5)

    (6)

    1 = 1 V

    Для апроксимації заздалегідь відомої або часто респонденти користуються послугами (наприклад, при моделюванні) функції з метою мінімізації часу її обчислення досить розрахувати коефіцієнти йц, I = 0, п і зробити їх для даної функції збереженими в пам'яті комп'ютера. При розрахунку значення функції в необхідній точці х відбувається дешифрування значення номера подинтервала за формулою

    і = ini

    i \ x-а

    V

    Р

    який є прямим адресою зчитування відповідних

    подинтервалу коефіцієнтів. Час обчислення функції даного виду скорочується до значення O (l) в разі малих n = const.

    Метод дає можливість фактично в загальних умовах досягати точності обчислення функцій, яка характеризується кордоном абсолютної похибки

    10 -20 [3]. Табличну похідну і первісну полінома (5) можна використовувати для апроксимації похідної та інтеграла від функції

    P-1 n a nM

    -1, fy (x) dx = h X 1 ^, (7)

    i = 0 C = 0

    y '(x)

    n

    XІ auz? "He = 1

    ? + 1

    де йц з (6).

    Доцільність застосування (7) з метою підвищення точності чисельного диференціювання та інтегрування підтверджує чисельний експеримент, наведений в [3]. Описаний метод з певними видозмінами [2] використовується для наближення рішення задачі Коші для звичайних дифферен- (). -Меню по аналогії з викладеної аппроксимацией функції однієї змінної.

    Нехай дійсна функція і = і (х, -) від двох дійсних змінних задана в замкнутій області О = {(х, -) | х е [й, ь \, - е [с, й \}. Ця область розбивається на підобласті Ок, такі що

    РХР

    О = 0, (8)

    к = 1

    де Рх = 2к

    Р = 2к-

    2к-, кх, до, е N, ° К = {(х, -) хе [ХI •, ХI • + l \, - е [-], -] + 1]}, при

    г = 0, Рх -1,] = 0, РГ-1. Номер до подобласти визначається за допомогою рівностей

    к =] Рх + г +1, г = гп-

    +1,] = Ш

    І,

    . й - ред С - й .

    +1, де НХ = -------------------, І, = ---------------, ш1 -

    х Рх Р

    ціла частина числа.

    Нехай в підобласті Ок з (8) задана система вузлів виду

    Ок {(х ^ ,, у'т)

    х ^ = ХГ +? І, -] т = -] + mg,? = 0, п, т = 0, п -? |

    (9)

    І І

    де І = -, g = --- кроки інтерполяції. У кожній підгалузі Ок з (8) між п п

    (9)

    змінних ступеня п, який за схемою, аналогічною (3) - (6), набуває вигляду

    п п-г

    РКП (х, -) = XX йк ;; 1 w

    г = 0] = 0

    кг]

    (10)

    де г =

    х - х0

    , w = -

    - - -0

    , п , -

    І g

    ная похибка не перевищує апріорі заданої кордону? одночасно на всіх підгалузях к = 1, РхР-: | РКП (х, -) - і (х, -) | < ? .

    (10) -Користуватися для апроксимації приватних похідних і подвійних інтегралів [4].

    -

    типу з використанням методу сіток. Нехай для простоти розглядається перша крайова задача для лінійних диференціальних рівнянь гіперболічного типу

    д 2и д 2и ді ді

    : ---'-- + з --------------- + й- + gu = г,

    дх2 д-2 дх д * ^

    (11)

    де й, видання, з, й, g, / - задані функції змінних х і - і й' > 0. Потрібно знайти рішення і (х, -) рівняння (11) в області Про {< х <Д - > 0}, що задовольняє початковим умовам

    ді

    : | = Ф (х),

    I- = 0) 'д-

    = ^ (Х), а < х < / 3

    (12)

    -= 0

    і крайовим умовам

    і \ х = а = ф (-), и1 = Р = Т (-),

    (13)

    х

    де р і / - задані функції змінного х, Ф і! Р- задані функції змінного р Проводиться два сімейства паралельних прямих х = а + ДКХП, г =] к1п, г,] = 0,1,2, ..., які покривають область Про сіткою прямокутників зі сторонами КХП і ?? п по осях х і г відповідно, п - ступінь конструируемого інтерполяційного полінома, Нх, Н1 - кроки методу сіток.

    З метою уникнути несуттєвих застережень проводиться заміна області О на

    ВД

    область Т { < х < Д 0 < г < /}, Яка розбивається на підобласті Т = у Тт ,

    Т = 1

    де Ях = ш

    Ґ про ^

    р-а

    Ґ \

    = ЇШ

    г

    до (п

    \ 1

    Т =

    {(Х І) Xє [хї, Хї + і \ и є +1]}, при

    ] = 0, ь -1.

    Наближене рішення задачі (11) - (13) на області Т зводиться до послідовного її вирішення на підгалузях Тт, при цьому для підобласті з номером т +1 праві частини рівностей в умовах (12) - (13) наближено відомі з рішення задачі на підобласті з номером т.

    Аналогічно (9) на підобласті Тт будується система вузлів

    Тт = {{Хі '*] т) | х ^ = ХГ + 1кх, г] т = г] + т = °>п> т = 0, п-4. (14)

    У кожному з вузлів (14) методом сіток обчислюються наближені значення рішення і (ХЦ, г] т),? = 0, п, т = 0, п -? , За якими будується інтерполяційний поліном Ньютона ступеня п відносно незалежних змінних х і р За-

    (10) п п-1

    РТП (г) = X X АТ 1] г, (15)

    I = 0] = 0

    де г = ---, и = ---. Поліном (15) интерполирует шукане рішення на всій

    ?х? г

    подобласти Тт, але для уточнення наближення застосовується наступна схема.

    На основі (15) за допомогою табличних перетворень виконується поліноміальний наближення всіх приватних похідних з (11):

    -і 1 п-1 п-1-1

    -Г "" Т (п-1) (х '1) = -? Г ^ ^ (+ 1а (+!)' ,

    ах? х I = 0] = 0

    - 2и 1 п-2 п-г-2

    -Г - РТ (п-2) (х 'г) 1 = 72 X X (+ 1) (+ 2И + 2)] г ,

    ох? х г = 0] = 0

    -і 1 п-1 п-п 1

    Ги "РГ (" - 1) (х. ') = {| !. I (+ >К, (; +,) ґ » '] ,

    ?г г = 0] = 0

    2 п-2 п-г-2

    -і - Рт (п-2) (х, г) == -? Г X X (] +1)] + 2) ат г (+2) и] .

    про г? * г = про ^

    ? Ї = 0 у = 0

    На цій основі і з (11) у всіх вузлах (14) обчислюються значення:

    д 2й ^ арт {п-2) + С РТ (п-1) + й К (п-1) +% рп - /

    дг2 Ь

    д 2й

    де у = у (хк, г] т). Значення - розглядаються як значення в вузлах інтер-

    ДГ

    Поляціте

    д 2- _______ __________

    т = -7 = 0, п, т = 0, п-I. (16)

    дг2

    За умовами (16) будується інтерполяційний поліном Ньютона (п - 2) -го степеня, який приводиться до вигляду полінома з числовими коефіцієнтами:

    п-2 п-I-2

    К (п-2) (х, г) = X X СТЦ * - ™]. (17)

    1 = 0] = 0

    Побудований поліном (17) апроксимує другу похідну по змінній р На практиці абсолютна похибка такого наближення виявляється

    точніше апроксимації безпосередньо полиномом рг (п-2) (х, г). наближення

    (17), -

    добласті відповідної індексам (,]) відомі з наближення на підобласті з індексами (,] -1), для] = 0 постійні відомі з (12).

    побудований поліном

    г г

    ^ Тп (х, г) / / (п-2) йг

    п-2 п--2

    (18)

    = - (х, го) + -р (х, го) г + ^ ™ 2 Е Е (7) г,) '™ 1

    ,= 0 1 = о (] + Ф + 2)

    приймається за наближення - (х, г) = ЯТП (х, г), х, г е Тт. Аналогічне наближення будується на підобласті Тт + 1 і т. Д., До вичерпання області Т.

    Наближення рішення істотно уточнюється шляхом кількаразового виконання завдання на підобласті, де вузлові значення в (15) обчислюються не шляхом , -

    (18),. досягається програмної оптимізацією ступеня інтерполяційного полінома і кроку методу сіток. Відмінною рисою запропонованої схеми є її придатність також для нелінійних диференціальних рівнянь різного виду.

    .

    блоці середовища Бе1рИ на ПК Репгшт Б. На вхід програми надходять функції а, Ь, с, й, g, / з (11), умови (12), (13), область вирішення і крок методу сіток. При вирішенні крок інтегрування послідовно зменшується в 10 разів, поки подальше зменшення не погіршить точності. В даному пункті використано значення ступеня п = 5, яке оптимально по точності наближення. Нижче наводяться характерні результати чисельного експерименту.

    рр

    Приклад 1. Потрібно приблизно вирішити крайову задачу для рівняння

    Е 2 і

    Е 2 і

    ії

    ------- = 3 sin [x + 21),

    Ех 2 Еt2

    і (х, 0) = sin (x), ut (х, 0) = 2 cos (x), u (0, t) = sin (21), u (l, t) = sin (2t + l),

    (19)

    на області Т {0 < х < 1, 0 < г < 0.1}. Точне рішення - (х, г) = яп (х + 2г) використовується для виведення похибки наближення.

    1

    Абсолютна похибка наближення рішення задачі (19)

    (Х, t) Метод сіток Поліноміальний уточнення

    h = 2 * 10 "5 h = 2 * 10" 4

    (0.8994, 0.0004) 1.25E-0008 5.42E-0020

    (0.7994, 0.0044) 1.26E-0007 9.20E-0016

    (0.7994, 0.0788) 2.26E-0006 5.14E-0010

    (0.7994, 0.0996) 2.85Е-0006 2.49Е-0009

    Представлені в табл. 1 абсолютні похибки рішення задачі (19) безпосередньо методом сіток і його поліноміальних уточненням показують підвищення точності наближення на 3-12 десяткових порядків залежно від значення змінної t. Крім високої точності апроксимації рішення схема відрізняється безперервністю отриманого наближення на всій області T за рахунок кусочно-поліноміальної інтерполяції.

    БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

    1. Березін КС., Жидков НМ. Методи обчислень. Т.2. - М .: Физматгиз, 1962. - 640 с.

    2. Ромм ЯМ., ДжанунцГ.Л. Кусково-поліноміальна апроксимація рішення задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь на основі перетворення інтерполяційного полінома Ньютона. - Таганрог: ТГП'І, 2010. - 37 с. Деп. в ВІНІТІ 25.05.2010, № 305-в2010.

    3. Аксайського Л.Н. Розробка і дослідження паралельних схем цифрової обробки сигналів на основі мінімізації часової складності обчислення функцій. Автореф. дис. ... канд. тех. наук. - Таганрог: Изд-во ТТІ ПФУ. - 2008.

    4. Голіков AM. Кусково-поліноміальні схеми обчислення функцій двох змінних, приватних похідних і подвійних інтегралів на основі інтерполяційного полінома Ньютона. - Таганрог: ТГПІ, 2010. - 150 с. Деп в ВІНІТІ 20.09.2010, № 528-в2010.

    5. . . -

    ровки // II Кібернетика і системний аналіз. - 2007. - № 2. - С. 161-174.

    Статтю рекомендував до опублікування д.т.н., професор Л.П. Фельдман.

    Ромм Яків Овсійович

    Таганрозький державний педагогічний інститут.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    347926, м Таганрог, вул. Ініціативна, 48.

    Тел .: 88634601753, 88634601812, 88634601807.

    Джанунц Гарік Апетович

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    Тел .: +79185069024.

    Romm Y akov Evseevich

    Taganrog State Pedagogical Institute.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    48, Initsiativnaya Street, Taganrog, 347926, Russia. Phone: 88634601753, 88634601812, 88634601807.

    Dzhanunts Garik Apetovich

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    Phone: +79185069024.

    УДК 681.142

    B.A. Балибердін, A.M. Белевцев, M.А. Дружинін

    ГЕНЕТИЧНІ АЛГОРИТМИ ПОШУКУ В ЗАДАЧАХ ОПТИМІЗАЦІЇ СИСТЕМ сетецентріческой УПРАВЛІННЯ СПЕЦІАЛЬНОГО

    ПРИЗНАЧЕННЯ

    Розглядаються питання використання генетичних алгоритмів оптимізації для раціональної організації інформаційно-обчислювальних процесів в системах спеціального призначення з сетецентріческой управлінням. Останні розглядаються як великі інформаційні системи з розподіленою обробкою даних (СРОД). Показано, що для забезпечення високих вимог стійкості та оперативності управління, характерних для деяких спеціальних систем, необхідне проведення оптимізації функціонування таких систем. Для пошуку оптимальних рішень відповідних оптимізаційних задач пропонується використання генетичних алгоритмів.

    Генетичні алгоритми оптимізації; розподілена обробка; сетецентріче-.

    V.A. Baliberdin, A.M. Belevtsev, M.A. Drujinin

    GENERIC ALGORITHMS AND SPESIAL CETECENTRIC CONTROL SYSTEMS OPTIMIZATION

    Some problems of genetic optimization algorithms using to organize special cetecentric control systems are discussed. These systems are treated as to be distributed data systems. Their high performances may be reached by means of the system optimization. To obtain the optimal solution the genetic optimization algorithms are proposed.

    Genetic optimization algorithms; distributed processing; cetecentric systems.

    В останні роки все більш пильну увагу дослідників і розробників великих інформаційно-керуючих систем привертає ідея сеті. ,

    ,

    , ,

    , . пір немає єдиного і чіткого розуміння багатьох аспектів, пов'язаних з практичною реалізацією концепції сетецентріческой управління. Деякі автори вважають, що досить об'єднати джерела інформації, блоки управління і виконавчі органи хорошими каналами зв'язку і синергічний ефект, властивий сетецентріческой системам, забезпечений.

    Разом з тим більш детальний аналіз показує, що для успішного впровадження сетецентріческой систем необхідно оцінювати можливі варіанти ор-

    - -


    Ключові слова: КУСКОВО-поліноміальний апроксимації /Інтерполяційний поліном Ньютона /ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ В ПРИВАТНИХ ПОХІДНИХ /NEWTON'S INTERPOLATION POLYNOMIAL /PIECEWISE-POLYNOMIAL APPROXIMATION /PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити