викладається кусочно-поліноміальна схема апроксимації дійсних функцій двох дійсних змінних на основі інтерполяційних поліномів Ньютона від двох змінних. Вихідна прямокутна область визначення функції дробиться на трикутні подобласти. На кожній підобласті будується відповідний поліном Ньютона ступеня мінімальної для даного числа підобластей. Аппроксимирующий поліном приводиться до канонічного вигляду, після чого застосовується для наближеного обчислення приватних похідних і подвійних інтегралів по прямокутної області.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Голіков Олександр Миколайович


PIECEWISE-POLYNOMIAL APPROXIMATION FUNCTIONS OF TWO VARIABLES, PARTIAL DERIVATIVES AND DOUBLE INTEGRALS

Presents a piecewise polynomial approximation scheme of real functions of two real variables, based on Newton's interpolating polynomials of two variables. The original rectangular domain of the function is split into triangular sub-domains. On each sub-domain is constructed corresponding Newton polynomial of degree minimum for a given number of sub-domains. Approximating polynomial is to the canonical form, and then applies for an approximate calculation of partial derivatives and double integrals over a rectangular area.


Область наук:

  • Математика

  • Рік видавництва: 2011


    Журнал: Известия Південного федерального університету. Технічні науки


    Наукова стаття на тему 'Кусково-поліноміальна апроксимація функцій двох змінних, приватних похідних і подвійних інтегралів'

    Текст наукової роботи на тему «Кусково-поліноміальна апроксимація функцій двох змінних, приватних похідних і подвійних інтегралів»

    ?3. Лихачов В.Я. Технічна діагностика пневмогідравлічних систем ЖРД. - М .: Машинобудування, 1983. - 204 с.

    4. Воробйов В.І., Грібунін ОТ. Теорія і практика вейвлет-перетворення. СПб .: Изд-во ВУС, 1999. - 208 с

    5. Новиков Л.В. Спектральний аналіз сигналів в базисі вейвлетов // Наукове приладобудування. - 2000. - Т. 10, № 3. - С. 57-64.

    Статтю рекомендував до опублікування д.т.н., професор В.В. Тютіков.

    Байдаров Сергій Юрійович

    Федеральне державне УП ФНПЦ «ПО« Старт »ім. М.В. Проценко ».

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    442960,.,. ,,. 1.

    Тел .: 88412582755; факс: 88412651758.

    Baydarov Sergey Urievich

    Federal State Unitary Enterprise Federal Research and Production Center Production Complex Start named after M.V. Protsenko.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    1, Mira Prospekt, Zarechny, Penza Region, 442960, Russia.

    Phone: +78412582755; Fax: +78412651758.

    681.3.06: 681.323 (519.6)

    A.H. Голіков

    -

    ,

    інтеграли *

    -

    двох дійсних змінних на основі інтерполяційних поліномів Ньютона від . -.

    Ньютона ступеня мінімальної для даного числа підобластей. Аппроксимирующий поліном приводиться до канонічного вигляду, після чого застосовується для наближеного обчислення приватних похідних і подвійних інтегралів по прямокутної області.

    Кусково-поліноміальна схема; інтерполяція по Ньютону; апроксимація приватних; .

    A.N. Golikov

    PIECEWISE-POLYNOMIAL APPROXIMATION FUNCTIONS OF TWO VARIABLES, PARTIAL DERIVATIVES AND DOUBLE INTEGRALS

    Presents a piecewise polynomial approximation scheme of real functions of two real variables, based on Newton's interpolating polynomials of two variables. The original rectangular domain of the function is split into triangular sub-domains. On each sub-domain is constructed corresponding Newton polynomial of degree minimum for a given number of sub-domains. Approximating polynomial is to the canonical form, and then applies for an approximate calculation of partial derivatives and double integrals over a rectangular area.

    Piecewise-polynomial scheme; according to Newton interpolation; approximation of partial; approximate calculation of definite integrals.

    * Робота підтримана РФФД, грант за проектом № 10-07-00178а за 2010 рік.

    Введення і постановка задачі. У статті викладається кусочно-поліноміальна

    схема обчислення дійсних функцій двох дійсних змінних на основі інтерполяційного полінома Ньютона з подальшим застосуванням для апроксимації приватних похідних і подвійних інтегралів по прямокутної області [1]. Схема є комп'ютерно-орієнтованої та методологічно спирається на підхід, представлений в [2-4] для випадку дійсних функцій однієї

    .

    розглядається функція

    ^ = / (У) (1)

    така, що (х, у, г) е Я, (х, у) е Про з Я2, О = {(х, у) | х е [а, Ь \, у е [с, й]} - область визначення. Область Про розбивається на підобласті,

    а = і аі .

    ~ = 1

    (2)

    де Рх = 2кх. РУ = 2 "У. Кх є N. КУ є N

    ку

    У

    а ~ = {(х>у) | х є \ ХІ-і, хі)>у є [уу -1 'У])). при і = 1. Рх -1. і = 1. Ру -1.

    а ~ = {(х, у) | Хє [хі-1, хі у ує [уу-1 у)). ПРИ і = Рх. і = 1.Ру -1.

    а ~ = {(х'у) | Хє [хі-1 'хі), ує [у] -1' УІ]}. при і = 1.Рх -1. ] = Р .

    Кожна підобласть Про ~ з (2) розбивається діагоналлю, що задається рівнянням виду

    (): У (х) = - ^ - х - ^ -у! + (3)

    нх нх

    ще на дві підобласті Про ^ і О ~ та кі, що

    до до

    про ~ = про ~ ио ~, (4)

    де

    Про ~ = {(x, у) | х; -1 ^ х < х ;, у ^ -1 ^ у < у (х) I Про ~ = {(x, у) | {; -1 ^ х < х ;, у (х) ^ у < у> }, При; = 1, Рх -1,] = 1, Ру -1,

    Про ~ = {(x, у) | х; -1 ^ х ^ х ;, у ^ -1 ^ у < у (х)}, О ~ = {Із ^ у ^ х; -1 ^ х ^ х ;, у (х) ^ у < у! },

    при; = Рх,] = 1, Ру -1,

    Про ~ = {(х у ^ х; -1 ^ х < х1, у ^ -1 ^ у < у (х)}, О ~ = {(x, у) | х; -1 ^ х < х ;, у (х) ^ у ^ в1}, при; = 1, Рх -1,] = Ру, Рх = 2кх, Ру = 2ку, кх е N, ку е N, у (х) з (3). Дешіфра- (4)

    к =] Рх + і + 1. і =

    х - а до

    +1. і =

    у - з до

    +1.

    (5)

    а - Ь

    де к = ---------. к =

    М х Р

    (Х. У) є а ~. при і < N - Г. (х. У) є а ~. при і > N - Г. з - ^

    Р

    [У] - ціла частина числа У.

    (4)

    двох дійсних змінних, який після приведення подібних має вигляд

    Р ~ ^ (х. У) =? Ха ~~. «Ху. (6)

    при цьому потрібно. щоб виконувалася умова:

    р ~ N (х. у) - / (х. у)

    <е, (7)

    де? - апріорі задається межа абсолютної похибки апроксимації, / (х, у) з (1), к = 1, РхРу .

    Тимчасова складність обчислення полінома (6) за схемою Горнера для поліномів двох змінних має оцінку г (1) = N2 (г + гс), де г, гс - час одного

    множення і складання відповідно.

    Матеріал, що викладає підхід враховує обмеження пам'яті і тимчасової складності за допомогою умов виду

    до < К, до < К, (8)

    х х7 у у 7

    N < N, (9)

    де Кх, Ку, N - задаються апріорі з умов конкретного прикладного завдання.

    При реалізації описуваного побудови обчислення коефіцієнтів полінома (6) починається зі значень N = 1, кх = 0, ку = 0. Якщо при цих значеннях умова (7) виконується на всіх підгалузях (4), то робота алгоритму припиняється і знайдені при цьому коефіцієнти вважаються коефіцієнтами а ~ .

    В іншому випадку значення N збільшується до тих пір, поки не буде досягнута необхідна точність, або поки не буде досягнута межа N. Після цього перерахунок проводиться для значень N = 1, кх = 1, ку = 1, і т.д.

    Верифікація точності виконується в перевірочних точках, які не збігаються з вузлами інтерполяції і розташованих з рівним кроком уздовж координатних осей. Число перевірочних точок задається апріорі.

    Якщо знайдена комбінація N, Рх, Ру, така, що на кожній підобласті (4)

    (7), (6)

    вважаються шуканими і заносяться в пам'ять комп'ютера. Надалі для отримання коефіцієнтів з пам'яті необхідно буде виконати дешифрування (5). Ступінь N з побудови мінімальна для даних Рх, Ру, цим досягається

    зниження часової складності апроксимації.

    - (6) приватних похідних і подвійних інтегралів по прямокутної області.

    Нижче ставиться завдання побудови на викладеної основі распараллелівать схеми апроксимації функції (1) в системі подобластей (2), (4) з подальшим застосуванням для наближеного обчислення приватних похідних і подвійних .

    -

    дійсних змінних на основі інтерполяційних поліномів Ньютона. Нехай в рамках викладеного підходу задана система подобластей (2), (4).

    На кожній підобласті Про ~ задається система вузлів інтерполяції виду

    а ~ = {(. уут) хі = х - Ш. уут = у] - mg. ? = 0. N. т = 0. N -

    (10)

    до до ~ де к = - ^. g = - ^. а і. і. к. кх. ку з (3). На вузлах (10) будується поліном Ньютона для інтерполяції назад і вниз

    N т ЛТ / (х V) до т-к

    Р ~, (у) = /<х ,, у,) + 11 до ^ -до ") ,. П (х-х) П (у-^ (11)

    Аналогічно на підгалузях Про ~ задаються вузли

    Про ~ = {(х! -1 ^, у, -1, т) | х; -1, е = х-1 + * До УНТ = у, -! + Т8 ^ = 0, N, т = 0, N - 4, (12)

    в яких будується поліном Ньютона для інтерполяції вперед і вгору

    N т ЛТ / (х у) до т-к

    К * (х, у) = / (х-1,0, у, -1,0) + Е? Ук, /;>кут-п -'- kX ,, РР (х-х) (у-у /). (13)

    т = 1 к = 0 К'п \ ДП 1 = 0 / = 0

    Так як вузли (10), (12) нумеруються по видаленню від початкового вузла інтерполяції і для обох полиномов мають однакові індекси, то запис полиномов (12), (13) і подальші їх перетворення формально збігаються.

    вводиться позначення

    N т до т-к

    ря (, і) = х х ьтщ (-1) П (-]), (14)

    т = 1 к = 0 1 = 0] = 0

    де

    Гр ~ (. І), при і < N - ґ.

    Р ^ мні,), "€ =

    . P ~ N (*. І) при і ^ N - ґ.

    А " 'хк.ут-к.1 (х 0. у] 0)

    до \ (т - к)!

    для (х. у) є а ~ і.

    ^ / Хкут-к (хі-1.0. Уі-1.0)

    до \ (т - к) \

    для (х. у) є а ~.

    до

    х - х.

    для (х. у) є а ~.

    і =

    до

    -. для (х. у) є а ~.

    у - уі-1.

    уі.0 - у

    до

    для (х. у) є а ~. . для (х. у) є а ~.

    (15)

    Для приведення полінома (14) до виду (6) за допомогою матричної схеми обчислення коефіцієнтів полінома по його корінню [5] обчислюються коефіцієнти

    полиномов

    Я () = П (ґ - і) = X. ? Т-к (і) = П (і - і) = X <~

    і .

    і = 0

    і = 0

    Так як я,(). ^ К (і) (1). -

    го обчислення коефіцієнти і. dm_k и можуть бути занесені в пам'ять комп'ютера для подальшого зчитування при необхідності.

    Після обчислення коефіцієнтів отримаємо

    до т-к до т-к до т-к

    П (ґ - і) П (і - і) = ХХ ^ А-до ./^ = ХХ ^ -. К.і ./^. (16)

    де О ... = Л, Л , ..

    ^ Т, до, 1 ,, до, 1 т-к,,

    (16) (14) -

    тягне

    Р ^. і) =% ?

    а ~ *) Ґ и1 к. и

    (17)

    g

    0

    0

    = 0

    і = 0

    де

    т = 0 до = 0

    т = 0 до = 0 т = 0 до = 0

    т = 0 до = 0

    т = у к = 1

    де Ь1'т1 з (14), Від до,; ', у ІЗ (16).

    Після обчислення коефіцієнтів (19) в апріорі заданих перевірочних точках, розташованих з рівним кроком уздовж координатних осей і не збігаються з вузлами інтерполяції, перевіряється умова (7). Якщо у всіх перевірочних точках нерівність (7) виконується, то шуканий аппроксимирующий поліном вважається побудованим, інакше побудова виконується за описаною вище схемою для іншого поєднання N, Рх, Ру, поки не буде досягнута необхідна точність в межах (8), (9).

    Представлена ​​схема є комп'ютерно-орієнтованої для наближеного обчислення функцій, зокрема, зі стандартної бібліотеки. У цьому випадку досить занести коефіцієнти (18) в пам'ять комп'ютера, і в далекій-

    (1) (17) -

    ня (17) за схемою Горнера з попередньої дешифрацией (5), яка визначає

    1 і

    використовуваний масив коефіцієнтів - у АБО у .

    , -(1). Нижче показано застосування підходу для кусково-поліноміальної апроксимації .

    -

    функції двох змінних. Нехай поліном (18) побудований і виконується наближене рівність

    де 0 <?< N, 0 < до < N, 0 <1 + до < N .

    З урахуванням замін (15) підстановка (17) в (20) тягне остаточні вирази для наближеного диференціювання виду

    Продифференцировав (19), вважаючи при цьому Р ~ (* ^, і) складною функцією,

    отримаємо

    (20)

    (21)

    де Н, g - кроки інтерполяції з (10), (12), 0т * 1 =

    (- 1) т, при ^, у) е С "і, I при (x, у) е .

    В (21) враховано, що т (т -1) ... (т - п +1) =, т '. Це дозволяє, попередньо-

    (Т - п)!

    кові записавши в пам'ять члени послідовності 0 !, 1 !, ... № !, обчислювати твори виду т (т -1) ... (т - п +1) за час одного ділення, що знижує тимчасову складність наближеного диференціювання.

    При запам'ятали попередньо коефіцієнтах (18) апроксимація похідних зводиться до дешифрування (5) і обчисленню полиномов (21) за схемою Горнера за час [1] ф) = (/ У - к) (N- |) (2 ^ + 2 ^ + 1с), де, гд, 1с - час одного , .

    , -схема наближеного обчислення приватних похідних порядку не вище ступеня аппроксимирующего полінома (17) на базі інтерполяції по Ньютону. Схема має паралелізмом, а також инвариантностью щодо розмірів області О [1].

    Далі викладається підхід застосовується для обчислення подвійних інтегралів по прямокутної області.

    -

    інтегралів. Нехай поліном (17) побудований на системі подобластей (2), (4) і справедливо наближене рівність (19). Інтегрування (19) з урахуванням аддитивности інтеграла по області інтегрування тягне

    РхРу I

    Л / (у) (1хйу = Лу) dxdy + Лу) йхйу \, (22)

    о к = І про ~]

    де РЦ з (14).

    Ок ~ (2)

    Л / (х, у) dxdy = iй + iй, (23)

    Про

    в позначеннях

    IІ = у) іхіу, iй = Л р ~ (* N (х, у) ох йу. (24)

    Перейдемо в інтегралі iй з (24) від подвійного інтеграла до повторного, що можливо [6], якщо припускати функцію безперервної по кожній змінній в області О. З урахуванням (16), а також замін (15) і прямують з них рівностей: dx = hdt, dy = g du, запишемо

    N N-1

    Л (x, у ^ - ^ у = ^ | л | XX 4 *! / ^ Л. (25)

    0 0 >= 0 7 = 0

    (25)

    N [| N N-> 1] м 'п N N-> 1

    Лр ^ (х, у =% іXX-г-: л =% 1ХХ -гай ^ (- 1) +1 л.

    Про ~ 0 1 >'= 0 1 = 0] +1 J 0 0 >'= 0 1 = 0] + 1

    Звідси із застосуванням бинома Ньютона отримаємо

    Я »N N-1 1 1 + 1

    Р ~ С. * 1 (х * у) dxdУ =% 1ХХ "77 ^, (26)

    ^ 0 >= 0 1 = 0] + 1 (= 0

    про

    про?

    де

    = (- 1) N17171С + 1, при? = 0,1 +1,

    \ Аг_. = 0, при ?> 1 + 2, 1 = 0, N - >, > = 0, N.

    (26)

    «N

    Л (x, у) dxdУ = ^ (Єв ^ ^, (27)

    0 >'= °

    де

    в = I? т + г "*! - А * • (28)

    1 = 0 г = 0 у "г А

    (28)

    ГГ N 1

    Л (х, у ^ у = ^ X

    : + .

    ° =

    Міркуючи аналогічно в разі інтеграла iй з (24), запишемо

    ГГ ~ N 1

    )) ^ 1, N (х, у ^ у = ^ Хт + в

    _і >= 0 > + 1

    (29)

    (30)

    : +1

    Про ~ >-"

    де

    N > 1

    в = X X 7 + 1 <1 ^, (31)

    1 = 0 (: = 0 У "Т 1

    З урахуванням співвідношень (28) - (31) рівність (22) набуде вигляду

    г г ^ ^ Л 1

    Л / (x, у) dxdУ "Н XX" "1

    ~ = 1 >'-0 > + 1

    в ~ г

    (32)

    де

    'У > ^ 1 г - |

    в> = С + ві ,; = X К, -1 + "~,>-111ач. (33)

    ^ Г = 0] + 1

    (33) ,

    (33)

    схемою Горнера за час t (1) = N (ty + tc) .

    Схема (32), (34) орієнтована на комп'ютерне обчислення подвійних інтегралів по прямокутної області. Схема з побудови інваріантна щодо розмірів області і має природне паралелізмом, як показано в [1].

    , - -ми наближеного обчислення функцій двох змінних, їх приватних похідних і подвійних інтегралів по прямокутної області. Схеми інваріантніщодо розміру області визначення функції, володіють природним паралелізмом [1]. Викладений підхід може бути використаний для апроксимації функцій, похідних і інтегралів зі стандартної бібліотеки. За рахунок алгоритмічного підбору найменшій мірі аппроксимирующего полінома для даного числа підобластей вдається знизити тимчасову складність обчислень. Деталізований опис схем і чисельного експерименту наводиться в [1].

    БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

    1. Голіков О.М. Кусково-поліноміальні схеми обчислення функцій двох змінних, приватних похідних і подвійних інтегралів на основі інтерполяційного полінома Ньютона. - Таганрог: Изд-во ТГПІ, 2010. - 150 с. Деп в ВІНІТІ 20.09.2010, № 528-в2010.

    Про

    N

    N

    N

    Г71

    N

    0

    2. Ромм Я.Е. Безконфліктні і стійкі методи детермінованої паралельної обробки: дис. ... докт. техн. наук. - Таганрог: ТРТУ, 1998. - 546 с .; ВНТІ Центр.

    - № 05.990.001006.

    3. Ромм Я. Е., Фірсова С.А. Мінімізація тимчасової складності обчислення функцій з додатком до цифровій обробці сигналів. - Таганрог: Изд-во ТГПІ, 2008. - 125 с.

    4. . .

    сигналів на основі мінімізації часової складності обчислення функцій: автореф. дис. ... канд. техн. наук. - Таганрог: ТТІ ПФУ, 2008.

    5. . . -

    ровки. Ч. II // Кібернетика і системний аналіз. - Київ, 2007. - № 2. - С. 161-174.

    6. ГусакА.А. Вища математика в 2-х т. Т. 2. - Мінськ: ТетраСистемс, 2003. - 448 с.

    Статтю рекомендував до опублікування д.т.н., професор Л.П. Фельдман. Голіков Олександр Миколайович

    ГОУ ВПО «Таганрозький державний педагогічний інститут».

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    347936, м Таганрог, вул. Ініціативна, 48.

    .: 88634601535.

    Golikov Alexander Nikolaevich

    State Educational Institution of Higher Professional Education «Taganrog State Pedagogical Institute» post-graduate student of chair of computer science.

    E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її..

    48, Iniciativnaya Street, Taganrog, 347936, Russia.

    Phone: +78634601535.

    УДК 621.391.2: 57.08

    ТАК. Краснобаев АЛГОРИТМ ПАРАМЕТРИЧНОГО РОЗПІЗНАВАННЯ

    -

    І ЙОГО РЕАЛІЗАЦІЯ В ПРОГРАМНОГО ПАКЕТІ MATLAB

    Розглядається алгоритм параметричного розпізнавання реалізацій медикобіологічних процесів з патологіями. В якості моделі електроенцефалограм (ЕЕГ), призначеної для дослідження ефективності методів розпізнавання, обрані стаціонарні Ергодіческіе випадкові процеси, що перетворюються нелінійними процедурами з метою отримання ефективних ознак для розпізнавання. Наведено блок-схеми алгоритмів навчання і класифікації для даного методу, а також результати експерименту. Реалізація алгоритму проведена в програмному середовищі MATLAB.

    Параметричне розпізнавання; байесовский класифікатор; вирішальне правило; коваріаційні матриці; електроенцефалограма.

    D.A. Krasnobayev

    ALGORITHM OF PARAMETRICAL RECOGNITION OF MEDICAL AND BIOLOGIC PROCESSES WITH PATHOLOGIES AND ITS REALISATION IN SOFTWARE PACKAGE MATLAB

    The algorithm of parametrical recognition of realisations of medical and biologic processes with pathologies is considered. Stationary ergodic casual processes are used as electroencephalogram (EEG) signals, which are transformed by nonlinear procedures for the purpose of reception of effective signs for recognition. The block diagrams teaching and classification algorithms for


    Ключові слова: КУСКОВО-поліноміальний СХЕМА /ІНТЕРПОЛЯЦІЯ за Ньютоном /Апроксимації ПРИВАТНИХ ПОХІДНИХ /Наближені обчислення визначених інтегралів /PIECEWISE-POLYNOMIAL SCHEME /ACCORDING TO NEWTON INTERPOLATION /APPROXIMATION OF PARTIAL /APPROXIMATE CALCULATION OF DEFINITE INTEGRALS

    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити