Побудовано кубатурних формули для шестімерной, семімерного і восьмімерного кулі, інваріантні щодо груп перетворень багатогранників Госсета. Числа вузлів отриманих формул мінімальні або близькі до них.

Анотація наукової статті з математики, автор наукової роботи - Шамс Е. А.


Cubature formulae, invariant with respect to transformation groups of Gosset polyhedron

Cubature formulae for six-dimension, seven-dimension and eight-dimension sphere invariant with respect to transformation groups of Gosset polyhedron are built. The numbers of the formulae obtained are minimal and close to them.


Область наук:
  • Математика
  • Рік видавництва: 2006
    Журнал: Известия Томського політехнічного університету. Інжиніринг ГЕОРЕСУРСИ
    Наукова стаття на тему 'кубатурних формули, інваріантні щодо груп перетворень багатогранників Госсета'

    Текст наукової роботи на тему «кубатурних формули, інваріантні щодо груп перетворень багатогранників Госсета»

    ?Природні науки

    УДК 519.644

    Кубатурних формул, інваріантніщодо ГРУП ПЕРЕТВОРЕНЬ багатогранників Госсет

    Е.А. Шамс

    Ташкентський державний технічний університет E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Побудовано кубатурних формули для шестімерной, семімерного і восьмімерного кулі, інваріантні щодо груп перетворень багатогранників Госсета. Числа вузлів отриманих формул мінімальні або близькі до них.

    Нехай Про кінцева підгрупа групи всіх ортогональних перетворень О (п) евклідового простору Я 'в себе. Характерною властивістю ортогонального перетворення є збереження довжини векторів.

    Область а ^ Яп і функція ф (х), задана в Я ', називаються інваріантними щодо перетворень групи О, якщо і ф (^ с) = ф (х) для будь-якого ge О. Сукупність точок виду ga, де а -фіксірованная точка Я ', g пробігає всі елементи групи О, називається орбітою або О-орбітою, що містить точку, і позначається | О (а) |. Кількість точок орбіти залежить від точки а.

    Формула

    | р (х) / (х) йх С / (х (;)) (1)

    а; = 1

    називається інваріантної кубатурних формулою щодо О, якщо область інтегрування а і вагова функція р (х) інваріанти щодо О, та сукупність вузлів формули (1) являє собою об'єднання О-орбіт, при цьому вузлів однієї і тієї ж орбіти зіставляються однакові коефіцієнти.

    Розглянемо послідовність функцій {ф; (х) | ™ ь заданих в Ося ", і таких, що існують інтеграли

    | Р (х) ф1 (х) ох, I = 1,2,...

    а

    Позначимо через \ речовий векторне простір функцій - лінійну оболонку пров-

    вих М функцій послідовності. Припустимо, що векторний простір \ інваріантної щодо групи В: для будь-якої ФВ \ маємо \ при всіх ge Про.

    Має місце наступне твердження [1].

    Теорема 1. Для того щоб кубатурних формула (1), інваріантна щодо перетворень групи О, була точна для всіх функцій конечномерного векторного простору Т, інваріантного щодо О, необхідно і досить; щоб вона була точна для тих функцій з Т, які інваріанти щодо Про.

    Зазвичай в якості групи Про використовуються групи перетворень правильних багатогранників (в Я2-групи перетворень правильних багатокутників). Це пов'язано, по-перше, тією обставиною, що згадані групи мають, як правило, більший порядок в порівнянні з групами однакової розмірності, що зменшує число інваріантних многочленів, щодо яких кубатурних формула повинна бути точна. По-друге, істотно спрощується вибір вузлів, так як центри ^ -мірних граней (&= 0,1,2, ..., п-1) утворюють О-орбіти. Аналогічними властивостями володіють точки, рівновіддалені від вершин багатогранника і лежать на ребрах, биссектрисах двовимірних граней і т. Д.

    Але в окремих просторах існують групи, які мають більший порядок, ніж відповідні групи правильних багатогранників. Ці групи залишають нерухомими багатогранники, які не є правильними в класси-

    зації їх розумінні. Центри? -Мірних граней (&= 0,1,2, ..., і-1) таких багатогранників не завжди утворюють одну О-орбіту.

    Гладка кубічна поверхню тривимірного проективного простору містить 27 прямих, які визначають багатогранники 221, 321, 421-багатогранники Госсета, інваріантні відповідно щодо груп Е6, Е7, Е8, породжених відбитками [2, 3]. Нижче будуються кубатурних формули, інваріантні щодо цих груп. Спочатку доведемо одне твердження, що дозволяє встановити чи є розглянуте безліч точок однієї О-орбітою або воно об'єднання О-орбіт.

    Теорема 2. Нехай О - кінцева підгрупа групи О (п), породжена відображеннями, т1, т2, ..., тп -ступеня її базисних інваріантних форм і найменша з них дорівнює двом. Якщо точка а відмінна від початку координат, то для довжини О (а) -орбіти справедлива оцінка

    | | (П + / - 2)! (П + 21 -1)

    О (а) > -

    (П -1)! /!

    де / =

    т2 -1

    т2 -1

    - ціла частина |

    2

    до! = 1-2 • 3 • ... • до.

    | Дх) СЖ =

    2ПП

    (А) |

    п. * (а ") '

    Г (|) | 0 (а) \ i = l

    де Г (1) = | г1-1в ~ 1С (= | (? и1) 1-1 Л - гамма функ-0 0 ція Ейлера.

    Але з іншого боку, права частина нерівності (2) дає нижню межу для числа вузлів кубатур-ної формули, алгебраїчна ступінь точності якої дорівнює т2-1 (Теорема 3.10 з [4. С. 85]). та-

    ким чином, ми отримали кубатурних формулу, яка містить менше число вузлів у порівнянні з нижньою межею. Протиріччя виникло з припущення, що існує О (а) -орбіта, для якої нерівність (2) не виконується. теорема доведена.

    Слідство. Якщо в умовах теореми 2 група Про містить перетворення центральної симетрії щодо початку координат, то для довжини О (а) -орбіти справедлива оцінка 2 (п -1 + /)!

    \ В (а) >-

    (П -1)! /!

    Доведення. Так як Про є ортогональна група, то однією з базисних інваріантних форм є г2 = х12 + х22 + ... + хп2. Не порушуючи спільності, можна припускати, що числа т1, т2, ..., тп розташовані в порядку зростання. Так як шт {тьт2, ..., тощо} = 2, то т1 = 2. На поверхні сфери?, П-1 = {Хелп | х2 + х22 + ... + хп2 = 1 |} г = 1 і кільце інваріантних форм групи О в цьому випадку породжується іншими п-1 базисними інваріантними формами [4. С. 133].

    Таким чином, якщо побудувати на? П-1 кубатур-ву формулу, інваріантну щодо групи О і точну для константи, то вона відповідно до теореми 1 буде точно інтегрувати всі многочлени, ступеня яких менше ніж т2. Припустимо, що існує О (а) -орбіта, для якої нерівність (2) не виконується. Тоді спроектувавши на поверхню сфери? П-1 точки цієї орбіти і взявши їх в якості вузлів, з умови вимоги точності для константи отримуємо наступну кубатурних формулу (т2-1) -го степеня точності:

    т2 - 2 де / = -22-.

    Доведення. Якщо група Про містить перетворення центральної симетрії щодо початку координат, то все базисні інваріантні форми матимуть парні ступеня, т. Е. Т2-1 є непарним числом. Права сторона останнього нерівності є нижня межа для числа вузлів кубатурних формули на? П-1, що має (т2-1) -ю ступінь точності в разі, коли т2-1 є непарне число (Теорема 9.2 з [4. С. 203]) . Тому, припущення про існування О (а) -орбіти,

    2 (п-1 + /)!

    довжина якої менше ніж -Ь-, знову при-

    (П -1)! /!

    водить до протиріччя. слідство доведено.

    Відомо [5], що група Е6 породжена відображеннями і базисні інваріантні форми мають ступеня відповідно 2,5,6,8,9,12.

    Координати 27 вершин багатогранника 221 в просторі В задамо рядками наступної матриці [2]:

    0

    0

    де с1 = со8

    1 "1 2П1

    з 1

    0 0 з1

    - 0 0

    2П1

    S1 = Б1І "

    1 3

    1, І = 1,2,3.

    Площині симетрії 221 (їх 36) визначаються рівняннями [6]

    х2 = 0, х4 = 0, х6 = 0, - \ Z3xj ± х2 = 0, -73х3 ± х4 = 0, \ / 3х5 ± х6 = 0, х1 + х3 + х5 = 0, х1 ± \ / 3х2 - 2х3 - 2х5 = 0,

    х; ±% / 3х2 + х3 ± - ^ х4 -2х5 = 0,

    х1 ± >/ 3х2 - 2х3 + х5 ± л / 3х6 = 0, х1 ± л / 3х2 + х3 ± \ / 3х4 + х5 ± \ ['х6 = 0, 2х1 - х3 ± у / 3х4 + 2х5 = 0,

    2х1 - х3 ± л / 3х4 - х5 ± \ / 3х6 = 0, 2х1 + 2х3 -х5 ± ** ['х6 = 0.

    Через яй (/=1,2,...,27) позначимо проекції на сферу?; = {ХеЛ6 | х12 + х22 + ... + х62 = 1 |} вершин багатогранника 221, а через Ь ()) (/ " = 1,2, ..., 72) - точки

    ж

    п-1

    (0,1,0,0,0,0), (0,0,0,1,0,0), (0,0,0,0,0,1), J ^, ± 2,0, 0,0,0 ^ 0,0, ^ ± "2 '0,0

    ± 2 H ^^ ar0

    ± 1, 1 0, 1,0

    2>/ З '2' л / з '' л / з '

    ^ ± ± 1 .- ^ 0

    2-Js '2'2Тз' 2 'л / з'

    1 +11

    ± 1, -0.

    1 ± 1

    2>/ З '2' л / з '' 2>/ З '2

    1 ± ± 1 -Л = ± 1

    2 2 2 2 2 + 2 I Pz - I Х2, Р2 - Х3 I Х4, Р3 - Х5 +

    U3

    а 2 1 3 2 13 2

    I = 3 Х1 - Х1Х2 'q2 = 3 Х3 - Х3Х4' q3 = 3 Х5Х6 '

    Нам потрібні значення многочленів P2 (x) і P6 (x) в точках # і ?>®. Прямим підрахунком, переконуємося, що

    P2 (a «) = >) = 1, P6 (a (i>) = P ^>) = 0.

    Переходимо до побудови кубатурних формул для кулі Д6 = {хеЛ6 | х12 + ... + х62<1 |}, інваріантних щодо E6.

    U3

    Група Е6 має три лінійно-незалежних інваріантних многочлена до 4-го ступеня включно:

    1, Р2 (х), Р2 (х). (3)

    Кубатурних формулу 4-го ступеня точності, інваріантну щодо групи Е6 будемо будувати у вигляді

    J f (x) dx = A0 f (в) + л? f (la (i)),

    (4)

    де 6 »= (0,0,0,0,0,0).

    Вимагаючи, щоб кубатурних формула (4) була точна для многочленів (3), отримуємо наступну систему

    2л / з '2'2л / з' Г 2,3 '2

    л / з ^ 21з, ± ^ л / з ^

    I 0 ± 1 -L. ± 1 S '' 2VJ '2' 2-Тз '2

    Тз ^ i

    і центрально-симетричні з ними точки.

    Згідно з теоремою 2, для довжини Е6 (я) -орбіти справедлива оцінка | Е6 (я) |>27, тому точки а® утворюють одну Е6-орбіту.

    Відзначимо також, що Ь0) є проекціями на? 5-центрів мірних граней - правильних симплексів. Проекціями на? 5 центрів інших мірних граней - спеціальних десятівершінні-ков є точки - ай.

    Існують різні способи запису базисних інваріантних форм групи Е6 [7]. Для наших цілей достатньо знати, що

    Р2 (х) = х12 + х22 + х32 + х42 + Х52 + х62;

    Р6 (х) = Х ^ Я- 10Х + Х ря рл- 3 р1р2 л>

    де індекси Я, / л різні в кожного члена відповідної суми.

    A 0 + 27A -

    27l2 A - п 8

    27l4 A

    рішенням якої є

    A

    A 0- 96

    A -

    5П 864

    , l -|

    Доповнимо групу Е6 перетворенням центральної симетрії щодо початку координат. Отриману групу позначимо через Е6 *. Наступна кубатурних формула 5-го ступеня точності інваріантна щодо групи Е6 *:

    J f (x) dx = П6 f (в)

    5п

    1728

    I

    f Ia ( ') J + f a (°

    (5)

    Число вузлів кубатурних формули (4) збігається з нижньою межею для числа вузлів [4. С. 81], а число вузлів кубатурних формули (5) на 12 одиниць перевищують відповідну нижню межу [4. С. 196].

    Лінійно-незалежними многочленами до 7-го ступеня, інваріантними щодо Е6 * є многочлени (3) і Р23 (х), Р6 (х). Кубатурних формулу 7-го ступеня точності будемо шукати у вигляді

    J f (x) dx = Af (в)-

    + А? [F (Aa (i)) + f (-Aa (i))] + B? [F fab ())]. (6)

    i = 1 j = 1

    Вимагаючи, щоб кубатурних формула (6) була точна для лінійно-незалежних інваріантних многочленів до 7-го ступеня включно, приходимо до наступної системи:

    i-1

    А0 + 54 А + 72 В - П-

    5412 А + 72? І2 В = П

    5414 А + 72 л4 В - П 5416 А + 72 л6 В = П

    54 • 1А = ш-

    Вирішуючи систему, отримуємо

    Ао =

    3493 + 3150 240 (6 ± 1) 3

    П3, А -

    (5 ± 2) 3П 480 (6 ± 1) 3

    В --

    343 п

    , 12 = К6 ± 1), Л2 = 6 ± 1

    3 (5 ± 2);

    7 '

    1440 (6 ± 1) 3

    Тут верхні знаки параметрів дають одну ку-Батурне формулу, нижні - іншу.

    Число вузлів кубатурних формули (6) всього на дві одиниці перевищує відповідну нижню межу для числа вузлів.

    Відомо [8], що вершини багатогранника З21 можна розташувати в точках (± 1,0, ± 1, ± 1,0,0,0) і в точках, одержуваних з них циклічними перестановками координат. У цьому випадку центр симетрії багатогранника 321 збігається з початком координат, а 63 його площині симетрії визначаються рівняннями ХГ = 0 (r = 1,2, ..., 7) х; ± х;. ± хк ± х; = 0, де індекси г, у, до, 1 приймають значення наступних четвірок чисел: 1,2,3,5; 1,2,4,7; 1,3,6,7; 1,4,5,6; 2,3,4,6; 2,5,6,7; 3,4,5,7 [9]. Група Е7 перетворень багатогранника З21 породжена відображеннями і базисні інваріантні форми мають ступеня відповідно 2,6,8,10,12,14,18. В роботі [6] визначено явний вид базисних інваріантних форм. Для наших цілей обмежимося тим, що дві перші базисні інваріантні форми мають вигляд

    12 (х) - х2 + х22 + ... + х 72, / 6 (х) = = У х6 + 5У х4 х2 + 30У х2 х2 х1,

    де г, у '= 1, 2, ..., 7 різні в будь-якому членові відповідної суми, а I,}, до приймають значення наступних трійок чисел 1,3,4; 2,4,5; 3,5,6; 4,6,7; 5,7,1; 6,1,2; 7,2,3.

    Очевидно, що точки сй (r = 1,2, ..., 56):

    ^ - ^ Д ± - ^ =, 0,0,01, {0, ± - ^, 0, ±± ^, 0,0

    Е7 (а) -орбіти справедлива оцінка | Е7 (а) |>56 (наслідок теореми 2).

    Точки? Р (у '= 1,2, ..., 126):

    (± 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), (0, ± 1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 0, ± 1, 0, 0, 0, 0) , (0, 0, 0, ± 1, 0, 0, 00, (0, 0, 0, 0, ± 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 0, ± 1, 0) , (0, 0, 0, 0, 0, 0, ± 1),

    (± 1, ± 1, ± 1,0, ± 1, 0,0), (± 1, ± 1,0, ± 1,0,0, ± 1), V 2 '2' 2 '2' ' 2 '2' '2' '2й

    (± 1, 0, 0, ± 1, ± 1, ± 1, 0), (± 1, 0, ± 1, 0, 0, ± 1, ± 1), 4 2 '' '2' 2 '2 'Л v 2' 2 '' '2' 2Ь

    (0, ± 1, ± 1, ± 1, 0, ± 1, 0), (0, ± 1, 0, 0, ± 1, ± 1, ± 1), v '2' 2 '2' '2 '2' '2 2 2' '

    (0, 0, ± 1, ± 1, ± 1, 0, ± 1) V,, 2 '2' 2 '2'

    мають з точністю до постійного множника однакові координати з площинами симетрії, також утворюють одну Е7-орбіту (це буде показано трохи пізніше).

    Нам потрібні значення базисних інваріантних форм в точках С® і? І. Прямим підрахунком знаходимо, що

    12 (С (1)) = 12 (С (1>) = 16 (С11>) = 1, 16 (е ( '>) =

    Неважко також переконається, що

    3 (1) = 115 П

    3 (12) = 16П, 3 (1 /) =

    165

    3 а /) = 195 3 (16) = 113

    де

    3 (/) = | / (Х) Сх, В7 - {х? Я7 | х12 + х22 + ... + х 72 < 1},

    О 7

    • сх7

    - Сх1 • 2 •

    Випишемо всі лінійно незалежні многочлени до 5-го ступеня, інваріантні щодо групи Е7:

    1,12 (х), 122 (х).

    (7)

    Кубатурних формулу 5-го ступеня точності, інваріантну щодо Е7, будемо будувати у вигляді

    56

    I / (х) Ссх = А0 / (0, ..., 0) + А У / (1 «).

    (8)

    Вимога точності кубатурних формули (8) для симетричних многочленів (7) призводить до наступної системи нелінійних алгебраїчних рівнянь:

    +56 А - -16 П

    0,0, ± ^, 0, ± - =, 0 I, I 0,0,0, ± ^, 0, I,

    V л / е л / 3 Д л / е >/ Е 731

    ^ ±; г0Д0 '± ^ 0) № °>0Д ±; 1г0 '

    0 ± ^ 0Д0> ± 73

    утворюють Е7-орбіту, так як вони є проекціями на вершин багатогранника 321 і для довжини

    5612 А -

    5614 А -

    105 16, 135 '

    165П

    рішенням якої є

    А0 -

    64 "3

    п ,

    8505

    А -

    22 П

    8505

    1 - Й-

    1-1

    і

    Число N = 57 вузлів кубатурних формули (8) збігається з нижньою межею для числа вузлів.

    Переходимо до побудови кубатурних формули 7-го ступеня. Інваріантними щодо Е7 є многочлени (7) і / 23 (х), 16 (х).

    Кубатурних формулу 7-го ступеня точності, інваріантну щодо групи Е7, будемо шукати у вигляді

    J (/) = | / (Х) Ах = Л / (0, ..., 0) +

    + A? f + в? f (? d

    i = 1 j = 1

    Вимагаючи що кубатурних формула (9) була точна для всіх лінійно незалежних інваріантних многочленів до 7-го ступеня включно, отримуємо наступну систему алгебраїчних рівнянь:

    Л + 56 Л +126 В = 105 П

    56 Я2 Л + 126 / В = 1З5П3

    56 Я4 Л +126 і4 В = П3 165

    56 Я6 Л + 126 і 6 В = Ц П3 56 • 3 Я6 Л + 126 і 6 В = Ц ^ П3.

    Вирішуючи систему, отримуємо

    27 • 13 (249301 ± 45778) 33 • 5 • 7 • 11 (78 ± л / 78) 3 '2 • 132 (22 ^ л / 78) 3

    A _

    B _

    33 • 5 • 7-11 (78 + V78) 26 • 72 -132

    Я =

    33 • 5-11 (78 ^ л / 78) 3

    3 (78 ±>/ 78)

    п

    13 (22 ± V78) '

    2_78 ±>/ 78

    ? 91 •

    де коефіцієнти Л і B визначаються з системи

    56A + Nfi _ Л П

    567 Л + И, В = 16 П3. 3 1 11

    Неважко переконатися, що остання система розв'язана, і ми отримуємо кубатурних формулу з ^ + 56<168 вузлами, що і призводить до протиріччя, так як число 168 є нижньою межею для числа вузлів кубатурних формули 7-го ступеня точності. Протиріччя виникло з припущень (9) ня, що множина {й] є об'єднанням Е7-орбіт. Отже, це безліч є Е7-орбітою. Аналогічним чином можна показати, що безліч точок {й] з пункту 2 утворюють одну. 6-орбіту.

    3. Площини симетрії багатогранника 421 описується рівняннями

    х ,. ± х} = 0 (1,] = 1,2, ..., 8; I < ])

    і X; ± х2 ± х3 ± х4 ± х5 ± х6 ± х7 ± х8 = 0,

    де кількість плюсів парне [7].

    Базисні інваріантні форми групи Е8 мають ступеня відповідно 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 [7]. Очевидно, що інваріантний многочлен ступеня 2 є /2(х)=х12+х22+...+х82.

    Згідно зі слідством теореми 2 для довільної точки а, відмінною від початку координат, справедлива оцінка | Е8 (а) |>240, звідки випливає що точки

    1

    1

    '42' л / 2

    ,0,0,0,0,0,0

    0,0,0,0,0,0, ±

    1

    1

    л / 2 'л / 2у

    і точки

    1

    1

    1

    1

    2л / 2 '. 1

    2 ^ 2. ' 1,

    2л / 2 '1,

    '242' 1

    Верхні знаки параметрів дають одну кубатурних формулу, нижні - іншу. Число N = 183 вузлів кубатурних формули (8) також збігається з нижньою межею для числа вузлів.

    Перейдемо тепер до доведення твердження, що точки (№ утворюють одну Е7-орбіту. Припустимо протилежне, тобто. Е. Що безліч {сРЩ є об'єднанням двох Е7-орбіт, довжини яких дорівнюють N і N2 N N>56, N + N = 126). Не порушуючи спільності, можна припустити, що перші N точок з розглянутого безлічі належать одній орбіті, інші - іншій орбіті. На поверхні сфери лінійно незалежними многочленами до 7-го ступеня є константа і / 6 (х).

    Кубатурних формулу шукаємо у вигляді

    56 N

    I / (х) зй = Л? / (З «) + В? / (А (>),

    X, 1 = 1 j = 1

    "272 '2>/ 2 '2>/ 2 '2 ^ 2

    де кількість плюсів парне, утворюють одну Е8-ор-біту (група Е8 містить перетворення центральної симетрії, тому точки центрально-симетричні).

    Позначимо ці точки через е (° (r = 1,2, ..., 240). На підставі вимоги точності для константи і / 2 (х), / 22 (х), 123 (х) нескладно отримати наступну кубатурних формулу 7 -го ступеня точності:

    I / (х) Ах = 31п / (в) -

    17П 240

    8640

    B8

    гд2 f (в) + Д2 f (в) + + Д2 f (в) ^

    д x2, 49п4

    д x2

    д x8

    S f №

    6 eM

    де

    8640

    в _ (0,0,0,0,0,0,0,0) ,

    B8 _ {x e R8 | xf + ... + x82 < 1 |}.

    3

    СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

    1. Соболєв С.Л. Про формулах механічних кубатур на поверхні сфери // Сибірський математичний журнал. - 1962. -Т.3. - № 5. - С. 769-791.

    2. Coxeter H.S.M. The polytope 221, whose twenty seven vertices correspond to the lines on the general cubic surface // Amer. J. Math. -1940. - V. 62. - № 3. - P. 457-486.

    3. Todd J.A. Polytopes associated with the general cubic surface // J. London Math. Soc. - 1932. - V. 7. - № 27. - P. 200-205.

    4. Мисовська І.П. Інтерполяційні кубатурних формули. -М .: Наука, 1981. - 336 с.

    5. Coxeter H.S.M. The product of the generators of a finite group generated by reflections // Duke Math.J. - 1951. - V. 18. - P. 765-782.

    6. Ігнатенко В.Ф. Геометрія алгебраїчних поверхонь з сім-метрів // В сб .: Проблеми геометрії. - Т. 11 (Підсумки науки і техніки, ВІНІТІ АН СРСР). - М .: 1980. - С. 203-240.

    7. Ігнатенко В.Ф. Про инвариантах кінцевих груп, породжених відбитками // Матем. збірник. - 1983. - Т. 120. - № 4. - С. 556-568.

    8. Frame J.S. The classes and representations, of the groups of 27 lines and 28 bitangents // Annali di matematika. - 1951. - V. 32. -P. 83-119.

    9. Ігнатенько В.Ф. Алгебраїчні поверхні з групою симетрії багатогранника З21 // Український геометричний збірник. - 1980. - Вип. 23. - С. 50-56.

    УДК 519.865

    ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ ГІПЕРБОЛІЧНОГО І ЗВОРОТНОГО гауссовский РОЗПОДІЛІВ

    Е.В. Істігечева

    Томський державний університет систем управління та радіоелектроніки E-mail: Ця електронна адреса захищена від спам-ботів. Вам потрібно увімкнути JavaScript, щоб побачити її.

    Розглядаються гіперболічне і зворотне гауссовское розподілу з класу узагальнених гіперболічних розподілів для опису фінансових часових рядів. Пропонується алгоритм оцінювання параметрів цих розподілів за допомогою методу максимальної правдоподібності. Апробація алгоритму проведена на прикладах емпіричних фінансових часових рядів.

    Вступ

    Відомо, що повернення більшості фінансових активів є лептокуртіческімі, т. Е. Функція щільності більш витягнута в області середнього значення і має більш важкі хвости, ніж у нормального розподілу [1]. Незадовільні результати прогнозування, отримані за умови нормальності розподілу повернень, змушують шукати нові розподілу і розробляти підходи для обробки емпіричних фінансових даних. Так, Mandelbrot запропонував використовувати стійкі закони Парето або а-стійкі закони для опису фінансових часових рядів [2]. У роботах [3, 4] для цих цілей було використано узагальнене t-розподіл Стьюдента, в [5] -розподіл Лапласа. У 1977 р Barndoff-Nielsen [6] описав клас узагальнених гіперболічних розподілів (Generalized Hyperbolic - GH), який став дуже популярним в областях теоретичної і практичної статистик. GH-розподіл активно використовувалося у фізиці, біології та агрономії, а в 1995 р Eberlein і Keller вперше застосували його в фінансах [7]. Зазначений розподіл має ряд властивостей, які є привабливими для опису фінансових часових рядів: • GH-розподіл дозволяє враховувати асиметричність (відомо, що функція щільності повернень фінансових активів має асиметрію);

    • хвости GH-розподілу важче, ніж у нормального розподілу (виникнення рідкісних подій, що впливають на форму і вид хвостів, відповідає отримання максимального можливого прибутку або ризику найбільшого ймовірного збитку).

    У статті розглядаються розподілу, які є підкласами узагальненого гіперболічного розподілу: гіперболічне розподіл (Hyperbolic HYP) і зворотне гауссовское розподіл (Normal Inverse Gaussian NIG). Пропонується алгоритм оцінювання параметрів цих розподілів з використанням методу максимальної правдоподібності.

    Постановка задачі

    Функція щільності узагальненого гіперболічного розподілу має вигляд:

    gh (x; X, / л, а, P, S) = - (А'-Р? '2 (s2 + (x- л 2))' 2 х

    Vw-1'2 ^^ 2 -в2)

    ХКГ-1П (аф2 + (x- л) 2) expв (x- / л),

    де / і S - параметри стану і масштабу; в - асиметрії, а - стійкості. параметр X<eR характеризує певний підклас з сімейства


    Завантажити оригінал статті:

    Завантажити